建筑力学(组合变形)
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8组合变形2
max M y max 6 M z max 6 M y max max 2 Wz Wy bh bh2
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
杆件的应力与强度—组合变形(建筑力学)
组合变形
教学目标
知识目标
1.理解组合变形的基本概念； 2.掌握斜弯曲梁的强度计算方法； 3.掌握单向偏心压缩（拉伸）杆件的强度计算方法。
技能目标
1.能够将组合变形问题分解为基本变形的组合； 2.能够对斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形进行强度计算。
重点和难点
重点内容
难点内容
1.组合变形的基本概念；
压缩（拉伸）与弯曲
代入公式得： 解得：h≥280 mm Nhomakorabea此时截面中的最大压应力为：
课程研究内容
1.将组合变形问题分解为基本变形的组合；
2.简单组合变形强度计算方法。 2.应用叠加法解决工程中组合变形实际问题。
组合变形概念 • 组合变形：同时发生两种或两种以上的简单变形。
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形的分析方法
叠加法求解组合变形的计算步骤： （1）将构件的组合变形分解为基本变形； （2）分析、计算构件在每一种基本变形情况下产生的应力； （3）将同一点处的应力进行叠加，计算杆件危险点处的应力，然后进行强 度计算。
（2）内力分析。两个方向弯曲的最大弯矩值都是发生在固定端 截面处，分别为：
My=FL=2×2=4kN.m
斜弯曲
（3）应力分析。由变形情况可知，梁的最大拉应力发生在A点处，梁 的最大压应力发生在B点处，分别为：
故：梁的最大拉应力和最大压应力均为107.73MPa。
压缩（拉伸）与弯曲
l
φ Px 轴向力 ： Px=Pcosφ P 横向力： Py=Psinφ
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
【例1】如图所示为一悬臂梁，采用25a号 工字钢，已知q=5kN/m, F=2kN,Wy=48.28cm3,Wz=401.9cm3,求梁 的最大拉应力和最大压应力。
教学目标
知识目标
1.理解组合变形的基本概念； 2.掌握斜弯曲梁的强度计算方法； 3.掌握单向偏心压缩（拉伸）杆件的强度计算方法。
技能目标
1.能够将组合变形问题分解为基本变形的组合； 2.能够对斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形进行强度计算。
重点和难点
重点内容
难点内容
1.组合变形的基本概念；
压缩（拉伸）与弯曲
代入公式得： 解得：h≥280 mm Nhomakorabea此时截面中的最大压应力为：
课程研究内容
1.将组合变形问题分解为基本变形的组合；
2.简单组合变形强度计算方法。 2.应用叠加法解决工程中组合变形实际问题。
组合变形概念 • 组合变形：同时发生两种或两种以上的简单变形。
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形的分析方法
叠加法求解组合变形的计算步骤： （1）将构件的组合变形分解为基本变形； （2）分析、计算构件在每一种基本变形情况下产生的应力； （3）将同一点处的应力进行叠加，计算杆件危险点处的应力，然后进行强 度计算。
（2）内力分析。两个方向弯曲的最大弯矩值都是发生在固定端 截面处，分别为：
My=FL=2×2=4kN.m
斜弯曲
（3）应力分析。由变形情况可知，梁的最大拉应力发生在A点处，梁 的最大压应力发生在B点处，分别为：
故：梁的最大拉应力和最大压应力均为107.73MPa。
压缩（拉伸）与弯曲
l
φ Px 轴向力 ： Px=Pcosφ P 横向力： Py=Psinφ
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
【例1】如图所示为一悬臂梁，采用25a号 工字钢，已知q=5kN/m, F=2kN,Wy=48.28cm3,Wz=401.9cm3,求梁 的最大拉应力和最大压应力。
建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
建筑力学习题2
（4）直径为D的实心等直圆杆两端受扭转力矩作用，轴内最大剪应力为 ，若杆的直径改为D/2，则轴内的最大剪应力等于________。
3.判断题
（1）指甲刀剪的指甲实际上是受到剪切破坏。
（2）受剪切变形的构件，其剪应力 与剪应变 成正比，即 。
（3）塑性材料和脆性材料的许可剪应力相同。
（4）一般来说材料的挤压强度要比剪切强度大。
A扭矩增大，最大剪应力减小B扭矩减小，最大剪应力增大
C扭矩不变，最大剪应力减小D扭矩不变，最大剪应力增大
5.计算题
（1）如图7.17所示钢板由两个铆钉连接。已知铆钉直径d=2.4cm，钢板厚度t=1.2cm，拉力P=30kN，铆钉许可剪应力 =60MPa，许可挤压应力 =120MPa。试对铆钉作强度校核。
_________；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按_________分布的。
（5）矩形截面梁若最大剪力、最大弯矩和截面宽度不变，而将高度增加一倍，则最大弯曲正应力为原来的_________倍，最大弯曲剪应力为原来的_________倍。
（6）简支梁受力如下图8.31所示，若不计自重，则C点处的 =， =，D点处的 =， =。
图11.45图11.46
（7）图11.47所示结构CD杆的内力为______。
图11.47
（8）三铰拱在竖向荷载作用下，其支座反力与三个铰的位置_____关，与拱轴形状_____关。
（9）图11.48结构固定支座的竖向反力 =。
（10）图11.49三铰拱的水平推力H=。
图11.48图11.49
3.判断题
（1）静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（）
（2）静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。（）
3.判断题
（1）指甲刀剪的指甲实际上是受到剪切破坏。
（2）受剪切变形的构件，其剪应力 与剪应变 成正比，即 。
（3）塑性材料和脆性材料的许可剪应力相同。
（4）一般来说材料的挤压强度要比剪切强度大。
A扭矩增大，最大剪应力减小B扭矩减小，最大剪应力增大
C扭矩不变，最大剪应力减小D扭矩不变，最大剪应力增大
5.计算题
（1）如图7.17所示钢板由两个铆钉连接。已知铆钉直径d=2.4cm，钢板厚度t=1.2cm，拉力P=30kN，铆钉许可剪应力 =60MPa，许可挤压应力 =120MPa。试对铆钉作强度校核。
_________；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按_________分布的。
（5）矩形截面梁若最大剪力、最大弯矩和截面宽度不变，而将高度增加一倍，则最大弯曲正应力为原来的_________倍，最大弯曲剪应力为原来的_________倍。
（6）简支梁受力如下图8.31所示，若不计自重，则C点处的 =， =，D点处的 =， =。
图11.45图11.46
（7）图11.47所示结构CD杆的内力为______。
图11.47
（8）三铰拱在竖向荷载作用下，其支座反力与三个铰的位置_____关，与拱轴形状_____关。
（9）图11.48结构固定支座的竖向反力 =。
（10）图11.49三铰拱的水平推力H=。
图11.48图11.49
3.判断题
（1）静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（）
（2）静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。（）
建筑力学14-组合变形
图11.2
11.2.4 强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和 危险点的位置。危险点在危险截面上离中性 轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的 截面，危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示 的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危 险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B 点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。
Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN·m=29kN·m
该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为
Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN·m=7.76kN·m
(3) 强度校核
由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为
Wy=70.8cm3=70.8×103mm3
mz=Pey，my=Pez
可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂
直的平面弯曲的组合。
由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为
(3) 选择截面尺寸
根据式(12.4)，檩条的强度条件为
Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］
上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5，
代入上式，得
3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10
Wy≥387×103mm3
由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103
(2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确定的h尺 寸下，柱截面中的最大压应力为多少?
【解】(1)
将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为
N=P1+P2=(100+50)kN=150kN
图11.8
截面的弯矩为
Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m
建筑力学课件 第十三章 组合变形
max
M
m
ax
cos Iz
ymax
s in
Iy
z
m
ax
【注】斜弯曲时，梁内剪应力很小 ，通常不予计算。
13.2 斜弯曲
三、强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。 对于图13-3所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大 ，是危险截面。对矩形、工字形等具有两个对称轴及 棱角的截面，最大正应力必定发生在角点上（图134d）。将角点坐标代入式（13-2）式便可求得任意截 面上的最大正应力值。
13.2 斜弯曲
由式（13-2）可见，应力σ是坐标y、z的线性函数，所以 它是一个平面方程。正应力σ在横截面上的分布规律 可用一倾斜平面表示（如图13-4d）。斜平面与横截
面的交线就是中性轴，它是横截面上正应力等于零的
各点的连线，这条连线也称为零线。零线在危险截面
上的位置可由应力σ = 0的条件确定，即：
与轴力FN (x)对应的正应力为
N
FN (x) A
与弯矩M(x)对应的弯曲正应力为
M
M (x)y Iz
13.3 压缩（拉伸）与弯曲组合
将两项应力叠加后得总应力，即
N
M
FN (x) M (x) y
A
Iz
（13-6）
叠加后的应力分布如图13-9(d)所示。显然，最大拉应力
发生在DD边，最大压应力发生在CC边。对于抗拉
3EI z
因Fz所引起的挠度为
fz
Fzl 3 3EI y
Fl3 sin
3EI y
由叠加原理，自由端的总挠度是两个方向挠度的矢量和(
如图13-6a)，即 f
f
2 y
f
建筑力学(第二版)第1章至第13章知识点节选
绪论部分荷载：直接施加在结构上的力，在工程上统称荷载。
结构：在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用的部分。
构件：组成结构的每一个部分。
平衡状态：建筑的结构及组成结构的各构件，都相对于地面保持着静止状态，这种状态在工程上称为平衡状态。
要保证构件的正常工作，必须同时满足三个要求：1）在荷载作用下构件不发生破坏，即应具有足够的强度2）在荷载作用下构件所产生的变形在工程的允许范围内，即应具有足够的刚度3）承受荷载作用时，构件在其原有形状下应保持稳定，即应具有足够的稳定性※构件的强度、刚度和稳定性统称为构件的承载能力建筑力学的任务是：研究和分析作用在结构（或构件）上力与平衡的关系，结构（或构件）的内力、应力、变形的计算方法以及构件的强度、刚度与稳定条件，为保证结构（或构件）既安全可靠又经济合理提供计算理论依据。
杆系结构：由杆件组成的结构。
建筑力学：是由研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学。
第一章静力学的基本概念力的定义：力是物体间的相互机械运动。
用一个带有箭头的有向线段来表示一个力（注意作用点的位置）物体在受到力的作用后，产生的效应可以分成两种：外效应，也称为运动效应，使物体的运动状态发生改变。
内效应，也称为变形效应，使物体的形状发生变化。
力的三要素：大小、方向、作用点力的大小反应物体之间的相互机械作用的强弱程度力的方向包含力的作用线在空间的方位和指向力的作用点是指力在物体的作用位置当接触面面积很小时，则可以将微小面积抽象为一个点，这个点称为力的作用点。
该作用力称为集中力；反之，如果接触面积较大而不能忽略时，则力在整个接触面上分布作用，此时的作用力称为分布力。
分布力的大小用单位面积上的力的大小来度量，称为荷载集度。
力是矢量，记作F刚体：在外力的作用下，不发生形变的物体。
平衡：在外力作用下，物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态，我们就称物体在外力作用下保持平衡。
力系分类汇交力系：力系中各力作用线汇交于一点力偶系：力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成平行力系：力系中各力作用线相互平行一般力系：力系中各力作用线既不完全交于一点，也不完全相互平行等效力系：若某一力系对物体产生的效应，可以用另一个力系来代替，则这两个力系称为等效力系。
建筑力学 第十二章 组合变形
图12.1
二、组合变形的分析方法及计算原理 处理组合变形问题的方法： 1.将构件的组合变形分解为基本变形； 2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力； 3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构 件在组合变形情况下的应力。 叠加原理是解决组合变形计算的基本原理 叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定 律，构件产生小变形，所求力学量定荷载 的一次函数的情况下，
对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值 可按下述范围选取： 矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2； 工字形截面：Wz/Wy =8～10； 槽形截面： Wz/Wy =6～8。
【例12.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成， 材料为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的 集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角 φ=15°，如图12.3所示。试校核吊车梁的强度。 【解】(1) 荷载分解图11.9
(2) 计算横梁的内力 横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中 点截面D的弯矩最大，其值为 Mmax= Pl/4 = 15.5×3.4/4 kN· m=13.18kN· m 横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各截面的轴 力都相等，其值为 N=Rx=17.57kN (3) 选择工字钢型号 由式(12.7)，有 σymax=｜- N/A - Mmax/Wz｜≤［σ］
§12.2 斜弯曲
• 对于横截面具有对称轴的梁，当横 向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变 形后的轴线仍位于外力所在的平面内， 这种变形称为平面弯曲。 • 如果外力的作用平面虽然通过梁轴 线，但是不与梁的纵向对称面重合时， 梁变形后的轴线就不再位于外力所在的 平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯 曲。斜弯曲可分解为两个平面弯曲。
建筑力学与结构——组合变形
现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲的应力和变形的计算。 如下图右所示悬臂梁，在自由端受集中力F作用，F通过截面形心并 与y轴成φ角。 选取坐标系如下图右所示，梁轴线作为x轴，两个对称轴分别作为y轴 和z轴
一、应力 将力F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得：
这两个分量分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。求距 自由端为x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。
课题2 斜弯曲变形的应力和强度计算
在前面曾经指出，对于横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向 对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成为一条位于纵向对称面内的平 面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。
但当外力不作用在纵向对称平面内时，如下图所示。实验及理论研 究表明，此时梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯 曲，这种弯曲称为斜弯曲。
σmax发生在D1点，最小正应力σmin发生在D2点，且ymax = |ymin|, Zmax=|Zmin|，σmax=|σmin| ,因此
若材料的抗拉与抗压强度相同，其强度条件就可以写为：
对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈 弧线的截面，如下图左所示，则需要研究应力的分布规律， 确定中性轴位置。为此，将斜弯曲正应力表达式改写为
在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险 点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是由最大正应力控制。所 以对如上图右所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯 矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则 对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形 等，根据对变形的判断，可知最大正应力
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设它 与z轴的夹角为α， 如下图所示，则有
一、应力 将力F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得：
这两个分量分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。求距 自由端为x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。
课题2 斜弯曲变形的应力和强度计算
在前面曾经指出，对于横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向 对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成为一条位于纵向对称面内的平 面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。
但当外力不作用在纵向对称平面内时，如下图所示。实验及理论研 究表明，此时梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯 曲，这种弯曲称为斜弯曲。
σmax发生在D1点，最小正应力σmin发生在D2点，且ymax = |ymin|, Zmax=|Zmin|，σmax=|σmin| ,因此
若材料的抗拉与抗压强度相同，其强度条件就可以写为：
对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈 弧线的截面，如下图左所示，则需要研究应力的分布规律， 确定中性轴位置。为此，将斜弯曲正应力表达式改写为
在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险 点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是由最大正应力控制。所 以对如上图右所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯 矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则 对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形 等，根据对变形的判断，可知最大正应力
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设它 与z轴的夹角为α， 如下图所示，则有
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
max
26103 N 26.1104 m2
22.5103 N m 141106 m3
9.96159.57 106 P a
169.53MPa 170MPa
选用16号工字钢能满足强度要求。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 【例9.4】 如图所示桥墩，其上承
受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压 力F 1=1920 kN，桥墩墩帽及墩身自重 F2 =334 kN，基础自重F3=1450 kN，车 辆的水平制动力F4=300kN，试绘出基础 底部截面上的正应力分布图。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
1. 内力分析 拉伸（压缩）与弯曲 的组合变形杆件，其内力 一般有轴力FN、弯矩M和 剪力FS。通常情况下，剪 力对强度的影响较小，可 不予考虑。只需绘出杆件 的FN图和M图（如图）。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
2. 应力分析 轴力FN引起的正应力在横截面上均匀分布（如图），其值为
曲截面系数Wz=185×10-6 m3，代入上式得
max
26103 N 30.6 104 m2
22.5103 N m 185106 m3
8.50121.62 106 P a
130.12MPa 170MPa
所以该横梁强度足够。
从此例看出，由弯曲引起的正应力远比由压缩引起的正应力大， 故在设计截面时，可先按弯曲正应力强度条件选择工字钢型号，然 后再同时考虑由弯曲和轴向压缩（或拉伸）引起的正应力，校核最 大正应力是否满足强度条件，若不能满足强度条件，再另行选择。
应力状态，所以拉伸（压缩）与弯曲组合变形杆件的强度条件可表
示为
max
FN A
建筑力学-形考3答案
建筑(jiànzhù)力学＃-0003答案(dáàn)1. （）图形(túxíng)对形心轴的静矩恒为零。
•√•×2. （）细长(xì chánɡ)压杆，其他条件不变，若其长度系数增加一倍，则临界力为原临界力的2倍。
•√•×3. （）砼柱，高6m，下端与基础(jīchǔ)固结，上端与屋架焊接（可视为铰支）。
柱截面为bxh=250mmx600mm,弹性模量E=26GPa，计算柱的临界压力为11350KN 。
•√•×4. （）当作功的力与相应位移彼此相关时，即当位移是由做功的力本身引起时，此功称为虚功。
•√•×5. （）横力弯曲时，梁截面上的内力既有剪力，又有弯矩，则截面上应力应该是：中性轴上切应力最小；上、下边缘正应力最小。
•√•×6. （）两根不同材料制成的梁，其尺寸、形状、受力和支座情况完全相同，则两梁的应力相同，变形相同。
•√•×7. （）构件的许用应力是保证构件安全工作(gōngzuò)的平均工作应力。
•√•×8. （）利用虚功原理在所求位移(wèiyí)处沿所求位移方向虚设单位荷载求结构位移的方法，称为单位荷载法。
•√•×9. （）只要(zhǐyào)平面有图形存在，该图形对某轴的惯性矩大于零。
•√•×10. （）细长杆承受轴向压力F的作用，其临界压力与杆的材质(cái zhì)无关。
•√•×11. （）当剪应力超过材料的剪切比例极限(jíxiàn)时，剪应力互等定理和剪切胡克定律均成立。
•√•×12. （）组合变形是由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形。
•√•×13. （）按照强度条件，构件(gòujiàn)危险截面上的工作应力不应超过材料的许用应力。
建筑力学—组合变形及答案讲解
建筑⼒学—组合变形及答案讲解第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件⽐较常见的基本变形形式。
通常把以发⽣弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平⾯弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的⼒学简图；弯曲内⼒及内⼒图；弯曲应⼒和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内⼒分析和画弯矩图是本章的重点。
第⼀节平⾯弯曲的概念和⼒学简图⼀、弯曲概念和受⼒特点当杆件受到垂直于杆轴的外⼒作⽤或在纵向平⾯内受到⼒偶作⽤(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外⼒作⽤下其轴线变成了⼀条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
⼯程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是⼯程中最常见的⼀种基本变形。
例如房屋建筑中的楼⾯梁和阳台挑梁，受到楼⾯荷载和梁⾃重的作⽤，将发⽣弯曲变形，如图6-2所⽰。
⼀些杆件在荷载作⽤下不仅发⽣弯曲变形，还发⽣扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2⼯程实际中常见到的直梁，其横截⾯⼤多有⼀根纵向对称轴，如图6-3所⽰。
梁的⽆数个横截⾯的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平⾯，如图6-4所⽰。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外⼒（包括⼒偶）作⽤在梁的纵向对称平⾯内，梁的轴线将在其纵向对称平⾯内弯成⼀条平⾯曲线，梁的这种弯曲称为平⾯弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平⾯弯曲变形。
从以上⼯程实例中可以得出，直梁平⾯弯曲的受⼒与变形特点是：外⼒作⽤于梁的纵向对称平⾯内，梁的轴线在此纵向对称⾯内弯成⼀条平⾯曲线。
⼆、梁的受⼒简图为了便于分析和计算直梁平⾯弯曲时的强度和刚度，需建⽴梁的⼒学简图。
梁的⼒学简图（⼒学模型）包括梁的简化、荷载的简化和⽀座的简化。
1、梁的简化由前述平⾯弯曲的概念可知，载荷作⽤在梁的纵向对称平⾯内，梁的轴线弯成⼀条平⾯曲线。
因此，⽆论梁的外形尺⼨如何复杂，⽤梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所⽰的⽕车轮轴和桥式起重机⼤梁，可分别⽤梁的轴线AB代替梁进⾏简化（图6-1b和图6-2b）。
第十章 组合变形
解： (2）杆中的最大压应力 危险截面：固定端面 轴力： FN F1 6kN 弯矩： M max F2l 2kN 2m 4kN.m
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2
6 103 0.12 0.15
6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
Wz
FN bh
F2a
1 6
bh2
6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：B 点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh
6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
12
第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2
6 103 0.12 0.15
6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
Wz
FN bh
F2a
1 6
bh2
6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：B 点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh
6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
12
第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。
建筑力学第8章组合变形
• ■一、内力计算
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
结构的计算简图及受力分析—杆系结构的分类(建筑力学)
3 桁架 ——由直杆组成，所有结点均为铰结点，
所有荷载均是作用在结点上的集中荷载。 桁架中所有的杆件都是二力杆。
4 拱 ——轴线为曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力）。
杆系结构的分类
5 组合结构 ——由桁架和梁或桁架与刚架组合而成的一种结构。
桁架杆产生轴向拉压变形 梁式或刚架杆主要承受弯曲变形
杆件变形的基本形式
在不同的荷载作用下杆件的变形可以分为四种基本变形 1 轴向拉伸和压缩
受力特点：一对大小相等、方向相反、沿杆轴线作用的外力 变形特点：主要是沿杆轴线方向的伸长或缩短。
轴向拉伸Leabharlann 轴向压缩杆件变形的基本形式
2 剪切 受力特点：一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近 沿垂直于杆轴线方向作用的外力 变形特点：杆件的横截面沿外力的方向发生相对错动
3 扭转 受力特点：一对大小相等、转向相反、作用面垂直于轴线的外力偶 变形特点：横截面绕轴线相对转动。
杆件变形的基本形式
4
弯曲
受力特点：一对大小相等、转向相反、作用面垂直于横截面的外力偶 或垂直于杆轴线的横向外力。
变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线
工程实际中的杆件可能只发生某一种基本变形 也可能同时发生两种或两种以上基本变形形式的组合——组合变形
杆系结构的分类
建筑力学的研究对象是杆系结构，根据受力特性的不同可以将杆系结构分为 以下几种 1 梁 ——受弯构件，其轴线通常为直线。 有单跨梁和多跨梁
单跨梁
多跨梁
杆系结构的分类
2 刚架 ——由多根直杆组成的具有刚结点的结构。各杆主要承受弯曲变形
刚架中的结点大部分是刚结点，也可以有部分铰结点。
杆系结构的分类
所有荷载均是作用在结点上的集中荷载。 桁架中所有的杆件都是二力杆。
4 拱 ——轴线为曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力）。
杆系结构的分类
5 组合结构 ——由桁架和梁或桁架与刚架组合而成的一种结构。
桁架杆产生轴向拉压变形 梁式或刚架杆主要承受弯曲变形
杆件变形的基本形式
在不同的荷载作用下杆件的变形可以分为四种基本变形 1 轴向拉伸和压缩
受力特点：一对大小相等、方向相反、沿杆轴线作用的外力 变形特点：主要是沿杆轴线方向的伸长或缩短。
轴向拉伸Leabharlann 轴向压缩杆件变形的基本形式
2 剪切 受力特点：一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近 沿垂直于杆轴线方向作用的外力 变形特点：杆件的横截面沿外力的方向发生相对错动
3 扭转 受力特点：一对大小相等、转向相反、作用面垂直于轴线的外力偶 变形特点：横截面绕轴线相对转动。
杆件变形的基本形式
4
弯曲
受力特点：一对大小相等、转向相反、作用面垂直于横截面的外力偶 或垂直于杆轴线的横向外力。
变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线
工程实际中的杆件可能只发生某一种基本变形 也可能同时发生两种或两种以上基本变形形式的组合——组合变形
杆系结构的分类
建筑力学的研究对象是杆系结构，根据受力特性的不同可以将杆系结构分为 以下几种 1 梁 ——受弯构件，其轴线通常为直线。 有单跨梁和多跨梁
单跨梁
多跨梁
杆系结构的分类
2 刚架 ——由多根直杆组成的具有刚结点的结构。各杆主要承受弯曲变形
刚架中的结点大部分是刚结点，也可以有部分铰结点。
杆系结构的分类
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（1）、荷载的简化
F'
F M y F ez
x
y
M z F ey
（2）、任意横截面任意点的“σ”
F
z x
x
F'
Mz
y
My
z
（a）内力：
FN (x) F M z (x) F ey M y (x) F ez
h
z
ey
ez b
z
zk yk
yk
（b）正应力：
N k
F, A
My
k
M y zk Iy
§9-2 斜 弯 曲
一、斜弯曲的概念
平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴 方向平行,挠曲线在纵向对称面内。
斜弯曲： 横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行 挠曲线不位于外力所在的纵向平面内
x
x
x
x
z
z
F
F
二、斜弯曲的计算
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
求解步骤 ①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面。
③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
q
=26°34′
y
max
Mz Wz
My Wy
q
972 103 1 80 120 2
487 103 1 120 802
8.86(MPa)
6
6
fz
z
fy
3、刚度计算
w
f z max
5qz L4 384EIy
5 358 10 3
384 9103 1 120 803
11.99(mm)
=26°34′
3EI z
3EI y
F
Fsy
y
fmax f
tan f z Fz I z I z tan
f y I y Fy I y
z wz
w
wy
例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m
的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，
试校核此梁的强度和刚度。
cmax
M z maxymax Iz
M y m zax max Iy
M zmax Wz
M ymax Wy
强度条件（简单应力状态）—— max
4、刚度计算
y
f
y max
Fy L3 3EIz
,
f z max
Fz L3 3EIy
Fsz z
z
y
fmax
f
2 y
f
2 z
( Fy L3 )2 ( Fz L3 )2
12
f
y max
5qy L4 384EIz
384
5 714 10 3 9103 1 80 120
3
10.63(mm)
12
tan fz 11.99 f y 10.63
48.44o
fmax wz2max wy2max 11.992 10.632 16.02(mm)
fmax
16.02(mm) w
y
在 My 作用下：
y
Mz
z
z
My
y
k
z Fz
F
Fy
（3）叠加：
k
kMz
kMy
M z yk Iz
M y zk Iy
y
b
a
z
c
y
b
a
y
x
z
My
c
z
x
F
d
3、强度计算
危险截面——固定端
d
M z max Fyl,
M y max Fzl
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
t max
第九章 组合变形
§1 组合变形概念和工程实例 §2 斜弯曲 §3 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉压 §4 截面核心 §5 弯扭组合变形
§9-1 组合变形概念和工程实例
一、组合变形概念
构件同时发生两种或两种以上的基本变形，如 几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称 为组合变形
工程实例: 烟囱，传动轴 吊车梁的立柱
k z
y
在 FN 作用下： Z
在 Mz 作用下： Z
Y
FN k
FN (x) A
（3）叠加：
k k FN k Mz
Y
Mz k
M z (x) yk Iz
b
a
Z
Z
d
c 3、强度计算
危险截面——固定端
Y
Y
FN F cos M zmax F sin l
危险点——“ab”边各点有最大的拉应力，
q
解：1、外力分解
A
qz q sin 800 0.447 358 N / m
qy q cos 800 0.894 714 N / m
2、强度计算
M zmax
qy L2 8
714
3.32 8
972 Nm
z
M ymax
qz L2 8
358 3.32 8
487 Nm
B
L
y
b=80mm h=120mm
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
k
z Fz
F
Fy
正应力的分布——
在 Mz 作用下：
“cd”边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。
t max
M
z m ax
FN
Wz
A
c max
M zmax
FN
Wz
A
强度条件（简单应力状态）——
max
二、偏心拉(压)
1、偏心拉(压)的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。
F
x F' My
x
F'' My
Mz
z
z
y
y
2、偏心拉(压)的计算
3.3 10 3 200
16.5(mm)
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，
l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：
(1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
解：（1） 矩形截面： （2）、圆截面
对于无棱角的截面如何进行强度计算—— 1、首先确定中性轴的位置；
一、拉(压)弯组合变形的计算
1、荷载的分解
x
F
Fx F cos
Fy F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
（1）内力：
FN (x) Fx F cos
y
M z (x) Fy x F sin x
（2）应力：k
M z (x) yk Iz
Fx x
F Fy
F
z
中性轴
y
Fz k b
A LB
k
kMz
kMy
M z yk Iz
M y zk Iy
令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标
a
F
Fy
M z y0 M y z0 0
Iz
Iy
——中性轴方程 （过截面形心的一条斜直线）
2、找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；
3、最后进行强度计算。
§9－3 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉压
F'
F M y F ez
x
y
M z F ey
（2）、任意横截面任意点的“σ”
F
z x
x
F'
Mz
y
My
z
（a）内力：
FN (x) F M z (x) F ey M y (x) F ez
h
z
ey
ez b
z
zk yk
yk
（b）正应力：
N k
F, A
My
k
M y zk Iy
§9-2 斜 弯 曲
一、斜弯曲的概念
平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴 方向平行,挠曲线在纵向对称面内。
斜弯曲： 横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行 挠曲线不位于外力所在的纵向平面内
x
x
x
x
z
z
F
F
二、斜弯曲的计算
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
求解步骤 ①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面。
③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
q
=26°34′
y
max
Mz Wz
My Wy
q
972 103 1 80 120 2
487 103 1 120 802
8.86(MPa)
6
6
fz
z
fy
3、刚度计算
w
f z max
5qz L4 384EIy
5 358 10 3
384 9103 1 120 803
11.99(mm)
=26°34′
3EI z
3EI y
F
Fsy
y
fmax f
tan f z Fz I z I z tan
f y I y Fy I y
z wz
w
wy
例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m
的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，
试校核此梁的强度和刚度。
cmax
M z maxymax Iz
M y m zax max Iy
M zmax Wz
M ymax Wy
强度条件（简单应力状态）—— max
4、刚度计算
y
f
y max
Fy L3 3EIz
,
f z max
Fz L3 3EIy
Fsz z
z
y
fmax
f
2 y
f
2 z
( Fy L3 )2 ( Fz L3 )2
12
f
y max
5qy L4 384EIz
384
5 714 10 3 9103 1 80 120
3
10.63(mm)
12
tan fz 11.99 f y 10.63
48.44o
fmax wz2max wy2max 11.992 10.632 16.02(mm)
fmax
16.02(mm) w
y
在 My 作用下：
y
Mz
z
z
My
y
k
z Fz
F
Fy
（3）叠加：
k
kMz
kMy
M z yk Iz
M y zk Iy
y
b
a
z
c
y
b
a
y
x
z
My
c
z
x
F
d
3、强度计算
危险截面——固定端
d
M z max Fyl,
M y max Fzl
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
t max
第九章 组合变形
§1 组合变形概念和工程实例 §2 斜弯曲 §3 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉压 §4 截面核心 §5 弯扭组合变形
§9-1 组合变形概念和工程实例
一、组合变形概念
构件同时发生两种或两种以上的基本变形，如 几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称 为组合变形
工程实例: 烟囱，传动轴 吊车梁的立柱
k z
y
在 FN 作用下： Z
在 Mz 作用下： Z
Y
FN k
FN (x) A
（3）叠加：
k k FN k Mz
Y
Mz k
M z (x) yk Iz
b
a
Z
Z
d
c 3、强度计算
危险截面——固定端
Y
Y
FN F cos M zmax F sin l
危险点——“ab”边各点有最大的拉应力，
q
解：1、外力分解
A
qz q sin 800 0.447 358 N / m
qy q cos 800 0.894 714 N / m
2、强度计算
M zmax
qy L2 8
714
3.32 8
972 Nm
z
M ymax
qz L2 8
358 3.32 8
487 Nm
B
L
y
b=80mm h=120mm
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
k
z Fz
F
Fy
正应力的分布——
在 Mz 作用下：
“cd”边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。
t max
M
z m ax
FN
Wz
A
c max
M zmax
FN
Wz
A
强度条件（简单应力状态）——
max
二、偏心拉(压)
1、偏心拉(压)的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。
F
x F' My
x
F'' My
Mz
z
z
y
y
2、偏心拉(压)的计算
3.3 10 3 200
16.5(mm)
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，
l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：
(1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
解：（1） 矩形截面： （2）、圆截面
对于无棱角的截面如何进行强度计算—— 1、首先确定中性轴的位置；
一、拉(压)弯组合变形的计算
1、荷载的分解
x
F
Fx F cos
Fy F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
（1）内力：
FN (x) Fx F cos
y
M z (x) Fy x F sin x
（2）应力：k
M z (x) yk Iz
Fx x
F Fy
F
z
中性轴
y
Fz k b
A LB
k
kMz
kMy
M z yk Iz
M y zk Iy
令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标
a
F
Fy
M z y0 M y z0 0
Iz
Iy
——中性轴方程 （过截面形心的一条斜直线）
2、找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；
3、最后进行强度计算。
§9－3 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉压