大学物理_第2章_质点动力学_习题答案

第二章 质点动力学

2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30

物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得

22011

2(1)

22

mv mv f s -=-⋅

物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得

201

0sin 302

mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-o

2(2)

s ∴=

把式（2）代入式（1）得，

220.198

u =

2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G r 和轨道对它的支持力T r

.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得

22

sin (1)

cos (2)

t n dv F mg m

dt

v F T mg m R

αα=-==-=r r r

由,,1ds rd rd v dt dt dt v

αα=

==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，

90

2

n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v v

r

v mg mg r

mg α

αα

ωαα

α=-===+==-=-⎰

⎰o r

得则小球在点C 的角速度为

＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为

T T 方向与反向

2－3如本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两者

习题2－2图

间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。

解：如图所示

()

1212min

max sin ,cos cos sin (1)

sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )

(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθ

θθθθθθθθθθ

θθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得，得，)()

(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθ

θθθθ

+=

---+∴≤≤+-

2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，

则A 和B 的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得

(1)(2)2(3)2(4)g

g

A A

B B A B A B

A B mg T ma T mg ma a a T T a a -=-===1

解得＝－52＝－5

2－5如本题图所示，已知两物体A 、B 的质量均为m=，物体A 以加速度a =s 2 运动，求物体B 与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）

解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，

()

()()

1f 111f (1)''(2)2'(3)'2(4)

5'6'7(4)7.22

A T A T

B T T A B T T T T m g F m a F F m a a a F F m m m F F F F mg m m a

F N

-=-======-+=

=＝解得

2－6质量为M 的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m 的木块放在斜面上(如本题图所示)。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M 的加速度和m 相对M 的加

A

B 习题2-4图

习题2－5图

a

θ

习题2-3图

m

a A

mg

T A T B a B

mg

速度。

解：（如图）m 相对M 的相对加速度为m a '，则 cos ,sin ,mx

m my m a a a a θθ''''== 在水平方向，

cos mx

mx Mx mx mx

Mx m M a a a a a a a a θ'=-''∴=+=-+

在竖直方向

sin my

my my

m

a a a a θ'='∴=

由牛顿定律可得，

sin cos cos sin sin mx m

M my m M

N ma ma ma mg N ma ma N Ma θθθθθ'-==-+'-===

解得θ

+θθ=

2

sin cos sin m M mg a M ， 2()sin sin m M m g a M m θ

θ++＝ 2－7在一只半径为R 的半球形碗内，有一粒质量为m 的小钢球。当钢球以角速度ω在

水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高

解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得，

2sin sin cos cos ()/n F ma mR F mg R h R

θωθθθ====-

解得钢球距碗底的高度

2ω-

=g R h

2－8光滑的水平面上放置一半径为R 的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v 0，求：（1）t 时刻物体的速率；（2）当物体速率从v 0减少到v 0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。

解：（1）设物体质量为m ，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，

02

2

22t

v 2

v (1)

(2)(3)4dv 4dt u v N n f t f N

v F ma m R dv F m a m dt

F uF v dv

u R dt ===-=-=-

⎰⎰0由上三式可得＝（）R 对（）式积分得＝－

习题2-6图