函数创新题

函 数 创 新 试 题 解 读
函数创新试题非常多见，因为函数本身内容深厚，何况又有数形等多种表达形式，因此有关函数创新试题灵活多变、花样翻新、层出不穷。

这方面的试题既有利于考查对函数知识与方法的理解与掌握，又有利于考查学生的创新精神和探索能力。

下面我们分类进行解读，以期对同学们学习与复习有所帮助。

1． 创新“概念”题
例1 已知函数))(2(log )(*1N n n n f n ∈+=+，定义使),2(),1(f f …，)(k f 为整数的数k k (∈*N ）叫做企盼数，则在区间[1，100]内这样的企盼数共有______个．
解读：这里创新定义的“企盼数”非常独到，且有对数的介入，因而试题设计得精巧、深刻．依题意有：,5log )3(,4log )2(,3log )1(432===f f f …，)2(log )(1+=+k k f k ，则有
)2(log )()3()2()1(2+=⋅⋅k k f f f f ,
令n k =+)2(log 2，则22-=n k ,
由k ∈[1，100]得：100221≤-≤n ，∴10223≤≤n 。

∵*N n ∈，∴6,5,4,3,2=n ，故所求企盼数共有5个。

2． 创新“符号”题
例2 对任意函数)(x f 、)(x g 在公共定义域内，规定)(x f ※)}(),(min{)(x g x f x g =，若x x g x x f 2log )(,3)(=-=，则)(x f ※)(x g 的 最大值为_________。

解读：解此题关键在于理解规定符号※式子的含义，其实)(x f ※)(x g 就是)(x f 、)(x g 中函数值较小者，在同一坐标系中作出两个函数x x g x x f 2log )(,3)(=-=的图象（此略），且当)(x f =)(x g 即x x 2log 3=-时，观察易知2=x ；又当2=x 时，1)2()2(==g f ，则有
)(x f ※⎪⎩
⎪⎨
⎧≥-≤<=)2(3)
20(log )(2x x x x x g ， ∴)(x f ※)(x g 的 最大值为1。

3． 创新“图表”题
例3 如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意)()1()(])1([],1,0[2121x f x f x x f λλλλλ-+≤-+∈恒成立”的只有（ ）
A ．)(),(31x f x f
B ．)(2x f
C ．)(),(32x f x f
D ．)(4x f ．
解读：本题创新考查函数图象，情景新颖、内容深刻．注意到]1,0[∈λ时，不等式成立，于是可用特殊化思想．即取21
=
λ，则有2
)()()2(2121x f x f x x f +≤+。

经考查四个函数图象，只有)(),(31x f x f 满足此性质，故正确答案为)(A ． 4． 创新“性质”题
例4 对函数)(x f ，],[b a x ∈，及],[),(b a x x g ∈，若任意],[b a x ∈总有|)
()
()(|
x f x g x f -
10
1
≤
，称)(x f 可被)(x g 替代。

下面给出的函数中，能替代]16,4[,)(∈=x x x f 的是（ ）． ]16,4[),6(5
1
)()(∈+=x x x g A 16)()(+=x x g B ，]16,4[∈x
6)()(+=x x g C ，]16,4[∈x 62)()(+=x x g D ，]16,4[∈x ．
解读：此题通过创新定义“替代”来考查函数的特定性质，这就要求对其所定义的性质明确原理。

仔细审题易知]16,4[,)(∈=x x x f 能被)(x g 替代，即当]16,4[∈x 时，总有不等式
|)()()(|
x f x g x f -10
1
≤成立．但当取4=x 时，2)4(=f ，对四个选项依次代入)4(g 进行验证，
只有)(A 满足要求，故)(A 正确． 5． 创新“算法”题 例5 已知2
21)(+=
x
x f ，求则+-)5(f )6()5()0()4(f f f f +++++- 的值为
_______。

解读：显然，此题若直接代入求值，势必陷入烦琐运算，因此寻求一种合理与简捷的方法至关重要。

注意到所求的自变量值呈现一对一对的特点，故作如下尝试：
设121=+x x ，则有
2
)22(22)22(2222
12
21)()(2
12
1212
1
21+++++=
++
+=
++x x x x x x x x x f x f
=
2
22
1
)
22(24)22(222121=
=++++x x x x 。

于是)5(-f +)6()5()0()4(f f f f +++++-
=)]1()0([)]5()4([)]6()5([f f f f f f ++++-++- =232
2
6=⨯。

6．创新“探索”题
例6 对于区间],[n m 都有意义的两个函数)(1x f 与)(2x f ，如果当任意∈x ],[n m ，均有
1|)()(|21≤-x f x f ，则称)(1x f 与)(2x f 在],[n m 上是接近的，否则称)(1x f 与)(2x f 在]
,[n m 上是非接近的。

能否确定出a 的取值范围，使两个函数)3(log )(1a x x f a -=与
a
x x f a
-=1
log )(2在]3,2[++=a a D 上是接近或不接近的。

解读：此题属于创新探索情境，须深刻理解题意。

至于求参数范围，最终要列出含参的不等式（组）。

首先知a x a x --,3在]3,2[++a a 上恒正，故有
101,0020
32<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≠>>-+>-+a a a a a a a ， 若)(1x f 与)(2x f 在D 上是接近的，则有
1|)()(|21≤-x f x f 1|1
log )3(log |≤---⇔a
x a x a
a 1|))(3(log |≤--⇔a x a x a 1))(3(log 1≤--≤-⇔a x a x a )10(1
))(3(<<≤--≤⇔a a a x a x a ……※，
设22)2())(3()(a a x a x a x x g --=--=，其图象的对称轴22<=a x ，∴)(x g 在D 上为增函数，则要使※成立，只须
1257901012579,12579541
01)3()2(-≤<⇒⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<+≥-≤
≤⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<<≤+≥+a a a a a a a a g a a g ， 综上：当125790-≤
<a 时，)(1x f 与)(2x f 是接近的；当112
57
9<<-a 时，)(1x f 与)(2x f 是非接近的。

7．创新“应用”题
例7某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（1）
写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援种植成本与时间的函数关系式
Q=g(t)；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
解读：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为：。

由图二可得种植成本与时间的函数关系为：
（2）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即
当0≤t≤200时，配方整理得：
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200<t≤300时，配方整理得
∴当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5。

综上：h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。