人教版九年级上册数学 旋转几何综合单元测试卷附答案
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试题(附答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、单选题1．如图，在ABC ∆中，90,4,3C AC BC ︒∠===,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转,使点C 落在线段AB 上的点E 处,点B 落在点D 处，则,B D 两点间的距离为( )A B ．C ．3 D 2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，线段BC 绕点B 逆时针旋转α°(0＜α＜180)得到线段BD ，过点A 作AE ⊥射线CD 于点E ，则∠CAE 的度数是( )A ．90﹣αB ．αC ．902α- D ．2α3．下列图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．直角坐标系中，点()2,3-与()2,3-关于( )A ．原点中心对称B ．Y 轴轴对称C ．X 轴轴对称D ．以上都不对5．如果点()A 3,a -是点()B 3,4-关于原点的对称点，则a 的值是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．无法确定6．平面直角坐标系中，线段OA 的两个端点的坐标分别为O (0，0)，A (－3，5)，将线段OA 绕点O 旋转180°到O 'A 的位置，则点'A 的坐标为( )A ．(3，－5)B ．(3，5)C ．(5，－3)D ．(－5，－3)7．如图，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B 刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA 等于( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°8．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于点O 成中心对称，则下列结论不成立的是( )A ．点A 与点A ′是对称点B ．BO ＝B ′OC ．AB ∥A ′B ′D ．∠ACB ＝∠C ′A ′B ′9．己知点(A ，将点A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为1A ，将点1A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为2A ，依此作法继续下去，则点2012A 的坐标是( )A ．(-B ．(1,C ．(1,--D ．()2,0-10．已知点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，那么a 的值的是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．不能确定11．下列图形中，旋转60后可以和原图形重合的是 ( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形12．如图，△ABC 中，∠A =90∘，∠C =30∘，BC =12cm ，把△ABC 绕着它的斜边中点P 逆时针旋转90∘至△DEF 的位置，DF 交BC 于点H ．△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为( )cm 2．A ．8B ．9C ．10D ．12二、填空题 13．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过12分钟旋转了________． 14．如图所示的四个两两相联的等圆，是我国“一汽”生产的大众汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看做是左边的圆环经过________ 得到的．15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合．已知8AB AC cm ==，将MED 绕点()A M 逆时针旋转60后(图2)，两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是________2cm (结果精确到0.1 1.73≈)．16．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是第1个图案经过平移而得，那么第2017个图案中有白色六边形地面砖________块．三、解答题17．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE于F，连接BD，若BC＝2EF，试证明△BED是等腰三角形．18．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说:花坛应该有圆有方;老李说:花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看(将你设计的方案画在下面的矩形方框中)．19．如图1所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图1一样的图案:(1)请你在图2中作出变换后的图案(最终图案用实线表示);(2)你所用的变换方法是________(在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述)．①将菱形B 向上平移;②将菱形B 绕点O 旋转120;③将菱形B 绕点O 旋转180．20．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，将ADC 绕点A 逆时针旋转90后得到''AD C ，若32ACB ∠=，2BC =，求'C AD ∠的度数及'AD 的长．21．()1如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC 向绕点C 逆时针旋转90，得到A B C '''，请你画出A B C '''(不要求写画法)．() 2如图2，已知点O 和ABC ，试画出与ABC 关于点O 成中心对称的图形．22．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．()1建立直角坐标系，使点B的坐标为()2,2-，则点A的坐标为________;-，点C的坐标为()5,2()2画出ABC绕点P顺时针旋转90后的111A的坐标为________．A B C并写出点123．如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证:△ABC 是等腰三角形.24．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，A1B 交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．(1)如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论;(2)如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．参考答案一、单选题1．如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为( )AB ．C ． D【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB ，再在Rt △BDE 中，求出BD 即可;【详解】解:∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，∴AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt △DBE 中，故选A.【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．ABC ∆90,4,3C AC BC ︒∠===ABC ∆A C AB E B D ,B D 3=2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，线段BC 绕点B 逆时针旋转α°(0＜α＜180)得到线段BD ，过点A 作AE ⊥射线CD 于点E ，则∠CAE 的度数是( )A ．90﹣αB ．αC ．D ． 【答案】C【解析】【分析】 先利用旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到然后利用互余表示出，从而利用互余可得到的度数. 【详解】线段绕点逆时针旋转()得到线段，，，，， ，， ，.故选:. 902α-2αCBD α∠=BC BD =1902BCD α∠=︒-ACE ∠CAE ∠BC B α︒0180α<<BD ∴CBD α∠=BC BD =∴BCD BDC ∠=∠∴()111809022BCD αα∠=︒-=︒-90ACB ∠=︒∴1190909022ACE BCD αα⎛⎫∠=︒-∠=︒-︒-=⎪⎝⎭AE CE ⊥∴190902CAE ACE α∠=︒-∠=︒-C【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等.3．下列图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】A ．是中心对称图形．故本选项正确;B ．不是中心对称图形．故本选项错误;C ．不是中心对称图形．故本选项错误;D ．不是中心对称图形．故本选项错误．故选A ．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．直角坐标系中，点与关于( )A ．原点中心对称B ．Y 轴轴对称C ．X 轴轴对称D ．以上都不对【答案】A【解析】【分析】观察点A 与点B 的坐标，依据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可得答案．【详解】 ()2,3-()2,3-根据题意，易得点(-2，3)与(2，-3)的纵横坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称．故选:A ．【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，注意掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数5．如果点是点关于原点的对称点，则的值是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．无法确定 【答案】B【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x ，y)关于原点O 的对称点是P′(-x ，-y)，求出即可．【详解】∵点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，∴a=4．故选:B ．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，熟练掌握相关性质是解题关键．6．平面直角坐标系中，线段OA 的两个端点的坐标分别为O (0，0)，A (－3，5)，将线段OA 绕点O 旋转180°到O 的位置，则点的坐标为( )A ．(3，－5)B ．(3，5)C ．(5，－3)D ．(－5，－3) 【答案】A【解析】试题分析:∵线段OA 绕原点O 顺时针旋转180°，得到OA ′，∴点A 与点A ′关于原点对称， ()A 3,a -()B 3,4-a 'A 'A而点A的坐标为(－3，5)，∴点A′的坐标为(3，－5)．故选A．7．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于()A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】C【解析】【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°.【详解】解:∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故选C．【点评】此题考查旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，解题关键根据已知得出∠ACA′=40°．8．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是()A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′【答案】D【解析】【分析】根据中心对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】观察图形可知，A、点A与点A′是对称点，故本选项正确;B、BO＝B′O，故本选项正确;C、AB∥A′B′，故本选项正确;D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了中心对称，熟悉中心对称的性质是解题的关键．9．己知点，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环,求出点的坐标与点坐标相同,进而可得出答案.【详解】解:将点A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为A ,将点A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为A ,依此作法继续下去,得出每旋转=6次坐标一循环,得出20126=335余2,即点A 的坐标与点A 坐标相同,即可得出点A 与点A 关于x 轴对称,A 点坐标为所以B 选项是正确的.【点评】此题主要考查了坐标与图形的旋转与规律问题,解答此题的关键是明确图形旋转的变化规律每旋转6次坐标一循环.10．已知点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，那么a 的值的是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】(A A O 601A 1A O 602A 2012A (-(1,(1,-()2,0-2012A 2A o 11o 2∴36060÷201222∴2平面直角坐标系中任意一点P(x ，y)，关于原点的对称点是(-x ，-y)，由此即可解答.【详解】∵点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，∴a=4．故选B.【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，熟记平面直角坐标系中任意一点P(x ，y)，关于原点的对称点是(-x ，-y)是解题的关键．11．下列图形中，旋转后可以和原图形重合的是 ( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D【解析】【分析】根据旋转对称图形性质求出各图的中心角，度数若为60°，即为正确答案.【详解】 A:正三角形旋转的最小角为:，故选项错误; B:正方形旋转的最小角为:，故选项错误; C:正五边形旋转的最小角为:，故选项错误; D:正六边形旋转的最小角为:，故选项正确. 所以答案为D 选项.【点评】本题主要考查了旋转对称图形，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，△ABC 中，∠A =90∘，∠C =30∘，BC =12cm ，把△ABC 绕着它的斜边中点P 逆时针旋转90∘至△DEF 603601203︒=︒360904︒=︒360725︒=︒360606︒=︒的位置，DF交BC于点H．△ABC与△DEF重叠部分的面积为()cm2．A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】【分析】BC=6，再根据旋转的性质得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，如图，由点P为斜边BC的中点得到PC=12PF=2√3;在Rt△CPM中计算出根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△PFH中计算出PH=√33PC=2√3，且∠PMC=60°，则∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF-PM=6-2√3，则在PM=√33Rt△FMN中可计算出MN=1FM=3-√3，FN=√3MN=3√3-3，然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF2重叠部分的面积=S△FPH-S△FMN进行计算即可．【详解】解:如图，∵点P为斜边BC的中点，BC=6，∴PB=PC=12∵△ABC 绕着它的斜边中点P 逆时针旋转90°至△DEF 的位置，∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，在Rt △PFH 中，∵∠F=30°，∴PH=√33PF=√33×6=2√3， 在Rt △CPM 中，∵∠C=30°，∴PM=√33PC=√33×6=2√3，∠PMC=60°， ∴∠FMN=∠PMC=60°，∴∠FNM=90°，而FM=PF-PM=6-2√3，在Rt △FMN 中，∵∠F=30°，∴MN=12FM=3-√3， ∴FN=√3MN=3√3-3，∴△ABC 与△DEF 重叠部分的面积=S △FPH -S △FMN=12×6×2√3-12(3-√3)(3√3-3)=9(cm 2)．故选B ．【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．二、填空题13．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过分钟旋转了________． 12【答案】【解析】【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求20分钟分针旋转的度数．【详解】∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为:360÷60=6°，那么20分钟，分针旋转了12×6°=72°．故答案为:72°．【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系:分针每转动1°时针转动()°;两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．14．如图所示的四个两两相联的等圆，是我国“一汽”生产的大众汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看做是左边的圆环经过________ 得到的．【答案】平移【解析】【分析】观察本题中图案的特点,根据平移的定义作答.【详解】解:观察“一汽”生产的大众汽车的车牌标志,可知右边的三个圆环可以看做是左边的圆环经过平移得到的.【点评】考查图形的四种变换方式:对称、平移、旋转、位似.对称有轴对称和中心对称,轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折,直线两旁的图形能够完全重合;中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180后与另一个图形完全重合,它是旋转变换的一种特殊情况;平移是将一个图形沿某一直线方向移动,得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同;旋转是指将一个图形绕72112着一点转动一个角度的变换;位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点.观察时要紧扣图形变换特点,认真判断.15．将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后(图)，两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是________(结果精确到)．【答案】【解析】【分析】设BC,AD 交于点G,过交点G 作GFLAC 与AC 交于点F,根据AC=8,就可求出GF 的长,从而求解.【详解】解:如图设BC 、AD 交于点G,过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F,设FC=x,则GF=FC=x,旋转角为60,即可得∠FAG=60，AF=GFcot ∠FAG=x. 所以则x=1AC MD 8AB AC cm ==MED ()A M 6022cm 0.1 1.73≈20.3o o ∴3所以=8(.故答案为:20.3.【点评】本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:1定点-旋转中心;2旋转方向;3旋转角度.16．如图所示，第个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第个，第个图案可以看成是第个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖________块．【答案】8070【解析】【分析】根据图形规律可得第n个图形的白色六边形地砖的数量为2+4n，然后将2017代入求解即可.【详解】解:第1个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4=6块;第2个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4×2=10块;第3个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4×3=14块;······第n个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4n块;则第个图案中有白色六边形地面砖为2+4×2017=8070块.故答案为:8070.【点评】本题【点评】图形规律题.SAGC12⨯⨯2123120172017三、解答题17．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，连接BD ，若BC ＝2EF ，试证明△BED 是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，即可证得是的垂直平分线，据此即可证得.【详解】证明:∵将Rt △ABC 绕直角顶点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，∴DE ＝BC ，∠ADF ＝∠ABC ，∵BC ＝2EF ，∴DF ＝EF ，∴DE ＝2EF ，∵在直角△ABC 中，∠ABC+∠ACB ＝90°，又∵∠ABC ＝∠ADE ，∴∠ACB+∠ADE ＝90°．∵∠FCD ＝∠ACB ，∴∠FCD+∠ADE ＝90°，∴∠CFD ＝90°，BF DE∴BF⊥DE，∵EF＝FD，∴BF垂直平分DE，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.18．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说:花坛应该有圆有方;老李说:花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看(将你设计的方案画在下面的矩形方框中)．【答案】见解析【解析】【分析】根据题目要求画出图形, 注意花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案.【详解】如图所示:【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称图形定义, 利用中心对称图形的性质设计是解题关键.19．如图所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图中，把，，三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图一样的图案:(1)请你在图中作出变换后的图案(最终图案用实线表示);(2)你所用的变换方法是________(在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述)．①将菱形向上平移;②将菱形绕点旋转;③将菱形绕点旋转．【答案】(1)详见解析;(2)③．【解析】【分析】首先分析①②的不同,变化前后,A 、C 的位置不变,只有B 的位置由O 的下方变为0的上方,据此即可作出判断.【详解】解:(1)观察分析②的不同,变化前后,A 、C 的位置不变,而B 的位置由由O 的下方变为O 的上方,进而可得两者对应点的连线交于点O,即进行了中心对称变化,变换方法是将菱形B 绕点O 旋转180,可作图得:(2)变换方法是将菱形B 绕点O 旋转180°,即③.故答案为:③.【点评】本题考查几何变化的运用与作图，注意观察时要紧扣图形变换特点，认真判断其几何变化类型.12A B C 12B B O 120B O 18020．如图，四边形是平行四边形，是对角线，将绕点逆时针旋转后得到，若，，求的度数及的长．【答案】，.【解析】【分析】先由平行四边形的性质求出∠DAC ，再由旋转的性质求出结论．【详解】在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠DAC =∠ACB =32°，由旋转的性质得∠C 'AD =90°﹣∠DAC =58°，∴AD '=AD =BC =2．【点评】本题是旋转的性质，主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，解答本题的关键是用旋转的性质得到对应边相等，对应角线段．21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位．将向绕点逆时针旋转，得到，请你画出(不要求写画法)．如图，已知点和，试画出与关于点成中心对称的图形．【答案】详见解析.【解析】【分析】(1)根据旋转的性质得出旋转后A ，B 两点对应坐标，即可得出答案;ABCD AC ADC A 90''AD C 32ACB ∠=2BC ='C AD ∠'AD 58C AD ∠='2AD '=()111ABC C 90A B C '''A B C '''() 22O ABC ABCO(2)根据中心对称图形的性质，连接AO ，BO ，CO ，并延长，使OA ″=OA ，C ″O =CO ，B ″O =BO ，再连接A ″B ″，B ″C ″，A ″C ″即可．【详解】(1)(2)如图所示:【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质以及中心对称图形的性质，根据已知得出对应点的位置是解题的关键．22．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．建立直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________; 画出绕点顺时针旋转后的并写出点的坐标为________．【答案】 ．【解析】【分析】1ABC ()1B ()5,2-C ()2,2-A ()2ABC P 90111A B C 1A ()4,4-()1,5(1)根据点B、C的坐标作出直角坐标系，然后写出点A的坐标;(2)分别作出点A、B、C绕点P顺时针旋转90°后的点，然后顺次连接，写出点A1的坐标．【详解】(1)坐标系如图所示:点A坐标为(-4，4);(2)所作图形如图所示:点A1的坐标为(1，5)．故答案为(-4，4);(1，5)．【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据坐标系的性质作出直角坐标系，根据网格结构作出对应点的坐标．23．如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证:△ABC 是等腰三角形.【答案】见解析【解析】【分析】由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形．【详解】证明:由旋转知∠D=∠B，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠D，AC∥DE，∴∠ACB=∠E，又∵∠A=∠E，∴∠ACB=∠A，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，对于旋转的性质用到最多的是:旋转前、后的图形全等．24．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，A1B 交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．(1)如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论;(2)如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．【答案】(1)BE=DF;(2)四边形BC1DA是菱形．【解析】【分析】(1)由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF(2)根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．【详解】(1)解:BE=DF．理由如下:∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，在△ABE和△C1BF中，∴△ABE≌△C1BF，∴BE=BF(2)解:四边形BC1DA是菱形．理由如下:∵AB=BC=2，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠A1=∠C1=30°，∵∠ABA1=∠CBC1=30°，∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB=BC1，∴四边形BC1DA是菱形【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．。
人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》单元测试题(含答案)
人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》单元测试题（含答案）一、单选题1．如图已知在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 和AC 于点E 、F ，给出以下五个结论正确的个数有（ ） ①AE CF =；②APE CPF ∠=∠；③BEP ∆≌AFP ∆；④EPF ∆是等腰直角三角形；⑤当EPF ∠在ABC ∆内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），12ABC AEPF S S ∆=四边形.A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，点A ，B ，C ，D ，O 都在方格纸的格点上，若△COD 可以由△AOB 旋转得到，则合理的旋转方式为( )A ．绕点O 顺时针旋转90°B ．绕点D 逆时针旋转60°C ．绕点O 逆时针旋转90°D ．绕点B 逆时针旋转135°3．在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰三角形D ．正多边形5．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．A．0B．1C．2D．36．6．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃围成的，图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（）．A．顺时针旋转60︒得到B．顺时针旋转120︒得到C．逆时针旋转60︒得到D．逆时针旋转120︒得到7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．9．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第II 卷（非选择题）二、填空题11．如图，在ABCD 中，AD=3，AB=5，4sin 5A =，将ABCD 绕着点B 顺时针旋转()090θθ︒<<︒后，点A 的对应是点'A ，联结'AC ，如果'A C BC ⊥，那么cos θ的值是______．12．已知两点P(1，1)、Q(1，－1)，若点Q 固定，点P 绕点Q 旋转使线段PQ∥x 轴，则此时的点P 的坐标是_________________________；13．如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(10)，，以1OA 为直角边作12Rt OA A ∆，并使1260A OA ∠︒＝，再以2OA 为直角边作23Rt OA A ∆，并使2360A OA ∠︒＝，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ∆，并使3460A OA ∠︒＝…按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为_______．14．在平面直角坐标系中，将函数y ＝2x 2＋2的图象绕坐标原点0顺时针旋转45°后，得到新曲线l.(1)如图①，已知点A(-1，a)，B(b ，10)在函数y ＝2x 2＋2的图象上，若A’、B’是A 、B 旋转后的对应点，连结OA’，OB’，则S △OA’B’=____.(2)如图②，曲线与直线322y =相交于点M 、N ，则S △OMN 为_________.15．如图，在△ABC 中，∠ABC=112°，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转一定的角度后得到△DBE （点A 与点D 对应），当A 、B 、E 三点在同一直线上时，可得∠DBC 的度数为_______.16．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD = ，10DM =.（1）在旋转过程中，当A D M ，，为同一直角三角形的顶点时，AM 的长为______________.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D 处，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ∠=︒，260CD =，2BD 的长为______________.17．如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，AB=4cm ，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 ___________．18．如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为______．三、解答题19．已知正方形ABCD ，点P 是其内部一点.（1）如图1，点P 在边AD 的垂直平分线l 上，将DAP ∆绕点D 逆时针旋转，得到11DA P ∆，当点1P 落在DC 上时，恰好点1A 落在直线l 上，求ADP 的度数；（2）如图2，点P 在对角线AC 上，连接PB ，若将线段BP 绕点P 逆时针旋转90︒后得到线段1B P ，试问点1B 是否在直线CD 上，请给出结论，并说明理由；（3）如图3，若135APB ∠=︒，设PA a =，PD b =，PC c =，请写出a 、b 、c 这三条线段长之间满足的数量关系是____________.20．（1）问题发现如图①，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上，请直接写出线段BE 与线段CD 的数量关系： ；（2）操作探究如图②，将图①中的△ABC 绕点A 顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜360），请判断线段BE 与线段CD 的数量关系，并说明理由．21．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 绕着点A 顺时旋转90°得到△ABE ，若AF ＝4，AB ＝7．（1）求DE 的长度；（2）指出BE 与DF 的关系如何？并说明由．22．如图，已知：如图点()4,0A ，点B 在y 轴正半轴上，且5AB =，将线段BA 绕点A 沿顺时针旋转90，设点B 旋转后的对应点是点1B ，求点1B 的坐标．23．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE =AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．24．如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、M 、N 都在格点上．（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A′B′C′．（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．25．（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90º，得到△A′P′B，延长A′P′交AP 于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．26．下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心．27．已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．（1）试猜想AE与BD有何关系？并且直接写出答案．（2）若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABDE的面积；（3）请给△ABC 添加条件，使旋转得到的四边形ABDE 为矩形，并说明理由参考答案1．D2．C3．A4．B5．B6．D7．B8．D9．C10．B11．72512．（－1，－1）或（3，－1）13．()201720172,23- 14．99415．44° 16．202或1010； 306．17．42【详解】 解： AC 与BA′相交于D ，如图，∵△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，∴∠ABA′=45°，BA′BA=4，△ABC ≌△A′BC′，∴S △ABC =S △A′BC′，∵S 四边形AA′C′B =S △ABC +S 阴影部分=S △A′BC′+S △ABA′，∴S 阴影部分=S △ABA′，∵∠BAC=45°，∴△ADB 为等腰直角三角形，∴∠ADB=90°，AD=222， ∴S △ABA′=12AD•BA′=12×2×2（cm 2）， ∴S 阴影部分2cm 2．故答案为：42．18．1.6【详解】由旋转的性质可得：AD=AB ，∵∠B=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=AB ，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．故答案为1.6．19．（1）30；（2）点1B 在直线CD 上，理由见解析；（3）222320a b c -+= 连接1AA ，∵点1A 在边AD 的垂直平分线l 上，∴11AA DA =.又∵AD DA =，∴1AA D ∆是等边三角形，∴160ADA ∠=︒，∴1160PDP ADA ∠=∠=︒，∴19030ADP PDP ∠=︒-∠=︒.（2）点1B 在直线CD 上.证明如下：作PQ PB ⊥交CD 于点Q ，过点P 作//EF AD 交AB 于点E 交CD 于点F . ∴90BPQ BEP PFQ ∠=∠=∠=︒，∴90EBP EPB PQF FPQ ∠+∠=∠+∠=，90EPB FPQ ∠+∠=∴=EBP FPQ ∠∠又∵P 在正方形对角线AC 上，∴∠EAP=∠APE=45°∴AE EP =，∵AE EB EP PE +=+，∴BE FP =，∴()BEP PFQ ASA ∆≅∆，∴1BP PQ B P ==.即将线段BP 绕点P 8逆时针旋转90︒后得到线段1B P ，点1B 在直线CD 上.（3）如图，将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°得到△AMD，由题意可知：∠APB=∠AAMD=135°，DM=BP,AP=AM=a ，∠PAM=90°∴∠AMP=45°∴∠PMD=90°∴在Rt△APM 中，22222PM AM AP a =+=在Rt△PMD 中，222PM DM PD +=∴2222DM b a =-将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BNC，同理可证在Rt△PNC 中，22222PN PC NC c a =-=-在Rt△BPN 中，222PN BP BN =+ ∴2222==22PN c a BP - 所以可得：2222-2=2c a b a - 整理得：222320a b c -+=.20．（1）BE=CD ；（2）BE=CD ；证明见解析.【详解】解：（1）BE=CD ，理由如下；∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴AB=AC ，AE=AD ，∴AE ﹣AB=AD ﹣AC ，∴BE=CD ；故答案为：BE=CD ．（2）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC ，AE=AD ，由旋转的性质得，∠BAE=∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，，∴△BAE ≌△CAD （SAS ）∴BE=CD ．21．（1）3；（2）BE ＝DF ，BE ⊥DF ．【详解】解：（1）∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE ，∴AE ＝AF ＝4，AD ＝AB ＝7，∴DE ＝AD ﹣AE ＝7﹣4＝3；（2）BE 、DF 的关系为：BE ＝DF ，BE ⊥DF ．理由如下：∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE ，∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ，∠ABE ＝∠ADF ，∵∠ADF +∠F ＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE +∠F ＝90°， ∴BE ⊥DF ，∴BE 、DF 的关系为：BE ＝DF ，BE ⊥DF ．22．1B 点的坐标为()7,4．【详解】解：如图，作1B C x ⊥轴于C ，∵4OA =，5AB =，∴22543OB -=，∵线段BA 绕点A 沿逆时针旋转90得1A B ，∴1BA A B =，且190BA B ∠=，∴190BAO B AC ∠+∠=而90BAO ABO ∠+∠=，∴1ABO B AC ∠=∠，在ABO 和1B AC 中111AOB B CA ABO B AC AB B A ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴1ABO B AC ≅，∴3AC OB ==，14B C OA ==，∴7OC OA AC =+=，∴1B 点的坐标为()7,4．23．（1）证明见解析；（2）DE=AD-BE试题解析：证明：（1）∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中CDA BEC DAC ECB AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∵DC+CE=DE ，∴AD+BE=DE ．（2）DE=AD-BE ，理由：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，ACD CBEADC BECAC BC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．24．（1）见解析；（2）3．【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）△ABC的面积=12×3×2=3．25．（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）四边形BPEP′是正方形，理由见解析.【详解】（1）AM⊥BN证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN∴∠BAM=∠CBN∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°∴AM⊥BN．（2）四边形BPEP′是正方形.△A′P′B是△APB绕着点B逆时针旋转90º所得，∴BP= BP′,∠P′BP=90º.又由（1）结论可知∠APB=∠A′P′B=90°，∴∠BP′E=90°.所以四边形BPEP′是矩形.又因为BP= BP′,所以四边形BPEP′是正方形.26．图形1，图形3，图形4，图形5，图形8为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O．【详解】这些图形中：图形1，图形3，图形4，图形5，图形8为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O．27．（1）AE∥BD，且AE=BD．（2）16；（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．【解析】试题分析：（1）易证四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，即可得到平行四边形的面积是△ABC的面积的四倍，据此即可求解；（3）四边形ABDE是平行四边形，只要有条件：对角线相等即可得到四边形ABDE是矩形．试题解析：（1）AE∥BD，且AE=BD；（2）四边形ABDE的面积是：4×4=16；（3）AC=BC．理由是：∵AC=CD，BC=CE，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AC=BC，∴平行四边形ABDE是矩形．考点：1．旋转的性质；2．矩形的判定。
人教版九年级上册数学《旋转》单元综合测试卷(带答案)
7.正方形 中的顶点 在平面坐标系中的坐标为 ，若将正方形 绕着原点 按逆时针旋转 ．则旋转后的点 坐标为()
A.(-1, 1)B.(1, -1)C.(0, - )D.(- , 0)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转中心为原点，旋转方向逆时针，旋转角度135°，作出点A的对称图形A′，求得OA的长度，也就求得了OA′的长度，可得所求点的坐标．
26.如图 ， 中， ， ， ， ，将 绕着点 旋转一定的角度，得到 .
(1)若点 为 边上中点，连接 ，则线段 的范围为________.
(2)如图 ，当 直角顶点 在 边上时，延长 ，交 边于点 ，请问线段 、 、 具有怎样的数量关系，请写出探索过程．
参考答案
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
【详解】根据题意，易得点(-2，3)与(2，-3)的纵横坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称．
故选A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，注意掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
9.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是()
A. B. C. D.
∵∠AOD=90°，
∴∠BOC=90°-38°-38°=14°．
故选B．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC=∠BOD是解题关键．
5.下面关于中心对称图形的描述，正确的是()
A. 中心对称图形与中心对称是同一个概念
B. 中心对称描述的是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质
C. 一个图形绕着某一点旋转的过程中，只要能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
人教版九年级上册数学《旋转》单元综合测试(带答案)
附加题(20分，不计入总分)
26.如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
(1)试猜想线段BG和AE 数量系是_____;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)，
人教版数学九年级上学期
《旋转》单元测试
(满分120分，考试用时120分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列图形是中心对称图形的是【】
A. B. C. D.
2.观察下列图案，能通过左图顺时针旋转90°得到的()
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点M(3，－5)关于原点对称的点的坐标是()
8. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为()
A. 4，30°B. 2，60°C. 1，30°D. 3，60°
9.如图，在 中， ．将 绕点 按顺时针方向旋转 度后得到 ，此时点 在 边上，斜边 交 边于点 ，则 的大小和图中阴影部分的面积分别为()
C. 黑(3，3)，白(3，1)D. 黑(3，1)，白(3，3)
7.有两个完全重合 矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是().
A 图①B.图②C.图③D.图④
【答案】D
人教版九年级数学上册《旋转》单元测试含答案
人教版九年级数学上册《旋转》单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（）。
A、30°B、60°C、90°D、150°2、平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（）A、（3，4）B、（-3，-4 ）C、（3，-4）D、（4，-3)3、如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（）A、顺时针旋转90°B、逆时针旋转90°C、顺时针旋转45°D、逆时针旋转45°4、如下图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C ，连结AC并延长到D ，使CD＝CA ，连结BC并延长到E ，使CE＝CB ，连结DE ， A、B的距离为（）A、线段AC的长度B、线段BC的长度C、线段DE长度D、无法判断5、如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（）A、3B、1.5C、D、6、已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限7、（2016春•无锡校级月考）已知点A（1，x）和点B（y，2）关于原点对称，则一定有（）A、x=﹣2，y=﹣1B、x=2，y=﹣1C、x=﹣2，y=1D、x=2，y=18、有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A、图①B、图②C、图③D、图④9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A、70°B、80°C、60°D、50°10、如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）A、（2，1）B、（﹣2，1）C、（﹣2，﹣1）D、（2，﹣l）二、填空题（共8题；共25分）11、已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a=________ ，b=________ ．12、如图，在直角坐标系中，点Ａ在y轴上，△OAB是等腰直角三角形，斜边OA=2，将△OAB 绕点O逆时针旋转90°得△，则点的坐标为________13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=________ ．14、如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是________．15、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是________．16、如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．17、如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为________．18、有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为________．三、解答题（共5题；共35分）19、如下图所示，利用关于原点对称的点的坐标特征，作出与线段AB关于原点对称的图形．20、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．⑴画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1；⑵如果建立平面直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），求点A1的坐标；⑶将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并求线段BC扫过的面积.21、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C （1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．22、如图，将其补全，使其成为中心对称图形．23、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90゜，得到△A′B′C′，画图，并写出点A的对应点A′的坐标及B点的对应点B′的坐标．四、综合题（共1题；共10分）24、（2012•贺州）如图，△ABC的三个顶点都在格点上，每个小方格边长均为1个单位长度，建立如图坐标系．(1)请你作出△ABC关于点A成中心对称的△AB1C1（其中B的对称点是B1， C的对称点是C1），并写出点B1、C1的坐标．(2)依次连接BC1、C1B1、B1C．猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形？并说明理由．参考答案一、单选题1、【答案】 B【考点】利用旋转设计图案【解析】【解答】设每次旋转角度x°，则6x=360，解得x=60，∴每次旋转角度是60°，故选B.【分析】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，即可得到结果．2、【答案】 C【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答，故平面直角坐标系内一点P（-3，4)关于原点对称点的坐标（3，-4).【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键。
人教版九年级上册数学《旋转》单元检测含答案
C. D.
4.如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是( )
A.S△ABC＝S△A′B′C′B.AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′
C.AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′D.S△ACO＝S△A′B′O
5.如图，Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有( )
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0≤α≤180)，使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少？点C的坐标又是什么？
24.感知：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)．连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F，可知△ADF≌△EDB，则∠ABE的大小为________．
正确的有三种，
故选C.
点睛：在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）
A.（0，0）B.（1，0）C.（1，﹣1）D.（2.5，0.5）
21.如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD.
(1)求证：OC＝AD；
(2)求OC的长．
22.如图，在网格中有一个四边形图案．
（1）请你分别画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形，关于点O对称的图形以及逆时针旋转90°的图形，并将它们涂黑；
8.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，CE＝DF，AE，BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③△ABF与△DAE成中心对称．其中，正确的结论有( )
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试题含答案
故选C．
考点：1．关于原点对称的点的坐标；2．坐标与图形变化-平移．
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,△ABC绕着点B逆时针旋转90°到△A'BC'的位置,则AA'的长为（ ）
D、因为点O是六边形ABCDEF的中心，图中所有的三角形都是等边三角形，所以△ODE绕点C顺时针旋转60°得到△OBC，所以D选项错误．
故选C
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正六边形和等边三角形的性质．
5. 在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在第_____象限．
12.如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的,则线段B'C的长为______.
数.
七、(本题满分12分)
22.如图， 口ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．
（1）试说明 旋转过程中，AF与CE总保持相等；
九年级上册数学《旋转》单元检测题(含答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题(共14 小题,每小题 3 分,共42 分)1.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是( )A...B...C...D.2.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A...B...C...D.3.已知平面直角坐标系中的三个点,,,将绕点按顺时针方向旋转度,则点的对应点的坐标为( )A...B...C...D.4.在平面直角坐标系中,点绕原点顺时针旋转后得到点( )A...B...C...D.5.如图,在中,,,,由绕点顺时针旋转得到,其中点与点、点与点是对应点,连接,且、、在同一条直线上,则的长为( )A...B...C...D.6.已知点是点关于原点的对称点,则的值为( )A...B.-..C...D.±67.如图,已知与关于点成中心对称图形,则下列判断不正确的是( )A.∠ABC=∠A'B'C..B.∠BOC=∠B'A'C.. C.AB=A'B..D.OA=OA'8.在如图的正方形网格上画有两条线段. 现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有( )A.2..B.3..C.4..D.5条9.观察下列四个图案,它们分别绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图形重合,其中旋转的角度最大的是( )A...B...C...D.10.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形). 若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A.2..B.3..C.4..D.5种11.下列所给的正方体的展开图中,是中心对称图形的是图( )A.①②..B.①②..C.②③..D.①②③④12.如图,矩形的边,分别在坐标轴上,且点的坐标为,将矩形沿轴正方向平移个单位,得到矩形,再以点为旋转中心,把矩形顺时针方向旋转,得到矩形″″″″″,″,″,″,则点所经过的路线为″的长为( )A.1..B.1..C.4+5..D.4+13.如图,三个顶点的坐标分别为,,,将绕点按顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为( )A.(1, 2..B.(2, 1..C.(1, 1..D.(2, 2)14.下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到( )A...B...C...D.二、填空题(共6 小题,每小题 3 分,共18 分)15.一个图形绕某一点旋转后与另一个图形重合,则这两个图形成________,这个点叫________.16.如图,在网格中有一个四边形和两个三角形.①请你画出这三个图形关于点成中心对称的图形；②将原图和画出后的图形看成一个整体图形,它有________条对称轴；它至少旋转________度后与自身重合.17.在平面直角坐标系中,若与点关于原点对称,则点在第________象限.18.对于平面图形上的任意两点, ,如果经过某种变换(如：平移、旋转、轴对称等)得到新图形上的对应点, ,保持,我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”. 对于三种变换：①平移、②旋转、③轴对称,其中一定是“同步变换”的有________(填序号).19.在图中,是由基本图案多边形旋转而成的,它的旋转角为________.20.如图,将绕点逆时针方向旋转,得到,看点的坐标为,则点坐标为________.三、解答题(共4 小题,每小题10 分,共40 分)21.如图所示,是一块边长为的正方形瓷砖,其中瓷砖的阴影部分是半径为的扇形. 请你用这种瓷砖拼出三种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,把它们分别画在下面边长为的正方形中(要求用圆规画图).22.如图所示,每个小正方形的边长为个单位长度,作出关于原点对称的并写出、、的坐标.23.如图,已知, 绕点逆时针旋转得到,恰好在上,连接.(1) 与有何关系？并说明理由；线段与在位置上有何关系？为什么？24.如图所示的网格中,每个小方格都是边长为的小正方形,,把绕点按顺时针旋转后得到,请画出这个三角形并写出点的坐标；以点为位似中心放大,得到,使放大前后的面积之比为,请在下面网格内出.参考答案一、选择题(共14 小题,每小题 3 分,共42 分)1.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是()A...B...C...D.【答案】D【解析】试题分析: 根据图形,由规律可循. 从左到右是顺时针方向可得到第四个图形是D.故选D．考点: 生活中的旋转现象.2.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A...B...C...D.【答案】B【解析】试题分析: 根据轴对称图形和中心对称图形的定义可得选项B正确.故选B.考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形.3.已知平面直角坐标系中的三个点,,,将绕点按顺时针方向旋转度,则点的对应点的坐标为()A...B...C...D.【答案】D【解析】【分析】把△ABO绕点O按顺时针方向旋转45°,就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转45度. 点A 在第二象限的角平分线上,且OA= ,正好旋转到y轴正半轴. 则A点的对应点A1的坐标是(0, ).【详解】∵A的坐标是(-1,1),∴OA= ,且A1在y轴正半轴上,∴A1点的坐标是(0, ).【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转,解答本题要能确定A的位置,只有这样才能确定点A的对应点A1的位置,求出坐标.4.在平面直角坐标系中,点绕原点顺时针旋转后得到点()A...B...C...D.【答案】A【解析】【分析】设A( ,1),过A作AB⊥x轴于B,于是得到AB=1,OB= ,根据边角关系得到∠AOB=30°,由于点( ,1)绕原点顺时针旋转60°,于是得到∠AOA′=60°,得到∠A′OB=30°,于是结论即可求出.【详解】设A( ,1),过A作AB⊥x轴于B,则AB=1,OB= ,∴tan∠AOB= ＝= ,∴∠AOB=30°,∵点( ,1)绕原点顺时针旋转60°,∴∠AOA′=60°,∴∠A′OB=30°,∴点( ,1)绕原点顺时针旋转60°后得到点是( ,-1),故选: A.【点睛】考查了坐标与图形的变换-旋转,特殊角的三角函数,正确的画出图形是解题的关键.5.如图,在中,,,,由绕点顺时针旋转得到,其中点与点、点与点是对应点,连接,且、、在同一条直线上,则的长为()A...B...C...D.【答案】A【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°,再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2,接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2,B′C=BC=1,A′C=AC,∠A′=∠BAC=30°,∠A′B′C=∠B=60°,于是可判断△CAA′为等腰三角形,所以∠CAA′=∠A′=30°,再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°,可得B′A=B′C=1,然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算.【详解】∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×1=2,∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′,∴A′B′=AB=2,B′C=BC=1,A′C=AC,∠A′=∠BAC=30°,∠A′B′C=∠B=60°,∴△CAA′为等腰三角形,∴∠CAA′=∠A′=30°,∵A.B′、A′在同一条直线上,∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA,∴∠B′CA=60°-30°=30°,∴B′A=B′C=1,∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3.故选: A.【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等. 也考查了含30度的直角三角形三边的关系.6.已知点是点关于原点的对称点,则的值为()A...B.-..C...D.±6【答案】C【解析】【分析】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,结合题意可得ab的值,代入a+b可得答案.【详解】根据题意,有点A(a,-3)是点B(-2,b)关于原点O的对称点,则a=-(-2)=2,b=-(-3)=3,则a+b=3+2=5.【点睛】考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系.7.如图,已知与关于点成中心对称图形,则下列判断不正确的是()A.∠ABC=∠A'B'C..B.∠BOC=∠B'A'C.. C.AB=A'B..D.OA=OA'【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的定义: 把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,来求解即可.【详解】因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形,所以可得∠ABC=∠A′B′C′,AB=A′B′,OA=OA',故选: B.【点睛】考查了中心对称的定义,解题的关键是熟记中心对称的定义. 也可用三角形全等来求解.8.在如图的正方形网格上画有两条线段. 现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有( )A.2..B.3..C.4..D.5条【答案】C【解析】试题分析: 直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.解: 如图所示: 能满足条件的线段有4条.故选：C.考点: 利用轴对称设计图案.9.观察下列四个图案,它们分别绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图形重合,其中旋转的角度最大的是()A...B...C...D.【答案】A【解析】【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度,再比较即可.【详解】A选项: 最小旋转角度= =120°；B.最小旋转角度= =90°；C.最小旋转角度= =72°；D.最小旋转角度= =60°；综上可得: 旋转的角度最大的是A.故选: A.【点睛】考查了旋转对称图形中旋转角度的确定,求各图形的最小旋转角度时,关键要看各图形可以被平分成几部分,被平分成n部分,旋转的最小角度就是.10.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形). 若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A.2..B.3..C.4..D.5种【答案】C【解析】试题分析: 利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可.解: 如图所示: 组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有4种.故选：C.点评: 此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案,正确把握相关定义是解题关键.【此处有视频,请去附件查看】11.下列所给的正方体的展开图中,是中心对称图形的是图()A.①②..B.①②..C.②③..D.①②③④【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念(在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点)求解.【详解】根据中心对称图形的概念可是: ①②④是中心对称图形；而③不是中心对称图形.故选: B.【点睛】考查了中心对称图形的概念. 在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点.12.如图,矩形的边,分别在坐标轴上,且点的坐标为,将矩形沿轴正方向平移个单位,得到矩形,再以点为旋转中心,把矩形顺时针方向旋转,得到矩形″″″″″,″,″,″,则点所经过的路线为″的长为()A.1..B.1..C.4+5..D.4+【答案】D【解析】【分析】利用平移变换和弧长公式计算.【详解】此题平移规律是(x+4,y),照此规律计算可知点B平移的距离是5个单位长度.把矩形O′A′B′C′顺时针方向旋转90°,点B′走过的路程是半径为5,圆心角是90度的弧长为,所以点B所经过的路线为B⇒B′⇒B″的长为4+.故选: D.【点睛】考查图形的平移变换和弧长公式的运用. 在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同. 平移中点的变化规律是：横坐标右移加,左移减；纵坐标上移加,下移减.13.如图,三个顶点的坐标分别为,,,将绕点按顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为()A.(1, 2..B.(2, 1..C.(1, 1..D.(2, 2)【答案】B【解析】【分析】直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；【详解】∵A(-2,5),B(-5,1),C(-2,1),∴AC=4,AC∥y轴,∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,得到△DEC,∴∠DCE=∠ACB=90°,CD=AC=4,∴B,C,D三点在一条直线上,∴D(2,1),故选: B.【点睛】考查了旋转变换以及扇形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.14.下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到()A...B...C...D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质旋转变化前后,图形的相对位置不变,注意时针与分针的位置关系,分析选项.【详解】根据旋转的性质(旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等)可得: 图案①顺时针旋转90°得到B.故选B．【点睛】考查旋转的性质:旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等. 要注意旋转的三要素: ①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.二、填空题(共6 小题,每小题 3 分,共18 分)15.一个图形绕某一点旋转后与另一个图形重合,则这两个图形成________,这个点叫________.【答案.. (1).中心对.. (2).对称中心【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解.【详解】一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合,则这两个图形成中心对称,这个点叫对称中心. 故答案是: 中心对称,对称中心.【点睛】考查了中心对称图形的概念: 把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.16.如图,在网格中有一个四边形和两个三角形.①请你画出这三个图形关于点成中心对称的图形；②将原图和画出后的图形看成一个整体图形,它有________条对称轴；它至少旋转________度后与自身重合.【答案】(1)详见解析,(2)4,90【解析】【分析】(1)将图形的各顶点与点O连线并延长相同长度找对应点,然后顺次连接得中心对称图形；(2)根据轴对称的性质,找对称轴,只要连接两组对应点,作出对应点所连线段的两条垂直平分线.【详解】(1)如图所示,共有4条对称轴;(2)4条对称轴,这个整体图形至少旋转90度.故答案为: 4,90.【点睛】考查了轴对称图形和旋转变换图形的方法,注意,做这类题时,掌握旋转与轴对称的性质是解决问题的关键.17.在平面直角坐标系中,若与点关于原点对称,则点在第________象限.【答案】四【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点P的坐标,再根据各象限内点的坐标特征解答.【详解】∵P(m,n)与点Q(-2,3)关于原点对称,∴m=2,n=-3,∴点P的坐标为(2,-3),∴点P在第四象限.故答案是: 四.【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标,两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数.18.对于平面图形上的任意两点, ,如果经过某种变换(如：平移、旋转、轴对称等)得到新图形上的对应点, ,保持,我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”. 对于三种变换：①平移、②旋转、③轴对称,其中一定是“同步变换”的有________(填序号).【答案】①【解析】【分析】根据平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质,依据“同步变换”的定义判断可得.【详解】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的所有点平移的方向和距离都相等,故平移变换一定是“同步变换”；若将线段PQ绕点P旋转,则PP′=0,而QQ′≠0,故旋转变换不一定是“同步变换”；将相对于直线倾斜的线段PQ经过该直线的轴对称变换,所得PP′≠QQ′,故轴对称变换不一定是“同步变换”,故答案是: ①.【点睛】考查几何变换的类型,熟练掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质是解题的关键.19.在图中,是由基本图案多边形旋转而成的,它的旋转角为________.【答案】【解析】【分析】由于图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的,根据图形可以得到旋转形成的图形是一个正六边形,由此即可确定旋转角的度数.【详解】∵图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的,而根据图形知道旋转形成的图形是一个正六边形,∴它的旋转角是: 60°.【点睛】考查了旋转的性质,主要利用了旋转角的定义和正六边形的性质解决问题.20.如图,将绕点逆时针方向旋转,得到,看点的坐标为,则点坐标为________.【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质得OB′=OB=2,A′B′=AB=1,∠BOB′=90°,∠OB′A′=∠OBA=90°,然后利用第二象限内点的坐标特征写出点A′坐标.【详解】∵A(2,1),∴AB=1,OB=2,∵△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△A′OB′,∴OB′=OB=2,A′B′=AB=1,∠BOB′=90°,∠OB′A′=∠OBA=90°,∴点A′坐标为(-1,2).故答案是: (-1,2).【点睛】考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标. 常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.三、解答题(共4 小题,每小题10 分,共40 分)21.如图所示,是一块边长为的正方形瓷砖,其中瓷砖的阴影部分是半径为的扇形. 请你用这种瓷砖拼出三种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,把它们分别画在下面边长为的正方形中(要求用圆规画图).【答案】见解析.【解析】图形(1)既轴对称(对称轴为正方形对角线所在的直线),又中心对称(对称中心为正方形的中心),根据小正方形的对称性,将小正方形换动不同方向,得出既轴对称图形又中心对称的图形.【详解】既轴对称图形又中心对称的图形如图所示. 答案不唯一.【点睛】考查了运用旋转,轴对称方法设计图案的问题. 关键是熟悉有关图形的对称性,利用中心对称性拼图.22.如图所示,每个小正方形的边长为个单位长度,作出关于原点对称的并写出、、的坐标.【答案】见解析.【解析】【分析】根据直角坐标系中,关于原点对称的两个点的坐标特点是: 横坐标,纵坐标都互为相反数,根据点的坐标就确定原图形的顶点的对应点,进而即可作出所求图形.【详解】解: 根据图形可知: , , ,各点关于原点对称的点的坐标分别是: , , ,然后连接点再依次连接可得所求图形.【点睛】考查了关于原点对称的知识,要求学生会画图,会表示点的坐标. 关键是掌握关于原点对称的两个点的坐标特点是: 横坐标,纵坐标都互为相反数,根据点的坐标就可以画出对称图形.23.如图,已知, 绕点逆时针旋转得到,恰好在上,连接.(1) 与有何关系？并说明理由；线段与在位置上有何关系？为什么？【答案】(1)互补；(2) .【解析】(1)根据旋转的性质可得∠BAC=∠DAE=90°,然后表示出∠CAE,再根据∠BAE=∠BAC+∠CAE列式整理即可得解；(2)根据旋转的性质可得∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE,再利用等腰三角形两底角相等表示出∠B.∠ACE,然后求出∠BCE=90°,根据垂直的定义即可得解.【详解】解：与互补. 理由如下：由旋转的性质知: ,∴,∵,∴,因此与互补；线段. 理由如下:由旋转知: , , ,∴,,∴,∵,∴,∴,∴．【点睛】考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,垂直的定义,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.24.如图所示的网格中,每个小方格都是边长为的小正方形,,把绕点按顺时针旋转后得到,请画出这个三角形并写出点的坐标；以点为位似中心放大,得到,使放大前后的面积之比为,请在下面网格内出.【答案】见解析.【分析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案.【详解】如图所示: ,即为所求,点的坐标为: ；如图所示：.【点睛】考查了位似变换和旋转变换,解题关键是正确得出对应点位置.。
数学九年级上册《旋转》单元综合测试题(附答案)
【解析】
【分析】
由于A、B关于（0，﹣1）对称，则 =0, =-1.
【详解】∵点A（a，b）绕着（0，﹣1）旋转180°得到B（﹣4，1）
∴A、B关于点（0，﹣1）对称
∴ =0, =-1
∴A点坐标为（4，﹣3）.
【点睛】本题考查的是坐标的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
14.在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ（希腊字母读作”柔”），OP看作由x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角α，则用[ρ，α]表示点P的雷达坐标，则点P（﹣7，7）的雷达坐标为_____．
21.如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．
(1)旋转中心是点，旋转了度；
(2)如果AB＝7，AC＝4，求中线AD长的取值范围．
22.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，求点E与点C之间的距离．
23.如图，△A1AC1是由△ABC绕某点P按顺时针方向旋转90°得到的，△ABC的顶点坐标分A（﹣1，6），B（﹣5，0），C（﹣5，6）．
(1)求旋转中心P和点A1，C1的坐标；
(2)在所给网格中画出△A1AC1绕点P按顺时针方向旋转90°得到的图形；
(3)在所给网格中画出与△A1AC1关于点P成中心对称的图形．
24.如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得到△ACA1，将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，请回答：
【答案】[7 ，135°]
【解析】
【分析】
根据坐标确定OP的长度和x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角即可.
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试卷(含答案)
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC=1cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将△ABC旋转180∘，点B落在点D处，连接BD，那么线段BD的长为___cm.
A.4B.5C.6D.8
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 ，BC 中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（ ）
A. 4 B. 6C. 2+2 D. 8
二、填空题
11.请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．
A 内部B. 外部C. 边上D. 以上都有可能
8.如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）
A.（a﹣2，b）B.（a+2，b）C.（﹣a﹣2，﹣b）D.（a+2，﹣b）
9.如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是()
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．j求证：△BPM@△CPE；k求证：PM = PN；
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN
9.如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是()
人教版数学九年级上学期《旋转》单元综合测试带答案
九年级上册数学《旋转》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ． 2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 A ．30° B ． 90° C ．120° D ．180°3.如图，直角三角板A B C 的斜边A B ＝12 C m ，∠A ＝30°，将三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿C B 方向向左平移，使点B ′落在原三角板A B C 的斜边A B 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为( )A . 6 C mB . 4C m C . (6－23)C mD . (43－6)C m4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A ．点M B ．格点N C ．格点P D ．格点Q5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OA B C 绕点O 顺时针旋转45 后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．22,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭D ．(0,1)-6．将一副三角板顶点重合，三角板A B C 绕点A 顺时针转动的过程中，∠EA B 度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边A B ＝A E）（）A ．∠EAB ＝30° B ．∠EA B ＝45°C ．∠EA B ＝60°D ．∠EA B ＝75°7．如图，边长相等的两个正方形A B C D 和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积( )A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大8．如图，在坐标系中放置一菱形OA B C ，已知∠A B C =60°，点B 在y轴上，OA =1，先将菱形OA B C 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 019的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，3．(1345，3) D ．(1346，0)9．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，则PAB △的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．310．如图，正方形A B C D 的边长为2，点E ，F 分别在边A D ，C D 上，若∠EB F ＝45°，则△ED F 的周长等于（ ）A ．22B ．3C ．4D ．4211．如图，将一个三角板ABC ∆，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ∆，连接BE ，且2AC BC ==，90ACB ∠=︒，则线段BE =（ ）A ．62-B ．6C ．2D ．112．如图，△A B C 中，∠A =30°，∠A C B =90°，B C =2，D 是A B 上的动点，将线段C D 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段C E ，连接B E ，则B E 的最小值是（ ）A ．3-1B ．32C ．3D ．2二、填空题（每小题3分，共18分）13．一副三角板如图放置，将三角板A D E绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板A D E 的一边所在的直线与B C 垂直，则α的度数为__________．14.将边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置（如图），使得点D 落在对角线C F上，EF与A D 相交于点H，则HD ＝．（结果保留根号）15.如图，将等边△A OB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 在第一象限，将等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是．16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，将直线A B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C ，则直线B C 的函数表达式是．17．已知两个完全相同的直角三角形纸片△A B C 、△D EF ，如图1放置，点B 、D 重合，点F 在B C 上，A B 与EF 交于点G ．∠C =∠EFB =90°，∠E=∠A B C =30°，现将图1中的△A B C 绕点F 按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△A B C 恰有一边与D E 平行的时间为__________s18.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，正方形EFGH 绕点E 旋转，直线FB 与直线CH 相交于点P ，若2,75AB DBP ︒=∠=，则2DP 的值是____．三、解答题（共46分）19．（6分）△A B C 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△A B C 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△A B C 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平面直角坐标系中直线A B 上的一个动点，点N 是x 轴上的一个动点，且以O 、A 2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．20．（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A ．矩形B ．正五边形C ．菱形D ．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A ．0B ．1C ．2D ．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．21、（8分）如图，点P是正方形A B C D 内的一点，连接C P，将线段C P绕点C 顺时针旋转90°，得到线段C Q，连接B P，D Q．（1）如图A ，求证：△B C P≌△D C Q；（2）如图，延长B P交直线D Q于点E．①如图B ，求证：B E⊥D Q；②如图C ，若△B C P为等边三角形，判断△D EP 的形状，并说明理由．22．（8分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．23.（8分）如图，正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿AD 边向点D 运动，到达点D 停止.作射线CP ，将CP 绕着点C 逆时针旋转45°，与AB 边交于点Q ，连接PQ（1）画图，完善图形.（2）三条线段DP ，PQ ，BQ 之间有无确定的数量关系？请说明理由.（3）过点C 作CH PQ ⊥于H .若线段CP 的最大值为4，求点H 运动的路径长.24．（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．参考答案一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析]A 、不是中心对称图形，本选项错误；B 、不是中心对称图形，本选项错误；C 、是中心对称图形，本选项正确；D 、不是中心对称图形，本选项错误．故选C ．[点睛]本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°[答案]C[解析]∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ．[点睛]本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．3.如图，直角三角板A B C 的斜边A B ＝12 C m，∠A ＝30°，将三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿C B 方向向左平移，使点B ′落在原三角板A B C 的斜边A B 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为()A . 6 C mB . 4C m C . (6－23)C mD . (43－6)C m[答案]C[分析]根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出B C ，再利用勾股定理列式求出A C ，然后求出A B ′，过点B ′作B ′D ⊥A C 交A B 于D ，然后解直角三角形求出B ′D 即可．[解析]∵A B =12C m，∠A =30°，∴B C =12A B =12×12=6C m，由勾股定理得，A C =22AB BC-=22126-=63C m，∵三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°得到三角板A ′B ′C ′，∴B ′C ′=B C =6C m，∴A B ′=A C -B ′C ′=63-6，过点B ′作B ′D ⊥A C 交A B 于D ，则B ′D =33A B ′=33×（63-6）=（6-23）C m．故选C ．[点睛]本题考查了平移的性质，旋转变换的性质，解直角三角形，熟练掌握各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A ．点M B ．格点N C ．格点P D ．格点Q[答案]B[分析]此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．[解析]如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B ．[点睛]熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OA B C 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．2222⎛- ⎝⎭B ．(1,0)C ．2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(0,1)- [答案]A[分析]根据旋转的性质分别求出点A 1、A 2、A 3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.[解析]四边形OA B C 是正方形，且OA 1=，()A 0,1∴，将正方形OA B C 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，∴由勾股定理得：点A 12 A 1的纵坐标为2122A ∴⎝⎭， 继续旋转则()2A 1,0，322A ⎝⎭，A 4(0，-1)，A 522⎛ ⎝⎭，A 6(-1，0)，A 722⎛ ⎝⎭，A 8(0，1)，A 922⎝⎭，......，发现是8次一循环，所以20198252÷= (3)∴点2019A 的坐标为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ．[点睛]本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.6．将一副三角板顶点重合，三角板A B C 绕点A 顺时针转动的过程中，∠EA B 度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边A B ＝A E）（）A ．∠EAB ＝30° B ．∠EA B ＝45°C ．∠EA B ＝60°D ．∠EA B ＝75°[答案]C[分析]由旋转的性质和平行线的判定依次判断，可求解．[解析]当∠EA B =30°时．∵∠C A B =90°，∴∠C A E=60°=∠E，∴A C ∥D E，故A 不合题意；当∠EA B =45°，∴∠B A D =45°=∠B ，∴B C ∥A D ，故B 不合题意；当∠EA B =60°时，三角尺不存在一组边平行．当∠EA B =75°时，如图，延长A B 交D E于点M，∴∠B A D =15°，∴∠EMA =∠D +∠MA B =45°=∠A B C ，∴B C ∥D E．故选C ．[点睛]本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．7．如图，边长相等的两个正方形A B C D 和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积( )A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大[答案]A[分析]根据正方形性质得出∠B OC =∠EOG=90°，∠OB C =∠OC D =45°，OB =OC ，求出∠B OM=∠C ON，根据A SA 证△B OM≌△C ON，推出两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积等于S△B OC =14S正方形A B C D，即可得出选项．[解析]∵四边形A B C D 、四边形OEFG是两个边长相等正方形，∴∠B OC =∠EOG=90°，∠OB C =∠OC D =45°，OB =OC ，∴∠B OC -∠C OM=∠EOG-∠C OM，即∠B OM=∠C ON，∵在△B OM和△C ON中BOM CONOB OCOBM OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△B OM≌△C ON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积是S△C OM+S△C NO=S△C OM+S△B OM=S△B OC =14S正方形A B C D ，即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于14S正方形A B C D ，故选A ．[点睛]本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△B OM≌△C ON，即△B OM得面积等于△C ON的面积．8．如图，在坐标系中放置一菱形OA B C ，已知∠A B C =60°，点B 在y轴上，OA =1，先将菱形OA B C 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 019的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，3．(1345，3) D ．(1346，0)[答案]D[分析]连接A C ，根据条件可以求出A C ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．[解析]连接A C ，如图所示．∵四边形OA B C 是菱形，∴OA =A B =B C =OC ．∵∠A B C =60°，∴△A B C 是等边三角形．∴A C =A B ．∴A C =OA ．∵OA =1，∴A C =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019．∵B 3的坐标为(2，0)，∴B 2019的坐标为(1346，0)，故选：D[点睛]本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．9．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，则PAB △的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．3[答案]D[分析]将△B PC 绕点B 逆时针旋转60°得△B EA ，根据旋转的性质得B E=B P=4，A E=PC =5，∠PB E=60°，则△B PE 为等边三角形，得到PE=PB =4，∠B PE=60°，在△A EP 中，A E=5，延长B P ，作A F⊥B P于点FA P=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△A PE为直角三角形，且∠A PE=90°，即可得到∠A PB 的度数，在直角△A PF中利用三角函数求得A F的长，根据三角形的面积公式即可得到结论．[解析]∵△A B C 为等边三角形，∴B A =B C ，可将△B PC 绕点B 逆时针旋转60°得△B EA ，连EP，且延长B P，作A F⊥B P于点F．如图，∴B E=B P=4，A E=PC =5，∠PB E=60°，∴△B PE为等边三角形，∴PE=PB =4，∠B PE=60°，在△A EP中，A E=5，A P=3，PE=4，∴A E2=PE2+PA 2，∴△A PE为直角三角形，且∠A PE=90°，∴∠A PB =90°+60°=150°．∴∠A PF=30°，∴在直角△A PF中，A F=12A P=32，∴△PA B 的面积=12PB •A F=12×4×32=3，故选：D ．[点睛]本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．10．如图，正方形A B C D 的边长为2，点E，F分别在边A D ，C D 上，若∠EB F＝45°，则△ED F 的周长等于（）A ．22B ．3C ．4D ．42[答案]C[分析]根据正方形的性质得A B =B C ，∠B A E=∠C =90°，根据旋转的定义，把把△A B E绕点B 顺时针旋转90°可得到△B C G，根据旋转的性质得B G=B E，C G=A E，∠GB E=90°，∠B A E=∠C =90°，∠EB G=∠A B C =90°，于是可判断点G在C B 的延长线上，接着利用“SA S”证明△FB G≌△EB F，得到EF=C F+A E，然后利用三角形周长的定义得到答案．[解析]∵四边形A B C D 为正方形，∴A B ＝B C ，∠B A E ＝∠C ＝90°，∴把△A B E 绕点B 顺时针旋转90°可得到△B C G ，如图，∴B G ＝B E ，C G ＝A E ，∠GB E ＝90°，∠B A E ＝∠C ＝90°，∴点G 在D C 的延长线上， ∵∠EB F ＝45°，∴∠FB G ＝∠EB G ﹣∠EB F ＝45°，∴∠FB G ＝∠FB E ，在△FB G 和△EB F 中，B F ＝B F ，∠FB G ＝∠FB E ，B G ＝B E∴△FB G ≌△FB E （SA S ），∴FG ＝EF ，而FG ＝FC +C G ＝C F +A E ，∴EF ＝C F +A E ，∴△D EF 的周长＝D F +D E +C F +A E ＝C D +A D ＝2+2＝4，故选：C ．[点睛]本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． 11．如图，将一个三角板ABC ∆，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ∆，连接BE ，且2AC BC ==，90ACB ∠=︒，则线段BE =（ ）A ．62-B ．6C ．2D ．1[答案]A[分析]连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，根据旋转性质可知A B =A D ，∠D A B =60°，∠A ED =90°，A E=D E=A C =BC =2，由此得出△A BD 为等边三角形，然后进一步通过证明△B AE ≅△B D E 得出∠AB E=∠D B E ，根据等腰三角形“三线合一”可知B F ⊥A D ，且A F=D F ，由此利用勾股定理分别计算出A B 、B F 的长，最后通过B E=B F −EF 进一步计算即可得出答案.[解析]如图，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，由旋转可知，A B =A D ，∠D A B =60°，∠A ED =90°，A E=D E=A C =B C =2，∴△A B D 为等边三角形，∴A B =B D ，在△B A E与△B D E中，∵A E=D E，B A =B D ，B E=B E，∴△B A E≅△B D E（SSS），∴∠A B E=∠D B E，根据等腰三角形“三线合一”可得B F⊥A D ，且A F=D F，∵A C =B C =2，∠A C B =90°，∴A B =222222+=，∴A B =B D =A D =22，∴A F=2，∴B F=226AB AF-=，∵∠A ED =90°，A E=D E，∴∠FA E=45°，∵B F⊥A D ，∴∠FEA =45°，∴EF=A F=2，∴B E=B F−EF=62-，故选：A ．[点睛]本题主要考查了旋转的性质、全等三角形性质及判定和勾股定理与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，△A B C 中，∠A =30°，∠A C B =90°，B C =2，D 是A B 上的动点，将线段C D 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段C E，连接B E，则B E的最小值是（）A ．3-1B ．32C ．3D ．2[答案]A[分析]过点C 作C K⊥A B 于点K，将线段C K绕点C 逆时针旋转90°得到C H，连接HE,延长HE交A B 的延长线于点J；通过证明△C KD ≌△C HE (A SA )，进而证明所构建的四边形C KJH是正方形，所以当点E与点J重合时，B E的值最小，再通过在Rt△C B K中已知的边角条件，即可求出答案.[解析]如图,过点C 作C K ⊥A B 于点K ，将线段C K 绕点C 逆时针旋转90° 得到C H ，连接HE,延长HE 交A B 的延长线于点J ；∵将线段C D 绕点C 逆时针旋转90° ,得到线段C E ∴∠D C E=∠KC H = 90°∵∠EC H=∠KC H - ∠KC E ，∠D C K =∠D C E-∠KC E ∴∠EC H =∠D C K又∵C D = C E ，C K = C H ∴在△C KD 和△C HE 中90ECH DCK CK CHDKC EHC ∠=∠=⎧∠=∠=︒⎪⎨⎪⎩∴△C KD ≌△C HE (A SA ) ∴∠C KD =∠H=90°，C H=C K ∴∠C KJ =∠KC H =∠H=90°∴四边形C KJH 是正方形 ∴C H=HJ=KJ=C 'K∴点E 在直线HJ 上运动，当点E 与点J 重合时，B E 的值最小∵∠A = 30° ∴∠A B C =60°在Rt △C B K 中， B C = 2, ∴勾股定理得：C K =3， B K= = 1∴KJ = C K =3，所以B J = KJ-B K=31-；B E 的最小值为31-.故选A .[点睛]本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键.二、填空题（每小题3分，共18分）13．一副三角板如图放置，将三角板A D E 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板A D E 的一边所在的直线与B C 垂直，则α的度数为__________．[答案]15°或45°．[解析]分情况讨论：①当D E⊥B C 时，∠B A D =75°，∴α=90°﹣∠B A D =15°；②当A D ⊥B C 时，∠B A D =45°，即α=45°．故答案为：15°或45°．[点睛]本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．14.将边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置（如图），使得点D 落在对角线C F上，EF与A D 相交于点H，则HD ＝．（结果保留根号）[答案]2﹣1．[解析]∵四边形A B C D 为正方形，∴C D ＝1，∠C D A ＝90°，∵边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置，使得点D 落在对角线C F上，∴C F＝，∠C FD E＝45°，∴△D FH为等腰直角三角形，∴D H＝D F＝C F﹣C D ＝﹣1．故答案为﹣1．[考点]本题主要考查了以正方形旋转为载体的求线段长度.15.如图，将等边△A OB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 在第一象限，将等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是．[答案]（﹣2，﹣2）．[解析]作B H⊥y轴于H，如图，∵△OA B 为等边三角形，∴OH＝A H＝2，∠B OA ＝60°，∴B H＝OH＝2，∴B 点坐标为（2，2），∵等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．[考点]本题主要考查了以等边三角形和坐标系旋转为载体的求点的坐标.16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，将直线A B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C ，则直线B C 的函数表达式是．[答案]y＝x﹣1．[解析]∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，∴A （，0），B （0，﹣1），∴OA ＝，OB ＝1，过A 作A F⊥A B 交B C 于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠A B C ＝45°，∴△A B F是等腰直角三角形，∴A B ＝A F，∵∠OA B +∠A B O+∠OA B +∠EA F＝90°，∴∠A B O＝∠EA F，∴△A B O≌△A FE（A A S），∴A E＝OB ＝1，EF＝OA ＝，∴F（，﹣），设直线B C 的函数表达式为：y＝kx+B ，∴，∴，∴直线B C 的函数表达式为：y＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1．[考点]本题主要考查了以线段旋转和一次函数为载体的求解析式.17．已知两个完全相同的直角三角形纸片△A B C 、△D EF，如图1放置，点B 、D 重合，点F在B C 上，A B 与EF交于点G．∠C =∠EFB =90°，∠E=∠A B C =30°，现将图1中的△A B C 绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△A B C 恰有一边与D E平行的时间为___________s[答案]3秒或12秒或15秒[解析]①如图（2），当A C ∥D E时，∵A C ∥D E，∴∠A C B =∠C HD =90°．∵∠E=30°，∴∠D =60°，∴∠HFD =90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3．②如图3，当B C ∥D E时，∵B C ∥ED ，∴∠B FE=∠E=30°，∴∠B FD =30°+90°=120°，∴t=120°÷10=12．③如图4，当B A ∥ED 时，延长D F 交D A 于G ．∵∠E=30°，∴∠D =60°，∵B A ∥ED ，∴∠B GD =180°-∠D =120°，∴∠B FD =∠B +∠B GF=30°+120°=150°，∴t=150°÷10°=15．故答案为3秒或12秒或15秒[点睛]本题主要考查平行线的性质．分三种不同的情况讨论，解题的关键是画出三种情况的图形． 18.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，正方形EFGH 绕点E 旋转，直线FB 与直线CH 相交于点P ，若2,75AB DBP ︒=∠=，则2DP 的值是____．[答案]523+[分析]如图，设EF 交A B 于M ，EH 交B C 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥A D 于T 交B C 于R ．首先证明∠C PB ＝90°，求出D T ，PT 即可解决问题．[解析]如图，设EF 交A B 于M ，EH 交B C 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥A D 于T 交B C 于R ．∵四边形A B C D 是正方形，∴A C ⊥B D ，A E ＝EB ，∠EA M ＝∠EB N ＝45°，∵四边形EFGH 是正方形，∴∠MEN ＝∠A EB ＝90°，∴∠A EM ＝∠B EN ，∴△A EM ≌△B EN （A SA ），∴A M ＝B N ，EM ＝EN ，∠A ME ＝∠B NE ， ∵A B ＝B C ，EF ＝EH ，∴FM ＝NH ，B M ＝C N ，∵∠FMB ＝∠A ME ，∠C NH ＝∠B NE ，∴∠FMB ＝∠C NH ，∴△FMB ≌△HNC （SA S ），∴∠MFB ＝∠NHC ，∵∠EFO ＋∠EOF ＝90°，∠EOF ＝∠POH ，∴∠POH ＋∠PHO ＝90°，∴∠OPH ＝∠B PC ＝90°， ∵∠D B P ＝75°，∠D B C ＝45°，∴∠C B P ＝30°，∵B C ＝A B ＝2，∴由勾股定理：PB 3PR ＝12PB 3RC ＝12， ∵∠RTD ＝∠TD C ＝∠D C R ＝90°，∴四边形TD C R 是矩形，∴TD ＝C R ＝12，TR ＝C D ＝A B ＝2， 在Rt △PD T 中，PD 2＝D T 2＋PT 2＝2213()(2)5232+=+ 故答案为523+[点睛]本题考查全等三角形的判定和性质，旋转变换，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于常考题型．三、解答题（共46分）19．（6分）△A B C 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△A B C 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△A B C 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平面直角坐标系中直线A B 上的一个动点，点N 是x 轴上的一个动点，且以O 、A 2、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标．[答案]（1）、（2）答案见解析；（3）当OA 2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA 2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．[分析]（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1，从而得到△A 1B 1C 1．（2）利用网格特点和平移的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2．（3）讨论：当OA 2为平行四边形的边时，利用平行四边形的判定和点平移的坐标特征确定N点坐标；当OA 2为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质和点平移的坐标特征确定N点坐标．[解析]（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；（3）当OA 2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA 2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．[点睛]本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质和平行四边形的判定．20．（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A ．矩形B ．正五边形C ．菱形D ．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A ．0B ．1C ．2D ．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．[答案]（1）B ；（2）(1)(3)(5)；（3）C ；（4）见解析[分析]（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．[解析]解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，故选：B ．（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；即命题中①③正确，故选：C ．（4）图形如图所示：[点睛]本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21、（8分）如图，点P是正方形A B C D 内的一点，连接C P，将线段C P绕点C 顺时针旋转90°，得到线段C Q，连接B P，D Q．（1）如图A ，求证：△B C P≌△D C Q；（2）如图，延长B P交直线D Q于点E．①如图B ，求证：B E⊥D Q；②如图C ，若△B C P为等边三角形，判断△D EP 的形状，并说明理由．[答案]（1）证明见试题解析；（2）①证明见试题解析；②△D EP为等腰直角三角形．[分析]：（1）由旋转的性质得到∠B C P=∠D C Q，即可证明△B C P≌△D C Q；（2）①由全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②由等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD =45°，∠ED P=45°，即可判断△D EP的形状．[解析]（1）∵∠B C D =90°，∠PC Q=90°，∴∠B C P=∠D C Q，在△B C P和△D C Q中，∵B C =C D ，∠B C P=∠D C Q，PC =QC ，∴△B C P≌△D C Q；(2)①如图B , ∵△B C F≌D C Q, ∴∠C B F=∠ED F, 又∠B FC =∠D FE,∴∠D EF=∠B C F=90°，∴B E⊥D Q②∵△B C P为等边三角形，∠B C P=60°，∴∠PC D =30°，又C P=C D ,∠C PD =∠C D P=75° ,又∠B PC =-60° ,∠C D Q =60°，∴∠EPD =45°，∠ED P =45°，∴△D EP 为等腰直角三角形.[考点]1．四边形综合题；2．正方形的性质；3．旋转的性质；4．全等三角形的判定与性质；5．综合题．22．（8分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．[答案]（1）1；（2）12π；（3）23OF = [分析]（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠A C F =∠EC F =30°，即C F 是∠A C B 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以C F 和C E 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △C EF 求出C F 和C E 的长，然后根据S 阴影=（S △C EF +S 扇形A C F ）－（S △A C G +S 扇形C EG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥C F 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得C H 的长，设OH=x ，则C O 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △B OC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．[解析]（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠A C B =60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠EC F =∠B A C =30°，EF =B C =1，∴∠A C F =30°，∴∠A C F =∠EC F =30°，∴C F 是∠A C B 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △C EF 中，∵∠EC F =30°，EF =1，∴C F =2，C E 3由旋转的性质可得：C F=C A =2，C E=C G 3 A C G =∠EC F =30°，∴S 阴影=（S △C EF +S 扇形A C F ）－（S △A C G +S 扇形C EG ）=S 扇形A C F －S 扇形C EG =2230330236036012πππ⨯⨯-=； 故答案为：12π；②作EH ⊥C F 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F =60°，EF =1， ∴13,2FH EH == C H =13222-=， 设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x ⎛=+=+=+ ⎝⎭， ∵OB =OE ，∴2234OB x =+， 在Rt △B OC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 解得：16x =，∴112263OF =+=． [点睛]本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．23.（8分）如图，正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿AD 边向点D 运动，到达点D 停止.作射线CP ，将CP 绕着点C 逆时针旋转45°，与AB 边交于点Q ，连接PQ（1）画图，完善图形.（2）三条线段DP ，PQ ，BQ 之间有无确定的数量关系？请说明理由.（3）过点C 作CH PQ ⊥于H .若线段CP 的最大值为4，求点H 运动的路径长.[解析]（1）画图，如图1.（2）DP ，PQ ，BQ 之间有确定的数量关系，PQ DP BQ =+.理由如下：如图1，∵ABCD 是正方形，∴可将DCP ∆绕点C 逆时针旋转90°到BCM ∆. ∴DCP BCM ∆∆≌，90PCM ∠=︒.∴DP BM =，CP CM =，190D ∠=∠=︒.∴Q ，B ，M 在同一条直线上.∵45PCQ ∠=︒，∴45MCQ ∠=︒.∴PCQ MCQ ∠=∠.∵CQ CQ =，∴()SAS PCQ MCQ ∆∆≌.∴PQ MQ =. ∴PQ DP BQ =+.（3）如图2，由（2），2M ∠=∠.∵3190∠=∠=︒，∴(AAS)PCH MCB ∆∆≌.∴CH CB =.当点P 还在点A 处时，CP 是正方形的对角线，此时最长.即正方形的对角线为4. ∴正方形的边长22CB =∴22CH =当点P 从A 到点D 时，点H 从点B 沿圆弧到点D ，圆心角90BCD ∠=︒.∴点H 运动的路径长为1224CB ππ⨯⋅=.24．（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．[答案]（1）点D 的坐标为()633,3；（2）点D 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点E 的坐标为()12,8． [分析](1) 过点D 作DG x ⊥轴于,G 根据已知条件可得出A D =6，再直角三角形A D G 中可求出D G ，A G 的长，即可确定点D 的坐标.(2) 过点D 作DG x ⊥轴于,G DH AE ⊥于H 可得出,GADH HA DG ＝＝，根据勾股定理得出A E 的长为10，再利用面积公式求出D H ，从而求出OG ,D G 的长，得出答案(3) 连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转性质得到,DAE AOC AD AO ∠∠＝＝，从而可证AEG AED AAS ≌（），继而可得出结论.[解析](1)过点D 作DG x ⊥轴于,G ，如图①所示：。
人教版数学九年级上册《旋转》单元综合测试卷附答案
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试（满分120分,考试用时120分钟）一．选择题（共10小题）1.如图,将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是（）A. B.C. D.2.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3.如图,香港特别行政区区徽中的紫荆花图案,该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为（）A. 45°B. 60°C. 72°D. 108°4.如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中每个小正方形的边长均为1,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,若AC上一点P（1.2,1.4）平移后对应点为P1,点P1绕原点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为（）A. （2.8,3.6）B. （﹣2.8,﹣3.6）C. （3.8,2.6）D. （﹣3.8,﹣2.6）5.如图,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,则下列结论不成立的是（）A. 点A与点A′是对称点B. BO＝B′OC. AB∥A′B′D. ∠ACB＝∠C′A′B′6.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.7.点P（3,5）关于原点对称的点的坐标是（）A. （﹣3,5）B. （3,﹣5）C. （5,3）D. （﹣3,﹣5）8.如图,若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标都乘以﹣1,得到一组新的点,再依次连接这些点,所得图案与原图案的关系为（）A. 重合B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 宽度不变,高度变为原来的一半9.下方的“月亮”图案可以由如图所示的图案平移得到的是（）A. B. C. D.10.如图,在4×4正方形网格中,将图中的2个小正方形涂上阴影,若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形,那么符合条件的小正方形共有（）A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个二．填空题（共8小题）11.如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为_____．12.如图,在四边形ABCD中,AB＝6,BC＝4,若AC＝AD,且∠ACD＝60°,则对角线BD的长的最大值为_____．13.等边三角形ABC内有一点P,连接AP、BP、CP,若∠BPC＝150°,BP＝3,AP＝5,则CP＝_____．14.若点A（1,2）与点B（m,﹣2）关于原点对称,则m＝_____．15.如图,△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形,点A的对称点是点A1,已知AO＝4cm,那么AA1＝_____cm．16.线段是中心对称图形,对称中心是它的_____点．17.对于下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是_____．（填写图形的相应编号）18.如图,已知等边三角形OAB的顶点O（0,0）,A（0,3）,将该三角形绕点O顺时针旋转,每次旋转60°,则旋转2018次后,顶点B的坐标为_____．三．解答题（共7小题）19.如图,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,且点B刚好落在A′B′上,若∠A＝25°,∠BCA′＝45°,求∠A′BA的度数．20.如图所示：已知∠ABC＝120°,作等边△ACD,将△ACD旋转60°,得到△CDE,AB＝3,BC＝2,求BD和∠ABD．21.有一块方角形钢板如图所示,如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3,4）,B（﹣4,2）,C（﹣2,1）,△ABC绕原点逆时针旋转90°,得到△A1B1C1,将△A1B1C1向右平移6个单位,再向上平移2个单位得到△A2B2C2．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）△ABC经旋转、平移后点A的对应点分别为A1、A2,请写出点A1、A2的坐标；（3）P（a,b）是△ABC的边AC上一点,△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1,P2,请写出点P1、P2的坐标．23.如图,四边形ABCD是正方形,△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE,若AF＝4,AB＝7．（1）求DE的长度；（2）指出BE与DF的关系如何？并说明由．24.如图,△ABC中,∠ABC＝45°,AB＝,BC＝12,以AC为直角边,点A为直角顶点作等腰直角△ACD,求BD的长．25.将两块三角板按图1摆放,固定三角板ABC,将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转,其中∠A＝45°,∠D ＝30°,设旋转角为α,（0°＜a＜80°）（1）当DE∥AC时（如图2）,求α的值；（2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F,求α的值；（3）当0°＜α＜90°时,连结AE（如图4）,直线AB与DE相交于点F,试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变,请求出此定值,若改变,请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1.如图,将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质,图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动,其中对应点到旋转中心的距离相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变；图片按顺时针方向旋转90°,分析可得答案．【详解】根据旋转的意义,图片按顺时针方向旋转90°,可得B符合．故选：B．【点睛】本题考查了图形的旋转变化,学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转,旋转多少度,难度不大,但易错．2.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】B【解析】∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的,∴∠BAD=100°,AD=AB,∵点D在BC的延长线上,∴∠B=∠ADB=.故选B.点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质,解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°,对应边AB=AD 及点D在BC的延长线上这些条件,就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了.3.如图,香港特别行政区区徽中的紫荆花图案,该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为（）A. 45°B. 60°C. 72°D. 108°【答案】C【解析】由题意得360º÷5=72º.故选C.4.如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中每个小正方形的边长均为1,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,若AC上一点P（1.2,1.4）平移后对应点为P1,点P1绕原点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为（）A. （2.8,3.6）B. （﹣2.8,﹣3.6）C. （3.8,2.6）D. （﹣3.8,﹣2.6）【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质得出,△ABC的平移方向以及平移距离,即可得出P1坐标,进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．【详解】∵A点坐标为：（1,1）,A1（-3,-4）,∴△ABC向左平移了4个单位,向下平移了5个单位,∴点P（1.2,1.4）平移后的对应点P1为：（-2.8,-3.6）,∵点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2,∴P2点的坐标为：（2.8,3.6）．故选A．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质,根据已知得出平移的方式是解题关键．关于原点对称的两个点横纵坐标均为互为相反数的关系.5.如图,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,则下列结论不成立的是（）A. 点A与点A′是对称点B. BO＝B′OC. AB∥A′B′D. ∠ACB＝∠C′A′B′【答案】D【解析】【分析】根据中心对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】观察图形可知,A、点A与点A′是对称点,故本选项正确；B、BO＝B′O,故本选项正确；C、AB∥A′B′,故本选项正确；D、∠ACB＝∠A′C′B′,故本选项错误．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称,熟悉中心对称的性质是解题的关键．6.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确；B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误；C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误；D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合．7.点P（3,5）关于原点对称的点的坐标是（）A. （﹣3,5）B. （3,﹣5）C. （5,3）D. （﹣3,﹣5）【答案】D【解析】【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时,横纵坐标的坐标符号均相反,根据这一特征求出对称点坐标．【详解】解：点P（3,5）关于原点对称的点的坐标是（-3,-5）,故选：D．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的变化规律．8.如图,若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标都乘以﹣1,得到一组新的点,再依次连接这些点,所得图案与原图案的关系为（）A. 重合B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 宽度不变,高度变为原来的一半【答案】C【解析】【分析】根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”解答．【详解】解：图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,则对应点的横坐标互为相反数,纵坐标相同,所以,所得图案与原图案关于y轴对称．故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．9.下方的“月亮”图案可以由如图所示的图案平移得到的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平移的性质,不改变图形的形状和大小,经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等．【详解】通过图案平移得到必须与图案完全相同,角度也必须相同,观察图形可知C可以通过图案①平移得到．故选：C．【点睛】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等．10.如图,在4×4正方形网格中,将图中的2个小正方形涂上阴影,若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形,那么符合条件的小正方形共有（）A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【详解】如图,共有10种符合条件的添法,【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案,熟知轴对称的性质是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11.如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为_____．【答案】75°【解析】【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝110°,AB＝AB′,根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝35°,再根据平行线的性质得出∠C′AB′＝∠AB′B＝35°,然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算即可得出答案．【详解】∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′,∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°,AB＝AB′,∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°,∵AC′∥BB′,∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°,∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°．故答案为：75°．【点睛】此题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．12.如图,在四边形ABCD中,AB＝6,BC＝4,若AC＝AD,且∠ACD＝60°,则对角线BD的长的最大值为_____．【答案】10【分析】在AB的左侧作等边三角形△ABK,连接DK．由△DAK≌△CAB,推出DK＝BC＝4,因为DK+KB≥BD,DK＝4,K B＝AB＝6,所以当D、K、B共线时,BD的值最大,最大值为DK+KB＝10．【详解】如图,在AB的左侧作等边三角形△ABK,连接DK,则AK＝AB＝BK＝6,∠KAB＝60°,∴∠DAC＝∠KAB,∴∠DAK＝∠CAB,在△DAK和△CAB中,,∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4,∵DK+KB≥BD,DK＝4,KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时,BD的值最大,最大值为DK+KB＝10．故答案为：10【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质,三角形的三边关系定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题．13.等边三角形ABC内有一点P,连接AP、BP、CP,若∠BPC＝150°,BP＝3,AP＝5,则CP＝_____．【答案】4【分析】将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACP′,根据旋转的性质可得BP＝AP′,∠AP′C＝∠BPC,△PCP′是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠PP′C＝60°,然后求出∠AP′P＝90°,利用勾股定理列式求出PP′,再根据等边三角形的三边都相等可得CP＝PP′．【详解】如图,将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACP′,由旋转的性质得,BP＝AP′＝3,∠AP′C＝∠BPC＝150°,△PCP′是等边三角形,所以,∠PP′C＝60°,所以,∠AP′P＝∠AP′C﹣∠PP′C＝150°﹣60°＝90°,在Rt△APP′中,根据勾股定理得,PP′＝＝4,∵△PCP′是等边三角形,∴CP＝PP′＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理,作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键,也是本题的难点．14.若点A（1,2）与点B（m,﹣2）关于原点对称,则m＝_____．【答案】-1【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】∵点A(1,2)与点B(m,-2)关于原点对称,故答案为：-1.【点睛】本题考查的是关于原点对称,熟练掌握关于原点对称的点的坐标是解题的关键.15.如图,△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形,点A的对称点是点A1,已知AO＝4cm,那么AA1＝_____cm．【答案】8．【解析】【分析】根据中心对称图形的性质即可得到结论．【详解】∵△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形,点A的对称点是点A1,AO＝4cm,∴OA1＝OA＝4cm,∴AA1＝OA+OA1＝8cm,故答案为：8．【点睛】本题考查了中心对称的图形的性质,注意弄清对应点、对应角、对应线段．16.线段是中心对称图形,对称中心是它的_____点．【答案】中【解析】【分析】直接利用中心对称图形的性质结合线段的性质得出答案．【详解】线段是中心对称图形,对称中心是它的中点．故答案为：中．【点睛】此题主要考查了中心对称图形,正确把握线段的性质是解题关键．17.对于下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是_____．（填写图形的相应编号）【答案】②④⑤⑥．【解析】解：①是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意；②是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意；③是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意；④是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意；⑤是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意．⑥是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意；故答案为：②④⑤⑥．18.如图,已知等边三角形OAB的顶点O（0,0）,A（0,3）,将该三角形绕点O顺时针旋转,每次旋转60°,则旋转2018次后,顶点B的坐标为_____．【答案】（0,﹣3）．【解析】解：由题意知点B旋转=6次后与点B重合,即点B的旋转周期为6．∵2018÷6=336…2,∴点B旋转2018次后的坐标与旋转2次后的坐标相同,如图：∵∠AOB=60°,∴∠BOC=120°,则两次旋转都点B落在y轴的负半轴,且OB=3,所以点B的坐标为（0,﹣3）．故答案为：（0,﹣3）．点睛：本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转,根据题意得出点B的旋转周期为6及旋转的性质是解题的关键．三．解答题（共7小题）19.如图,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,且点B刚好落在A′B′上,若∠A＝25°,∠BCA′＝45°,求∠A′BA的度数．【答案】40°【解析】【分析】先利用旋转的性质得∠A′＝∠A＝25°,∠ABC＝∠B′,CB＝CB′,再利用等腰三角形的性质得∠B′＝∠CBB′,则根据三角形外角性质得∠CBB′＝70°,所以∠B′＝∠ABC＝70°,然后利用平角定义计算∠A′BA的度数．【详解】∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,且点B刚好落在A′B′上,∴∠A′＝∠A＝25°,∠ABC＝∠B′,CB＝CB′,∴∠B′＝∠CBB′,∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝25°+45°＝70°,∴∠B′＝70°,∴∠ABC＝70°,∴∠A′BA＝180°﹣70°﹣70°＝40°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．20.如图所示：已知∠ABC＝120°,作等边△ACD,将△ACD旋转60°,得到△CDE,AB＝3,BC＝2,求BD和∠ABD．【答案】BD＝5．∠BAD＝60°【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝60°,由于∠ABC＝120°,根据四边形内角和得到∠BAD+∠BC D＝180°,则∠BAD+∠BCA＝120°,再根据旋转的性质得∠BAD＝∠ECD,DB＝DE,∠BDE＝60°,AB＝CE,于是有∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°,得到B、C、E在同一条直线上,接着证明△BDE为等边三角形得到∠DB E＝60°,所以∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°,BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝5．【详解】∵△ACD是等边三角形,∴∠ADC＝∠ACD＝60°,∵∠ABC＝120°,∴∠BAD+∠BCD＝180°,∴∠BAD+∠BCA＝120°,∵△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置,∴∠BAD＝∠ECD,DB＝DE,∠BDE＝60°,AB＝CE,∴∠BCA+∠ECD＝120°,∴∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°,∴B、C、E在同一条直线上．∵DB＝DE,∠BDE＝60°,∴△BDE为等边三角形,∴∠DBE＝60°,∴∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°,∴BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝3+2＝5．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．21.有一块方角形钢板如图所示,如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．【答案】答案见解析【解析】【分析】思路1：先将图形分割成两个矩形,找出各自的对称中心,过两个对称中心做直线即可；思路2：先将图形补充成一个大矩形,分别找出图中两个矩形各自的对称中心,过两个对称中心做直线即可．【详解】如图所示,有三种思路：【点睛】本题需利用矩形的中心对称性解决问题．22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3,4）,B（﹣4,2）,C（﹣2,1）,△ABC绕原点逆时针旋转90°,得到△A1B1C1,将△A1B1C1向右平移6个单位,再向上平移2个单位得到△A2B2C2．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）△ABC经旋转、平移后点A的对应点分别为A1、A2,请写出点A1、A2的坐标；（3）P（a,b）是△ABC的边AC上一点,△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1,P2,请写出点P1、P2的坐标．【答案】（1）画图见解析；（2）A1（﹣4,﹣3）,A2（2,﹣1）；（3）P1（﹣b,a）；P2（﹣b+6,a+2）【解析】【分析】（1）利用网格特点、旋转的性质和平移的性质画图；（2）利用所画图形写出点A1、A2的坐标；（3）利用（2）的结论和旋转的性质写出P1的坐标,利用平移的坐标规律写出P2的坐标．【详解】（1）如图,△A1B1C1和△A2B2C2为所作；（2）A1（﹣4,﹣3）,A2（2,﹣1）；（3）P1（﹣b,a）；P2（﹣b+6,a+2）．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．23.如图,四边形ABCD是正方形,△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE,若AF＝4,AB＝7．（1）求DE的长度；（2）指出BE与DF的关系如何？并说明由．【答案】（1）3；（2）BE＝DF,BE⊥DF．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AE＝AF,AD＝AB,然后根据DE＝AD﹣AE计算即可得解；（2）根据旋转可得△ABE和△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得BE＝DF,全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ADF,然后求出∠ABE+∠F＝90°,判断出BE⊥DF．【详解】解：（1）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE,∴AE＝AF＝4,AD＝AB＝7,∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3；（2）BE、DF的关系为：BE＝DF,BE⊥DF．理由如下：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE,∴△ABE≌△ADF,∴BE＝DF,∠ABE＝∠ADF,∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°,∴∠ABE+∠F＝90°,∴BE⊥DF,∴BE、DF的关系为：BE＝DF,BE⊥DF．【点睛】考查了旋转的性质,正方形的性质,是基础题,熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．24.如图,△ABC中,∠ABC＝45°,AB＝,BC＝12,以AC为直角边,点A为直角顶点作等腰直角△ACD,求BD 的长．【答案】13【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△ACE,连接BE,根据旋转的性质得到AE＝AB＝,∠BAE＝∠DAC ＝90°,CE＝BD,推出△ABE是等腰直角三角形,根据勾股定理即可得到结论．【详解】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△ACE,连接BE,则AE＝AB＝,∠BAE＝∠DAC＝90°,CE＝BD,∴△ABE是等腰直角三角形,∴∠ABE＝45°,BE＝AB＝5,∵∠ABC＝45°,∴∠CBE＝90°,∴CE＝＝13,∴BD＝CE＝13．【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键．25.将两块三角板按图1摆放,固定三角板ABC,将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转,其中∠A＝45°,∠D ＝30°,设旋转角为α,（0°＜a＜80°）（1）当DE∥AC时（如图2）,求α的值；（2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F,求α的值；（3）当0°＜α＜90°时,连结AE（如图4）,直线AB与DE相交于点F,试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变,请求出此定值,若改变,请说明理由．【答案】（1）60°；（2）105°；（3）不变,其值为105°．【解析】【分析】（1）由DE∥AC可得∠DCA＝∠D＝30°,则可求∠α＝∠DCB＝60°；（2）由DE∥AB可得∠E＝∠AFC＝60°,根据三角形内角和可求∠FCA＝75°即可求∠ACD＝15°,则可求∠α；（3）根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和,列出∠1,∠2,∠3关系式可求∠1+∠2+∠3的值. 【详解】（1）∵DE∥AC,∴∠D＝∠ACD＝30°,又∵∠BCA＝90°,∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝60°,即α＝60°；（2）∵DE∥AB,∴∠E＝∠CFA＝60°,又∵∠CFA＝∠B+∠BCE,∴∠BCE＝15°,∴∠BCD＝∠ECD+∠BCE＝105°,即α＝105°；（3）大小不变,其值为105°,∵∠ACD+∠CAB＝∠D+∠AFD,∠CAB＝45°,∠D＝30°,∴∠AFD﹣∠ACD＝15°,又∵∠1+∠2＝∠AFD,∠3＝90°﹣∠ACD,∴∠1+∠2+∠3＝∠AFD+90°﹣∠ACD＝90°+15°＝105°.【点睛】本题考查了旋转的性质,平行线的性质,关键是灵活运用这些性质解决问题．。
人教版九年级上册数学 旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)
人教版九年级上册数学 旋转几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．2．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．3．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a 和b 之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1，)，F 1(-8，33-4+)，G 2(8，，F 2(218，-4) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。
人教版九年级数学上册 旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)
人教版九年级数学上册旋转几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161A EEC=-，求nm的值．（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BE nBG m=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）56；（2）33；（3）存在，63【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222A DCE nCB A B m==，可得CE=2nm，由161A EEC=推出16A CEC=A126nm，推出BH=A126nm，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到3FGFFM FED==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.【详解】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA 1=n=1，在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2，∴BA 1=2HA 1，∴∠ABA 1=30°，∴旋转角为30°，∵22125+=∴D 到点D 1所经过路径的长度3055π⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC=， ∴16A C EC= ∴A 126n m， ∴BH=A 12226n m n m -=， ∴42226n m n m-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴242416n n m m-=•， ∴33n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，33BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形， ∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ， ∴3FG F FM FE D ==， ∵∠DFM=90°，tan 33FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°， ∴3FM DM =； 在矩形ABCD 中，有33AD AB = 333=3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3，∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6，∴NP=33AB =，∴DM=AN=BP=2，∴332322FM DM ==⨯=， ∴63PF PM MF =+=+；【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.2．我们定义：如图1，在△ABC 看，把AB 点绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD= BC ；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 长为 ．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC ，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题； ②首先证明△BAC ≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC ．如图1中，延长AD 到M ，使得AD=DM ，连接E′M ，C′M ，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12AB′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=12BM=7，∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt △CDF 中，∵CD=23，CF=6，∴tan ∠CDF=3，∴∠CDF=60°=∠CPF ，易证△FCP ≌△CFD ，∴CD=PF ，∵CD ∥PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC ﹣∠CDP=60°，∴△ADP 是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，在Rt △PDN 中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=3，∴PN=2222=(3)6DN PD ++=39．【点睛】本题考查四边形综合题．3．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；（2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，∴45BPQ ∠=︒，∴135APQ ∠=︒∵CE 平分DCM ∠，∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒，∴135APQ QCE ∠=∠=︒，∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒．∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．∴BAQ CQE ∠=∠．∴()APQ QCE ASA ∆≌．（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．∴QA QE =．∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形，∴45QAE ∠=︒．∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =，∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌．∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒．∴QCF ∆是等腰直角三角形，∴2CF CQ x ==-，∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =，∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=．解这个方程，得1222x =-+ 2222x =--（舍去）．当222x =-+QF CE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．4．综合与实践问题情境在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1， MN 是过点A 的直线，点C 为直线MN 外一点，连接AC ，作∠ACD=60°，使AC=DC ，在MN 上取一点B ，使∠DBN=60°．观察发现（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；实践探究（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；提出问题（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23【解析】【分析】（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系；（4）过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度.【详解】综合与实践（1）AB+DB=CB（2）线段CE如图所示.证明：∵∠ECB=∠ACD=60º，∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，∴∠2=∠1.∵∠ACD=∠DBN=60º, ∠ABD+∠DBN=180º，∴∠ABD+∠ACD=180º，∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180º.∵∠CAB+∠4=180º，∴∠4=∠3.又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB（ASA）∴EA=BD，EC=BC.又∵∠ECB=60°，∴△ECB为等边三角形,∴EB=CB.而EB=EA+AB=DB+AB,∴CB=DB+AB.（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.∵∠DCA=60º∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA即∠ECA=∠BCD∵∠DBN=120º∴∠DBA=60º又∵∠AFB=∠DFC∴∠EAF=∠BDC又∵AC=DC∴△ACE≌△DCB（ASA）∴BC=EC∴△ECB为等边三角形∴∠CEB=60º∵BC⊥CD∴∠ECA=∠BCD=90º∴在Rt△AEC中，∠CAE=30º∵BC=2，EC=BC∴AC=EC·tan60º= 23【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，根据题中条件适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等的性质得出线段关系是本题的关键.5．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G 到BE 的距离为h.∴. ∴. ∴点G 到BE 的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．6．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中90,2,2ACB DCE AC CD ︒∠=∠===观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度； 操作证明（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论. 探究发现（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥【解析】【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥.【详解】（1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，BE AD ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，//,//HF AD FG BE ∴，AD BE ⊥，HF GF ∴⊥，90HFG ∴∠=︒；（2）证明：如下图，连接AD BE ，，由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒，又∵AC=BC ，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，11,22FH AD FG BE ∴==， FH FG ∴=；（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形，2CD =1CF DF ∴==，2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=，31BD BF DF ∴=-=-，G 是BD 的中点，31DG -∴=， 31BD BF DF ∴=-=-；（4）AD BE ⊥. 连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，∵ECD ∆是等腰直角三角形，∴F 是ED 中点，又∵H 是AE 中点，∴AD ∥HF ，∵HF ⊥ED ，∴AD BE ⊥.【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.7．(1)问题发现如图1,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D 在一条直线上.填空:线段AD,BE 之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE 的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B 是线段PA 外一点,PB=5,连接AB,将AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B 的位置的变化,直接写出PC 的范围.【答案】(1) AD=BE ，AD⊥BE．(2) AD=BE ，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2，图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2，∴22，即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）123545（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D=O′P′=，P′D=，∴DH=O′H﹣O′，∴P′点的坐标为（，）．考点：几何变换综合题9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=12BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．10．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为(0180)αα<<，得到矩形AEFG ，点B 、点C 、点D 的对应点分别为点E 、点F 、点G ．()1如图①，当点E 落在DC 边上时，直写出线段EC 的长度为______；()2如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ，①求证：ACD ≌CAE ；②直接写出线段DH 的长度为______．()3如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，BEP 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【答案】（1）23；（2）①见解析；34②；（3）存在，PBE 的面积的最大值为21，理由见解析 【解析】【分析】 ()1如图①中，在Rt ADE 中，利用勾股定理即可解决问题；()2①证明：如图②中，根据HL 即可证明ACD ≌CAE ；②如图②中，由ACD ≌CAE ，推出ACD CAE ∠∠=，推出AH HC =，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，根据222AD DH AH +=，构建方程即可解决问题； ()3存在.如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M.由题意：PF PC 1==，由AG EF 1==，G F 90∠∠==，推出PA PE ==PBE 1S PE BM 22=⋅⋅=，推出当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，求出BM 的最大值即可解决问题；【详解】()1四边形ABCD 是矩形，AB CD 2∴==，BC AD 1==，D 90∠=，矩形AEFG 是由矩形ABCD 旋转得到，AE AB 2∴==，在Rt ADE 中，DE ==CE 2∴=，故答案为2．()2①当点E 落在线段CF 上，AEC ADC 90∠∠∴==，在Rt ADC 和Rt AEC 中，{AC CACD AE ==， Rt ACD ∴≌()Rt CAE HL ； ACD ②≌CAE ，ACD CAE ∠∠∴=，AH HC ∴=，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，222AD DH AH +=，2221(2m)m ∴+-=，5m 4∴=， 53DH 244∴=-=， 故答案为34； ()3存在．理由如下：如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M ，由题意：PF PC1==，AG EF1==，G F90∠∠==，PA PE2∴==PBE 12S PE BM BM22∴=⋅⋅=，∴当BM的值最大时，PBE的面积最大，BM PB≤，PB AB PA≤+，PB22∴≤，BM22∴≤BM∴的最大值为22+PBE∴21．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
数学九年级上册《旋转》单元综合测试题带答案
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是（）A. B. C. D.2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（）A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形3.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D4.如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则B′的坐标为（）A. （2，4）B. （-2，4）C. （4，2）D. （2，-4）5.将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）A. （-5，-3）B. （1，-3）C. （-1，-3）D. （5，-3）6.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°8.如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF（A、B、E在同一直线上），连接CF，则CF的长为（）A. B. 5 C. 7 D.9.如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A. （-a，-b）B. （-a，-b-1）C. （-a，-b+1）D. （-a，-b-2）10.如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，那么∠BAB′的度数为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°二、填空题11.如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____次旋转而得到的，每一次旋转____度．12.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若是由绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__．13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为_____．14.如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°,∠D=40°,则∠的度数是_______15.已知点P（a，-3）和Q（4，b）关于原点对称，则=_____．16.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．17.如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是______．18.如图所示，两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分的面积为_______cm2．三、解答题19. 如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么?20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系?并说明理由．(4)若AB=5，AC=3，求线段AD的长度范围．21.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕点P顺时针旋转60°后，恰好点D与点A重合，得到△PEA，连接EB，问：△ABE是什么特殊三角形?请说明理由．22.如图，把一副三角板如图①放置，其中，∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图②）．(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长．23.在△AOB中，C，D分别是OA、OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．24.平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直线MN，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN 于点F．当点E与点A重合时（如图①），易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时，上述结论是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，请直接写出你的猜想，不需证明．参考答案一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据旋转的意义，找出图中眼，眉毛，嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．【详解】根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90度，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为A图．故选A．【点睛】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（）A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形【答案】D【解析】等腰三角形是轴对称图形，正三角形是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选D.3.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】B【解析】试题分析:旋转对称图形是指：把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
人教版九年级上册数学《旋转》单元综合测试卷带答案
A.(4，0)B.(5，0)C.(4，0)或(﹣4，0)D.(5，0)或(﹣5，0)
8.如图，将Rt△ABC(其中∠B=35°，∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于()
A. 55°B. 70°C. 125°D. 145°
9.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
13.如图，Rt△AOB绕点O逆时针转到△COD 位置，若旋转角是20°，则∠BOC的度数为____________．
14.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转34°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠BB′C′的度数为__________．
∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．
∴旋转角等于125°．故选C．
9.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是()
A.(2，10)B.(﹣2，0)
17.如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________．
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人教版九年级上册数学 旋转几何综合单元测试卷附答案一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.（1）连接OP ，求线段OP 的长；（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）． 【解析】【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交与点D，然后由所学的性质，求出点D的坐标即可．【详解】解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，∵AP∥OB，∴∠PAC=60θ=︒，∵PC⊥OA，∴∠PCA=90°，∵点P的斜坐标是()3,6，∴OA=3，AP=6，∴1 cos602ACAP︒==，∴3AC=，∴226333PC=-=，336OC=+=，在Rt△OCP中，由勾股定理，得226(33)37OP=+=；（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，∵点Q在第四象限，∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，∵点P的坐标为（3，6），∴点D的坐标为（32，3）；②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，∵∠COJ=60°，∴△OCJ是等边三角形，∴∠CJN=120°，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，∴△CJD≌△NJD（SAS），∴∠JCD=∠JND=90°，则由角平分线的性质定理，得CD=ND；过点D作DI∥x轴，连接DJ，∵∠DJN=∠COJ=60°，∴OI∥JD，∴四边形OJDI是平行四边形，∴ID=OJ=JN=OC=6，在Rt△JDN中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；∴点D的斜坐标为（6，12）；综合上述，点D的斜坐标为：（32，3）或（6，12）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝12⨯6＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，203AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长．【答案】（1）4；3 （2）3或163 （3）2512525310103243-、、103 【解析】【分析】（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解BE 即可，（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案．【详解】解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，203AD =， 由勾股定理得：222025533BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 11,22ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅． 2532053 4.AB AD AE BD ⨯⋅∴=== 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝4，由勾股定理得：BE ＝3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示： 由对称的性质可知，∠1＝∠2．由平移性质可知，AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．①当点F′落在AB 上时，∵AB ∥A′B′，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝3，即m ＝3；②当点F′落在AD 上时，∵AB ∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，,AB AD ⊥∴ A′B′⊥AD ，'''',B F D B DF ∴∠=∠∴△B′F′D 为等腰三角形，∴B′D ＝B′F′＝3，2516333BB BD B D ''∴=-=-=，即163m =． （3）DQ 的长度分别为2512525310103243--、、或103． 在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD ＝DQ ，∴ ∠2＝2∠Q ，∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2，∴∠3＝∠Q ， ∴A′Q ＝A′B ＝5，∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=+=+=． 253103DQ BQ BD ∴=-=-； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ，∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上．∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2'22,BF F Q BQ +=即：2223(4),BQ BQ +-= 解得：258BQ =， 25251253824DQ BD BQ ∴=-=-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，∴ ∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022∴∠︒∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，149012∴∠=︒-∠． 149012A QB ∴∠'∠︒∠＝＝﹣， 118019012A BQ A QB ∴∠'︒∠'∠︒∠＝﹣﹣＝﹣， ∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5，∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，25103DQ BD BQ ∴=-=-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，∴ ∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴BQ ＝BA′＝5，2510533DQ BD BQ ∴=-=-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243--、、或103．【点睛】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．4．如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，且BE=DF ，点P 是AF 的中点，点Q 是直线AC 与EF 的交点，连接PQ ，PD ．（1）求证：AC 垂直平分EF ；（2）试判断△PDQ 的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF 绕着点C 旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．5．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G到BE的距离为h.∴.∴.∴点G到BE的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．6．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题7．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BDC ＝60°，求证：AD+CD ＝BD ；(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝m°，点E 为△ABC 外一点，点D 为BC 中点，∠EBC ＝∠ACF ，ED ⊥FD ，求∠EAF 的度数（用含有m 的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12m°. 【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC ，只要证明△DAB ≌△EAC 即可；（2）如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．首先证明△BDE 是等边三角形，再证明△ABD ≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．想办法证明△AFE ≌△AFG ，可得∠EAF=∠FAG=12m°. 详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE ， ∴∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②t＝2或14.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．9．（问题提出）如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∴△DEB≌△EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可．【详解】（1）证明：DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∵∠DBE=120°，∴∠EAF=∠DBE，又∵A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=DC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，∴△EDB≌FEA，∴BD=AF，AB=AE+BF，∴AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∴∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°∴△DEB≌△EFA，∴BD=AE， EB=AF，∴BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF ，∵AB=AC ，BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF ，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠DBE=∠EAF ；∵ED=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED ，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠BDE=∠AEF ，在△EDB 和△FEA 中，DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△EDB ≌△FEA （AAS ），∴BD=AE ，EB=AF ，∵BE=AB+AE ，∴AF=AB+BD ，即AB ，DB ，AF 之间的数量关系是：AF=AB+BD ．考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，10．已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE=BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′．（1）如图1，当α=30°时，求证：B ′C=DE ；（2）连接B ′E 、DE ′，当B ′E=DE ′时，请用图2求α的值；（3）如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为 ．【答案】（1）证明见解析（2）45°或22.5°（3）22-2≤PQ≤42+2【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到直角三角形AOE，再经过简单计算求出角，判断出△ADE≌△AB′C即可；（2）先判断出△AEB′≌△AE′D，再根据旋转角和图形，判断出∠BAB′=∠DAB′即可；（3）先判断出点Q的位置，PQ最小时和最大时的位置，进行计算即可．【详解】解：（1）如图1，连接AC，B′C，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°，∵AE=BD，∴AC=AE=2OA，在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA，∴∠E=30°，∴∠DAE=∠ADB-∠E=45°-30°=15°，由旋转有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°，∴∠DAE=15°，在△ADE和△AB′C中，''AD ABDAE CABAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，（2）如图2，由旋转得，AB′=AB=AD，AE′=AE，在△AEB′和△AE′D中，'''' AE AE AD AB DB DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，∴∠EAE′=∠DAB′，由旋转得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠BAB′=45°，或α=360°-90°-45°=225°；（3）如图3，∵正方形ABCD的边长为4，∴122，连接AC交BD于O，∴OA⊥BD，OA=12AC=122在旋转过程中，△ABE在旋转到边B'E'⊥AB于Q，此时PQ最小，由旋转知，△ABE≌△AB'E'，∴AQ=OA=12BD（全等三角形对应边上的高相等），∴PQ=AQ-AP=12-2在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E'重合，∴，∴+2，故答案为-+2．．。