逆矩阵公式和矩阵的秩
秩的一些相关公式
秩的一些相关公式在线性代数这门学科里，秩是非常关键也是常用的一个工具，要深刻理解和掌握秩这个武器，必须还要熟记与秩有关的一些公式，这样才能在考试中得心应手，下面对秩的公式进行了总结，也方便同学们掌握这部分内容。
1.()()()T r r r k ==A A A ，0k ≠；前一篇笔者讲到了，矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩，所以将矩阵转置了之后秩是没有改变的，数乘也是不改变秩的。
2.()min{,}m n r m n ⨯≤A ；矩阵形式：结合矩阵秩的概念，非零子式的最高阶数即为矩阵的秩，矩阵最高阶子式为min{,}m n ，故其非零子式最高阶应小于等于min{,}m n ；向量形式：若将矩阵m n ⨯A 写成向量组的形式，即1[,...,]m n n αα⨯=A ，矩阵的秩等于向量组的秩，则有的向量组的秩1(,...,)min{,}n r m n αα≤。
3.若向量组1,...,n αα可由向量组1,...,m ββ表出，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ<。
这个推导过程上一篇文章笔者已经介绍了，就不在这介绍过多了，若将向量组组成矩阵的形式，有()m i n {(),()}r r r ≤A B A B ，这个矩阵形式的公式是最常用的，关于这个公式还有如下几点推论： 推论1：若n n ⨯P 可逆，则()()r r =AP A , ()()r r =PB B ；这条推论的用法就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，那么可逆矩阵的本质就是若干个初等矩阵相乘，乘以可逆矩阵相当于做了若干次初等变换，初等变换是不改变秩的。
推论2：若m n m n ⨯⨯≅A B ，等价于()()m n m n r r ⨯⨯=A B ；两个同型矩阵等价的充要条件是其秩相同。
推论3：若向量组1,...,n αα与向量组1,...,m ββ等价，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ=，这条推论两个向量组等价的必要条件是这两个向量组的秩相同，这只是一个必要条件，而非充要条件，要和推论2区别开。
矩阵的秩计算
矩阵的秩计算矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和线性无关性。
在计算机科学、工程学和物理学等领域中，矩阵的秩也有着广泛的应用。
本文将从基本概念、计算方法和应用三个方面介绍矩阵的秩。
一、基本概念矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
具体来说，对于一个m行n列的矩阵A，如果它的秩为r，那么就意味着存在r 个线性无关的行或列，且没有更多的线性无关行或列。
同时，矩阵的秩也等于它的列空间或行空间的维度。
二、计算方法对于一个矩阵A，可以通过进行初等行变换或初等列变换来求解其秩。
初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的k倍。
初等列变换与之类似。
通过这些变换，可以将矩阵A转化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，从而求得其秩。
可以通过矩阵的特征值来计算矩阵的秩。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果它有n个非零的特征值，那么它的秩为n。
反之，如果它只有k个非零特征值，那么它的秩就是n-k。
三、应用1. 线性方程组的解：对于一个m行n列的矩阵A和n行1列的矩阵X，可以通过求解AX=0来得到线性方程组的解。
如果矩阵A的秩等于n，那么线性方程组有唯一解；如果矩阵A的秩小于n，那么线性方程组有无穷多解；如果矩阵A的秩小于m，那么线性方程组无解。
2. 矩阵的相似性：矩阵的秩还可以用于判断两个矩阵是否相似。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩相等。
3. 矩阵的逆：对于一个n阶矩阵A，如果它的秩等于n，那么它是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
反之，如果矩阵A的秩小于n，那么它是不可逆的。
4. 图像处理：在图像处理中，可以使用矩阵的秩来判断图像的信息量。
如果一个图像的秩较高，那么它包含了更多的信息；反之，如果一个图像的秩较低，那么它的信息量较少。
总结起来，矩阵的秩是描述矩阵线性相关性和线性无关性的重要指标。
它可以通过初等行变换、初等列变换或特征值来计算。
线性代数 矩阵的秩与逆矩阵
BP1 P2
Ps = X
AP1 P2
Ps = E
3. AXC = B, A, C可逆。 解法I : X = A BC
解法II : AX = BC
−1
−1
−1
−1
XC = A B
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 .已知 A, 且 AB = A − B , 求 B .
−1 ⇒ B = ( A + E ) A ⇒ AB + B = A ⇒ ( A + E ) B = A
⎛1 − 1 − 1 ⎜ → ⎜0 −1 − 2 ⎜0 0 −1 ⎝
⎛1 0 0 ⎜ → ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝ 2
1 0 0⎞ ⎟ 3 1 0⎟ 4 2 1⎟ ⎠
1 ⎞ ⎟ 5 3 2⎟ − 4 − 2 − 1⎟ ⎠ 1
∴A
−1
=
1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 3 2⎟ ⎜ 5 ⎜ − 4 − 2 − 1⎟ ⎝ ⎠
⎛2 ⎛1 − 1 ⎞ 3 . C = ⎜ 2.B = ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠
− 2⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎠
⎛2 1 ⎛ 1 1⎞ −1 2. B = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 3 ⎝ − 2 1⎠ ⎝
− 1⎞ −1 1 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ = C 3 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 2 2 − 1⎠ ⎝ ⎠
？？ ⎛ 1 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 的逆怎样求？ ？ A = ⎜− 3 2 1 ⎟
⎜ 2 ⎝ 0 1 ⎟ ⎠
逆阵的性质
1 (i ) A可逆 ⇒ A = ; A (ii ) A可逆 ⇒ A−1可逆, ( A−1 ) −1 = A;
−1
(iii ) AB = E (or BA = E ) ⇒ B = A ;
矩阵的逆
矩
阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的秩
第三节 矩阵的逆
本节主要内容: 本节主要内容: 一. 可逆矩阵与逆矩阵 二. 可逆矩阵的判别 三. 矩阵的初等变换 四. 用初等行变换求逆矩阵 五. 小结
一.可逆矩阵与逆矩阵
1. 定义
对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 B , 使得
1 2 −2 r2 − 2r1 0 −7 6 → r3 + 2r1 0 3 −3
1 0 0 −2 1 0 2 0 1
1 2 −2 r2 + 2r3 0 −1 0 → 0 3 −3
1 0 0 2 1 2 2 0 1
A23 = 2,
A33 = −2 .
6 −4 2 A* = −3 −6 5 2 2 −2
所以 A−1
3 −2 2 6 −4 1 * A 1 5 3 = = −3 −6 5 = − −3 det A 2 2 2 2 2 −2 1 1 −1
A1 A2 ⋯ Am 也可逆 且 (A A ⋯A )−1 = A−1⋯A−1A−1 也可逆, 1 2 m m 2 1
性质5 性质 若矩阵 A 可逆 则 AT也可逆 且 可逆, 也可逆,
(AT)−1 = (A−1 )T
性质6 性质 若矩阵 A 可逆 则 det( A−1 ) = (det A)−1 可逆, 说明 若矩阵 ,B ,C 满足 若矩阵A 满足AB=AC, 且A可逆 则 可逆, 可逆 AB=AC
1 2 3 −3 −4 可逆 = 0 −3 −4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = −3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = − = −4, 1 3
2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩
几个常用性质：P60
(5) max{r ( A), r ( B)} ≤ r ( A, B ) ≤ r ( A) + r ( B) (6) r ( A + B ) ≤ r ( A) + r ( B) (7) r ( AB) ≤ min{r ( A), r ( B)} (8) 若AB = 0, 则r ( A) + r ( B ) ≤ n
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⋯ ⋯ ⋮ ⋯
An 1 An 2 ，则称 A ∗为 A 的伴随矩阵 . ⋮ Ann
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定理2.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,则 证明:
a11 a 21 ⋅⋅⋅ an1 A21 A22 ⋅⋅⋅ A2n a12 a22 ⋅⋅⋅ an2
−1
1 −1 3 −1 −1 ( 2 A) + 2 A = A − 2 27 = (− ) A = 2 8
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二、矩阵的秩
定义2.4(k阶子式) 设A是m×n矩阵, 从A中任取k行k列(k≤min(m, n)), 位于这 些行和列的交叉处的元素, 保持它们原来的相对位置所构成 的k阶行列式, 称为矩阵A的一个k阶子式.
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定理2.7
矩阵经初等变换后, 其秩不变.
0 2 −1 4 0 0 0 5 1 −1 的秩. 4 1
1 1 例 1. 求矩阵 A = 3 1
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 −1 0 2 0 −2 0 1 0 −1 −2 → −1 . 解: A = → 3 −1 0 4 0 −1 0 1 0 0 5 4 1 4 5 1 0 4 5 0 0 0 0 0 由定理2.5知, A的秩等于经初等变换后所求出的最后一 矩阵的秩, 而最后一矩阵的秩显然等于3, 故r(A)=3.
线性代数秩和逆
一、 矩阵的秩定义1 在一个n m ⨯矩阵A 中，任意选定k 行和k 列（{}n m k ,min ≤），位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k k ⨯矩阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例1 在矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0000500041201311A 中，选第3,1行和第4,3列，它们交点上的元素所成的2阶行列式155013=就是一个2阶子式。
又如选第3,2,1行和第4,2,1列，相应的3阶子式就是.10500420111=定义2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。
矩阵A 的秩记为()A rank 。
例2 证明：矩阵A 与其转置矩阵T A 有相同的秩。
例3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。
证 设A 是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r 。
选取这r 个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r 阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。
而A 的所有阶数大于r 的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。
所以()r A r a n k =。
由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以n m ⨯矩阵A 的秩()()n m A rank ,min ≤。
而如果()m A rank =，就称A 是行满秩的；如果()n A rank =，就称A 是列满秩的。
此外，如果A 的所有1+r 阶子式全为零，由行列式的定义可知，A 的2+r 阶子式也一定为零，从而A 的所有阶数大于r 的子式全都为零。
因此秩有下面等价的定义：定理1 n m ⨯矩阵A 的秩为r 充分必要条件是：在A 中存在一个r 阶子式不为零，且在()()n m A rank ,min <时，矩阵A 的所有1+r 子阶式都为零。
定理2 初等变换不改变矩阵的秩。
换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。
证 设n m A ⨯经初等行变换变为n m B ⨯，且()()21,r B r a n k r A r a n k ==。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
《逆矩阵矩阵的秩》课件
contents
目录
• 逆矩阵的定义与性质 • 矩阵的秩的定义与性质 • 逆矩阵与矩阵秩的关系 • 逆矩阵的应用 • 总结与展望
01
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵$A$是一个$n times n$矩阵 ，如果存在一个$n times n$矩阵 $B$，使得$AB = A = I$，则称 $B$是$A$的逆矩阵。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵是矩阵分解的一个重要组成部分，通过将一个复杂矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，可以更好地 理解和分析该矩阵。
特征值和特征向量
在求解特征值和特征向量的过程中，常常需要用到逆矩阵。
在数值分析中的应用
数值稳定性
在某些数值分析方法中，如迭代法求解线性方程组，使用逆矩阵可以增加数值稳定性，减少误差的传 播。
03
通过逆矩阵与矩阵秩的研究，可以解决实际问题，推
动科学技术进步。
未来研究的方向和展望
01
深入研究逆矩阵与矩阵秩的性质和关系，探索其在不同领域的应用。
02
结合现代计算技术和数值分析方法，提高逆矩阵与矩阵秩计算和求解 的精度和效率。
03
探索逆矩阵与矩阵秩在人工智能、大数据分析等领域的应用，推动相 关领域的发展。
02
矩阵的秩的定义与性 质
矩阵的秩的定义
矩阵的秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线 性无关组的向量个数。
行向量组的秩
矩阵的行向量组的秩等于行向量的最大线性无关组中 的向量个数。
列向量组的秩
矩阵的列向量组的秩等于列向量的最大线性无关组中 的向量个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。
下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。
一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。
矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。
二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。
计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。
需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。
矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。
即将A的行变为列，列变为行。
例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。
四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。
求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。
五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。
矩阵的初等变换与逆矩阵
取 定 k 行 k 列 [ k m in ( m , n )]， 则 位 于 这 k 行 和 k列 交 点 上 的 元 素 , 按 原 顺 序 可 构 成 一 个 k阶 行 列 式 ， 称 这 个 k阶 行 列 式 为 矩 阵 A 的 一 个 k 阶 子 式.
k k 注 ： n 矩 阵 A 的 k 阶 子 式 共 有 C m C n个 . m
（ k c i ：数k乘第i列， 0 ） k
（3）将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列， （ c i k c j ：第j列的k倍加到第i列上）
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时，记 作 A B. 注：这是矩阵的演变，A与B一般不相等.
0 例1 利用初等行变换将矩阵 A 1 2 化为单位矩阵. 1 3 0 0 0 0 1
3 2 0
2 1 1
2 3 ，求该矩阵的秩． 5
解
1 0 2
0.
1 0
3 2
2 0,
1 2 3 2 0 2
计算A的3阶子式，
3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 0, 5
3 2 0
2
, 1 00
0 3 2, 1
3 00 , 5
3 例4 3 设 A 2 1 秩． 2 2 0 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 ,求矩阵 A的 3 4
1 A 1 0
2 1 3
3 1 , 5
2 B 1 1
1 1 5
1 3 . 11
注： ① 上述方法中只能用初等行变换，不能
用初等列变换. ② 初等行变换过程中若发现虚线左边某 一行的元素全为零时，说明矩阵不可逆.
分块矩阵逆矩阵公式
分块矩阵逆矩阵公式分块矩阵逆矩阵是指将一个大的矩阵划分成多个小的矩阵，并对它们进行求逆操作得到整个矩阵的逆矩阵。
分块矩阵逆矩阵的求解可以用到很多公式和算法，在本文中，我们将会介绍其中的一些常用的公式和算法。
1. 矩阵分块首先，我们需要了解矩阵分块的概念。
矩阵分块是将一个大的矩阵划分成多个小的矩阵的过程。
这些小的矩阵可以是行向量或列向量，也可以是子矩阵。
矩阵的分块有很多种方法，其中比较常用的是二分法和多分法。
例如，将一个 $4 \times 4$ 的矩阵分成四个 $2 \times 2$ 的子矩阵，可以表示为：$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}$$其中 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 分别是四个 $2 \times 2$ 的子矩阵。
2. 矩阵的秩接着，我们需要了解矩阵的秩的概念。
矩阵的秩定义为矩阵中非零行的最大个数或者矩阵中非零列的最大个数。
对于任意一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其秩为 $r(A)$。
3. 矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵是指一个矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 满足以下条件：$$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$其中 $I$ 是单位矩阵。
注意，只有可逆矩阵才有逆矩阵。
如果一个矩阵不可逆，则称其为奇异矩阵。
4. 矩阵的分块逆矩阵公式对于大的矩阵的求逆，我们可以通过对其进行分块并应用一些公式和算法来实现。
常见的分块逆矩阵公式有以下几种：- 逆矩阵的分块公式对于一个分块矩阵：$$A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}$$如果 $A_{11}$ 是可逆矩阵，则它的逆矩阵为：$$A^{-1}=\begin{pmatrix} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & -(A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} A_{12} A_{22}^{-1} \\ -A_{22}^{-1} A_{21} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} & A_{22}^{-1} + A_{22}^{-1}A_{21} (A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} A_{12}A_{22}^{-1} \end{pmatrix}$$其中 $A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}$ 是一个 $k \times k$ 的可逆矩阵，$A_{22}^{-1}$ 是一个 $(n-k) \times (n-k)$ 的可逆矩阵。
矩阵的秩与逆矩阵
矩阵的秩与逆矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，它在许多数学和工程领域的问题中发挥着关键作用。
在矩阵的运算中，矩阵的秩和逆矩阵是两个重要的概念。
本文将就矩阵的秩和逆矩阵这两个概念进行阐述和探讨。
一、矩阵的秩矩阵的秩是描述矩阵中行或列向量的线性无关性的概念。
矩阵的秩可以通过对矩阵进行一系列行变换或列变换，将矩阵化为行最简形或列最简形，然后数有多少个不全为零的行或列，即可得到秩的大小。
秩的大小与矩阵的性质以及所表示的线性方程组的解的情况密切相关。
对于一个m×n的矩阵A，其秩（rank）记作rank(A)，它满足以下性质：1. rank(A) ≤ min(m, n)，即矩阵的秩不会超过行数和列数的最小值。
2. 若rank(A) = m，即矩阵的秩等于行数，也就是说矩阵的行向量是线性无关的。
3. 若rank(A) = n，即矩阵的秩等于列数，也就是说矩阵的列向量是线性无关的。
二、逆矩阵逆矩阵是矩阵论中一个重要的概念，对于非奇异矩阵（可逆矩阵），它存在一个逆矩阵，使得其与原矩阵相乘得到单位矩阵。
逆矩阵在解线性方程组、求解矩阵方程以及矩阵求导等问题中具有重要应用。
对于一个n阶矩阵A，若存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
求矩阵的逆矩阵通常采用伴随矩阵法或初等变换法。
伴随矩阵法首先要求矩阵的行列式不为0，即非奇异矩阵。
若矩阵A是非奇异矩阵，其逆矩阵可以通过伴随矩阵进行如下计算：A^(-1) = (1/|A|) × adj(A)，其中|A|为矩阵A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
三、矩阵秩与逆矩阵的关系矩阵的秩和逆矩阵之间有着重要的联系。
对于一个n阶方阵A，若A是一个非奇异矩阵，则矩阵A的秩等于其行列式不为0，即rank(A)= n，同时A存在逆矩阵A^(-1)。
反之，若矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，则A为非奇异矩阵，其行列式不为0，即|A| ≠ 0，同时矩阵A的秩等于其阶数，即rank(A) = n。
5矩阵的秩与逆矩阵
∗
求。
初等变换法。 方法二：初等变换法。
⇒ A−1 = P1 P2 L Ps A可逆 ⇒ A 可逆,
−1
行变换 ⇒ P1 P2 L Ps A = E −1 ⇒ ( AM E ) → ( E M A ) −1 P1 P2 L Ps E = A 列变换 E
1 − 1 − 1 例1：求A = − 3 2 1 的逆。 2 0 1
0 1 a M a
n −2
0 0 1 M a
n −3
L 0 0 L 0 0 L 0 0 L M M L a 1
A
−1
=?
0 0 L 0 0 1 − a 1 0 L 0 0 −1 A = 0 − a 1 L 0 0 M M L M M M 0 0 0 L − a 1 方法三：用定义求。 方法三：用定义求。 a1 −1 例2：A = O , a1 L a n ≠ 0.求A . an
例 2.
1 E (i, j ) = E (i, j ); E (i ( k )) = E (i ( )); k −1 E (i, j ( k )) = E (i, j ( −k ))
−1
−1
证:
Q E (i , j ) E (i , j ) = E
∴ E ( i , j ) = E (i , j )
( )
A → A−1 &&&& &&&& E
( AM E ) = 1 − 1 − 1 M 1 0 0 1 − 1 − 1 M 1 0 0 1 M 0 1 0 → 0 − 1 − 2 M 3 1 0 − 3 2 2 0 2 3 M − 2 0 1 0 1 M 0 0 1
求逆矩阵的方法与矩阵的秩(完整版)实用资料
求逆矩阵的方法与矩阵的秩（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ；(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用A →B表示，并称矩阵B 与A 是等价的.（下面我们把）第i 行和第j，”；把第i行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”.例如，矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c a a a b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321kc kc kc b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321332211321c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ⨯2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即( A , I )初等行变换−→−−−( I , A -1 )例1 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232311111③k ①，② ②+①k求逆矩阵A -1 . 解 因为[A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100232010311001111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----102010011220001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1212510002121110001111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1212510010201012127011 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125100102010221211001所以 A -1= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125102221211所求逆矩阵A -1是否正确，可以通过计算乘积矩阵A A -1进行验证.如果A A -1=I 成立，则A -1正确，否则不正确.对给定的n 阶矩阵A ，用上述方法也可以判断A 是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A 是奇异的，即0=A ，可以判定A 不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I ，说明A 是非奇异的，可以判定A 是可逆的，而且这个单位矩阵I 右边的方阵就是A 的逆矩阵A -1，它是由单位矩阵I 经过同样的初等行变换得到的.例2 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----116504612，问A 是否可逆？ 解 因为[ A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100116010504001612→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----10317200121720001612 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1110000121720001612[ A , I ]中的左边的矩阵A 经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A 是奇异的，A 不可逆.②+①(-1)③+①(-2) ②(1/2)③+② ①+③(-1) ②+③(-1) ①+②（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例3 解矩阵方程AX = B ，其中 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---423532211，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211解 [思路] 如果矩阵A 可逆，则在矩阵方程AX = B 等号的两边同时左乘A -1，可得A -1AX = A -1B ， X = A -1B因此，先用初等行变换法判别A 是否可逆，若可逆，则求出A -1，然后计算A -1B ，求出X .因为 [ A , I ] = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100423010532001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----103210012110001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----11510001211001311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001所以 A 可逆，且 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102X = A -1B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---429623三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式A 判别方阵A 是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A 的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A 的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15 在矩阵A 中，位于任意选定的k 行、k 列交叉点上的2k 个元素，按原来次序组成的k 阶子阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--324423211123取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式22212=称为A 的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16 矩阵A 的非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作r A ()或秩(A ) . 规定：零矩阵O 的秩为零，即r O ()= 0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A 的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 r A ()= 2 .例5 设A 为n 阶非奇异矩阵，求r A ().解 由于A 为非奇异矩阵，即A 对应的行列式0≠A ，所以A 有n 阶非零子式，故 r A ()= n .例5的逆命题亦成立，即对一个n 阶方阵A ，若r A ()= n ，则A 必为非奇异的. 因此n 阶方阵A 为非奇异的等价于r A ()= n . 称r A ()= n 的n 阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10 设A 为n m ⨯矩阵，则r A ()= k 的充分必要条件为：通过初等行变换能将A 化为具有k 个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000001040053162，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200140531因为A 的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A 的秩等于2，B 的秩等于3，即r A ()= 2，r B ()= 3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A 化成阶梯阵，然后算出矩阵A 的秩.例6 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502， B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411 求r A ()，r B ()，r AB ().解 因为 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502②①+−→−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡26402502 所以 r A ()= 2因为 B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411②①③①++−→−−32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21104220317100411 ③②④②+-+-−→−−−()()21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----51600103200317100411④③+-−→−−−()12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000103200317100411所以 r B ()= 3因为 AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048②①+-−→−−−()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5646180242048 所以 r AB ()= 2由例6可知，乘积矩阵AB 的秩不大于两个相乘的矩阵A , B 的秩，即 r AB ()≤ min{(),()}r A r B .例7 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030 求r A ()和)(A r '.解 因为 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030(,)①④−→−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10030024221160301211②①③①+-+-−→−−−()()32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---10030040001403001211−−−→−-+-+)1()1(②④③②⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000040001003001211 所以 r A ()=3 同理可得 )(A r '=3由例7可知，矩阵A 与它的转置矩阵A '的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11 设A 为m ⨯n 矩阵，则 (1) 0≤≤r A m n ()min{,}； (2) r A () = r A T ()第十三讲主要内容:矩阵的最大秩分解,QR分解6.3 矩阵的最大秩分解定理1 设,,则可经过有限次初等行变换把化为行最简形式其中,号的元素可以不为零,的第个列向量为,第i个元素为1,.引理分块矩阵经过一次初等行变换后化为矩阵,则证明,其中是相应的初等矩阵.,而。
1.5矩阵的秩与方阵的逆
r3 k
1 0 E5 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 k 0 0 0 0 1
的秩．
1.5.1矩阵的秩及其求法
1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 例4：设 A ，求矩阵 A 及矩阵 , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
B = (A, b) 的秩． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 B ( A, b ) ，则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从
中同时看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 2 4 8 0 解：B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 1 2 2 r 0 0 ~ 3 0 0 4 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 记作 E5(3, 5) 0 0 1 0 0 1 0 0
r3 r5
0 0 c 3 c5 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0
线性代数
1.5矩阵的秩与方阵的逆
1.5.1矩阵的秩及其求法
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这k 行 k 列交叉处的元素， 按照原来的位置构成的 一个k 阶行列式，称为矩 阵 A 的一个 k 阶子式．
k k C C 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 m n
与矩阵的秩有关的结论
与矩阵的秩有关的结论矩阵的秩是矩阵理论中的一个重要的概念，它可以帮助我们了解矩阵的性质和特征，为矩阵的计算和应用提供了有力的工具。
在本文中，我们将介绍与矩阵的秩有关的一些重要结论和定理。
1.矩阵秩的定义矩阵的秩，也称为矩阵的秩数，是指矩阵中非零元素所在的行和列向量的最大线性无关组数。
其他的行和列向量都可以由这些线性无关组线性组合而成。
例如，在一个2行3列的矩阵中，如果其中有两行向量是线性相关的，那么它们中必然会有一行是另一行的倍数，因此这两行向量中只能算作一个线性无关组，矩阵的秩就是1。
如果这两行向量是线性无关的，那么它们就可以算作两个线性无关组，矩阵的秩则是2。
2.矩阵秩的性质矩阵秩具有以下性质：(1)矩阵的秩不会超过它的行数和列数的最小值，即rank(A) ≤ min(m, n)。
(2)矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相同，即rank(A) = rank(AT)。
(3)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C左右拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和减去它们的公共部分的秩，即rank(A) ≥ rank(B) + rank(C) - rank(B ∩ C)。
(4)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C上下拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和，即rank(A) ≥ rank(B) +rank(C)。
(5)对于任意矩阵A、B和C，如果满足A = BC，那么rank(B) + rank(C) - rank(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数。
这些性质可以帮助我们更加深入地理解矩阵秩的本质和特点，并且提供了在矩阵计算和应用中进行推导和判断的依据。
3.矩阵秩与矩阵求逆多实际应用中的问题。
矩阵是否有逆，以及如何求出矩阵的逆，与矩阵的秩有密切的关系。
对于一个n阶可逆矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的秩必然是n，因为n阶可逆矩阵的秩就是n。
另外，我们还可以通过计算矩阵的伴随矩阵来求出矩阵的逆，公式为A^-1 = adj(A) / det(A)，其中adj(A)是矩阵A的伴随矩阵，det(A)是矩阵A的行列式。
矩阵和逆矩阵的关系公式
矩阵和逆矩阵的关系公式摘要：一、矩阵和逆矩阵的定义1.矩阵的定义2.逆矩阵的定义二、矩阵和逆矩阵的关系1.逆矩阵的求解方法2.矩阵和逆矩阵的关系公式三、矩阵和逆矩阵的应用1.矩阵的逆在数学中的应用2.矩阵的逆在实际生活中的应用正文：矩阵和逆矩阵的关系公式是数学中一个重要的概念。
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列，通常用于表示线性方程组。
而逆矩阵是矩阵的逆，即满足矩阵乘积为单位矩阵的矩阵。
矩阵和逆矩阵的关系公式可以用行列式表示。
矩阵的定义是一个由m x n 个数值排列成的矩形阵列，通常用A = [a11, a12, ..., an1; a21, a22, ..., an2; ...; am1, am2, ..., anm] 表示。
其中，aij 表示矩阵A 中第i 行第j 列的元素。
逆矩阵的定义是满足矩阵乘积为单位矩阵的矩阵，即A * A^-1 = I，其中A 是m x n 的矩阵，A^-1 是A 的逆矩阵，I 是m x n 的单位矩阵。
矩阵和逆矩阵的关系公式可以用行列式表示。
设A 是m x n 的矩阵，A^-1 是A 的逆矩阵，则A * A^-1 = I，即|A * A^-1| = |I|，其中|A * A^-1| 和|I| 分别表示矩阵A 和I 的行列式。
矩阵和逆矩阵的关系在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在数学中，矩阵和逆矩阵被用于解决线性方程组、矩阵的行列式、矩阵的秩等问题。
在实际生活中，矩阵和逆矩阵被用于图像处理、机器学习、控制系统等领域。
例如，在图像处理中，矩阵和逆矩阵可以被用于图像的旋转、缩放、翻转等操作。
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一、逆矩阵公式 定义22(非奇异矩阵)
对于n阶矩阵A 若行列式|A|=0 则称A是奇异的否则称A为非奇异的
定义23（伴随矩阵）
Aij为A的元素aij的代数余子式，
A11
A
=
A12
A1n
A21
A22
An1
An
2
，则称A为A的伴随
矩阵.
A2n Ann
首页
1 2 3 1
3 1 2 4
1 2 1 3
1532 1000
3 7 7 7
1 4 4 4
7772 1000
3 7 0 0
1 4 0 0
7002
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有两个非零行 故r(A)=2
下页
例4 设B为n阶非奇异矩阵 A为mn矩阵 试证 A与B之积的秩等于A的秩 即 r(AB)=r(A) （P60/2.18）
又如 B =100
102 r(B)=2
C =100
1 1 0
100
r(C)=3
上述矩阵都是满秩矩阵
下页
定理27 矩阵经初等变换后 其秩不变
例 1
求矩阵
A=
11 13
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
的秩
解
A = 1113
0 2 1 4
0 0 0 5
1141 1000
0 2 1 4
0 0 0 5
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明: ()
因为AA = A E，当 A 0时，有A( A ) = E， A
又因为A A = A E，当 A 0时，有( A ) A = E， A
所以A( A )
=
A ( )A
=
E，所以A1
=
1
A
AA
A
A11
A1 =
1 A
A，其中A
=
A 12
得 2 阶子式10
3 2
首页
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结束
铃
定义25(矩阵的秩) 设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即存在r阶子式不为零 而任何
r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A的秩 记作秩(A)=r或r(A)=r 当A=O时 规定r(A)=0
矩阵的秩的简单性质 (1)r(A)=r(AT) (2)对于mn矩阵A 有0r(A)min(m, n) 当r(A)=min(m, n)时 称矩阵A为满秩矩阵
下页
定义212(矩阵的秩) 设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即存在r阶子式不为零 而任何
r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A的秩 记作秩(A)=r或r(A)=r 当A=O时 规定r(A)=0
例如
已知 A=100
2 1 0
3 0 1
100
1 因为0
0
2 1 0
3 0 =10 1
所以 r(A)=3
2
2
= ( 3)3 A = 27
2
8
二、矩阵的秩
定义24(k阶子式) 设A是mn矩阵 从A中任取k行k列(kmin(m, n)) 位于这些行和列的交叉处的元素
保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式 称为矩阵A的一个k阶子式
例如
已知
A=
2 4 2
1 1 0
2 3 1
523
选定第一三两行及第二四两列
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结束
铃
定理2.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,则
AA* = A*A = A E
证明
因为
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
A11 A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
=|A00|
0 | A| 0
0 1 2
105
的逆矩阵
解解
因为| A|=
1 2
0 1
1 0
=20
所以A可逆
3 2 5
又因为
所以
A*
=A*AAA=111231
AA1121 AA2131 AA1222 AA2232 AA1323 AA2333
AAA333=2311=750222222222211
A1
=
|
1 A|
A*
=
1 2
5 10 7
证 因为B非奇异 故可表示成若干初等矩阵P1 P2 Ps之积
B=P1P2 Ps
于是
AB=AP1P2 Ps
这表示AB是A经s次初等变换后得出的
因而r(AB)=r(A)
---------作为定理来用 结束
几个常用性质：P60
(5) max{r( A),r(B)} r( A, B) r( A) r(B) (6) r( A B) r( A) r(B) (7) r( AB) min{r( A),r(B)} (8) 若AB = 0,则r( A) r(B) n
1102
1000
0 1 0 0
0 0 5 0
1041
由定理25知 A的秩等于经初等变换后所求出的最后一矩阵的秩 而最后一矩阵的 秩显然等于3 故r(A)=3
思考 A的秩与最后一个阶梯形矩阵的非零行有什么关系？
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阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
例 2
求矩阵 A=112
1 3 1
1 3 2
122
的秩
解
2 2 2
121
=
5/ 2 5
7/2
1 1 1
111//22
下页
例2 设A为三阶矩阵, A = 1 ,求 (2A)1 2A
解:
A = 1 0知
A 可逆,且 A1 =
1 A ,所以
A
A = A A1 = A1
又 (2 A)1 = 1 A1, A1 = 1 = 1 ,于是
2
A
(2A)1 2A = 1 A1 2 A1 = 3 A1
|A00|=| AA|IE
AAAAAA111111n21n21
AA2211 AA2222 AA22nn
AAAAAAnnnnnn12n12naaaaaa12n12n111111
aa1122 aa2222 aann22
aaaaaa1n21n2nnnnnn==||A00A00||
00 ||AA|| 00
||A00A00||==|=|AA|A|II
E
定理2.6 n阶方阵A可逆当且仅当 A 0
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明：
() A可逆，则有A1，使AA1 = E 两边取行列式，得AA1 = A A1 = 1 因此，A 0
定理2.6 n阶方阵A可逆当且仅当 A 0
A=112
1 3 1
1 3 2
122 100
1 1 51 21
212
100
1 50
1 5 3
122
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有三个非零行 故r(A)=3
下页
阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
例 3
求矩阵 A=1132
3 1 2 4
1 2 1 3
32
1 5
的秩
解
A=
A 1n
其中A为A的伴随矩阵，
A21 A
22
An1
A n2
A 2n
A nn
A 为行列式 A中元素a 的代数余子式.
ij
ij
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
特
别地，
对
二
阶
方
阵A
=
a c
b d
当 A = ad bc 0时，有A1 =
1 A
A
=
ad
1
bc
d c
ab
例 1
求矩阵
A
=
1 2 3