函数创新题

函 数 创 新 试 题 解 读

函数创新试题非常多见，因为函数本身内容深厚，何况又有数形等多种表达形式，因此有关函数创新试题灵活多变、花样翻新、层出不穷。这方面的试题既有利于考查对函数知识与方法的理解与掌握，又有利于考查学生的创新精神和探索能力。 下面我们分类进行解读，以期对同学们学习与复习有所帮助。 1． 创新“概念”题

例1 已知函数))(2(log )(*1N n n n f n ∈+=+，定义使),2(),1(f f …，)(k f 为整数的数k k (∈*N ）叫做企盼数，则在区间[1，100]内这样的企盼数共有______个．

解读：这里创新定义的“企盼数”非常独到，且有对数的介入，因而试题设计得精巧、深刻．依题意有：,5log )3(,4log )2(,3log )1(432===f f f …，)2(log )(1+=+k k f k ，则有

)2(log )()3()2()1(2+=⋅⋅k k f f f f ,

令n k =+)2(log 2，则22-=n k ,

由k ∈[1，100]得：100221≤-≤n ，∴10223≤≤n 。 ∵*N n ∈，∴6,5,4,3,2=n ，故所求企盼数共有5个。

2． 创新“符号”题

例2 对任意函数)(x f 、)(x g 在公共定义域内，规定)(x f ※)}(),(min{)(x g x f x g =，若x x g x x f 2log )(,3)(=-=，则)(x f ※)(x g 的 最大值为_________。

解读：解此题关键在于理解规定符号※式子的含义，其实)(x f ※)(x g 就是)(x f 、)(x g 中函数值较小者，在同一坐标系中作出两个函数x x g x x f 2log )(,3)(=-=的图象（此略），且当)(x f =)(x g 即x x 2log 3=-时，观察易知2=x ；又当2=x 时，1)2()2(==g f ，则有

)(x f ※⎪⎩

⎪⎨

⎧≥-≤<=)2(3)

20(log )(2x x x x x g ， ∴)(x f ※)(x g 的 最大值为1。 3． 创新“图表”题

例3 如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意)()1()(])1([],1,0[2121x f x f x x f λλλλλ-+≤-+∈恒成立”的只有（ ）

A ．)(),(31x f x f

B ．)(2x f

C ．)(),(32x f x f

D ．)(4x f ．

解读：本题创新考查函数图象，情景新颖、内容深刻．注意到]1,0[∈λ时，不等式成立，于是可用特殊化思想．即取21

=

λ，则有2

)()()2(2121x f x f x x f +≤+。经考查四个函数图象，只有)(),(31x f x f 满足此性质，故正确答案为)(A ． 4． 创新“性质”题

例4 对函数)(x f ，],[b a x ∈，及],[),(b a x x g ∈，若任意],[b a x ∈总有|)

()

()(|

x f x g x f -

10

1

≤

，称)(x f 可被)(x g 替代。下面给出的函数中，能替代]16,4[,)(∈=x x x f 的是（ ）． ]16,4[),6(5

1

)()(∈+=x x x g A 16)()(+=x x g B ，]16,4[∈x

6)()(+=x x g C ，]16,4[∈x 62)()(+=x x g D ，]16,4[∈x ．

解读：此题通过创新定义“替代”来考查函数的特定性质，这就要求对其所定义的性质明确原理。

仔细审题易知]16,4[,)(∈=x x x f 能被)(x g 替代，即当]16,4[∈x 时，总有不等式

|)()()(|

x f x g x f -10

1

≤成立．但当取4=x 时，2)4(=f ，对四个选项依次代入)4(g 进行验证，

只有)(A 满足要求，故)(A 正确． 5． 创新“算法”题 例5 已知2

21)(+=

x

x f ，求则+-)5(f )6()5()0()4(f f f f +++++- 的值为

_______。

解读：显然，此题若直接代入求值，势必陷入烦琐运算，因此寻求一种合理与简捷的方法至关重要。注意到所求的自变量值呈现一对一对的特点，故作如下尝试：

设121=+x x ，则有

2

)22(22)22(2222

12

21)()(2

12

1212

1

21+++++=

++

+=

++x x x x x x x x x f x f

=

2

22

1

)

22(24)22(222121=

=++++x x x x 。 于是)5(-f +)6()5()0()4(f f f f +++++-

=)]1()0([)]5()4([)]6()5([f f f f f f ++++-++- =232

2

6=⨯。 6．创新“探索”题

例6 对于区间],[n m 都有意义的两个函数)(1x f 与)(2x f ，如果当任意∈x ],[n m ，均有

1|)()(|21≤-x f x f ，则称)(1x f 与)(2x f 在],[n m 上是接近的，否则称)(1x f 与)(2x f 在]

,[n m 上是非接近的。能否确定出a 的取值范围，使两个函数)3(log )(1a x x f a -=与

a

x x f a

-=1

log )(2在]3,2[++=a a D 上是接近或不接近的。 解读：此题属于创新探索情境，须深刻理解题意。至于求参数范围，最终要列出含参的不等式（组）。首先知a x a x --,3在]3,2[++a a 上恒正，故有

101,0020

32<<⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧≠>>-+>-+a a a a a a a ， 若)(1x f 与)(2x f 在D 上是接近的，则有

1|)()(|21≤-x f x f 1|1

log )3(log |≤---⇔a

x a x a

a 1|))(3(log |≤--⇔a x a x a 1))(3(log 1≤--≤-⇔a x a x a )10(1

))(3(<<≤--≤⇔a a a x a x a ……※，

设22)2())(3()(a a x a x a x x g --=--=，其图象的对称轴22<=a x ，∴)(x g 在D 上为增函数，则要使※成立，只须

1257901012579,12579541

01)3()2(-≤<⇒⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<<+≥-≤

≤⇒⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<<≤+≥+a a a a a a a a g a a g ， 综上：当125790-≤

57

9<<-a 时，)(1x f 与)(2x f 是非接近的。

7．创新“应用”题