沪教版八年级数学期末难题压轴题

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2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练(附答案)

2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练（附答案）1．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE＝．2．某经销商从市场得知如下信息：A品牌计算器B品牌计算器进价（元/台）700100售价（元/台）900160他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器x台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？3．上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y （千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：（1）求直线AB所对应的函数关系式；（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．5．如图信息，L1为走私船，L2为我公安快艇，航行时路程与时间的函数图象，问（1）在刚出发时我公安快艇距走私船多少海里？（2）计算走私船与公安快艇的速度分别是多少？（3）写出L1，L2的解析式（4）问6分钟时两艇相距几海里．（5）猜想，公安快艇能否追上走私船，若能追上，那么在几分钟追上？6．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中的路程与时间的关系．赛跑的全程是米．（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？7．如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°．②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．（2）若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，则∠D＝°．（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，其余条件不变，则∠D＝°（用含α、n的代数式表示）8．已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．10．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，点I是两角B、C平分线的交点．问题（1）：填空：∠BIC＝°．问题（2）：若点D是两条外角平分线的交点；填空：∠BDC＝°．问题（3）：若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC 的数量关系，并说明理由．问题（4）：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．11．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．12．在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C 作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1①请你将图形补充完整；②线段BF、AD所在直线的位置关系为，线段BF、AD的数量关系为；（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2①请你将图形补充完整；②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．13．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．14．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何．15．已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°．（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF＝DE；（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．16．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在直线AB上取一点M，使AM＝BC，过点A作AE⊥AB且AE＝BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．（1）如图1，若点M在线段AB边上时，求∠AFM的度数；（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB＝15°，求∠AFM的度数．17．如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1个单位的速度由B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．19．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A、PB分别相交于点E、F，已知MN＝6cm．（1）求△OEF的周长；（2）连接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；（3）当∠a＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由．20．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．21．（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝62°，∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，求∠BDC的度数．（2）图（1）所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．（3）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．22．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O．（1）若∠A＝50°，求∠BOC的度数；（2）设∠A的度数为n°（n为已知数），求∠BOC的度数；（3）当∠A为多少度时，∠BOC＝3∠A？参考答案1．解：连接BD、AE，∵DA⊥AB，FC⊥AB，∴∠DAB＝∠BCF＝90°，在△DAB和△BCF中，，∴△DAB≌△BCF（SAS），∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF，∴∠BDF＝∠BFD，∵∠DAB＝90°，∴∠ADB+∠DBA＝90°，∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°，∴∠BFD＝∠BDF＝45°，同理∠AFE＝45°，∴∠DFE＝45°+45°﹣51°＝39°，故答案为：39°．2．解：（1）y＝（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）＝140x+6000，其中700x+100（100﹣x）≤40000，得x≤50，即y＝140x+6000，（0＜x≤50）；（2）令y≥12600，则140x+6000≥12600，∴x≥47，又∵x≤50，∴47≤x≤50∴经销商有以下三种进货方案：方案A品牌（台）B品牌（台）①4852②4951③5050（3）∵y＝140x+6000，140＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝50时，y取得最大值，又∵140×50+6000＝13000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．3．解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB所对应的函数关系式为：y＝﹣100x+320；（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得：，解得：，∴直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，当y＝0时，x＝4，∴小颖一家当天12点到达姥姥家．4．解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB＝＝13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，∴AB＝|4﹣（﹣1）|＝5；（3）△DEF为等腰三角形，理由为：∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，即DE＝DF，则△DEF为等腰三角形；（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，设直线DF′解析式为y＝kx+b，将D（1，6），F′（4，﹣2）代入得：，解得：，∴直线DF′解析式为y＝﹣x+，令y＝0，得：x＝，即P（，0），∵PF＝PF′，∴PD+PF＝DP+PF′＝DF′＝＝，则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（，0），此时PD+PF的最短长度为．5．解：（1）在刚出发时我公安快艇距走私船5海里．（2）公安快艇是4分钟6海里，走私船是每分钟＝1海里；公安快艇的速度是＝海里．（3）设L1：y1＝k1x+b过（0，5）和（4，9）点解得∴y1＝x+5设L2：y2＝k2x过（4，6）点∴y2＝x（4）当x＝6时，y1＝11，y2＝9；11﹣9＝26分钟时相距2海里．（5）y1＝y2x+5＝xx＝1010分钟时相遇．6．解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；由图象可知：赛跑的路程为1500米；故答案为：兔子、乌龟、1500；（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．1500÷30＝50（米）乌龟每分钟爬50米．（3）700÷50＝14（分钟）乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．（4）∵48千米＝48000米∴48000÷60＝800（米/分）（1500﹣700）÷800＝1（分钟）30+0.5﹣1×2＝28.5（分钟）兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．7．解：（1）①∵∠BAO＝60°、∠MON＝90°，∴∠ABN＝150°，∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，∴∠CBA＝∠ABN＝75°，∠BAD＝∠BAO＝30°，∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不变．理由是：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；（2）设∠BAD＝α，∵∠BAD＝∠BAO，∴∠BAO＝3α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+3α，∵∠ABC＝∠ABN，∴∠ABC＝30°+α，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝30°+α﹣α＝30°，故答案为：30；（3）设∠BAD＝β，∵∠BAD＝∠BAO，∴∠BAO＝nβ，∵∠AOB＝α°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝α+nβ，∵∠ABC＝∠ABN，∴∠ABC＝+β，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+β﹣β＝，故答案为：．8．（1）证明：∵∠FEC＝∠A+∠ADE，∠F+∠BDF＝∠ABC，∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE＝∠BDF，∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，∵∠A＝∠ABC，∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC＝2∠A．（2）∠MBC＝∠F+∠FEC．证明：∵BM∥AC，∴∠MBA＝∠A，、∵∠A＝∠ABC，∴∠MBC＝∠MBA+∠ABC＝2∠A，又∵∠F+∠FEC＝2∠A，∴∠MBC＝∠F+∠FEC．9．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．10．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90+∠BAC＝115°；（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，∴∠DBI＝90°，同理∠DCI＝90°，在四边形CDBI中，∠BDC＝180°﹣∠BIC＝90°﹣∠BAC＝65°；（3）∠BEC＝∠BAC．证明：在△BDE中，∠DBI＝90°，∴∠BEC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣∠BAC）＝∠BAC；（4）当∠ACB等于80°时，CE∥AB．理由如下：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A＝50°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG＝2∠ACE＝100°，∴∠ABC＝∠ACG﹣∠BAC＝100°﹣50°＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝80°．11．解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．12．解：（1）①见图1所示．②证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCF∵BC＝AC，CD＝CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．故答案为：垂直、相等．（2）①见图2所示．②成立．理由如下：证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，即∠ACD＝∠BCF，∵BC＝AC，CD＝CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．13．解：（1）证明：∵BG∥AC，∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．14．（1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC＝∠BFC＝∠BEC＝∠BEA＝90°∴∠BAC+∠ACF＝90°，∠BAC+∠ABE＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∴∠ABE＝∠ACF．在△ABD和△GCA中，，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA，（2）结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），∴∠BAD＝∠G，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴AG⊥AD．15．证明：（1）如图①，连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF，∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF，∴BF+EF＝BF+CF＝BC，∴BF+EF＝DE；（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE＝BF﹣EF，理由是：连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF，∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF，∴DE＝BC＝BF﹣FC＝BF﹣EF，即DE＝BF﹣EF．16．解：（1）连接EM．∵AE⊥AB，∴∠EAM＝∠B＝90°．在△AEM与△BMC中，，∴△AEM≌△BMC（SAS）．∴∠AEM＝∠BMC，EM＝MC．∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠BMC+∠AME＝90．∴∠EMC＝90°．∴△EMC是等腰直角三角形．∴∠MCE＝45°∵AN∥CE，∴∠AFM＝∠MCE＝45°；解：（2）如图2，连接ME．同（1）△AEM≌△BMC（SAS），则EM＝MC，∠MEA＝∠CMB＝15°．又∵∠MEA+∠EMA＝90°，∴∠EMC＝60°，∴△EMC是等边三角形，∴∠ECM＝60°，∵AN∥CE∴∠AFM+∠ECM＝180°，∴∠AFM＝120°．17．解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，在△BDC和△APB中，，∴△BDC≌△APB（SAS），∴BD＝AP．（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，理由：∵△BDC≌△APB，∴∠CBD＝∠BAP，∴∠DQA＝∠DBA+∠BAP＝∠DBA+∠CBD＝∠ABC＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．（3）蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化，理由是：根据题意得：BP＝CD，∵BC＝AC，∴CP＝AD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝∠ACB＝60°，∵∠ACP+∠ACB＝180°，∠DAB+∠CAB＝180°，∴∠ACP＝∠BAD，在△ABD和△ACP中，，∴△ABD≌△ACP（SAS），∴∠CAP＝∠ABD，∴∠AQD＝∠ABD+∠BAQ＝∠CAP+∠QAB＝180°﹣∠CAB＝180°﹣60°＝120°，即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化，等于120°．18．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．19．解：（1）∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴EM＝EO，FN＝FO，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝6cm；（2）连接OP，∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴∠MP A＝∠OP A，∠NPB＝∠OPB，∴∠MPN＝2∠APB＝2a；（3）∵∠a＝30°，∴∠MPN＝60°，∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴PM＝PO，PN＝PO，∴PM＝PN，∴△PMN是等边三角形．20．解：（1）∠AEB的大小不变．如图1，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣45°＝135°；（2）∠CED的大小不变．如图2，延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠P AB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴△CDE中，∠E＝180°﹣112.5°＝67.5°．21．解：（1）在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣62°＝118°，∵∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，∴∠DBC+∠DCB＝118°﹣20°﹣35°＝63°∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝117°；（2）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：连接BC在△ABC中，∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，在△DBC中，∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（3）①∵△XBC中，∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∵△ABC中，∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠ABX+∠ACX＝130°﹣90°＝40°．故答案为：40；②∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝（∠ADB+∠AEB）＝40°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝50°+40°＝90°．22．解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°；（2）∵∠A＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；（3）∵∠BOC＝3∠A，∴90°+∠A＝3∠A，∴∠A＝36°．。

上海市八年级数学第一学期期末测试压轴题(含答案)

⊥，点G是1．已知：如图，在△ABC中，AD、BE是高，F是AB的中点，FG DE垂足．求证：点G是DE的中点．2．如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，23），A B y⊥轴，点A为垂足，BCOH⊥，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．=；（1）求证：OB CB（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；⊥（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值.（3）当PQ OB3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CM ⊥AB 于M ，试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系，并说明理由。

B4. 如图，R t △ABC 中，AB=AC ，︒=∠90A ，O 为BC 中点。

（1）写出点O 到△ABC 三个顶点的距离之间的关系；（2）如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM 。

请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

5．如图，点A 的坐标为（3,0），点C 的坐标为（0,4），OABC 为矩形，反比例函数xky =的图像过AB 的中点D ，且和BC 相交于点E ，F 为第一象限的点，AF =12,CF =13. （1）求反比例函数xky =和直线OE 的函数解析式；（2）求四边形OAFC 的面积．_6．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．7．已知：如图，在⊿ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC =6，点D 在边BC 上，AD 平分∠CAB ，E 为AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），EF ⊥AB ，垂足为F ．（1）求证：AD=DB ；（2）设CE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）当∠DEF =90°时，求BF 的长.第26题图FE D CBA压轴题答案1．证明：联结EF 、DF ．……………………………1分∵AD 是高， ∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=．………………………1分又∵F 是AB 的中点， ∴12DF AB =(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ．……2分同理可得：12EF AB =．……………………………………………1分∴EF DF =．…………………………………………………………1分又∵FG DE ⊥，…………………………………………………………1分 ∴DG EG =．…………………………………………………………1分即：点G 是DE 的中点．2．解：（1）∵4OB ==………………………………………………1分4CB ==………………………………………1分∴OB CB = ………………………………………………………………1分（2）易证：△OBC 为等边三角形． ∵BC OH ⊥，∴30BOH HOC ∠=∠=．………………1分 ∴30AOB ∠=．过点P 作PE OA ⊥垂足为点E ．在Rt △PEO 中，30EPO ∠=,PO t =， ∴122tEO PO ==，由勾股定理得：2PE =．…………………………1分又∵OQ AO AQ t =-=，………………………………………………1分∴()211363232224t t S OQ PE t t -==-=．………………………1分即：232S t =+（320<<t ）．……………………………………1分【说明】最后1分为定义域分数．（3）易证Rt △OAB ≌Rt △OHB ≌Rt △OHC ，GFEDCBA∴2OABH 4OAB OHBOHB OHCOBCS S SSSSOC =+=+===四边形1分易证△OPQ 为等边三角形， ∴OQ OP =，即：t t =，解得 t =1分∴244OPQSOP =⨯=．…………………………………………………1分∴ABHPQ 4OPQOABH S S S =-==五边形四边形1分 3. 解：PD+PE=CM ，证明：连接AP ，∵AB=AC， ∴S △ABC =S △ABP +S △ACP =AB ×PD+AC ×PE=×AB ×（PD+PE ）， ∵S △ABC =AB ×CM， ∴PD+PE=CM。

沪教版八年级数学期末难题压轴题

4 y= x 的图象交于点
3
A，且与 x 轴交于点 B．
（2）过点 A 作 AC⊥ y 轴于点 C，过点 B 作直线 l ∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个
单位长的速度，沿 O﹣ C﹣ A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左
平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A
当 4＜ t≤７时，直线 l 与 OA 相交于 Q，若 QP＝ QA，则 t－ 4+2（ t－ 4）＝ 3，解得 t＝ 5； ---------------------------------------1 分 ∴当 t=5，存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是 PQ＝ AQ 的等腰三角形．
学习必备
动（ E 不与点 O 、 A 重合），过点 E 分别作 EF x 轴于 F ， EB y 轴于 B . 设运动 t
秒时，矩形 EBOF 与△ OPA重叠部分的面积为 S . 求 S 与 t 之间的函数关系式 .
y
y
P
P
BE OF
A
x
O
A
x
(备用图）
学习必备
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4、如图，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形， CB ∥OA ， OC=AB=4 ， BC=6 ， ∠COA=45 ° , 动点 P 从点 O 出发，在梯形 OABC 的边上运动，路径为 O→ A→ B→ C，到达点 C 时停止．作直线 CP. （1）求梯形 OABC 的面积；（2）当直线 CP 把梯形 OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线 CP 的解析式；（3）当 ? OCP 是等腰三角形时，请写出点 P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）

上海(沪)八年级第二学期期末数学压轴题及答案(可转为word)

0 8k b, ∴ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分） 4 5k b,
4 k , 3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分） ∴ 32 b . 3
4 32 ．„„„„„„„„„„„„（1 分） x 3 3 26．解：（1）BF +AG= AE．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分）证明如下：过点 F 作 FH⊥DA，垂足为 H， ∵在正方形 ABCD 中，∠DAE=∠B=90°，∴四边形 ABFH 是矩形．„（1 分） ∴FH=AB=DA．∵BD⊥FG，∴∠G=90°–∠ADE=∠DEA．又∴∠DAE=∠FHG=90°，∴△FHG≌△DAE． „„„„„„„„„„（1 分） ∴GH=AE，即 HA+AG=AE．∵BF=HA，∴BF+AG=AE．„„„„„„（1 分）
本题满分12分其中第1小题5分第2小题3分第3小题4bcaebcdfdfaeefad四边形aefd是平行四边形efad5aedf?????????????????????????1abcd5rtabertdcfbecfefbccfbecf3在rtabeabaeaebqapaepdcqqcdpabqp当四边形abqp与四边形qcdp的面积相等时3当四边形abqp是平行四边形时pqab当四边形qcdp是平行四边形时可得pqcdcdabpqab此时cqpd11时pqab
FB 3 ，且 AC 10 ，求 FC 的值. BD 5
A
D
F
E
B
C
26．在梯形 ABCD 中， ∠ABC= 90 ， AD∥BC， BC>AD， AB=8cm， BC=18cm， CD=10 cm，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向终点 C 以每秒 3cm 的速度移动，点 Q 从点 D 开始沿 DA 边向终点 A 以每秒 2cm 的速度移动，设运动时间为 t 秒. （1）求四边形 ABPQ 为矩形时 t 的值；（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC= k cm” ，其它条件都不变，要使四边形 PCDQ 是等腰梯形，求 t 与 k 的函数关系式，并写出 k 的取值范围；（3）在移动的过程中，是否存在 t 使 P、Q 两点的距离为 10cm ,若存在求 t 的值. 若不存在请说明理由？

根与系数的关系(压轴题)—2023-2024学年八年级数学下册(沪科版)(解析版)

z根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax !+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根是，那么，. 注意：它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !．（1）若|x "|+|x !|=2√2，求k 的值；（2）当k 取哪些整数时，x "，x !均为整数；（3）当k 取哪些有理数时，x "，x !均为整数．【思路点拨】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x "+x !=−!#为整数，可得整数k =±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k =−1时，符合题意；由两根之积可得k 应该是整数的倒数，不妨设k ="$，则方程可变形21x x ㄑa b x x -=+21ac x x =21◆思想方法◆典例分析◆知识点总结z为x !+2mx +m −2=0，即为(x +m )!=m !−m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=2!−4k (1−2k )=4−4k +8k !=88k !−"!k +"!9=88k −"%9!+&!>0， ∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0都有两个实数根x "，x !， ∵关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !， ∴x "+x !=−!#,x "x !="'!##，分两种情况：①若两根同号，由|x "|+|x !|=2√2可得：x "+x !=2√2，或x "+x !=−2√2，当x "+x !=2√2时，则−!#=2√2，解得k =−√!!；当x "+x !=−2√2时，则−!#=−2√2，解得k =√!!； ②若两根异号，由|x "|+|x !|=2√2可得：(x "−x !)!=8，即(x "+x !)!−4x "x !=8， ∴8−!#9!−4×"'!##=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±√!!；（2）∵关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !， ∴x "+x !=−!#,x "x !="'!##，若x "，x !均为整数，则x "+x !=−!#为整数， ∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x "x !="'!##不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x !+2x −1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =−1时，此时方程为−x !+2x +3=0，方程的两个根为x "=−1,x !=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取−1时，x "，x !均为整数；（3）显然，当k =−1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x "x !="'!##="#−2为整数，zxx∴k 应该是整数的倒数，不妨设k ="$ (m ≠0)，m 为整数，则方程kx !+2x +1−2k =0即为x !+2mx +m −2=0，配方得：(x +m )!=m !−m +2，即x =−m ±√m !−m +2，当m =2即k ="!时，方程的两根为x "=0,x !=−4，都是整数，符合题意；当m ≠2时，m !−m +2=(m −"!)!+&%不是完全平方数，故不存在其它整数m 的值使上式成立；综上，k =−1或"!．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax !+bx +c =0(a ≠0)有两个根x "和x !，且1<x "<2<x !<4，那么方程cx !−bx +a =0的较小根x )的范围为( ) A ．"!<x )<1 B ．−4<x )<−2C ．−"!<x )<−"%D ．−1<x )<−"!【思路点拨】由根与系数的关系得出x "+x !=−*+，x "⋅x !=,+，再设方程cx !−bx +a =0的为m ，n ，根据根与系数的关系得出m +n =−("-!+"-")，mn ="-"⋅-!，从而得出方程cx !−bx +a =0的两根为−"-"，−"-!，然后由1<x "<2<x !<4，求出−"-"，−"-!的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax !+bx +c =0(a ≠0)有两个根x "和x !， ∴x "+x !=−*+，x "⋅x !=,+，设方程cx !−bx +a =0的两根为m ，n ，则m +n =*,，mn =+,，∵m +n =*,=−*+⋅(−+,)，mn ="-"⋅-!，∴m +n =−(x "+x !)⋅"-"⋅-!=−-"/-!-"⋅-!=−("-!+"-")，∴方程cx !−bx +a =0的两根为−"-"，−"-!，◆学霸必刷∵1<x"<2，2<x!<4，∴"!<"-"<1，"%<"-!<"!，∴−1<−"-"<−"!，−"!<−"-!<−"%，∵−"-"<−"-!，∴方程cx!−bx+a=0的较小根x)的范围为−1<x)<−"!．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x!+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x"、x!满足x"!+x")=4−(x!!+x!))，则实数p的所有值之和为（）A．0 B．−)%C．−1D．−0%【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x"!+2px"−3p−2=0，x"+x!=−2p，进而推出x")=3px"+2x"−2px"!，则x")+x"!=3px"+2x"−2px"!+x"!，x!)+x!!=3px!+2x!−2px!!+ x!!，即可推出(3p+2)(x"+x!)+(1−2p)(x"!+x!!)=4，然后代入x"+x!=−2p，x"!+x!!= (x"+x!)!−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x"、x!是方程x!+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x"!+2px"−3p−2=0，x"+x!=−2p，x"x!=−3p−2，∴x"!+2px"=3p+2，∴x")+2px"!=3px"+2x"，∴x")=3px"+2x"−2px"!，∴x")+x"!=3px"+2x"−2px"!+x"!，同理得x!)+x!!=3px!+2x!−2px!!+x!!，∵x"!＋x")=4−(x!!+x!))，∴x"!+x")+(x!!+x!))=4，∴3px"+2x"−2px"!+x"!+3px!+2x!−2px!!+x!!=4，∴(3p+2)(x"+x!)+(1−2p)(x"!+x!!)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)[(−2p)!−2(−3p−2)]=4，∴−6p!−4p+(1−2p)(4p!+6p+4)=4，∴−6p!−4p+4p!+6p+4−2p(4p!+6p+4)=4，∴−2p!+2p−2p(4p!+6p+4)=0，∴−2p(4p!+6p+4+p−1)=0，∴2p(4p!+7p+3)=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，解得p"=0，p!=−1，p)=−)%，∵Δ=(2p)!+4(3p+2)>0，∴p!+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p"+p)=−)%∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x!−2x+a!+b!+ab=0的两个根为x"=m，x!=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a!≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)!+a!−a=0的两个根为x"= m−2，x!=n−2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x"x!=mn=a!+b!+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a!−a+1=8a−"!9! +)%>0，从而即可对①进行判断；由于x"+x!=m+n=2>0，x"x!=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4−4(a!+b!+ab)≥0，即4−4(a!−a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a!+b!+ab=a!−a+1把方程x!−2x+a!+b!+ab=0化为(x−1)!+a!−a+1=0，由于方程(x−1)!+a!−a=0可变形为[(x+2)−1]!+a!−a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x"x!=mn=a!+b!+ab，∵a+b=1，∴b=1−a，∴mn=a!+(1−a)!+a(1−a)=a!−a+1=8a−"!9!+)%>0，所以①正确；∵x"+x!=m+n=2>0，x"x!=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4−4(a!+b!+ab)≥0，即4−4(a!−a+1)≥0，∴a≥a!，所以③错误；∵a!+b!+ab=a!−a+1，∴方程x!−2x+a!+b!+ab=0化为(x−1)!+a!−a+1=0，即(x−1)!+a!−a=0，∵方程(x+1)!+a!−a=0可变形为[(x+2)−1]!+a!−a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x"=m−2，x!=n−2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x!−8cx−9d=0的解，c、d是方程x!−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a!−8ac−9d= 0，代入可得a!−72a+9c−8ac=0，同理可得c!−72c+9a−8ac=0，两式相减即可得a+c的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x!−8cx−9d=0的根，所以a!−8ac−9d=0，又d=8a−c，所以a!−72a+9c−8ac=0①同理可得c!−72c+9a−8ac=0②①-②得(a−c)(a+c−81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，，且b+c=2−a，bc=%+=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x!−(2−a)x+%+≥0，即(a!+4)(a−4)≥0，∴Δ=(2−a)!−4×%+所以a≥4．又当a=4，b=c=−1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a−b−c=a−(2−a)=2a−2，∵a≥4，故2a−2≥6，当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)!+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax!+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)!−2=0是“同源二次方程”，且方程ax!+ bx+c=0（a≠0）有两个根为x"、x!，则b－2c＝，ax"+x"x!+ax!的最大值是．【思路点拨】利用ax!+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)!−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x"+x!=−2，x"x!=+'!+，进而得出ax"+x"x!+ax!=−28a+"+9+1，设a+"+=t（t>0），得a!−t⋅a+1=0，根据方程a!−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t!−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax"+x"x!+ax!的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax!+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)!−2=0，∴a(x+1)!−2=ax!+bx+c，展开，ax!+2ax+a−2=ax!+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x"+x!=−2，x"x!=+'!+，∴ax"+x"x!+ax!=a(x"+x!)+x"x!=−2a++'!+=−28a+"+9+1，∵方程ax!+bx+c=0（a≠0）有两个根为x"、x!，∴Δ=b!−4ac=(2a)!−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，设a+"+=t（t>0），得a!−t⋅a+1=0，∵方程a!−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t!−4≥0，解得t≥2，即a+"+≥2，∴ax"+x"x!+ax!=−28a+"+9+1≤−3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x!y+xy!=484，求x)+y)．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t!−44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x)+y)变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x!y+xy!=xy(x+y)=mn，∴m、n为t!−44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x)+y)=(x+y)(x!+y!−xy)=(x+y)[(x+y)!−3xy]=n[n!−3m]=n)−3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x!+3x−5=0的两根分别为x"、x!．（1）求"-"'"+"-!'"的值；（2）求3x"!+6x"+x!!的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x"⋅x!=,+，x"+x!=−*+时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求"-"'"+"-!'"的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x"!+3x"−5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x"+x!=−3,x"x!=−5，∴1x"−1+1x!−1=x!−1+x"−1 (x"−1)(x!−1)=x"+x!−2 x"x!−(x"+x!)+1=−3−2−5−(−3)+1=5；（2）∵x"是一元二次方程x!+3x−5=0的根，∴x"!+3x"−5=0,∴x"!+3x"=5，又∵x"+x!=−3,x"x!=−5，∴3x"!+6x"+x!!=2(x"!+3x")+(x"+x!)!−2x"x!=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax!+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x"、x!，则x"+x!=−*+，x"⋅x!=,+．（1）根据方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−2m)!−4(m!−n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x"、x!，且x">x!，∴x"+x!=2m，x"⋅x!=m!−n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x"=3x!，∴4x!=2m，3x!!=m!−1，∴3×$!%=m!−1，解得：m"=−2，m!=2．当m=2时，x!=1，则x"=3x!=3，符合题意，当m=−2时，x!=−1，则x"=3x!=−3<x!，与x">x!不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x!+2x−m!−m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α"、β"，α!、β!，⋅⋅⋅，α!1!%、β!1!%，求"2"+"3"+"2!+"3!+⋯+"2!#!$+"3!#!$的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x"+x!=−*+,x"⋅x!=,+可得："-"+"-!=-"/-!-"⋅-!=!$!/$，进一步可寻找"2!#!$+"3!#!$的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x!+2x−m!−m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=−m!−m∵αβ=−2，∴−2=−m!−m∴m=1或m=−2；（2）解：设方程x!+2x−m!−m=0的两个根为：x",x!则x"+x!=−*+=−2,x"⋅x!=,+=−m!−m，∴" -"+"-!=-"/-!-"·-!=!$!/$=!$($/")∴" 2"+"3"=!"×!，"2!+"3!=!!×)，"2%+"3%=!)×%…．．1α!1!%+1β!1!%=22024×2025∴" 2"+"3"+"2!+"3!+⋯+"2!#!$+"3!#!$=2×8""×!+"!×)+...+"!1!%×!1!09=2×X1−12+12−13+...+12024−12025Y=2×X1−1 2025Y=4048 202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足"2+"3=−1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=−(2m+3)和αβ=m!，因为"2+"3=−1，所以!$/)$!=1，解得m"=3，m2=−1，结合m>−)%，即可作答；（3）因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，结合α+β=−(2m+3)和αβ=m!，得m!+2(2m+3)+ 4=(m+2)!+6，则(α−2)(β−2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根∴Δ=b!−4ac=(2m+3)!−4×1×m!=4m!+12m+9−4m!=12m+9>0，即m>−)%；（2）解：∵"2+"3=323+223=2/323=−1，且α+β=−*+=−(2m+3)，αβ=,+=m!∴!$/)$!=1整理得m!−2m−3=0，解得：m"=3，m2=−1∵由（1）知m>−)%，∴m=3检验：当m=3时，m!≠0，即m=3；（3）证明：因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，把α+β=−(2m+3)和αβ=m!代入上式，得m!+2(2m+3)+4=m!+4m+10=(m+2)!+6，∵(m +2)!≥0， ∴(m +2)!+6≥6 ∴(α−2)(β−2)≥6>0 ∵α>2， ∴α−2>0， ∴β−2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x !+4x +1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2）求Z 23+Z 32的值；（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x )+y )=(x +y)(x !+y !−xy )．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)!的值，进而求得|α−β|的值．（2）先根据二次根式的性质将Z 23+Z 32化为√293+93√2，然后通分化简可得2/3923，最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为8"29)和8"39)，然后求得8"29)+8"39)和8"29)8"39)的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x !+4x +1=0的两根是α、β ∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)!=(α+β)!−4αβ=12 ∴|α−β|=2√3；（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵[\αβ+\βα]!=αβ+βα+2=α!+β!αβ+2=(α+β)!−2αβαβ+2=16，∴Z23+Z32=4（负值舍去）；（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为8"29)和8"39)则8"29)+8"39)=(1α+1β)^X1αY!+X1βY!−1αβ_=α+βαβ^α!+β!α!β!−1αβ_=α+βαβ^(α+β)!−2αβα!β!−1αβ_=−41`16−21!−1a=−52X 1αY)X1βY)=X1αβY)=1所以新的一元二次方程x!+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x"+x!=$'"$，若方程的两根之和为整数，即$'"$为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0可有x=($'")±√$!'"1$/"!$，若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m!−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m ≠0，且Δ=[−(m −1)]!−4m ×2=m !−10m +1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x "+x !=−'($'")$=$'"$，若方程的两根之和为整数，即$'"$为整数，∵$'"$=1−"$，∴"$是整数， ∴m =±1，当m =1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；当m =−1时，Δ=1+10+1=12>0，$'"$='"'"'"=2，为整数，符合题意；∴m 的值为−1；（2）当m =0时，此时关于x 的方程为x +2=0，解得x =−2；当m ≠0时，对于关于x 的方程mx !−(m −1)x +2=0的根为：x =($'")±√$!'"1$/"!$，若方程的根为有理根，且m 为整数，则Δ=m !−10m +1为完全平方数，设m !−10m +1=k !（k 为正整数），则：m ="1±√"11'%/%#!!=5±√24+k !，∵m 为整数，设24+k !=n !（n 为正整数）， ∴(k +n )(n −k )=24，∴b k +n =12n −k =2 或b k +n =6n −k =4 或b k +n =8n −k =3 或b k +n =24n −k =1 ，解得：bk =5n =7 或b k =1n =5 或d k =0!n =""!（不合题意，舍去）或d k =!)!n =!0!（不合题意，舍去） ∴m !−10m +1=1!=1或m !−10m +1=5!=25；当m !−10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）；当m !−10m +1=25时，解得m =−2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或−2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m !+m −2)x !−(7m +2)x +12=0有两个整数实根．（1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =4√2,m !+a !m −12a =0,m !+b !m −12b =0．求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x ",x !，根据两个整数实根，则x "+x !=&$/!$!/$'!,x "x !="!$!/$'!都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m !+a !m −12a =0，m !+b !m −12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．【解题过程】（1）解：∵m !+m −2≠0， ∴m ≠−2或m =1， ∵方程有两个实数根，∴Δ=b !−4ac =[−(7m +2)]!−4×12×(m !+m −12) =m !−20m +580=(m −10)!+480>0 设原方程的两个解分别为x ",x !∴x "+x !=&$/!$!/$'!,x "x !=∴m !+m −2=1,2,3,4,6,12 m !+m −2=1，解得：m ='"±√")!（舍去） m !+m −2=2，解得：m ='"±√"&!（舍去） m !+m −2=3，解得：m ='"±√!"!（舍去）m !+m −2=4，解得：m =−3或m =2 m !+m −2=6，解得：m ='"±√))!（舍去）m !+m −2=12，解得：m ='"±√"!;!（舍去）当m =−3时，&$/!$!/$'!='!"/!%=−";%不是整数，舍去当m =2时，&$/!$!/$'!="%/!%=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a!−6a+2=0，b!−6b+2=0，当a=b时，a=b=3±√7，当a≠b时，a、b是方程x!−6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=4√2时，由于a!+b!=(a+b)!−2ab=36−4=32=c!，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S<=>?="!ab=1；②a=b=3−√7，c=4√2时，因2(3−√7)<4√2，故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3+√7，c=4√2时，因2(3+√7)>4√2，故能构成三角形，S<=>?="!×4√2×Z l3+√7m!−l2√2m!=4n4+3√7；综上，△ABC的面积为1或4n4+3√7．15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax!+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x"+x!=−*+，x"x!=,+．材料2：已知一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m!n+mn!的值．解：∵一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m!n+mn!=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x!−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x"+x!=___________，x"x!=___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x!−3x−1=0的两根分别为m、n，求A$+$A的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s!−3s−1=0，t!−3t−1=0，且s≠t，求"B −"C的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=−*+=3，mn=,+=−1，再根据A$+$A=$!/A!$A=($/A)!'!$A$A，最后代入求值即可；（3）由题意可将s、t可以看作方程x!−3x−1=0的两个根，即得出s+t=−*+=3，s⋅t=,+=−1，从而可求出(t−s)!=(t+s)!−4st=13，即t−s=√13或t−s=−√13，最后分类讨论分别代入求值即可．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x!−3x−1=0的两个根为x1，x2，∴x"+x!=−*+=−')"=3，x"⋅x!=,+=−""=−1．故答案为：3，−1；（2）∵一元二次方程x!−3x−1=0的两根分别为m、n，∴m+n=−*+=3，mn=,+=−1，∴A $+$A=$!/A!$A=(m+n)!−2mnmn=3!−2×(−1)−1=−11；（3）∵实数s、t满足s!−3s−1=0，t!−3t−1=0，∴s、t可以看作方程x!−3x−1=0的两个根，∴s+t=−*+=3，st=,+=−1，∵(t−s)!=(t+s)!−4st=3!−4×(−1)=13∴t−s=√13或t−s=−√13，当t−s=√13时，" B −"C=C'BBC=√")'"=−√13，当t−s=−√13时，" B −"C=C'BBC='√")'"=√13，综上分析可知，"B −"C的值为√13或−√13．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx !+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x −2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x −1)(bx +c )=ax !−(a −1)x −+!有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点；（3）小聪继续研究(x −3)(x −1)，x (x −4)及8x −0!98x −)!9等，发现在x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx −5c )=bx !−4cx −2a −4是“2系多项式”，求a 与c 的值．【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax !−(a −1)x −+!=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx −5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx !−4cx −2a −4=0的两个根为x "=−1，x !=5，再利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x −2)=0， ∴3x +1=0或x −2=0， ∴x =−")或x =2，则此多项式的零点为−")或2；故答案为：−")或2；（2）解：∵多项式B =(x −1)(bx +c )=ax !−(a −1)x −+!有一个零点为1，∴将x =1代入ax !−(a −1)x −+!=0，得a −(a −1)−+!=0，解得a =2，∴B =2x !−x −1=(x −1)(2x +1)，令2x +1=0，解得x =−"!， ∴多项式B 的另一个零点为−"!；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx−5c)=bx!−4cx−2a−4是“2系多项式”，令cx−5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则D/0!=2，解得y=−1，即2ax+b=0时，x=−1，则−2a+b=0①，令M=bx!−4cx−2a−4=0，根据题意，方程bx!−4cx−2a−4=0的两个根为x"=−1，x!=5，∴x"+x!=−'%,*=5+(−1)=4，x"⋅x!='!+'%*=5×(−1)=−5，∴c=b②，5b−2a−4=0③，解①②③得c=b=1，a="!，∴a="!，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x"，x!是关于x的一元二次方程x!−2(k+1)x+k!+2=0的两实根，且(x"+1)⋅(x!+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根，设s"=α+β，s!=α!+β!，…，s A=αA+βA．根据根的定义，有α!−α−1=0，β!−β−1=0，将两式相加，得(α!+β!)−(α+β)−2= 0，于是，得s!−s"−2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s"，s!的值．②经计算可得：s)=4，s%=7，s0=11，当n≥3时，请猜想s A，s A'"，s A'!之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x"+x!=2(k+1)，x"x!=k!+2．由(x"+1)(x!+1)=8，可得x"x!+(x"+x!)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=−*+=1，αβ=,+=−1，进而可求出s"=α+β=1，s!=α!+β!=(α+β)!−2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α!−α−1=0，两边都乘以αA'!，得：αA−αA'"−αA'!=0①，同理可得：βA−βA'"−βA'!=0②，再由①+②，得：(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0．最后结合题意即可得出s A−s A'"−s A'!=(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，即s A=s A'"+s A'!．【解题过程】解：（1）∵x"，x!是关于x的一元二次方程x!−2(k+1)x+k!+2=0的两实根，∴x"+x!=−*+=−'!(#/")"=2(k+1)，x"x!=,+=#!/!"=k!+2，∴(x"+1)(x!+1)=x"x!+(x"+x!)+1=k!+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k!+2k−3=0，解得：k"=−3，k!=1．当k=−3时，Δ=b!−4ac=[−2(k+1)]!−4(k!+2)=[−2(−3+1)]!−4[(−3!)+2]=−28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=−3不符合题意；当k=1时，Δ=b!−4ac=[−2(k+1)]!−4(k!+2)=[−2×(1+1)]!−4(1!+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x!−x−1=0，∴a=1，b=−1，c=−1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根，∴α+β=−*+=1，αβ=,+=−1，∴s"=α+β=1，s!=α!+β!=(α+β)!−2αβ=1!−2×(−1)=3；②猜想：s A=s A'"+s A'!．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α!−α−1=0，两边都乘以αA'!，得：αA−αA'"−αA'!=0①，同理可得：βA−βA'"−βA'!=0②，由①+②，得：(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，∵s A=αA+βA，s A'"=αA'"+βA'"，s A'!=αA'!+βA'!，∴s A−s A'"−s A'!=(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，即s A=s A'"+s A'!．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x!−(m+2)x+4m=0有两个实数根x",x!，其中x"<x!．（1）若m=−1，求x"!+x!!的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x",y"),B(x!,y!)，若AB=√10，求m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x"和x!，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b!−4ac”，根与系数关系“x"+x!=−*+，x"⋅x!=,+”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=−1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x"+x!=−*+=1，x"⋅x!=,+=−4，将x"!+x!!转化即可求解；（2）根据点A(x",y"),B(x!,y!)在函数图像上，得出Alx"，3x"+1m，Blx!，3x!+1m，再根据根与系数关系得到x"+x!=m+2,x"⋅x!=4m，根据AB=√10即可求解；（3）根据直角三角形两直角边x",x!为整数，得出Δ=b!−4ac=m!−12m+4，令m!−12m+4=k!(k为正整数)，得出(m+k−6)(m−k−6)=32，又m+k−6>m−k−6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=−1时，方程为x!−x−4=0，Δ=b!−4ac=(−1)!−4×1×(−4)=17>0，∴x"+x!=−*+=1，x"⋅x!=,+=−4，即x"!+x!!=(x"+x!)!−2x"x!=1!−2×(−4)=9；（2）将A(x",y"),B(x!,y!)代入y=3x+1可得Alx"，3x"+1m，Blx!，3x!+1m，又Δ=(m+2)!−4×4m>0，故x"+x!=m+2,x"⋅x!=4m，AB!=(x"−x!)!+(y"−y!)!=10(x"−x!)!，即10(x"−x!)!=10，(x"−x!)!=1，(x"−x!)!=(x"+x!)!−4x"x!=1，(m+2)!−4×4m=1，(m−6)!=33，m"=6+√33,m!=6−√33；（3）∵直角三角形两直角边x ",x !为整数，∴Δ=b !−4ac =(m +2)!−4×4m =m !−12m +4为平方数，不妨令m !−12m +4=k !(k 为正整数)， (m −6)!−32=k !，(m +k −6)(m −k −6)=32， m +k −6>m −k −6，当①∴m +k −6=32,m −k −6=1，解得m =%0!（不合题意舍去）；当②m +k −6=16,m −k −6=2，解得m =15，∴方程x !−17x +60=0， x "=12,x !=5，则斜边为13，即S =-"⋅-!!=30；当③m +k −6=8,m −k −6=4，解得m =12，∴方程x !−14x +48=0，x "=6,x !=8，则斜边为10，即S =-"⋅-!!=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x !+px +q =0有两个实数根x "，x !，那么x "+x !=−p ，x "x !=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根，则+*+*+=?（2）已知a 、b 、c 满足a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知b x =x "y =y "和b x =x !y =y !是关于x ，y 的方程组t x !−y +k =0x −y =1 的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y "y !−-"-!−-!-"=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出+*+*+的值；（2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =−c ，ab ="E,，a 、b 是方程x !+cx +"E ,=0的解，再根据c !−4×"E ,≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x "+x !=1，x "x !=k +1，再解y "y !−-"-!−-!-"=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根， ∴a +b =−15，ab =5， ∴+*+*+=(+/*)!'!+*+*=('"0)!'!×0=43，∴+*+*+=43；（2）∵a +b +c =0，abc =16， ∴a +b =−c ，ab ="E ,，∴a 、b 是方程x !+cx +"E ,=0的解，∴c !−4×"E ,≥0，∴c !−%%,≥0，∵c 是正数，∴c )−4)≥0， ∴c )≥4)， ∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =−2时，y "y !−-"-!−-!-"=2．理由如下： ∵u x !−y +k =0①x −y =1② ，由①得：y =x !+k ，由②得：y =x −1，∴x !+k =x −1，即x !−x +k +1=0，由题意思可知，x "，x !是方程x !−x +k +1=0的两个不相等的实数根， ∴d (−1)!−4(k +1)>0x "+x !=1x "x !=k +1 ，则k <−)%，∵b x =x "y =y " 和b x =x !y =y ! 是关于x ，y 的方程组t x !−y +k =0x −y =1 的两个不相等的实数解，∴y "y !=(x "−1)(x !−1)， ∴y "y !−-"-!−-!-"=(x "−1)(x !−1)−(-"/-!)!'!-"-!-"-!=2，∴x "x !−(x "+x !)+1−(-"/-!)!'!-"-!-"-!=2，∴k +1−1+1−"'!(#/")#/"=2，整理得：k !+2k =0，解得：k "=−2，k !=0（舍去）， ∴k 的值为−2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x "，x !是关于x 的一元二次方程ax !+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根，若x "<x !<0，且3<-"-!<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x !+13x +30=0的两根为x "=−10，x !=−3，因−10<−3<0，3<'"1')<4，所以一元二次方程x !+13x +30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x !+9x +14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x 的一元二次方程2x !+(k +7)x +k !+3=0是“限根方程”，且两根x "、x !满足x "+x !+x "x !=−1，求k 的值；（3）若关于x 的一元二次方程x !+(1−m )x −m =0是“限根方程”，求m 的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x "=−7，x !=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x "+x !=−#/&!，x "x !=#!/)!，代入x "+x !+x "x !=−1，即可求出k "=2，k !=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x"=−1，x!=m或x"=m，x!=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x!+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x"=−7，x!=−2．∵−7<−2，3<'&'!=&!<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x!+(k+7)x+k!+3=0的两个根分比为x"、x!，∴x"+x!=−#/&!，x"x!=#!/)!．∵x"+x!+x"x!=−1，∴−#/&!+#!/)!=−1，解得：k"=2，k!=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x!+9x+7=0，∴x"=−&!，x!=−1，∴x"<x!<0，3<-"-!=&!<4，∴此时方程2x!+(k+7)x+k!+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x!+6x+4=0，∴x"=−2，x!=−1，∴x"<x!<0，-"-!=2<3，∴此时方程2x!+(k+7)x+k!+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x!+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x"=−1，x!=m或x"=m，x!=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)!+4m>0，即(1+m)!>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x"=−1，x!=m，∵3<-"-!<4，∴3<'"$<4，解得：−")<m<−"%；②当m<−1时，∴x"=m，x!=−1，∵3<-"-!<4，∴3<$'"<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−")<m<−"%或−4<m<−3．。

上海八年级数学压轴题带答案1

上海八年级第二学期期末数学压轴题靜安理 LL 知一次两數尸*"询用滋与貯铀7轧分别桁交F 点儿乩梯形VAOBC 的边丿0=5.CD 求点C 的坐标：门）如果点丄c 在一次两数尸行越""肯常瓶且* 0）的ffiifth,我这牛一次阴建的解折式.26如関.住止ABCD 4].点忑总边肿卜（点E 与点」、丹不重合），过点E 作FG 丄DEFG 与iiJCffi 交于点耳与边IU 的基长线相交干点G.（1）由几个小同的忡置「分别测^BF.AG. AE 的艮’从中你能发砚E 氏貝GH 的螯皐之闾具有r H 的关系？井证网你衔袒嗣的結论:（2）联结DF,如采正方能的边长为乙谁AEf .ADFG 的面积为八............ * ....................................................................... < 1 分、二这个…次函^解析式为"中子（1分）0 = 8Jt+&} 4=5fr+fr,设ACJifi 线DE 的距离为八S iC ^=-D£-A=2to化点C*到宜线的距离为二26.解：（1）月/>/*•<£. ...................证明如下：过点F 作FHVDA.垂足为H ・；在正方形MCD 中* ZDAE=ZB=9C b.代四边形ARFH^VW^…1分） :・FH 二AB=DA. 丁加丄FG AZG=90° ・ ZADEMDEA. X»ZDJ£=ZF2/G=90n * ：*“FHG 哲£\DA£. ......... 仁 GE=AE 、即 H.i+AG=AE. 7BF=HA. :,BF+AG=AE. （1分）门分）（I（2） TAFHGmbDAE* :.FG=DE= J A D'+AE' = V4 + x^ .（1分｝4 + r"S^r ^-FG DE ■二 y = _定义城为OGd ................................<3） il 结 CE S ACDE =^CD AD = 2.（i 分）（1分〉（1分〉<15>）SF气:.訂=:.h£1分〉求F 与工之冋的祇数幅析式.并气出甌数的定义域:⑶毎汇如已知点E是矩形期a的边a延长线上一点'^CE=CA T 联皓H£，过点C作CF丄盘，垂足为点F・联络EF、FIX «门求证；甘3匚^AFADt(2)联结皿儿若—--.且AC-1C■求FC的值ED 5E B C2007^ 汇25. (D 证明：*： CE = AC.CF LAE,：. AF = EF........................................ 1分T四边形aCD是矩形，:.AD^BC. ZABC= ^BAD二90°二在殆A4SE中* BF = AF......................................................................... 1 分:、—14 = —FABA ZE4D-ZFBC ............................................................................................... 1 分A ^FBC^&FAD................................................................................................ 1 分(2) *.* AFBC FC^FD. ZBFC £AFD ............................................ 1 分A ^BFD^ ^BFC-^CFD= ^AFD+^CFD=9().......................... 1 分匸四边形dffCD是矩形.:.BD^ACFB 3V ——=-* \\.BD=AC^1O,8D 5:.FD=3........................................................................................................... I 分/.FC = 8 ................................................................................................... 1 分在梯們.迪 CD V.i ：ABC=W .AD /BC, BC -ID, -4J=8aD > 5C-18cm,410 firn 白P 从点月幵始汇』C 边向终点C 议毎秒童in 的迪煦曲动・A 0从点D 开贻沿D4边向终点」且部砂2cm 的違度懿劫.违运动时间为$秒一M)求四迪农」也P0为琏形时f 的fin(2)舞題设中的"迟01如1"改雯为"蛊e#cnT.其它条件都不变・娶慢四边形胆DQ 是黑腰樣咼「求『与it 的函数关系式，并耳出Jt 的电值范TH ：(3)在移动的过世中"是否存在刑P 、。

沪教版八年级第二学期期末压轴题讲义-参考答案

八年级期末数学压轴题答案1、解：（1）A （8，0）, B （0，4）．………………………………………………（1分）在梯形AOBC 中，OA =8，OC =4，AC =5．当AC //OB 时，点C 的坐标为（8，5）．………………………………（1分）当BC //OA 时，设点C （x ,4）． 2225)04()8(=-+-x ,………………（1分）∴.11,521==x x …………………………………………………………（1分）这时点C 的坐标为（5，4）或（11，4）．……………………………（1分）∴点C 的坐标为（8，5）或（5，4）或（11，4）．（2）∵点A 、C 在一次函数y k x b =+（k <0）的图象上，∴点（8，5）与（11，4）都不符合题意，只有当C 为（5，4）时，k <0．∴⎩⎨⎧+=+=,54,80b k b k …………………………………………………………………（1分）∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.332,34b k …………………………………………………………………（1分） ∴这个一次函数的解析式为33234+-=x y ．………………………………（1分）2、解：（1）BF +AG = AE ．…………………………………………………………（1分）证明如下：过点F 作FH ⊥DA ，垂足为H ，∵在正方形ABCD 中，∠DAE =∠B =90°，∴四边形ABFH 是矩形．…（1分）∴FH =AB =DA ．∵BD ⊥FG ，∴∠G =90°–∠ADE =∠DEA ．又∴∠DAE =∠FHG =90°，∴△FHG ≌△DAE ．…………………………（1分） ∴GH =AE ，即HA +AG =AE ．∵BF =HA ，∴BF +AG =AE ．………………（1分）（2）∵△FHG ≌△DAE ，∴FG =DE =2224x AE AD +=+．……………（1分）∵DE FG S DGF ⋅=∆21，∴242x y +=．…………………………………（1分）定义域为.20<<x …………………………………………………………（1分）（3）连结CE ，221=⋅=∆AD CD S CDE ．………………………………………（1分）设点C 到直线DE 的距离为h ，221=⋅=∆h DE S CDE ，…………………（1分）∵DE =FG =25，∴22521=⋅⋅h ，∴.58=h …………………………………（1分）∴点C 到直线DE 的距离为.583、（1）证明：∵,CE AC CF AE =⊥,∴AF EF = …………………1分 ∵四边形ABCD 是矩形，∴,90AD BC ABC BAD =∠=∠=︒∴在Rt ABE ∆中，BF AF = …………………………………………… 1分 ∴FBA FAB ∠=∠∴FAD FBC ∠=∠ ……………………………………………………… 1分 ∴FBC ∆≌FAD ∆ ……………………………………………………… 1分（2）∵FBC ∆≌FAD ∆,,FC FD BFC AFD ∴=∠=∠ ………………… 1分∴90BFD BFC CFD AFD CFD ︒∠=∠+∠=∠+∠= ………………… 1分 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BD =AC ∵35FB BD =，且BD =10AC =， 8FD ∴= ………………………………………………………………… 1分 8FC ∴= ………………………………………………………………… 1分4、证明：联结AM 并延长，交BC 于点E （如图2）.…1分 ∵ AD ∥BC ，∴ BEM DAM ∠=∠，EBM ADM ∠=∠. ∵ BM DM =，∴ EBM ADM ∆≅∆（AAS ）.………………3分 ∴ME AM =，BE AD =. ………………2分 ∵ M 、N 分别是AE 、AC 的中点， ∴MN 是AEC ∆的中位线. ………………2分∴EC MN 21=，MN ∥BC .……………1分 ∵)(21)(21AD BC BE BC EC -=-=，∴)(21AD BC MN -=.………………1分说明：其他方法，若正确，可参照评分. 5、（1）过点D 作DH ⊥BC ，垂足为点H由题意可知：AB=DH=8，AD=BH DC =10ABCDMNE 图2∴HC =622=-DH DC∴AD=BH=CH BC - ∵BC =18∴AD=BH =12…………………………………1分若四边形ABPQ 是矩形，则AQ=BP ∵AQ =t 212-，BP =t 3 ∴t 3t 212=-∴512t =（秒）………………………………1分（2）由（1）得CH =6再过点Q 作QG ⊥BC ，垂足为点G同理：PG =6 …………………………………1分易知：QD=GH =t 2 又BP+PG+GH+HC=BC ∴k 6t 26t 3=+++∴512k t -= …………………………………1分∴k 的取值范围为：12>k cm ………………1分（3）假设存在时间t 使PQ =10，有两种情况：①如右图（中）：由（2）可知：186t 26t 3=+++∴56t =……………………………………1分②如右图（下）：四边形PCDQ 是平行四边形， ∴QD=PC =t 2又BP =t 3，BP+PC=BC ∴18t 2t 3=+∴518t =（秒）………………………………1分综上所述，存在时间t 且65t =秒或185t =秒时P 、Q 两点之间的距离为10cm 5、证明：∵AE ∥BC ，∴∠AED =∠MCD ，∠EAD =∠CMD ．…………………………（1分）∵AD =MD ，∴△AED ≌△MCD ．…………………………………（1分） ∴AE =CM ．……………………………………………… ∵BM =CM ，∴AE =BM ．∴四边形AEBM 是平行四边形．………………………………………（1分） ∴EB =AM ．…………………………………………………………………（1分）而AM =AC ，∴EB =AC ．…………………………………………………（1分）QPDCBAQPDC BA∵AE ∥BC ，EB 与AC 不平行，∴四边形EBCA 是梯形．………………（1分） ∴梯形EBCA 是等腰梯形．………………………………………………（1分）6、解：（1）联结AC ．在菱形ABCD 中，∵AB =BC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形．…………………………（1分） ∴AC =AB ，∠BAC =∠BCA =60°．∵∠P AQ =60°，∴∠BAP =∠CAQ ．………………………………………（1分） ∵AB ∥CD ，∠B =60°，∴∠BCD =120°． ∴∠ACQ =∠B =60°．∴△ABP ≌△ACQ ．…………………………………………………………（1分） ∴AP =AQ ．……………………………………………………………………（1分） ∴△APQ 是等边三角形．……………………………………………………（1分）（2）由△APQ 是等边三角形，得AP =PQ =y ．作AH ⊥BC 于点H ，由AB=4，BH =2，∠B =60°，得AH =32． ……（1分） ∴12)2(2+-=x y ，即1642+-=x x y ．……………………………（1分）定义域为x ≥0．………………………………………………………………（1分）（3）（i ）当点P 在边BC 上时，∵PD ⊥AQ ，AP =PQ ，∴PD 垂直平分AQ ． ∴AD =DQ ．∴CQ =0．……………………………………………………………………（1分）又∵BP =CQ ，∴BP =0．（ii ）当点P 在边BC 的延长线上时，同理可得BP =8．……………………………………………………………（1分）综上所述，BP =0或BP =8．7、证明：（1）ΘBC=3AD ，BC=3MN ∴AD=MN （1分）Θ梯形ABCD ，AD//BC ，∴四边形AMND 是平行四边形（略）（1分）（2）四边形AGHD 是菱形（1分）ΘAD//BC ∴MBG ADG ∠=∠ ΘDGA BGM ∠=∠，AD=BM ∴)(AAS DGA BGM ∆≅∆ ∴AG=GM （2分）同理可得AH=HC ∴GH 是AMC ∆的中位线 ∴GH//BC ，MN MC GH ==21（略）（1分） ∴GH//AD ，GH=AD ，∴四边形AGHD 是平行四边形（略）（1分） ΘBD AC ⊥ ∴四边形AGHD 是菱形（略）（1分）8、解：（1）设直线l 的解析式为)0(≠+=k b kx yΘ直线l 平行于383-=x y ，∴3=k （1分）Θ直线l 经过点)3,2(-A ，∴b +⨯=-323，9-=b （1分）∴直线l 的解析式为93-=x y ，点B 坐标为)0,3( （1分）（2）Θ点)6,(-a M 在直线l 上，∴1=a ，则可设点),1(y P （1分）Θ)31,1(N ，∴y 的取值范围是316≤≤-y （1分）（I ）当AB 为斜边时，222AB PB PA =+，104)3(122=++++y y ，解得2,121-=-=y y ，∴)2,1(),1,1(--P P （4分）（II ）当PB 为斜边时，222PB AB PA =+，22410)3(1y y +=+++解得38-=y ，∴)38,1(-P （2分）（III ）当PA 为斜边时，222PA AB PB =+，22)3(1410++=++y y解得32=y ，（舍去）（1分） ∴综上所述，点P 的坐标为)38,1(),2,1(),1,1(321---P P P9、（1）四边形EFGH 是矩形---------------------------------------------------------------1分证明：∵E 、F 运动时间相同，∴AE=CF∵EH ⊥AC ，FG ⊥AC ，∴EH//FG∵ABCD 为正方形，∴AD=DC ，∠D=900，∴∠GCF=∠HAE=450，又EH ⊥AC ，FG ⊥AC ，∴∠CGF=∠AHE=450，∴∠GCF=∠CGF ，∠HAE=∠AHE∴AE=EH ，CF=FG ，∴EH=FG-------------------------------------------------------1分 ∴四边形EFGH 是平行四边形--------------------------------------------------------1分 ∵EH ⊥AC ，∴四边形EFGH 是矩形（2）Q 正方形边长为16AC ∴=．-----------------------------------------------1分AE x =Q ，过B 作BO AC ⊥于O ，则8BO =．24S x ∴=---------------1分HE x =Q ，162EF x =-，1(162)S x x ∴=-．-------------------------------1分当12S S =时，(162)4x x x -=．解得10x =（舍去），26x =．---------- 1分∴当6x =时，12S S =．（3）①当08x <≤时，2(162)4220y x x x x x =-+=-+．----------------------1分②当816x ≤≤时，AE x =，16CE HE x ==-，162(16)216EF x x =--=-．--------------------------------------------------1分 1(16)(216)S x x ∴=--．2(16)(216)4252256y x x x x x ∴=--+=-+---------------------------------1分10、解：（1）∵AD =AP ，∴ADP APD ∠=∠. ∵︒=∠30DAP ， ∴)180(21DAP ADP APD ∠-︒=∠=∠ ︒=︒-︒=75)30180(21.……………………1分 ∵︒=∠30DAP ，∴︒=∠-︒=∠6090DAP BAP .……………1分又∵AP AD AB ==，∴ABP ∆是等边三角形. ∴︒=∠60APB .∴︒=︒+︒=+∠=∠1357560APD BPA BPD .…………1分说明：其他方法，可参照得分.（2）∵︒=∠+∠+∠+∠360DAB ADP BPD ABP ，………1分︒=∠90DAB ，∴︒=∠+∠+∠270ADP BPD ABP ，即 ︒=∠+∠+∠+∠270ADP APD BPA ABP . ∵AD =AP ，∴ADP APD ∠=∠. ∵AP AD AB ==，∴APB ABP ∠=∠.图① 图②图3ABCDPMABCDP∴︒=︒⨯=∠+∠=∠13527021APD BPA BPD .…………1分说明：其他方法请参照评分. （3）①当︒<<︒900α时，如图4∵AD =AP ，α=∠DAP ∴αα2190)180(21-︒=-︒=∠=∠ADP APD . ∵AP AD AB ==，α+︒=∠90BAP ， ∴[])90(18021α+︒-︒=∠=∠APB ABP α2145-︒=.∴APB APD BPD ∠-∠=∠)2145()2190(αα-︒--︒=︒=45.…………2分②当︒=90α时，如图5，∵ ︒=∠+∠180DAP BAD ， ∴ 点B 、A 、P 在同一直线上. ∴︒=︒-︒=∠=∠45)90180(21APD BPD .……1分 ③当︒<<︒18090α时，如图6. ∵ αα2190)180(21-︒=-︒=∠APD . []αα-︒=-︒-︒=∠27090360BAP .[]︒-=-︒-︒=∠4521)270(18021ααBPA . ∴︒=︒-+-︒=∠+∠=∠4545212190ααDPA BPA BPD .……2分说明：其他方法请参照评分.11、解：（1）过D 作DH ⊥BC ，DH 与EF 、BC 分别相交于点G 、H ．………………（1分）∵ 梯形ABCD 中，∠B =90º，∴ DH //AB ．又∵AD //BC ，∴ 四边形ABHD 是矩形． ∵∠C =45º，∴∠CDH =45º，∴ CH =DH =AB =8．……………………………（1分）ABCDP图5ABCDP图6∴AD =BH =BC –CH =6．…………………………………………………………（1分）（2）∵DH ⊥EF ，∠DFE =∠C =∠FDG =45º,∴FG =DG =AE =x ,∵EG =AD =6,∴EF =6+x .∵PE =PF ，EF //BC ，∴∠PFE =∠PEF =∠PMN =∠PMN ，∴PM =PN ．…………（1分）过点P 作QR ⊥EF ，QR 与EF 、MN 分别相交于Q 、R ， ∵∠MPN =∠EPF =90º，QR ⊥MN ，∴PQ =21EF =)6(21+x ，PR =21MN =y 21．…（1分） ∵QR =BE =x -8，∴x y x -=++821)6(21．………………………………（1分）∴y 关于x 的函数解析式为.103+-=x y 定义域为1≤x <310.……（1+1分）（3）当点P 在梯形ABCD 内部时，由MN =2及（2）的结论得1032+-=x ，AE =38=x ，……………………………………………………………………（1分） ∴21=AEFD S 梯形（AD +BC ）AE ⋅=917638)3866(21=⨯++．………………（1分）当点P 在梯形ABCD 外部时，由MN =2及与（2）相同的方法得：x x -=⨯-+8221)6(21，AE =4=x ，………………………………………（1分） ∴21=AEFD S 梯形（AD +BC ）AE ⋅=324)466(21=⨯++．…………………（1分）12、13、证明：（1）过点M分别作MG⊥AB，MH⊥CD，垂足为点G、H．∵点M是边BC的中点，∴BM = CM．∵在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，∴60∠=∠=︒．B C又∵MG⊥AB，MH⊥CD，∴90BGM CHM∠=∠=︒．∴△BGM≌△CHM．得MG = MH，且30∠=∠=︒，BMG CMH即得120∠=∠=︒．………………………………………（2分）GMH EMF又∵∠EMF =∠EMG +∠GMF ，且∠GMH =∠GMF +∠FMH ， ∴∠EMG =∠FMH ．于是，由90BGM CHM ∠=∠=︒，MG = MH ，得△EGM ≌△FHM ． ∴ME = MF ．…………………………………………………………（2分）（2）当点E 、F 在边AB 、CD 上移动时，五边形AEMFD 的面积的大小不会改变．…………………………………………………………………（1分） ∵△EGM ≌△FHM ，∴EMG FMH S S ∆∆=．即得五边形五边形AEMFD AGMHD S S =．……………………………………（2分）（3）联结AM （在备用图中1）．当点E 、F 恰好是边AB 、CD 的中点，且AB = CD ，得BE = CF ．又∵ME = MF ，BM = CM ，∴△BEM ≌△CFM ．∴∠BME =∠CMF ．∵120EMF ∠=︒，∴1(180)302BME EMF ∠=︒-∠=︒．…………（1分）于是，由60B ∠=︒，得90BEM ∠=︒．∵点E 是边AB 的中点，∴ME 是边AB 的垂直平分线．∴MA = MB ．于是，由60B ∠=︒，得△ABM 是等边三角形．……………………（1分） ∴60AMB ∠=︒．即得∠AMB =∠C ．∴AM // CD ．又∵AD // MC ，∴四边形AMCD 是平行四边形． ∴AD = CM ．于是，由BC = 8，BM = CM ，得CM = 4．即得AD = 4．…………………………………………………………（1分）说明：如果学生在证得△BEM 是直角三角形，且30BEM ∠=︒． ………………（1分）利用直角三角形的性质求得BE = 2，进而求得AB = 4．分别过点A 、D 作AK ⊥BC ，DL ⊥BC ,垂足为点K 、L （在备用图2中）．利用直角三角形的性质求得BN = 4，CL = 4．………………………………（1分）求得KL = 4，并说明四边形AKLD 是矩形，进而求得AD = 4．……………（1分） A BC D ME F（第26题图）G HA BC D MEF （备用图1）A BCD MEF （备用图2）KL。

上海市沪教版八年级数学(下)填空题压轴小题专项练习含解析

八年级数学（下）填空题压轴小题练习题一．填空题1．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为． 2．如图，在ABC ∆中，4AC AB ==，AH BC ⊥垂足为H ，15AH =，BD 是中线，将CBD ∆沿直线BD 翻折后，点C 落在点E ，那么AE 为．3．如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC 的长为．4．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，2AB =，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后得到ABC '∆（点B 、C 分别与点B C '对应）．当BA BB '=时，B C '= ．5．已知四边形ABCD 是矩形，点E 是边AD 的中点，以直线BE 为对称轴将ABE ∆翻折至FBE ∆，联结DF ，那么图中与AEB ∠相等的角的个数为．6．如图，正方形ABCD 的边长为1，把这个正方形绕点A 旋转，得到正方形AB C D '''；且点C '在直线AD 上，那么△C D D ''的面积是．7．已知P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 旋转，使得边BA 与边BC 重合，点P 落在点P '的位置上．如果2PB =，那么PP '的长等于．8．如图，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，如果ABE ∆、ECF ∆、FDA ∆的面积分别刚好为6、2、5，那么矩形ABCD 的面积为．9．平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点(3,8)C 、(5,8)G -，联结线段CG ，如果在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，那么点P 的横坐标P x 的取值范围是． 10．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，Q 是边CD 上的一点．联结MN 、BQ ，将BCQ ∆沿着直线BQ 翻折，若点C 恰好与线段MN 上的点P 重合，则PQ 的长等于．11．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”，若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为75︒，则这个梯形的高等于． 12．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为()b a b >，M 是BC 边上一个动点，联结AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将ABM ∆绕点A 旋转至ADN ∆，将MEF ∆绕点F 旋转恰好至NGF ∆．给出以下三个结论：①AND MPC ∠=∠； ②ABM NGF ∆≅∆；③22AMFN S a b =+四边形．其中正确的结论是（请填写序号）．13．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．D ，E 分别为边BC ，AC 上一点，将ADE ∆沿着直线AD 翻折，点E 落在点F 处，如果DF BC ⊥，AEF ∆是等边三角形，那么AE = ．14．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线142y x =-+与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，四边形AOBC 是梯形，且对角线AB 平分CAO ∠，那么点C 的坐标为．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点60O AOB ∠=︒，4BD =，将ABC ∆沿直线AC 翻折后，点B 落在点E 处，那么AED S ∆= ．16．如图，矩形ABCD 中，5AD =，3AB =，把矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在射线CB 上的点P 处时，那么线段DP 的长度等于．17．如图，已知矩形ABCD 的边3AB =，9BC =，将其折叠，使得点D 与点B 重合，折叠后折痕EF 的长是．18．已知直角梯形的一条底边长为8，一条腰长为32，且它与底边的夹角是45︒，那么另一条底边的长为．19．如图，在直角坐标平面内，ABC ∆的顶点(1,0)A -，点B 与点A 关于原点对称，AB BC =，30CAB ∠=︒，将ABC ∆绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，那么BE 所在直线的解析式为．20．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG BE ⊥、PH BC ⊥，垂足分别为G 、H ，如果8AD =，3CF =，那么PG PH +的值为．21．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，2AD =，3AB =，6BC =，如果CE 平分BCD ∠交边AB 于点E ，那么DE 的长为．22．在ABCD Y 中，5AB =，7BC =，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果将点A 绕着点O 顺时针旋转90︒后，点A 恰好落在平行四边形ABCD 的边AD 上，那么AC 的长是． 23．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，60BCD ∠=︒，5CD =．将梯形ABCD 绕点A 旋转后得到梯形111AB C D ，其中B 、C 、D 的对应点分别是1B 、1C 、1D ，当点1B 落在边CD 上时，点1D 恰好落在CD 的延长线上，那么1DD 的长为．24．已知边长为4的正方形ABCD ，点E 、F 分别在CA 、AC 的延长线上，且45BED BFD ∠=∠=︒，那么四边形EBFD 的面积是．25．如图，在矩形ABCD 中，6BC cm =，3CD cm =，将BCD ∆沿BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '交AD 于点E ，则AE 的长为 cm ．26．如图，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ．若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是．27．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 在AB 边上，将ACD ∆沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，如果四边形BCDE 是平行四边形，那么ADC ∠= ．28．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且MN AC ⊥．将四边形BCNM 沿直线MN 翻折，点B 、C 的对应点分别是点B '、C '，如果四边形ABB C ''是平行四边形，那么BAC ∠=度．29．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，其中4AB cm =，6BC cm =，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，使点B 落在梯形AECD 内，记为点B '，那么B '、C 两点之间的距离是 cm ．30．如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于．31．如图，已知矩形ABCD ，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE 、BE ，若ABE ∆是等边三角形，则DCEABES S ∆∆= ．32．如图，在矩形ABCD 中，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，将四边形CDMN 沿直线MN 翻折后，点D 落在边BC 上的点P ，如果3AB =，9BC =，那么PMN ∆的面积S 的取值范围是．33．已知矩形ABCD ，3AB =，33BC =，将其绕点A 旋转，使点B 落在线段AC 上与点B '重合，得到矩形AB C D '''，B C ''交AD 于点E ，则:C ED C B C S S '''=V V ．34．一次函数13y x b =+的图象与x 轴交于点(6,0)A ，与y 轴交于点B ，点C 在y 轴的正半轴上，5BC =，如果四边形ABCD 是等腰梯形，那么点D 的坐标是．35．如图，在ABCD Y 中，//AB CD ，//BC AD ，CE AB ⊥，垂足是E ，3AB =，4BC =，60B ∠=︒，把四边形ABCD 沿直线CE 翻折，那么重叠部分的面积为．36．如图，已知E 是ABCD Y 的边AB 上一点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，如果BEF ∆的周长为7，CDF ∆的周长为15，那么CF 的长等于．37．如图，已知菱形ABCD 中，60B ∠=︒，E 为BC 上一点，且15BAE ∠=︒，将点E 绕着点A 旋转(0180)αα<<度，使得E 点落在边CD 上，则α= 度．38．平行四边形ABCD 中，两条邻边长分别为3和5，BAD ∠与ABC ∠的平分线交于点E ，点F 是CD 的中点，联结EF ，则EF = ．39．如图．已知正方形ABCD ，点E 在边DC 上，3DE =，1EC =．连接AE ，点F 在射线AB 上，且满足CF AE =，则A 、F 两点的距离为．40．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为4与6，O 是线段AB 的中点，那么点O 到直线l 的距离是．参考答案一．填空题（共40小题）1．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 8或10 ．【解答】解：如图所示：①当1AE =，2DE =时， Q 四边形ABCD 是平行四边形， 3BC AD ∴==，AB CD =，//AD BC ， AEB CBE ∴∠=∠，BE Q 平分ABC ∠， ABE CBE ∴∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠， 1AB AE ∴==，∴平行四边形ABCD 的周长2()8AB AD =+=；②当2AE =，1DE =时，同理得：2AB AE ==，∴平行四边形ABCD 的周长2()10AB AD =+=；故答案为：8或10．2．如图，在ABC ∆中，4AC AB ==，AH BC ⊥垂足为H ，15AH =，BD 是中线，将CBD ∆沿直线BD 翻折后，点C 落在点E ，那么AE 为6 ．【解答】解：作AM AH ⊥交BD 的延长线于M ，BN MA ⊥于N ，如图所示：则四边形ANBH 是矩形． 15AH NB ∴==， 4AB AC ==Q ，221BH CH AB AH ∴==-=，2BC ∴=， //AM BC Q ， M DBC ∴∠=∠，在ADM ∆和CDB ∆中，M DBC ADM BDCAD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADM CDB AAS ∴∆≅∆， 2AM BC ∴==，DM BD =，在Rt BMN ∆中，15BN =Q ，3MN =，226BM MN BN ∴=+=，6BD DM ∴== 2BC CD BE DE ====Q ， ∴四边形EBCD 是菱形，EC BD ∴⊥，6BO OD ==EO OC =， AD DC =Q ，//AE OD ∴，26AE OD ==．6．3．如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC 的长为 63 ．【解答】解：根据图形可知2ADC A ∠=∠，又180ADC A ∠+∠=︒， 60A ∴∠=︒，AB AD =Q ，∴梯形的上底边长=腰长2=，∴梯形的下底边长4=（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出）， 246AB ∴=+=，32sin 6026632AC AB ∴=︒=⨯⨯=．故答案为：63．4．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，2AB =，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后得到'AB C '∆（点B 、C 分别与点'B C '、对应）．当BA BB '=时，B C '= 7或1 ．【解答】解：90C ∠=︒Q ，1BC =，2AB =，22413AC AB BC ∴=-=-=1sin 2BC BAC AB ∠==Q 30BAC ∴∠=︒60B ∴∠=︒Q 将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后得到ABC '∆AB AB '∴=，且AB BB '=ABB '∴∆是等边三角形，2AB A B BB ''∴===如图，当点B 在AC 下方时，ABB '∆Q 是等边三角形，60ABB '∴∠=︒，且60ABC ∠=︒∴点B ，点C ，点B '三点共线211B C BB BC ''∴=-=-=如图，当点B 在AC 上方时，ABB '∆Q 是等边三角形，60B AB '∴∠=︒，且30BAC ∠=︒90B AC '∴∠=︒22347B C AC B A ''∴=+=+=715．已知四边形ABCD 是矩形，点E 是边AD 的中点，以直线BE 为对称轴将ABE ∆翻折至FBE ∆，联结DF ，那么图中与AEB ∠相等的角的个数为 4 ．【解答】解：由折叠知，BEF AEB ∠=∠，AE FE =，Q 点E 是AD 中点，AE DE ∴=，ED FE ∴=，FDE EFD ∴∠=∠，AEF EDF DFE AEB BEF ∠=∠+∠=∠=∠QAEB EDF ∴∠=∠，//AD BC Q ，AEB CBE ∴∠=∠，EDF EFD BEF AEB CBE ∴∠=∠=∠=∠=∠，故答案为：46．如图，正方形ABCD 的边长为1，把这个正方形绕点A 旋转，得到正方形AB C D '''；且点C '在直线AD 上，那么△C D D ''的面积是 224+或224- ．【解答】解：如图，过点D '作D E AD '⊥，Q 把这个正方形绕点A 旋转，得到正方形AB C D '''；1AD AD CD C D '''∴==== 222AC D A C D ''''∴=+=22D E '∴= 当点C '在AD 延长线上时，1222(21)224C D D S ''-=⨯-⨯=V 当点C '在DA 延长线上时，1222(21)224C D D S ''+=⨯+⨯=V 故答案为：224+或224- 7．已知P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 旋转，使得边BA 与边BC 重合，点P 落在点P '的位置上．如果2PB =，那么PP '的长等于 22 ．【解答】解：如图，Q 四边形ABCD 为正方形，BA BC ∴=，90ABC ∠=︒，ABP ∆Q 绕点B 旋转，使得边BA 与边BC 重合，点P 落在点P '的位置上．2BP BP ∴='=，90PBP ABC ∠'=∠=︒，PBP ∴∆'为等腰直角三角形，222PP PB ∴'==．故答案为22．8．如图，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，如果ABE ∆、ECF ∆、FDA ∆的面积分别刚好为6、2、5，那么矩形ABCD 的面积为 20 ．【解答】解：设AB CD a ==，AD BC b ==6ABE S ∆=Q ∴162AB BE ⨯= 12BE a∴= 12EC b a ∴=-2EFC S ∆=Q ∴122EC CF ⨯= 412a CF ab ∴=- 412a DF a ab ∴=-- 5ADF S ∆=Q ∴152AD DF ⨯= 4()1012a b a ab ∴-=- 2()261200ab ab ∴-+=20ab ∴=或6ab =（不合题意舍去）∴矩形ABCD 的面积为20故答案为209．平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点(3,8)C 、(5,8)G -，联结线段CG ，如果在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，那么点P 的横坐标P x 的取值范围是33P x -剟，且0p x ≠ ．【解答】解：如图，设C 关于y 轴的对称点(3,8)C '-．由于点P 与点Q 互为反等点．又因为点P ，Q 是线段CG 上的反等点，所以点P 只能在线段CC '上，所点P 的横坐标P x 的取值范围为：33P x -剟，且0p x ≠．故答案为：33P x -剟，且0p x ≠．10．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，Q 是边CD 上的一点．联结MN 、BQ ，将BCQ ∆沿着直线BQ 翻折，若点C 恰好与线段MN 上的点P 重合，则PQ 的长等于 23 ．【解答】解：12CBQ PBQ PBC ∠=∠=∠Q ，26BC PB BN ===，3BN =，90BPQ C ∠=∠=︒， cos :1:2PBN BN PB ∴∠==，60PBN ∴∠=︒，30PBQ ∠=︒，3tan 306233PQ PB ∴=︒=⨯=．故答案为：23．11．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”，若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为75︒，则这个梯形的高等于 5 ．【解答】解：如图，AB CD =，//AD BC ，10BD BC ==，75C ∠=︒．作DH BC ⊥于H ．BD BC =Q ，75BDC C ∴∠=∠=︒，180757530DBC ∴∠=︒-︒-︒=︒， 152DH BD ∴==．故答案为512．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为()b a b >，M 是BC 边上一个动点，联结AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将ABM ∆绕点A 旋转至ADN ∆，将MEF ∆绕点F 旋转恰好至NGF ∆．给出以下三个结论：①AND MPC ∠=∠； ②ABM NGF ∆≅∆；③22AMFN S a b =+四边形．其中正确的结论是 ①②③ （请填写序号）．【解答】解：如图，连接MN ．Q 将ABM ∆绕点A 旋转至ADN ∆，将MEF ∆绕点F 旋转恰好至NGF ∆，AMN ∴∆，MNF ∆都是等腰直角三角形，45ANM AMN FNM FMN ∴∠=∠=∠=∠=︒，90ANF AMF MAN MFN ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形AMFN 是矩形，AN AM =Q ，∴四边形AMFN 是正方形，//AN MF ∴，AND MPC ∴∠=∠，故①正确，//AB NG Q ，//AM NF ，BAM GNF ∴∠=∠，AM FN =Q ，B NGF ∠=∠，()ABM NGF AAS ∴∆≅∆，故②正确，Q 四边形AMFN 是正方形，Q 在Rt ABM ∆中，222a b AM +=，222AMFN S AM a b ∴==+四边形；故③正确；故答案为①②③．13．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．D ，E 分别为边BC ，AC 上一点，将ADE ∆沿着直线AD 翻折，点E 落在点F 处，如果DF BC ⊥，AEF ∆是等边三角形，那么AE = 4 ．【解答】解：如图：Q 折叠，EAD FAD ∴∠=∠，DE DF =，DFE DEF ∴∠=∠；AEF ∆Q 是等边三角形，60EAF AEF ∴∠=∠=︒，30EAD FAD ∴∠=∠=︒；在Rt ACD ∆中，6AC =，30CAD ∠=︒，CD ∴=FD BC ⊥Q ，AC BC ⊥，//AC DF ∴，60AEF EFD ∴∠=∠=︒，60FED ∴∠=︒；180AEF DEC DEF ∠+∠+∠=︒Q ，60DEC ∴∠=︒；Q 在Rt DEC ∆中，60DEC ∠=︒，CD =，2EC ∴=；AE AC EC =-Q ，624AE ∴=-=；故答案为：4．14．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线142y x =-+与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，四边形AOBC 是梯形，且对角线AB 平分CAO ∠，那么点C 的坐标为 (5,4) ．【解答】解：142y x =-+Q ， 0y ∴=时，1402x -+=，解得8x =，(8,0)A ∴， 0x =时，4y =，(0,4)B ∴．如图，四边形AOBC 是梯形，且对角线AB 平分CAO ∠，//BC OA ∴，OAB CAB ∠=∠，ABC OAB ∴∠=∠，ABC CAB ∴∠=∠，AC BC ∴=．设点C 的坐标为(,4)x ，则222(8)4x x -+=，解得5x =，∴点C 的坐标为(5,4)．故答案为(5,4)．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点60O AOB ∠=︒，4BD =，将ABC ∆沿直线AC 翻折后，点B 落在点E 处，那么AED S ∆= 3【解答】解：如图连接EO ．60AOB EOA ∠=∠=︒Q ，60EOD ∴∠=︒，OB OE OD ==Q ，EOD ∴∆是等边三角形，60EDO AOB ∴∠=∠=︒， //DE AC ∴，2323ADE EOD S S ∆∆∴=== 316．如图，矩形ABCD 中，5AD =，3AB =，把矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在射线CB 上的点P 处时，那么线段DP 的长度等于 10,310 ．【解答】解：如图，当矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在射线CB 上的点P 处时，则5AP AD ==，在Rt ABP ∆中，22534BP =-=， 541PC ∴=-=，在Rt PCD ∆中，221310DP =+=；当矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在射线CB 上的点P '处时，则5AP AD '==，在Rt ABP ∆'中，22534BP '=-=，549P C ∴'=+=，在Rt △P CD '中，2239310DP '=+=；综上所述，线段DP 的长度为10或310．故答案为10或310．17．如图，已知矩形ABCD 的边3AB =，9BC =，将其折叠，使得点D 与点B 重合，折叠后折痕EF 的长是 10 ．【解答】解：设BD 于EF 交于点O ，则O 是BD 的中点．在直角ABD ∆中，2222933BD AB AD =+=+=10cm ；则3102OD = B Q 、D 关于EF 对称，90EOD ∴∠=︒，又Q 矩形ABCD 中，90A ∠=︒，90A EOD ∴∠=∠=︒．在ABD ∆于OED ∆中，90A EOD ∠=∠=︒，ADB ODE ∠=∠，ABD OED ∴∆∆∽． ∴OE OD AB AD =， 102OD OE AB cm AD ∴==g ． 210EF OE cm ∴==．18．已知直角梯形的一条底边长为8，一条腰长为32，且它与底边的夹角是45︒，那么另一条底边的长为 5或11 ．【解答】解：①当AB 与下底的夹角为45︒时（上图），作AM BC ⊥于M ．则四边形AMCD 是矩形，32AB =Q ，易知3AM BM ==，5AD CM BC BM ∴==-=．②下图中，当45A ∠=︒，32AB =，8BC =时，同法可得3811AD AM DM =+=+=， ③如图3，当45D ∠=︒，32AB =8AD =，同法可得，832BC =-④如图3，当45C ∠=︒，32AB =8AD =，同法可得，832BC =+故答案为5或11或832-832+19．如图，在直角坐标平面内，ABC ∆的顶点(1,0)A -，点B 与点A 关于原点对称，AB BC =，30CAB ∠=︒，将ABC ∆绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，那么BE 所在直线的解析式为 3333y x =- ．【解答】解：如图，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，ABC ∆Q 的顶点(1,0)A -，点B 与点A 关于原点对称，(1,0)B ∴，2AB ∴=．AB BC =Q ，30CAB ∠=︒，2BC AB ∴==，3sin 6023CF BC ∴=︒==g ，1cos30212BF BC =︒=⨯=g ， 3)C ∴．Q 将ABC ∆绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处， 2AB CE ∴==，(4,3)E∴．设直线BE的解析式为(0)y kx b k=+≠，∴43k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3333kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，BE∴所在直线的解析式为：3333y x=-．故答案为：3333y x=-．20．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG BE⊥、PH BC⊥，垂足分别为G、H，如果8AD=，3CF=，那么PG PH+的值为4．【解答】解：过点E作EQ BC⊥，垂足为Q，如图，Q四边形ABCD是矩形，AD BC∴=，90C ADC∠=∠=︒．8AD=Q，3CF=，5BF BC CF AD CF∴=-=-=．由折叠可得：DF BF=，BEF DEF∠=∠．5DF∴=．90C∠=︒Q，2222534DC DF CF∴=-=-=．EQ BC ⊥Q ，90C ADC ∠=∠=︒，90EQC C ADC ∴∠=︒=∠=∠，∴四边形EQCD 是矩形，4EQ DC ∴==．//AD BC Q ，DEF EFB ∴∠=∠．BEF DEF ∠=∠Q ，BEF EFB ∴∠=∠，BE BF ∴=．由问题情境中的结论可得：PG PH EQ +=，4PG PH ∴+=，PG PH ∴+的值为4．故答案是：4．21．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，2AD =，3AB =，6BC =，如果CE 平分BCD ∠交边AB 于点E ，那么DE 的长为 5 ．【解答】解：方法一：作DH BC ⊥于点H ，延长CE 交DA 的延长线于点F ， 2AD =Q ，3AB =，6BC =，624CH ∴=-=，3DH =，5CD ∴=，CE Q 平分BCD ∠交边AB 于点E ，//AD BC ，AB BC ⊥，DCF BDF DFC ∴∠=∠=∠，5DF DC ∴==，3AF∴=，FAE CBE∴∆∆∽，∴AF AE BC BE=，即36AEBE =，3 AE BE+=Q，解得，1AE=，2222125DE AE AD∴=+=+=，故答案为：5．方法二：作DF BC⊥于点F，作EG CD⊥交CD的延长线于点G，如右图所示，由已知可得，2AD BF==，3AB DF==，5CD∴=，CEQ平分BCD∠交边AB于点E，EG EB∴=，设AE a=，则3EB a=-，3EG a∴=-，∴()2222AD BC AB AD AE BC EB CD EG +=++g g g g，即(26)326(3)5(3)2222a a a+⨯--=++，解得，1a=，即1AE=，2222125 DE AE AD∴=+=+=，故答案为：5．22．在ABCD Y 中，5AB =，7BC =，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果将点A 绕着点O 顺时针旋转90︒后，点A 恰好落在平行四边形ABCD 的边AD 上，那么AC 的长是 42或32 ．【解答】解：如图，过O 点作OE AD ⊥于E ，过C 点作CF AD ⊥于F ， Q 将点A 绕着点O 顺时针旋转90︒后，点A 恰好落在平行四边形ABCD 的边AD 上， AOA ∴∆'是等腰直角三角形，∴△AA C '是等腰直角三角形，设AA x '=，则CF x =，7DF x =-，在Rt CDF ∆中，222(7)5x x +-=，解得14x =，23x =，在Rt CFA ∆中，42AC =或32．故答案为：42或32．23．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，60BCD ∠=︒，5CD =．将梯形ABCD 绕点A 旋转后得到梯形111AB C D ，其中B 、C 、D 的对应点分别是1B 、1C 、1D ，当点1B 落在边CD 上时，点1D 恰好落在CD 的延长线上，那么1DD 的长为 52．【解答】解：如图，将梯形ABCD 绕点A 旋转后得到梯形111AB C D ，连接BD ，由旋转得：1AD AD =，1AB AB =，11DAD BAB ∠=∠，11DAB D AB ∴∠=∠，且13∠=∠，在DAB ∆和△11D AB 中，1111AD AD DAB D AB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DAB ∴∆≅△11()D AB SAS ，12∴∠=∠，23∴∠=∠，//AD BC Q ，24∴∠=∠，设1234α∠=∠=∠=∠=，则51804120C α∠=︒-∠-∠=︒-， 235180∠+∠+∠=︒Q ，120180ααα∴++︒-=︒，解得60α=︒，123460∴∠=∠=∠=∠=︒，1ADD ∴∆、BCD ∆都是等边三角形，5BD CD ∴==，30ABD ∠=︒，Rt ABD ∴∆中，1522AD BD ==， 152DD AD ∴==．故答案为：5224．已知边长为4的正方形ABCD，点E、F分别在CA、AC的延长线上，且45BED BFD∠=∠=︒，那么四边形EBFD的面积是16162+．【解答】解：如图连接BD交AC于O．Q四边形ABCD是正方形，4AB BC CD AD∴====，45CAD CAB∠=∠=︒，135EAD EAB∴∠=∠=︒，在EAB∆和EAD∆中，EA EAEAB EADAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAB EAD∴∆≅∆，22.5AEB AED∴∠=∠=︒，EB ED=，18022.5ADE EAD AED∴∠=︒-∠-∠=︒，22.5AED ADE∴∠=∠=︒，4AE AD∴==，同理证明22.5DFC∠=︒，FD FB=，DEF DFE∴∠=∠，DE DF∴=，ED EB FB FD∴===，∴四边形EBFD的面积1142(428)16222BD EF==⨯+=+g g．故答案为16162+． 25．如图，在矩形ABCD 中，6BC cm =，3CD cm =，将BCD ∆沿BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '交AD 于点E ，则AE 的长为 94cm ．【解答】解：BCD ∆Q 沿BD 翻折，点C 落在点C '处，BCD EBD ∴∠=∠，Q 矩形的对边//AD BC ，BCD ADB ∴∠=∠，EBD ADB ∴∠=∠，BE DE ∴=，在矩形ABCD 中，3AB CD cm ==，6AD BC cm ==，设AE xcm =，则6BE DE AD AE x ==-=-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理得，222AB AE BE +=，即2223(6)x x +=-，解得94x =，即94AE cm =．故答案为：94． 26．如图，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ．若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是 32 ．【解答】解：如图，过点D 作DE DP ⊥交BC 的延长线于E ，90ADC ABC ∠=∠=︒Q ，∴四边形DPBE 是矩形，90CDE CDP ∠+∠=︒Q ，90ADC ∠=︒，90ADP CDP ∴∠+∠=︒，ADP CDE ∴∠=∠，DP AB ⊥Q ，90APD ∴∠=︒，90APD E ∴∠=∠=︒，在ADP ∆和CDE ∆中，ADP CDE APD EAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADP CDE AAS ∴∆≅∆，DE DP ∴=，四边形ABCD 的面积=四边形DPBE 的面积18=， ∴矩形DPBE 是正方形，1832DP∴==．故答案为：32．27．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 在AB 边上，将ACD ∆沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，如果四边形BCDE 是平行四边形，那么ADC ∠= 135︒ ．【解答】解：延长CD 到点F ，如图所示．Q 四边形BCDE 是平行四边形，//BC DE ∴，90BDE ∴∠=︒，90ADE ∴∠=︒．Q 将ACD ∆沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处， 1452ADF EDF ADE ∴∠=∠=∠=︒， 45BDC ADF ∴∠=∠=︒，180135ADC BDC ∴∠=︒-∠=︒．故答案为：135︒．28．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且MN AC ⊥．将四边形BCNM 沿直线MN 翻折，点B 、C 的对应点分别是点B '、C '，如果四边形ABB C ''是平行四边形，那么BAC ∠= 60 度．【解答】解：如图，Q 四边形MNC B ''是由四边形MNCB 翻折得到，C C ∴∠=∠'，//AB B C ''Q ，C BAC ∴∠=∠，AB BC ∴=，AB AC =Q ，AB AC BC ∴==，60BAC ∴∠=︒，故答案为60．29．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，其中4AB cm =，6BC cm =，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，使点B 落在梯形AECD 内，记为点B '，那么B '、C 两点之间的距离是 185cm ．【解答】解：如图所示：过点B '作B F BC '⊥，垂足为F ，连接B C '．Q 点E 是BC 的中点，116322BE BC ∴==⨯=．在Rt ABE ∆中，2222345AE AB BE =+=+=．由射影定理可知；2OE AE BE =g ，95OE ∴=．由翻折的性质可知；BO AE ⊥．∴1122AB BE AE OB =g g ． 125OB ∴=． 245BB ∴'=． OBE FBB ∠=∠'Q ，BOE BFB ∠=∠'，BOE BFB ∴∆∆'∽． ∴OE BE OB B F BB BF ==''，即912355245B F BF =='．解得：7225B F '=，9625BF =． 5425FC ∴=．在Rt △B FC '中，2222725418()()25255B C B F FC '='+=+=．故答案为：185． 30．如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于 43 ．【解答】解：由折叠的性质得BF EF =，AE AB =，因为6CD =，E 为CD 中点，故3ED =，又因为6AE AB CD ===，90D ∠=︒，所以30EAD ∠=︒，则1(9030)302FAE ∠=︒-︒=︒，设FE x =，则2AF x =，在AEF ∆中，根据勾股定理，222(2)6x x =+，212x =，13x =，23x =-．323AF ==．故答案为：43．31．如图，已知矩形ABCD ，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE 、BE ，若ABE ∆是等边三角形，则DCE ABE S S ∆∆= 13．【解答】解：过E 作EM AB ⊥于M ，交DC 于N ，Q 四边形ABCD 是矩形，DC AB ∴=，//DC AB ，90ABC ∠=︒，MN BC ∴=，EN DC ⊥，Q 延AC 折叠B 和E 重合，AEB ∆是等边三角形，30EAC BAC ∴∠=∠=︒，设2AB AE BE a ===，则2333BC a ==，即233MN a =， ABE ∆Q 是等边三角形，EM AB ⊥，AM a ∴=，由勾股定理得：22(2)3EM a a a =-=，DCE ∴∆的面积是211232(33)223DC EN a a a ⨯⨯=⨯⨯=， ABE ∆的面积是21123322AB EM a a a ⨯=⨯=，∴2231333DCEABEaSS a∆∆==，故答案为：13．32．如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，将四边形CDMN沿直线MN 翻折后，点D落在边BC上的点P，如果3AB=，9BC=，那么PMN∆的面积S的取值范围是91522S剟．【解答】解：如图1中，当点N与点C重合时，四边形PCDM是正方形，此时PMN∆的面积最小，最小值为92．如图2中，当点P与B重合时，三角形PMN的面积最大，设BM DM x==，在Rt ABM∆中，2223(9)x x=+-，3x∴=，152PMNS∆∴=，∴91522S剟．故答案为91522S剟．33．已知矩形ABCD，3AB=，33BC=将其绕点A旋转，使点B落在线段AC上与点B'重合，得到矩形AB C D'''，B C''交AD于点E，则:C ED C B CS S'''=V V1:3．【解答】解：如图，Q 四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，3tan AB ACB BC ∴∠== 30ACB ∴∠=︒，60BAC ∴∠=︒，2AC AB =，AB AB ='Q ，B ∴'是AC 与BD 的交点，易证ABB ∆'，CDB ∆'都是等边三角形，C 、D 、C '共线，2AE EC EB ='='，设DEB S ∆'的面积S =，则2EDC S S ∆'=，6CBC S S ∆'=，:1:3C ED C B C S S '''∴=V V ，故答案为1:3．34．一次函数13y x b =+的图象与x 轴交于点(6,0)A ，与y 轴交于点B ，点C 在y 轴的正半轴上，5BC =，如果四边形ABCD 是等腰梯形，那么点D 的坐标是 (6,1)或(3,4) ．【解答】解：把(6,0)A 代入13y x b =+得：20b +=，解得：2b =-，则一次函数的解析式是：123y x =-．在123y x =-中，令0x =，则2y =-．则B 的坐标是：(0,2)-； 5BC =Q ，523OC BC OB ∴=-=-=，C ∴的坐标是：(0,3)，①当//AD BC 时，作DE BC ⊥于点E ．Q 四边形ABCD 是等腰梯形，2CE OB ∴==，51AD OE CE OB ∴==--=．则D 的坐标是：(6,1)．②当//CD AB '时，直线CD '的解析式为133y x =+，设1(,3)3D m m +， 5BC AD ='=Q ，2221(6)(3)53m m ∴-++=，解得3m =或6（舍弃），(3,4)D ∴'，故答案为(6,1)或(3,4)．35．如图，在ABCD Y 中，//AB CD ，//BC AD ，CE AB ⊥，垂足是E ，3AB =，4BC =，60B ∠=︒，把四边形ABCD 沿直线CE 翻折，那么重叠部分的面积为 533．【解答】解：将BCE ∆沿CE 翻折得到ECF ∆，重叠部分就是四边形AECH ．作HN BF ⊥于N ．在RT BCE ∆中，90BEC ∠=︒Q ，4BC =，60B ∠=︒，30BCE ∴∠=︒，122BE BC ==，23EC =， 2BE EF ∴==，1AF AE ==，//CD AF Q ，::1:2FH HC AF CD ∴==//NH CE Q ， ∴14NH FH EC FC ==， 32NH ∴=， 3731122312224ECF AHF AECH S S S ∆∆∴=-=⋅⋅-⋅⋅=四边形．故答案为734．36．如图，已知E 是ABCD Y 的边AB 上一点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，如果BEF ∆的周长为7，CDF ∆的周长为15，那么CF 的长等于 4 ．【解答】解：由折叠性得AB EF =，DF AD =，BEF ∆Q 的周长为7，CDF ∆的周长为15，BEF ∴∆的周长7EF BE BF AB BF =++=+=，CDF ∆的周长15DC DF FC DC AD FC =++=++=，BEF ∴∆的周长CDF +∆的周长ABCD =Y 的周长22=，11AD DC ∴+=，CF CDF ∴=∆的周长()15114AD DC -+=-=．故答案为：4．37．如图，已知菱形ABCD 中，60B ∠=︒，E 为BC 上一点，且15BAE ∠=︒，将点E 绕着点A 旋转(0180)αα<<度，使得E 点落在边CD 上，则α= 60度或70 度．【解答】解：连接AC ．Q 菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，60BAC ACB ∴∠=∠=︒，60ACD ∴∠=︒．本题有两种情况：①如图，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点E 与点1E 重合，此时1ABE ABE ∆≅∆，1AE AE =，旋转角60BAC α=∠=︒；②60BAC ∠=︒Q ，25BAE ∠=︒，35EAC ∴∠=︒．如图，将线段AE 绕点A 逆时针旋转70︒，使点E 到点2E 的位置，此时AEC ∆≅△2AE C ，2AE AE =，旋转角270EAE α=∠=︒．综上可知，符合条件的旋转角α的度数为60︒或70︒．故答案是：60度或70．38．平行四边形ABCD 中，两条邻边长分别为3和5，BAD ∠与ABC ∠的平分线交于点E ，点F 是CD 的中点，联结EF ，则EF = 3.5或0.5 ．【解答】解：①如图1中，当3AB =，5BC =时，延长AE 交BC 于M ．//AD BC Q ，DAM AMB ∴∠=∠，DAM BAM ∠=∠Q ，BAM AMB ∴∠=∠，3AB BM ∴==，2CM BC BM ∴=-=，180DAB ABC ∠+∠=︒Q ， 119022EAB EBA DAB ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 90AEB ∴∠=︒， BE AM ∴⊥，BA BM =Q ，AE EM ∴=，DF CF =Q ，3.52AD CM EF +∴==②如图2中，当5AB =，3BC =时，同法可证，AE EM =，2CM BM BC AB BC =-=-=，可得1()0.52EF AD CM =-=，综上所述，EF 的长为3.5或0.5．39．如图．已知正方形ABCD ，点E 在边DC 上，3DE =，1EC =．连接AE ，点F 在射线AB 上，且满足CF AE =，则A 、F 两点的距离为 1或7 ．【解答】解：如图：3DE =Q ，1EC =，∴正方形ABCD 的边长为4，CF AE =Q ，ADE CBF ∴∆≅∆，3BF DE ∴==，Q 点F 在射线AB 上，所以分两种情况：431AF AB BF ∴=-=-=，或437AF AB BF =+=+=．故答案为：1或7．40．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为4与6，O 是线段AB 的中点，那么点O 到直线l 的距离是 5或1 ．【解答】解：如图一，作AD l ⊥于D ，BC l ⊥于C ，OF l ⊥于F ．AD l ⊥Q 于D ，BC l ⊥，OF l ⊥于F ，////AD OF BC ∴，ABCD ∴是直角梯形，O Q 是AB 的中点，4AD =，6BC =，DF CF ∴=，11()(46)522OF AD BC ∴=+=+=．如图二，作AD l ⊥于D ，BC l ⊥于C ，OF l ⊥于F ． AD l ⊥Q 于D ，BC l ⊥，OF l ⊥于F ，////AD OF BC ∴，连接DO 并延长，交BC 于G ，则易得AOD BOG ∆≅∆，4BG AD ∴==，DO GO =，又6BC =Q ， 642CG ∴=-=， //OF CG Q ， DF CF ∴=， 112OF CG ∴==，故答案为：5或1．。

沪教版八年级上册压轴题数学精品模拟试卷

沪教版八年级上册压轴题数学精品模拟试卷一、压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐为()2,0，点D 的坐标为()0,2-，在ABC ∆中45ABC ACB ∠=∠=，//BC x 轴交y 轴于点M ．（1）求OAD ∠和ODA ∠的度数；（2）如图2，在图1的基础上，以点B 为一锐角顶点作Rt BOE ∆，90BOE =∠，OE 交AC 于点P ，求证：OB OP =；（3）在第（2）问的条件下，若点B 的标为()2,4--，求四边形BOPC 的面积． 2．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值．（3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．3．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =．（1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．4．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．7．如图，若要判定纸带两条边线a，b是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究．（1）如图1，展开后，测得12∠=∠，则可判定a//b ，请写出判定的依据_________；（2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1AC 的长． 8．阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OEOD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =9．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①．（1）求证：∠ACN =∠AMC ；（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB；（3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）10．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ．（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？11．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．12．探索发现：111111111;;12223233434=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题：（1）145⨯＝，1(1)n n ⨯+＝；（2）利用你发现的规律计算：1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+（3）利用规律解方程：1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++13．如图1，我们定义：在四边形ABCD 中，若AD=BC ，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD 叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰ABE △中，AE=BE ，四边形ABCD 是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12∠AEB ．（2）如图3，在非等腰ABE △中，若四边形ABCD 仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=12∠AEB 是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．14．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．15．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．16．探究发现：如图①，在ABC 中，内角ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线相交于点E ．（1）若80A ∠=︒，则E ∠= ；若50A ∠=︒，则E ∠= ；（2）由此猜想：A ∠与E ∠的关系为 (不必说明理由)．拓展延伸：如图②，四边形ABCD 的内角DCB ∠与外角ABE ∠的平分线相交于点F ，//BF CD ．（3）若125A ∠=︒，95D ∠=︒，求F ∠的度数，由此猜想F ∠与A ∠，D ∠之间的关系，并说明理由．17．直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数；（2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．18．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ．（1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °； ②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为．19．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．20．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DBBC的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求解；（2）通过“ASA ”可证得△ODB ≌△OAP ，进而可得BO=OP ；（3）过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，由“AAS ”可证△OBM ≌△OPF ，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC 的面积．【详解】（1）∵点A 的坐为（2，0），点D 的坐标为（0，-2）， ∴OA=OD ， ∵∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠ODA=45°；（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，∴∠BOD=∠AOP ， ∵∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠BAC=90°，AB=AC ， ∵∠OAD=∠ODA=45°， ∴∠ODB=135°=∠OAP ，在△ODB 和△OAP 中，BOD AOP OD OAODB OAP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ODB ≌△OAP （ASA ）， ∴BO=OP ；（3）如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，∵BC ∥x 轴，AQ ⊥BC ，PF ⊥x 轴，∴AQ ⊥x 轴，PN ⊥BC ，∠AOM=∠BMO=90°， ∴点Q 横坐标为2，∵∠BAC=90°，AB=AC ，AQ ⊥BC ， ∴BQ=QC ，∵点B 的标为（-2，-4）， ∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC ， ∵PF ⊥x 轴，∴∠OFP=∠OMB=90°，在△OBM 和△OPF 中，BOM POF BMO OFP BO PO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△OBM ≌△OPF （AAS ）， ∴PF=BM=2，OF=OM=4， ∵BC ∥x 轴，AQ ⊥x 轴，NF ⊥x 轴， ∴OM=AQ=FN=4， ∴PN=2，∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠CPN=45°，∴CN=PN=2，∵四边形BOPC 的面积=S △OBM +S 梯形OMNP +S △PNC ，∴四边形BOPC 的面积=12×2×4+12×4×（2+4）+12×2×2=18．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．2．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8，0)．【解析】【分析】（1）根据A，B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A，B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中， 90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12×， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=DA=PB ，∴DA=PB=∴OD=OA−DA=8，∴点D 的坐标为(8-，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中，EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF ，如图3所示：∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH ⊥CD ，∴AH=12AF=12CF=3， ∵∠DEC=∠ABC+∠BDE ，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．4．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ，∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ，∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．【详解】（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上．∵CG⊥AG，FH⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．7．（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∥b，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：①当B1在B的左侧时，如图2，当B1在B的右侧时，如图3，分别求出1AC 的长，即可得到答案．【详解】（1）∵12∠=∠，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a ∥b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①当B 1在B 的左侧时，如图2， ∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1AC =AC- AA 1=7-3=4；②当B 1在B 的右侧时，如图3， ∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1AC =AC+AA 1=7+3=10．综上所述：1AC =4或10．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．8．见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．【详解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，∴△NEC ≌△CDM （AAS ），∴NE=CD ，CE=DM ；∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB=；（3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，∴AE=BD+BP=DP ．∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，∴△NEA ≌△CDP （SAS ），∴AN=PC ．【点睛】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）154；（4）经过803s 点P 与点Q 第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；（2）利用SAS 可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm ，∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=5cm ．又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，∴PC=8﹣3=5cm ，∴PC=BD又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154Q CQ V t ==cm/s ；（4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇．由题意，得154x=3x+2×10，解得80 x=3∴经过803s点P与点Q第一次相遇．【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．11．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.12．（1）1111,451n n--+；（2）nn1+；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到1 45⨯和1(1) n n⨯+（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】解：（1）1114545=-⨯，111(1)1n n n n=-++；故答案为1111,451n n--+（2）原式＝111111111+122334111nn n n n--+-++-=-=+++;（3）已知等式整理得：11111121 11245(5)xx x x x x x x x--+-++-=++++++所以，原方程即：11215(5)xx x x x--=++，方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解为：x＝3．【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点. 13．（1）见解析；（2）仍然成立，见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和互补等对边四边形的定义可利用SAS证明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，从而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质可得∠ABD=12∠AEB，进一步可得结论；（2）如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，根据互补等对边四边形的定义可利用AAS证明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，进一步即可根据HL证明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互补等对边四边形的定义、平角的定义和四边形的内角和可得∠AEB+∠DHC=180°，进而可得∠AEB=∠BHC，再根据三角形的外角性质即可推出结论．【详解】（1）证明：∵ AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SAS)，∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE 中，∵∠EAB=∠EBA=12（180°−∠AEB ）=90°−12∠AEB ， ∴∠ABD=90°−∠EAB=90°−(90°−12∠AEB)=12∠AEB ，同理：∠BAC=12∠AEB ， ∴∠ABD=∠BAC=12∠AEB ；（2）∠ABD=∠BAC=12∠AEB 仍然成立；理由如下：如图3所示：过点A 、B 分别作BD 的延长线与AC 的垂线，垂足分别为G ，F ， ∵四边形ABCD 是互补等对边四边形，∴AD=BC ，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+∠ADG=180°，∴∠BCA=∠ADG ，又∵AG ⊥BD ，BF ⊥AC ，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD 和△BFC 中，∠AGD=∠BFC ，∠ADG=∠BCA ，AD=BC∴△AGD ≌△BFC （AAS ），∴AG=BF ，在Rt △ABG 和Rt △BAF 中，AB BA AG BF =⎧⎨=⎩∴Rt △ABG ≌Rt △BAF （HL ），∴∠ABD=∠BAC ，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC ．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD ，∠ABD=∠BAC ，∴∠ABD=∠BAC=12∠AEB ．【点睛】本题以新定义互补等对边四边形为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与三角形的外角性质以及四边形的内角和等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．14．（1）见解析；（2）见解析；（3）猜想：∠H= 3∠GDB ，证明见解析．【解析】【分析】（1）作辅助线：过C 作EF ∥MN ，根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，再进行角的加和即可得出结论；（2）根据角平分线线定理得知11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠，利用平角为180°得到∠DAE=90°，同理得90DBE ∠=︒，再根据四边形内角和180°，得出结论；（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E ，并且两角的和为180°，由此得到两个角的度数分别为72°和108°，利用角的和与差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍数关系．【详解】（1）如图：过C 作EF ∥MN ，∵MN ∥PQ ，∴MN ∥EF ∥PQ ，∴∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC ，即∠ACB=∠MAC+∠PBC ．（2）∵AD ，AE 分别为∠MAC ，∠CAN 的角平分线，∴11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠， ∴11118090222MAD NAE MAC NAC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，于是∠DAE=90° 同理可得：90PBD QBE ∠+∠=︒，由（1）可得：∵ 180D E MAD PBD NAE QBE ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒．（3）猜想：∠H= 3∠GDB.理由如下：由（1）可知：2()2C MAC PBC MAD PBD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵3∠C=4∠E ，∴6∠ADB=4∠E ，∴3∠ADB=2∠E ，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∠E=108°，∵DG ⊥DA ，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB ，∴∠ADF=144°，∴∠HDA=36°，∵DA ⊥AE ，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB ．【点睛】考查平行线中角度的关系，学生要熟悉掌握平行线的性质以及角平分线定理，结合角的和与差进行计算，本题的关键是平行线的性质．15．（1）详见解析；（2）①详见解析；②PB PC PD BE ++=，理由详见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD ，判断出BCE ACD ≌（SAS ），即可得出结论；（2）①同（1）的方法判断出≌ACD BCE （SAS ），ABD CBF ≌（SAS ），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，证明CPM △是等边三角形，进而判断出PCD MCE ≌（SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD ，∴BCE ACD ≌（SAS ），∴BE=AD ；（2）①证明：∵ABC 和DCE 是等边三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠BCE ，∴≌ACD BCE （SAS ），∴AD=BE ，同理：ABD CBF ≌（SAS ），∴AD=CF ，即AD=BE=CF ；②解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，由①知，≌ACD BCE，∴∠CAD=∠CBE，在ACQ中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在BPQ中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，60,CPE∴∠=︒∠CPD=120°，在PE上取一点M，使PM=PC，∴CPM△是等边三角形，∴CP CM PM==，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵CDE△是等边三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴PCD MCE≌（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．16．（1）40°25°；（2）12∠=∠E A(或2E∠=∠Ａ)（3）F∠=()1902A D∠+∠-︒【解析】【分析】（1）先根据两角平分线写出对应的等式关系，再分别写出两个三角形内角和的等式关系，最后联立两等式化解，将A∠的角度带入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ，可知1==2BCF DCF BCD ∠∠∠12EBF ABE ∠=∠，又因为//BF CD ，两直线平行内错角相等，得出F DCF ∠=∠，再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角的和，得出+EBF F BCF ∠=∠∠，再由四边形的内角和定理得出++360ABC BCD A D ∠+∠∠∠=，最后在FBC 中：++180F FBC BCF ∠∠∠=，代入整理即可得出结论．【详解】解：（1）由题可知：BE 为DBA ∠的角平分线，CE 为BCA ∠的角平分线，∴DBA ∠=2EBA ∠=2EBD ∠，BCA ∠=2BCE ∠，∴1802ABC EBA ∠=-∠，三角形内角和等于180，∴在ABC 中：+180A ABC BCA ∠∠+∠=，即：+(1802)2180A EBA BCE ∠-∠+∠=，220A EBA BCE ∠-∠+∠=①，在EBC 中：+180E EBC BCE ∠∠+∠=，即：+180-180E EBA BCE ∠∠+∠=（），-0E EBA BCE ∠∠+∠=②，综上所述联立①②，由①-②×2可得：22-2-0A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠+∠=（），22-2+2-20A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠∠=，-20A E ∠∠=，1=2E A ∠∠，当80A =∠，则E ∠=40；当50A ∠=，则E ∠=25；故答案为40，25；（2）由（1）知：12∠=∠E A (或2A E ∠=∠)；（3）∵DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ， ∴1==2BCF DCF BCD ∠∠∠，12EBF ABE FBA ∠=∠=∠ ，又∵//BF CD ，∴F DCF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）BCF =∠，∵EBF ∠是CBF 的一个外角，∴+=2EBF F BCF F FBA ∠=∠∠∠=∠（三角形一外角等于不相邻的两个内角的和），在四边形ABCD 中，四边形内角和为360，125A ∠=， 95D ∠=，∴++360ABC BCD A D ∠+∠∠∠=，∴360---=360---2ABC A D BCD A D F ∠=∠∠∠∠∠∠①，∴=360-125-95-2=140-2ABC F F ∠∠∠，即140-2ABC F ∠=∠，在FBC 中：++180F FBC BCF ∠∠∠=，2FBC FBA ABC F ABC ∠=∠+∠=∠+∠，由上可得：+2+180F F F ABC ∠∠=∠+∠，4180F ABC =∠+∠②，又∵=140-2ABC F ∠∠，∴-42014018F F ∠=∠+，240F ∠=，20F ∠=，由①②可得，-4-13608-20F A D F ∠+∠∠=∠，2+180F A D =∠+∠∠，+-9102F A D ∠∠=∠）（．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．17．（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】灵活运用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和；（1）求出IBA ∠，IAB ∠，根据180()AIB IBA IAB ∠=-∠+∠，即可解决问题；（2）①求出CBA ∠，BAI ∠，根据CBA ADB BAD ∠=∠+∠，即可求出ADB ∠的值； ②根据D CBA BAD ∠=∠-∠1122MBA BAO =∠-∠12AOB =∠即可得出结论；（3）首先证明90DAF ∠=，2ABO D ∠=∠，再分四种情况讨论①当4DAF D ∠=∠时，②4DAF F ∠=∠时， ③4F D ∠=∠时，④4D F ∠=∠时，分别计算，符合题意得保留即可．【详解】解：（1）如图1中，MN PQ ⊥，90AOB ∴∠=，40BAO ∠=︒，∴905040ABO ∠=-=︒，又AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，。

沪教版八年级上册压轴题数学模拟试卷

沪教版八年级上册压轴题数学模拟试卷一、压轴题1．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；（1）如图1，求BAN ∠的度数；（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数；（3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论；（2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．【详解】解：（1）//MN GH ，180ACB NAC ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90CAN ∴∠=︒，30BAC ∠=︒，9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，45ED F ∠=︒，18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，90DFE ∠=︒，15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，由（1）知，60BAN ∠=︒，30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；当90AFD ∠=︒时，如图4，90DFE ∠=︒，∴点A ，E 重合，45ED F ∠=︒，45DAF ∴∠=︒，由（1）知，60BAN ∠=︒，15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．2．如图1，我们定义：在四边形ABCD 中，若AD=BC ，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD 叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰ABE △中，AE=BE ，四边形ABCD 是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12∠AEB ．（2）如图3，在非等腰ABE △中，若四边形ABCD 仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=12∠AEB 是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．解析：（1）见解析；（2）仍然成立，见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和互补等对边四边形的定义可利用SAS证明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，从而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质可得∠ABD=12∠AEB，进一步可得结论；（2）如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，根据互补等对边四边形的定义可利用AAS证明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，进一步即可根据HL证明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互补等对边四边形的定义、平角的定义和四边形的内角和可得∠AEB+∠DHC=180°，进而可得∠AEB=∠BHC，再根据三角形的外角性质即可推出结论．【详解】（1）证明：∵ AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SAS)，∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=12（180°−∠AEB）=90°−12∠AEB，∴∠ABD=90°−∠EAB=90°−(90°−12∠AEB)=12∠AEB，同理：∠BAC=12∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=12∠AEB；（2）∠ABD=∠BAC=12∠AEB仍然成立；理由如下：如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+∠ADG=180°，∴∠BCA=∠ADG，又∵AG ⊥BD ，BF ⊥AC ，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD 和△BFC 中，∠AGD=∠BFC ，∠ADG=∠BCA ，AD=BC∴△AGD ≌△BFC （AAS ），∴AG=BF ，在Rt △ABG 和Rt △BAF 中，AB BA AG BF =⎧⎨=⎩∴Rt △ABG ≌Rt △BAF （HL ），∴∠ABD=∠BAC ，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC ．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD ，∠ABD=∠BAC ，∴∠ABD=∠BAC=12∠AEB ．【点睛】本题以新定义互补等对边四边形为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与三角形的外角性质以及四边形的内角和等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．3．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．解析：（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【详解】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．4．探索发现：111111111;;12223233434=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题：（1）145⨯＝，1(1)n n ⨯+＝；（2）利用你发现的规律计算：1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+ （3）利用规律解方程：1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++ 解析：（1）1111,451n n --+；（2）n n 1+；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到145⨯和1(1)n n ⨯+ （2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可. 【详解】解：（1）1114545=-⨯， 111(1)1n n n n =-++ ；故答案为1111,451n n--+（2）原式＝111111111+122334111nn n n n--+-++-=-=+++;（3）已知等式整理得：11111121 11245(5)xx x x x x x x x--+-++-=++++++所以，原方程即：11215(5)xx x x x--=++，方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解为：x＝3．【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点. 5．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．解析：(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE与AC的交点为G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．6．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF解析：（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．7．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）解析：（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．8．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．（1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．解析：（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒，∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.9．阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =解析：见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.10．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．解析：90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=，故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=，故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE AMC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE AMC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF A MC ︒︒∴-∠+∠=， ()112906090A MC ︒︒︒∴-+∠=， 1130AMC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.11．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．解析：（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解；（2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解；（3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝ ∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴BF ＝BD∴AF ＝DC∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝ ∵∠ADC 是ABD ∆的外角∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD ＝∠CDE在AFD ∆与DCE ∆中AFD DCE AF CDFAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.证明：∵BC CD =∴AC CD =∵CE 平分ACD ∠∴CE 垂直平分AD∴AE =DE∵60ADE ∠=︒∴ADE ∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.12．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =．（1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中，EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF ，如图3所示：∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH ⊥CD ，∴AH=12AF=12CF=3， ∵∠DEC=∠ABC+∠BDE ，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．13．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.解析：（1522213221【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，===AMB CNA MAB NCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC ，在△AMB 和△CNA 中，===AMB CNA ABM NAC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△AMB ≌△CNA （AAS ），∴CN=AM ，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=12BM ，NQ=12NC ， ∵PB=1，CQ=2，设PM=a ，NQ=b ，∴2221=4a a +，2222=4b b +，解得：3=3a ，23=3b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=433， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=2213；（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM ，在△BCN 和△CAM 中，BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCN ≌△CAM （AAS ），∴CN=AM ，BN=CM ，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP ，在△BPN 中，222BP NP BN +=，即22224NP NP +=，解得：NP=233， ∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM ，在△AQM 中，222AQ QM AM +=，即22234QM QM +=，解得：QM=3，∴AM=23=CN ，∴PC=CN-NP=AM-NP=433，在△BPC 中，BP 2+CP 2=BC 2，即BC=222243221233BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=2213.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.14．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接 BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．解析：（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．解析：（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12∠A ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠，1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122=︒+=︒，故答案为：122︒；（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠，又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=；（3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠，结论：1902BQC A ∠=︒-∠．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．二、选择题16．如图，已知线段AB 的长度为a ，CD 的长度为b ，则图中所有线段的长度和为( )A ．3a+bB ．3a-bC ．a+3bD ．2a+2b解析：A【解析】【分析】依据线段AB 长度为a ，可得AB=AC+CD+DB=a ，依据CD 长度为b ，可得AD+CB=a+b ，进而得出所有线段的长度和．【详解】∵线段AB 长度为a ，∴AB=AC+CD+DB=a ，又∵CD 长度为b ，∴AD+CB=a+b ，∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b ，故选A ．【点睛】本题考查了比较线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段．17．下列方程中，以32x =-为解的是（） A ．33x x =+B ．33x x =+C ．23x =D ．3-3x x = 解析：A【解析】【分析】把32x =-代入方程，只要是方程的左右两边相等就是方程的解，否则就不是．【详解】解：A 中、把32x =-代入方程得左边等于右边，故A 对； B 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故B 错； C 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故C 错； D 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故D 错. 故答案为：A.【点睛】本题考查方程的解的知识，解题关键在于把x 值分别代入方程进行验证即可.18．如图，直线AB ⊥直线CD ，垂足为O ，直线EF 经过点O ,若35BOE ∠=，则FOD ∠=( )A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°解析：C【解析】【分析】根据对顶角相等可得：BOE AOF ∠=∠,进而可得FOD ∠的度数.【详解】解：根据题意可得：BOE AOF ∠=∠，903555FOD AOD AOF ∴∠=∠-∠=-=.故答案为：C.【点睛】本题考查的是对顶角和互余的知识，解题关键在于等量代换.19．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β不相等．．．的图形是（）A ．B ．C ．D ．解析：C【解析】【分析】根据余角与补角的性质进行一一判断可得答案..【详解】解:A,根据角的和差关系可得∠α=∠β=45o ;B,根据同角的余角相等可得∠α=∠β；C,由图可得∠α不一定与∠β相等；D,根据等角的补角相等可得∠α=∠β.故选C.【点睛】本题主要考查角度的计算及余角、补角的性质，其中等角的余角相等，等角的补角相等. 20．下列判断正确的是（）A．有理数的绝对值一定是正数．B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身．D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数．解析：C【解析】试题解析：A∵0的绝对值是0，故本选项错误．B∵互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确．C如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身．D∵0的绝对值是0，故本选项错误．故选C．21．把一根木条固定在墙面上，至少需要两枚钉子，这样做的数学依据是（）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．两点之间直线最短解析：B【解析】因为两点确定一条直线,所以把一根木条固定在墙面上,至少需要两枚钉子故选B. 22．下列每对数中，相等的一对是（）A．（﹣1）3和﹣13B．﹣（﹣1）2和12C．（﹣1）4和﹣14D．﹣|﹣13|和﹣（﹣1）3解析：A【解析】【分析】根据乘方和绝对值的性质对各个选项进行判断即可.【详解】A.(﹣1)3＝﹣1=﹣13，相等；B.﹣(﹣1)2＝﹣1≠12＝1，不相等；C.(﹣1)4＝1≠﹣14＝﹣1，不相等；D. ﹣|﹣13|＝﹣1≠﹣(﹣1)3＝1，不相等.故选A.=.按如图所示方法用圆规在数轴上截23．如图，点A,B在数轴上,点O为原点，OA OB=,若点A表示的数是a,则点C表示的数是( )取BC AB-A．2a B．3a。

一元二次方程综合(学生版)-沪教版2022年初二数学上学期期末压轴题精选汇编30题(上海专用)

【玩转压轴题】考题2：一元二次方程综合（学生版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若关于x 的方程2440mx x +-=有实数根，甲说m 的值可以是0，乙说m 的值可以是任意值，丙说m 的值可以是1，则下列说法正确的是（）A ．甲、乙正确B ．乙、丙正确C ．甲、丙正确D ．甲、乙、丙都正确2．（2021·上海长宁·八年级期末）已知m 为实数，则关于x 的方程2(2)20x m x m ---=的实数根情况一定是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根 3．如果一元二次方程x 2 - mx + 2 = 0的解为两个不相等的负实数根，则m 的取值范围是（）A．m >B ．m <-C ．m >m <-D ．无解 4．关于x 的一元二次方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0有实数根，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 5．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（）A ．(1)42x x -=B ．(1)42x x +=C ．(1)422x x -=D ．(1)422x x += 6．关于x 的一元二次方程29ax bx +=（a ，b 是常数，且0a ≠）（） A ．若0a >，则方程可能有两个相等的实数根 B ．若0a >，则方程可能没有实数根 C ．若0a <，则方程可能有两个相等的实数根 D ．若0a <，则方程没有实数根 7．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m ，塞为20m 的矩形场地ABCD （如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行、另一条与AD 平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为295m ，求道路的宽度、若设道路的宽度为m x ，则x 满足的方程为（）A ．(32)(20)95x x --=B ．(322)(20)95x x --=C ．(32)(20)956x x --=⨯D ．(322)(20)956x x --=⨯8．（上海·八年级课时练习）若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（）． A ．a ≤2- B ．a ≥4 C ．a ≤2-或 a ≥4 D ．2-≤a ≤49．（上海市张江集团中学七年级期中）多项式22225122451x xy y x y -++-+的最小值为（）A ．41B ．32C ．15D ．12 10．下列方程一定有实数解的是（）A ．220x x ++=B 10=C ．10x =D ．320x +=二、填空题11．关于x 的一元二次方程2(31)210mx m x m --+-=，其根的判别式的值为1，m =______．12．（2021·上海市罗南中学八年级期末）等腰三角形的两边的长是方程21090x x -+=的两个根，则此三角形的周长为______．13．（上海·八年级期中）关于x 的一元二次方程()()222120m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是____________14．（上海·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+3234b c a+=____________ 15．（上海·华东师范大学第二附属中学附属初级中学八年级期末）在等腰△ABC 中，已知a=3,b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个根，则△ABC 的周长为_______ 16．（上海师大附中附属龙华中学八年级期末）在实数范围内因式分解3x²-4xy -2y 2=______.17．（上海师大附中附属龙华中学八年级期末）已知等腰△ABC 的两边是关于x 的方程x²-3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=______.18．已知：(x 2+y 2)(x 2+y 2-4)-12=0,则x 2+y 2的值为_____________.19．（上海市张江集团中学八年级期末）双二次方程x 4﹣2019x 2+4＝0的所有实根之和为_____．20．（上海交大附中九年级）若关于x 的方程（x ﹣4）（x 2﹣6x +m ）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____．三、解答题21．（2020·上海普华教育信息咨询有限公司八年级期中）某快递公司今年8月份与10月份完成投递的快递件数分别为10万件和12.1万件现假定该公司9月、10月每月投递的快递件数的增长率相等．由于“双11”购物节的影响，预计该公司11月投递的快递件数增长50%．（1）求该公司9月、10月投递快件数的月平均增长率；（2）求11月该公司投递的快递件数．22．如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库如图要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？23．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过a人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过a人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人a元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的a人是多少？24．2020年，受新冠疫情影响，众多学校开展了“停课不停学”的线上教学活动，因此，手写板的需求量大幅上升．某网店抓住时机销售A，B两款手写板，A型手写板的单价为360元，B型手写板的单价为240元．（1）商家在1月共销售两种型号手写板600个，若A型手写板的销售额不低于B型手写板销售额的3倍，求1月A型手写板至少售出多少个？（2）该商家在2月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整，A型手写板的售价降低了13a%．B型手写板的销价不变．结果A型手写板的销售量在1月最低销售量的基础上增加了43a%，B 型手写板的销售量在一月保证A 最低销量的基础上增加了15a%，结果2月两种手写板的总销售额比1月两种手写板的总销售额增加了35a%，求a 的值．25．（上海·八年级课时练习）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？26．（上海市曹杨二中附属江桥实验中学八年级期末）已知关于x 的方程(m+1)x 2+2mx+(m -3)=0，当m 取何值时，(1)方程有两个不相等的实数根.(2)方程有一个根为零，求另一个根.27．己知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于x 的方程20x ax a ++=的根的情况.28．（上海交大附中九年级）如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称（a ，b ，c ，d ，λ）为“完美数组”，例如：()1,2,3,6,6就是一组“完美数组”，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．29．（上海市培佳双语学校七年级期末）解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48. 30．（上海市张江集团中学八年级期末）解方程：()3232232(47)615180x x x x x x x x -+---++-+=。

八年级上册上海数学压轴题期末复习试卷测试卷(解析版)

八年级上册上海数学压轴题期末复习试卷测试卷（解析版）一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =的图象为直线1．（1）观察与探究已知点A 与A '，点B 与B '分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出()2,3C -关于线l 的对称点C '的位置，并写出C '的坐标______．（2）归纳与发现观察以上三组对称点的坐标，你会发现：平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为______．（3）运用与拓展已知两点()2,3E -、()1,4F --，试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到E 、F 点的距离之和最小，并求出相应的最小值．2．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA=BC ，连接AC（1）如图1，求C 点坐标；（2）如图2，若P 点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角BPQ ，连接CQ ，当点P 在线段OA 上，求证：PA=CQ ；（3）在（2）的条件下若C 、P ，Q 三点共线，直接写出此时∠APB 的度数及P 点坐标3．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ； (2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值； ②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．4．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）如图1，①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上； ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为；（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC =22a ，试写出此时BF 的值． 5．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．（3）是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．7．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝3+a c ，y ＝3+b d，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为；（2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．8．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PFAF的值．（提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）9．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点． (1)求P 点的坐标； (2)求△APB 的面积；(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．10．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =．（1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．11．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.12．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) （3，-2）；(2) （n ，m ）；(3)图见解析, 点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为10【解析】【分析】（1）根据题意和图形可以写出C '的坐标；（2）根据图形可以直接写出点P 关于直线l 的对称点的坐标；（3）作点E 关于直线l 的对称点E '，连接E 'F ，根据最短路径问题解答. 【详解】（1）如图，C '的坐标为（3，-2），故答案为（3，-2）；（2）平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为（n ，m ），故答案为（n ，m ）；（3）点E 关于直线l 的对称点为E '（-3,2），连接E 'F 角直线l 于一点即为点Q ，此时点Q 到E 、F 点的距离之和最小，即为线段E 'F ，∵E 'F ()[]221(3)2(4)210=---+--=⎡⎤⎣⎦， ∴点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为210.【点睛】此题考查轴对称的知识，画关于直线的对称点，最短路径问题，勾股定理关键是找到点的对称点，由此解决问题.2．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ︒∠=【解析】【分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】解：(1)作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，因为AB BC ⊥，所以.∠ABO+∠CBH=90°，所以∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO BCH ∴∆≅∆:BH=OA=3，CH=OB=1， :OH=OB+BH=4，所以C 点的坐标为（1，-4）； (2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PBA QBC ∴∆≅∆:.PA=CQ ；(3) ()135,1,0APB P ︒∠=BPQ ∆是等腰直角三角形，:所以∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2)可知，PBA QBC∴∆≅∆；所以∠BPA=∠BQC=135°，所以∠OPB=45°，所以.OP=OB=1，所以P点坐标为（1，0) ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（1）203；（2）①t＝83；②a＝185；（3）t＝6.4或t＝103【解析】【分析】（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；（2）①由题意得：BM＝CN＝3t，则只可以是△CMN≌△BAM，AB＝CM，由此列出方程求解即可；②由题意得：CN≠BM，则只可以是△CMN≌△BMA，AB＝CN＝12，CM＝BM，进而可得3t＝10，求解即可；（3）分情况讨论，当△CMN≌△BPM时，BP＝CM，若此时P由A向B运动，则12－2t＝20－3t，但t＝8不符合实际，舍去，若此时P由B向A运动，则2t－12＝20－3t，求得t＝6.4；当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，可得3t＝10，t＝103，再将t＝103代入分别求得AP，BP的长及a的值验证即可．【详解】解：（1）20÷3＝203，故答案为：203；（2）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△ABM全等，∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由题意得：BM＝CN＝3t，∴△CMN≌△BAM∴AB＝CM，∴12＝20－3t，解得：t＝83；②由题意得：CN≠BM，∴△CMN≌△BMA，∴AB＝CN＝12，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC，∴3t＝10，解得：t＝10 3∵CN＝at，∴103a＝12解得：a＝185；（3）存在∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△PBM全等，∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8 (舍去)若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC∴3t＝10，解得：t＝10 3当t＝103时，点P的路程为AP＝2t＝203，此时BP＝AB－AP＝12－203＝163，则CN＝BP＝16 3即at＝163，∵t＝103，∴a＝1.6符合题意综上所述，满足条件的t的值有：t＝6.4或t＝10 3【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．4．（1）①详见解析；②12α；（2）详见解析；（3）当B、O、F三点共线时BF最长，a【解析】【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度数；（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD；（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求BO=，OF OC==，即可求得BF【详解】（1）①连接AD，如图1．∵点C与点D关于直线l对称，∴AC = AD．∵AB= AC，∴AB= AC = AD．∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=12α故答案为：12α．（2连接CE，如图2．∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵∠BDC=12α，∴∠BDC=30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE=60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD=AE ，（3）如图3，取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，，F 是以AC 为直径的圆上一点，设AC 中点为O ，∵在△BOF 中，BO+OF≥BF ，当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；如图，过点O 作OH ⊥BC ，∵∠BAC=90°，2a ，∴24BC AC a ==，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，∴∠COH=∠HCO=45°，∴OH=HC ， ∴2OC HC =， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ，∴2OC a =， ∴OH HC a ==，∴BH=3a ，∴10BO a =，∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴∠AFC=90°，∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==，∴102BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．5．（1）y=43x+2；（2）（103，10）；（3）存在， P 坐标为（6，6）或（6，7+2）或（6，10-27）．【解析】【分析】（1）设直线DP 解析式为y=kx+b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）当点B 的对应点B′恰好落在AC 边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵C （6，10）,D （0，2），设此时直线DP 解析式为y=kx+b ，把D （0，2），C （6，10）分别代入，得2610b k b =⎧⎨+=⎩，解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则此时直线DP 解析式为y=43x+2；（2）设P （m ，10），则PB=PB′=m ，如图2，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA '-=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m ，∴m 2=22+（6-m ）2，解得m=103 则此时点P 的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1=∴AP 1P 1（6，）；②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P3∴AP 3=AE+EP 3，即P 3（6，+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，+2）或（6，）．【点睛】此题属于一次函数综合题，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=，故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠，()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=，故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=，()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.7．（1）（73，2）；（2）y ＝x ﹣13；（3）E 的坐标为（32，72）或（6，8）【解析】【分析】（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．【详解】解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，∴x +2＝6，解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝343+＝73，y ＝063+＝2， ∴点T 的坐标为（73，2），故答案为：（73，2）；（2）设点E 的坐标为（a ，a +2），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝33a +，y ＝023a ++，解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，∴3x ﹣3＝3y ﹣2，整理得，y ＝x ﹣13；（3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T 的坐标为（33a +，23a +），当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同， ∴33a +＝a ，解得，a ＝32，此时点E 的坐标为（32，72），当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同， ∴33a +＝3，解得，a ＝6，此时点E 的坐标为（6，8），当∠DTH ＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH 为直角三角形时，点E 的坐标为（32，72）或（6，8）【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．8．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH +DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK =60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.9．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）32；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．【解析】【分析】（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+12|，所以|x+12|＝32，解得即可．【详解】解：（1）由212y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得11xy=-⎧⎨=-⎩，所以P（﹣1，﹣1）；（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2∴A（0，1），B（0，﹣2），则S△APB＝12×（1+2）×1＝32；（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣12，∴C（﹣12，0），设T（x，0），∴CT＝|x+12 |，∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝12•|x+12|•（1+1）＝|x+12|，∴|x+12|＝32，解得x＝1或﹣2，∴T(1，0)或(﹣2，0)．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．10．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中， EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF ，如图3所示：∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB BCABF CBFBF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．11．（1522213221【解析】【分析】（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通过△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的长；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，===AMB CNAMAB NCAAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，===AMB CNAABM NACAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=12BM，NQ=12NC，∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴2221=4a a+，2222=4b b+，解得：3=3a ，23=3b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=43， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=221；（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM ，在△BCN 和△CAM 中，BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN ≌△CAM （AAS ），∴CN=AM ，BN=CM ，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP ，在△BPN 中，222BP NP BN +=，即22224NP NP +=，解得：NP=33， ∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM ，在△AQM 中，222AQ QM AM +=，即22234QM QM +=，解得：QM=3，∴AM=23=CN ，∴PC=CN-NP=AM-NP=43，在△BPC 中，BP 2+CP 2=BC 2，即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=2213.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒BD是ABC∠的角平分线，DE AB⊥CD ED∴=在BCD∆和BED∆中，CD EDBD BD=⎧⎨=⎩()BCD BED HL∴∆≅∆BC BE∴=EBC∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF MD=，连接MF3,090AACB∠=︒∠=︒，BD是ABC∠的角平分线，DE AB⊥60,ADE BDE AD BD∴∠=∠=︒=60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF∴=∠=∠=︒60BMG∠=︒DMF DM B MGG DM G∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB∠=∠在FMG∆和DMB∆中，60F MDBMF MDFMG DMB∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA∴∆≅∆GF BD∴=，即DF DG BD+=AD DF DG MD DG∴=+=+即AD DG MD=+；（3）结论：AD DG ND=-，证明过程如下：如图，延长BD使得DH ND=，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN∴∆是等边三角形,60NH ND H HND∴=∠=∠=︒60BNG∠=︒HND BND BNDBNG∠+∠=+∠∴∠，即NHNB D G∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．。

沪教版数学八年级第二学期期末压轴题讲义-教师版

八年级期末复习压轴题讲义1、已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5．（1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、b 为常数，且k<0）的图像上，求这个一次函数的解析式．2、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1）由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．（供操作实验用）（供证明计算用）DAD AB3、如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，且CE CA =，联结AE ，过点C 作CF AE ⊥，垂足为点F ，联结BF 、FD . （1）求证：FBC ∆≌FAD ∆；（2）联结BD ，若35FB BD =，且10AC =，求FC 的值.4、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点（如图2）. 求证：（1）MN ∥BC ；（2）)(21AD BC MN -=.ABCDM N图2FEDCBA90，AD∥BC，BC>AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10 cm，点P从点4、在梯形ABCD中，∠ABC=B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm 的速度移动，设运动时间为t秒.（1）求四边形ABPQ为矩形时t的值；（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=k cm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；（3）在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm ,若存在求t的值. 若不存在请说明理由？B5、已知：如图，AM 是△ABC 的中线，D 是线段AM 的中点，AM=AC ，AE ∥BC ．求证：四边形EBCA 是等腰梯形．6、已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，点P 是射线BC 上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD 于点Q ，设点P 到点B 的距离为x ，PQ=y ．（1）求证：△APQ 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果PD ⊥AQ ，求BP 的值．BCD7、如图，梯形ABCD中，AD//BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，联结AM，DN。

沪教版(五四制)八年级数学下册压轴题复习

一、因动点产生的相似三角形问题例1如图1，将抛物线2y x =-平移，平移后的抛物线与x 轴交于点A （1-，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点为D 。

（1）求平移后的抛物线的表达式和点D 的坐标；（2）∠ACB 和∠ABD 是否相等？请证明你的结论；（3）点P 在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP 与△ABC 相似，求点P 的坐标。

图1第十五讲压轴题复习如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线2(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0120AOB ∠=．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过(1,0)(3,0)、两点。

A B（1）写出这个二次函数图象的对称轴；（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当AOC∆相似时，求这个二次函数的表达式。

∆与DEB例4如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例5如图1，已知点A （2，0），点B 在y 轴正半轴上，且OA OB 21=．将点B 绕点A 顺时针方向旋转 90至点C ．旋转前后的点B 和点C 都在抛物线c bx x y ++-=265上．（1）求点B 、C 的坐标；（2）求该抛物线的表达式；（3）联结AC ，该抛物线上是否存在异于点B 的点D ，使点D 与AC 构成以AC 为直角边的等腰直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的D 点坐标，如果不存在，请说明理由．图1例6如图1，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线C 2：m mx mx y 322--=（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．图1四、因动点产生的平行四边形问题例7如图1，抛物线254y x bx c =-++与y 轴交于点A (0,1)，过点A 的直线与抛物线交于另一点B 5(3,)2，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN x ⊥轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，设OP 的长度为m ．①当点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合）时，试用含m 的代数式表示线段PM 的长度；②联结,CM BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？如图1，点A （2，6）和点B （点B 在点A 的右侧）在反比例函数的图像上，点C 在y 轴上，BC //x 轴，2tan =∠ACB ，二次函数的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D 在x 轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图像上，四边形ACDE 是平行四边形，求边CD 的长．图1如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1五、因动点产生的梯形问题例10如图1，已知二次函数mx x y 22+-=的图像经过点B （1,2），与x 轴的另一个交点为A ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ，过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM 上有点P （1，23），联结CP 和CA ，判断直线CP 与直线CA 的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E ，使得以A 、C 、P 、E 为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由。

二次根式问题综合(解析版)-沪教版2022年初二数学上学期期末压轴题精选汇编30题(上海专用)

【玩转压轴题】考题1：二次根式问题综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（）12a a ö<÷ø…A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【详解】当m ＜0不是二次根式；对于任意的数x ，x 2+1＞0﹣m 2﹣1＜0(0)a …是二次根式；当a ＜12时，2a +1可能小于00)a …，共3个，故选：A ．【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．2．计算))2020202022´的结果为( )A ．-1B ．0C ．1D ．±1【答案】C 【分析】利用二次根式的运算法则进行计算，即可得出结论．解：))2020202022-´202022)éùûë=2020222éù=-ëû2020(1)=-1=．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，并能结合乘法公式进行简便运算是解答此题的关键．321a =-，那么（）A ．12a <B ．12a £C ．12a >D ．12a ³【答案】D 【分析】根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.【详解】，∴21a -≥0，解得 12a ³，故选D.【点睛】本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.4．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）下列各组根式中，不是同类二次根式的是（）A ．和BC D根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，【详解】A．=和=3，故A不符合题意；=2，故B不符合题意；=C符合题意；==5，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．5．上海·）A B C D【答案】C【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】A是无理数BC 12为有理数D故选：C【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键A．(23-b a B．(23--b aC．(23-+b a D．(23+b a【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法对式子变形，，注意0a<，0b<，最后加减运算即可．【详解】解：=Q(\==故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，属于基础题，熟练掌握二次根式的运算法7．设a的小数部分，b的小数部分，则21ba-的值为（）A1B1C1D1【答案】B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a ，∴b ，∴21b a -，故选：B ．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．8．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③【答案】C 【分析】①将3a =-代入12a a ++计算验证即可；②根据题意12a a ++=2，解得a 的值即可作出判断；③若a ＞-2，则a+2＞0，则对12a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案．【详解】1134232a a +=-+=-+-+．故①正确；②若12a a ++值为2，则122a a +=+，∴a 2+2a+1=2a+4，∴a 2=3，∴a =．故②错误；③若a ＞-2，则a+2＞0，∴12a a ++2-=2=∴若a ＞-2，则12a a ++存在最小值且最小值为0．故③正确．综上，正确的有①③．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．9．当4x =的值为（）A ．1BC ．2D ．3【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式x=代入得，将4=.1故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．10．（上海·）A．6B C．D．【答案】D【分析】.【详解】===+===故选D 【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.11．===…=a 、b 均为实数）则=a __________，=b __________．【答案】7， 48【分析】利用已知条件，找出规律，写出结果即可．==∴7a =，27148b =-=，故答案为：7，48【点睛】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．12．（2021·上海浦东新·七年级期末）已知函数y ＝1xx -，当x y ＝_____．【分析】把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可．【详解】解：当x 时，函数y ＝1x x -，故答案为：．【点睛】本题考查了求函数值及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．13．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）若实数,x y 满足22425x y x y +-=-，则_________【答案】3+【分析】把已知条件化为两个完全平方式，可知两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x 和y ，代入即可解答．【详解】解：∵22425x y x y +-=-∴()()22210x y -+-=∴2=010x y --=，∴21x y ==，3==+．故答案为：3+【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及二次根式的混合运算，两非负数之和等于0，则两数均为0，求得x 、y 值．本题中把22425x y x y +-=-变形得()()22210x y -+-=是解题的关键．14．（2021· 4.22=42.2=，则yx的值是【答案】100【分析】，即可得到y x 的值．【详解】4.22=42.2=42.2104.22===∴y x=2100=故答案为：100．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．15．（2021·上海市文来中学七年级期中）如果1aa=-，那么212a --=________．【答案】-1【分析】根据已知条件先确定a 的取值范围，再化简即可．【详解】解：∵1aa=-，∴0a <，∴210a -<，10a -<，212a --=212a --=2121a a ---，=122(1)a a ---，=1222a a --+，=-1．【点睛】为-1，这个数是负数确定a 的取值范围，熟练运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简．16．（2021·【答案】<【分析】利用作差法进行比较即可，如a-b ＞0，则a ＞b ．【详解】解：作差法可得：-0的大小并不能直接观察得出，∴与∵27310==++，(2=20又∵45<<，∴810<<，则1020+<，<0，∴0-<，<故答案为：<．【点睛】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．17．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）计算：((2021202122´=________．【答案】1-【分析】直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：原式2021[(2=2021(1)=-1=-．故答案为：1-．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）已知01x <<，化简=____________________．【答案】2x 【分析】利用二次根式的性质得11x x x x+--，然后利用x 的范围去绝对值后合并即可【详解】Q 01x <<，==11x x x x=+--=11x x x x++-2x=故答案为：2x 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．19．（2021·﹣2x ＞1的解集是 ___．【答案】2x <-##【分析】先根据不等式的基本性质求得x 【详解】解：﹣2x ＞1，∴2)x ＞1，2=，∴2x <-，故答案为：2x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及二次根式的分母有理化，熟练掌握不等式的基本性质以及二次根式的运算法则是解决本题的关键．20．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）如图，已知AB ∥CD ，AB = CD =ABE S V =3，BCE S V =，则CDE S △=______【答案】2【分析】由已知可求得ABC S D 和△ABE 边AB 上的高，进而求得△CDE 的边CD 上的高，根据三角形的面积公式即可求得结论．【详解】解：3ABC ABE BCE S S S D D D =+=，设ABC D 的高为h ，ABE D 的高为1h ，则CDE D 的高为1h h -，1113322\´=´=，1h h \，CDE \D 的高为1h h -=，()11122CDE S CD h h D \=×-=´，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，根据条件求得△CDE 的边CD 上的高是解题的关键．三、解答题21．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）已知：11,x y --==，求值：x 2﹣y 2．【分析】先利用分母有理化把二次根式化简，再利用平方差公式分解因式，进而即可求解．【详解】解：∵11,x y --==，∴x y ===，∴x 2﹣y 2=（x +y ）（x -y ）=∙-=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂和分母有理化是解题的关键．22．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）【答案】4b 【分析】，对第二个式子分母因式分解，除号变为乘号，然后对括号里的式子通分运算，，最后约分和乘法运算即可．【详解】解：==´==4b==．【点睛】本题主要考查二次根式的化简运算，计算量比较大，涉及平方差公式以及因式分解，熟练掌握二次根式的运算法则以及平方差公式和因式分解是解题关键．23．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）已知2a=【答案】32【分析】根据因式分解和分式的性质以及二次根式的性质化简，进而将字母的值代入求解2a=Q12110a\-=-=<\原式()()111aa a-=-+-11a ++当2a =时原式1=32=【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式的性质是解题的关键．24．（上海杨浦·13,3x y ==.【答案】【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式===当13,3x y ==时，原式==+=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．25．（上海市市八初级中学八年级期末）观察下列各式及其化简过程：=1=;（1（2（3【答案】（1；（22；（3【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成22+与-构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可；（2）将10拆成222+与-接下来按照二次根式的性质化简即可；（3），然后将12拆成22+与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可.【详解】（1（2（3【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键.26．（2020·上海浦东新·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：S =，其中S 表示三角形的面积，,,a b c 分别表示三边之长，p 表示周长之半，即2a b cp ++=．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在ABC D 中，已知5AB =，6BC =，7CA =，求ABC D 的面积；（2）计算（1）中ABC D 的BC 边上的高．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB 、AC 、BC 和P 的值代入公式即可求解；（2）根据三角形面积公式12S ah =，且已知BC 的长和三角形的面积，代入即可求解．【详解】解：（1）56792p ++==，所以S ==，答：ABC D 的面积是（2）BC 边上的高2S BC ===答：BC 边的高是故答案为（1）（2）【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．27．阅读下列材料，然后回答问题：这样的式子，其实我们还可以=；1=-．以上这种化简过程叫做分母有理化．1．（1）请任用其中一种方法化简：n 为正整数）；（2【答案】（1）；（21【分析】（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．【详解】解：（1）①原式=②原式==；211=．【点睛】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．28．请阅读下列材料，并完成相应的任务．古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积是S =．印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为a b c d ,,,，记2a b c dp +++=，那么四边形的面积是S =其中，A 和C 表示四边形的一组对角的度数)根据上述信息解决下列问题：（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形ABCD ，已知8AB =，12AD =，10BC =10CD =，75B °Ð=，45D °=∠．求出这个零件平面图的面积．【答案】（1）；（2）【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可；【详解】(1)p=46892++=，∴三角形的面积是：S ====(2) 75,45B D °°Ð=Ð=Q ，∴2222754511coscos cos 60()2224B D Ð+Ð°+°==°==，8,12,1010AB AD BC CD ====+Q∴20p ==，∴()()()()p p a p b p c p d ----20(208)(2012)(2010=---´(2010172800-=，又21cos812(10216024A C abcd +=´´´=，∴S =∴这个零件平面图的面积是【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力．29．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）已知3x =+求：221667x x x x++++的值．【答案】77【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x 求出1x 的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可．【详解】解：221667x x x x++++2221611112656515x x x x x x x x x x x x æöæöæöæö=+++++=++++=++++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø3x =+Q13x \==-\原式=()()33133571177+-+-=´=．故原式的值为77．【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案．30．（上海·八年级期中）阅读，并回答下列问题：公元3世纪，2r a a»+的近似值.（1）他的算法是：131212»+=´»___________≈______________；依次算法，的近似值会越来越精确.（2577408时，求近似公式中的a 和r 的值.【答案】（1）1343222-+´；1712（2）1712a=或2417；1144r=-或2289【分析】a和r的值.【详解】（1»1343222-+´≈1712故答案为1343222-+´；1712（2）2raa »»+∴225772408a rraaì+=ïí+=ïî∴5772()408r a a =´-∴25772()2408a a a+´-=整理，22045774080a a-+=解得：1712a=或2417a=∴1144r=-或2289r=故答案为1712a=或2417；1144r=-或2289【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.。

正比例函数与反比例函数综合-沪教版2022年初二数学上学期期末压轴题精选汇编30题(上海专用)

【玩转压轴题】考题3：正比例函数与反比例函数综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形1OAPB 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，点1P 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，过1P A 的中点1B 作矩形112B AA P ，使顶点2P 落在反比例函数的图象上，再过21P A 的中点2B 作矩形2123B A A P ，使顶点3P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形18171819B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点19P 的坐标为（）A ．18181(2,2B ．18181(,2)2C ．15151(2,)2D ．15151(,2)2【答案】A 【分析】先根据题意得出P 1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P 2，P 3的坐标，找出规律即可得出结论．【详解】解：∵正方形OAP 1B 的边长为1，点P 1在反比例函数y=kx（x ＞0）的图象上，∴P 1（1，1），∴k=1，∴在反比例函数的解析式为：y=1x，∵B 1是P 1A 的中点，∴P 2A 1=AB 1=12，∴OA 1=2，∴P 2（2，12），同理，P 3（22，212），…∴P n （2n-1，112n -）．当19n =时，则有19P 的坐标为：（182，1812）故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．2．将水匀速滴进如图所示的容器时，能正确反映容器中水的高度（h ）与时间（t ）之间对应关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据容器上下的大小，判断水上升快慢．【详解】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．表现出的函数图形为先缓，后陡．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有机的结合起来，注意先慢后快表现出的函数图形为先缓，后陡．3．已知函数()0ky k x=¹中，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，那么它和函数()0y kx k =-¹在同一直角坐标平面内的大致图像是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k 的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．【详解】解：∵函数ky x=中，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，∴双曲线在第二、四象限，∴函数y=-kx 的图象经过第一、三象限，故选：A ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k 的影响．4．（2021·上海徐汇·一模）定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数例如：[]1.71=，305éù=êúëû，1234éù-=-êúëû根据你学习函数的经验，下列关于函数[]y x =的判断中，正确的是（）A ．函数[]y x =的定义域是一切整数B ．函数[]y x =的图像是经过原点的一条直线C ．点2(2,2)5在函数[]y x =图像上D ．函数[]y x =的函数值y 随x 的增大而增大【答案】C 【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可．【详解】A 、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；B 、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；C 、由题意可知2225éù=êúëû，则点2(2,2)5在函数[]y x =图像上，故正确；D 、例如113éù=êúëû，112éù=êúëû，即当13x =，12x =时，函数值均为1y =，不是y 随x 的增大而增大，故错误；故选：C ．【点睛】本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．5．如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝﹣8x相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，则△ABC 的面积等于（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B 【分析】设A 点坐标为（8,a a -），则C 点坐标为（8,a a-），利用坐标求面积即可．【详解】解：∵正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝﹣8x相交于A ，C 两点，∴A ，C 两点关于原点对称，设A 点坐标为（8,a a -），则C 点坐标为（8,a a-），S △ABC =18()82a a a-´--´=，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积．6．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点O 在坐标原点，另外两个顶点A 、B 均在反比例函数(0)ky k x=¹的图像上，分别过点A 、点B 作y 轴、x 轴的平行线交于点C ，连接OC 并延长OC 交AB 于点D ，已知C （1，2），△BDC 的面积为3，则k 的值为（）A ．B ．C ．+2D ．8【答案】C 【分析】过B 、C 分别做BE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，过D 作DG ⊥BC ，DH ⊥AB ，设BC=a ，由点C 的坐标即可表示点B 、C 的坐标，即可得出AC 与BC 的比值，由相似三角形的判定易证得△COF ∽△DCG ，得出DG 与DH 的比值，得出22ABC BCD ACD S S S ==V V V ，由三角形面积公式列出关于a 的等式，求得a 的值得出B 点坐标，即可求得k 值．【详解】解：过B 、C 分别做BE ⊥x 轴垂足为E ，延长AC 交x 轴于F ，过D 作DG ⊥BC ，DH ⊥AB ，垂足为G 、H ．∵ C （1，2）∴ OF=1，CF=2=BE ，则点A 的横坐标为1，点B 的纵坐标为2，设BC=a ，则B （a+1，2）∵B 在反比例函数ky x=的图像上，∴()21k a =+，∵A 在反比例函数ky x=的图像上，且点A 的横坐标为1，∴A 点的纵坐标为：22y a =+，即点A （1，2a+2），∴ AC=AF-CF=2a+2-2=2a ，∴12AC BC =，∵ BC//x 轴，CF ⊥x 轴，DG ⊥BC ，∠COF=∠DCG ，∠CFO=∠DGC=90°，∴ △COF ∽△DCG ，∴21CF D CG OF G ==，即21DG DH =，∴ 3BCD ACD S S ==V V ，∴6ABC S =V ，∴162AC BC ××=，即1262a a ´´=，∴ a =，∴ B （，2），∴ k=2+，故选：C 【点睛】本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，注意准确作出辅助线，求得点B 的坐标是关键．7．反比例函数y=kx的图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．k>0B ．y 随x 的增大而增大C ．若矩形 OABC 的面积为2，则2k =-D ．若图像上点B 的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y 的取值范围是y<1【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质以及系数k 的几何意义进行判断．【详解】解：A 、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k ＜0，所以A 选项错误；B 、在每一象限，y 随x 的增大而增大，所以B 选项错误；C 、矩形OABC 面积为2，则|k |＝2，而k ＜0，所以k ＝﹣2，所以C 选项正确；D 、若图象上点B 的坐标是（﹣2，1），则当x ＜﹣2时，y 的取值范围是0＜y ＜1，所以D 选项错误．故选C 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．8．（2021·上海金山·八年级期末）下列函数中，函数值y 随x 的增大而增大的是（）A ．3x y =-；B ．3x y =；C ．1y x=；D ．1y x=-．【答案】B 【分析】根据函数增减性判断即可．【详解】A. 3xy =-，比例系数小于0，y 随x 的增大而减小；B. 3xy =，比例系数大于0，y 随x 的增大而增大；C. 1y x=，不在同一象限，不能判断增减性；D. 1y x=-，不在同一象限，不能判断增减性；故选：B ．【点睛】本题考查了函数的增减性，解题关键是熟悉函数的增减性，准确进行判断．9．（上海市民办上宝中学八年级期末）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ．C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数()ky k 0x 0x=¹>，的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ，ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①△OCN ≌△OAM ；②ON=MN ；③四边形DAMN 与△MON 面积相等；④若∠MON=450，MN=2，则点C 的坐标为()01．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】设正方形OABC 的边长为a ，通过△OCN ≌△OAM （SAS ）判定结论①正确，求出ON 和MN 不一定相等判定结论②错误，而MON ODN OAM DAMN DAMN S S S S S D D D =+-=四边形四边形可得结论③正确，列式求出C 点的坐标为()01+可知结论④正确．【详解】设正方形OABC 的边长为a ，则A （a ，0），B （a ，a ），C （0，a ），M （a ，k a ），N （ka，a ）．∵CN=AM=ka，OC=OA= a ，∠OCN=∠OAM=900，∴△OCN ≌△OAM （SAS ）．结论①正确．根据勾股定理，ON ===，，∴ON 和MN 不一定相等．结论②错误．∵ODN OAM S S D D =，∴MON ODN OAM DAMN DAMN S S S S S D D D =+-=四边形四边形．结论③正确．如图，过点O 作OH ⊥MN 于点H ，则∵△OCN ≌△OAM ，∴ON=OM ，∠CON=∠AOM ．∵∠MON=450，MN=2，∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．∴△OCN ≌△OHN （ASA ）．∴CN=HN=1．∴k1k a a=Þ=．由MN =()22222a 4a 2a a a 2a 10=-Þ=-Þ--=．解得：a ．∴点C 的坐标为()01．结论④正确．∴结论正确的为①③④3个．故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．10．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差即S △OAC － S △BAD 等于( )A ．3B ．6C ．4D ．9【答案】A 【分析】设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则S △OAC － S △BAD ＝12(a 2﹣b 2)，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B 的坐标为(a +b ，a ﹣b )，根据反比例函数系数k 的几何意义以及点B 的坐标可得(a +b )(a ﹣b )＝a 2﹣b 2＝6，由此即可得出结论．【详解】解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为(a +b ，a ﹣b )．∵点B 在反比例函数y ＝6x的第一象限图象上，∴(a +b )(a ﹣b )＝a 2﹣b 2＝6．∴S △OAC ﹣S △BAD ＝12a 2﹣12b 2＝12(a 2﹣b 2)＝12×6＝3．故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是得出a 2−b 2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．二、填空题11．点()12()1,1,a y a y -+在反比例函数()0ky k x=>的图像上.若12y y <，则a 的范围是_________________.【答案】-1＜a ＜1【分析】反比例函数中k ＞0，则同一象限内y 随x 的增大而减小，由于y 1＜y 2，而a-1必小于a+1，则说明两点应该在不同的象限，得到a-1＜0＜a+1，从而得到a 的取值范围．【详解】解：∵在反比例函数y=kx中，k ＞0，∴在同一象限内y 随x 的增大而减小，∵a-1＜a+1，y 1＜y 2∴这两个点不会在同一象限，∴a-1＜0＜a+1，解得-1＜a ＜1故答案为：-1＜a ＜1．【点睛】本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k ＞0，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，在每一象限内y 随x 的增大而增大．12．正方形ABCD 的顶点A ，C 在直线(2y x =-上，顶点B ，D 在双曲线ky x=上，若正方形ABCD 面积为32，则k 的值为______．【答案】4【分析】根据反比例函数与正方形的特点作图，根据正方形的面积为32求出AC=BD=8,故得到OB=4根据AC 直线的解析式为(2y x =-，可求出BD 直线解析式，再设B 点坐标，根据OB=4列出方程即可求出x ，再求出k 的值．【详解】根据反比例函数与正方形的特点作图，∵正方形ABCD 面积为32，∴1322AC BD ´=解得BD=8∴OB=4∵AC 直线的解析式为(2y x =-，AC ⊥BD∴BD 直线的解析式为y =，即(2y x=设B （x, (2x ），∵OB=4∴(22216x x éù+=ëû解得+∴k=xy=+×(2=4故答案为：4．【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知正方形的性质、两点之间的距离公式的应用．13．如图，点P 是正比例函数y x =与反比例函数ky x=在第一象限内的交点，PA OP ^交x 轴于点A ，POA V 的面积为4，则k 的值是_______．【答案】4【分析】过P 作PB OA ^于B ，根据一次函数的性质得到45POA Ð=°，则POA D 为等腰直角三角形，所以OB AB =，于是114222POB POA S S D D ==´=，然后根据反比例函数(0)ky k x=¹系数k 的几何意义即可得到k 的值．【详解】解：过P 作PB OA ^于B ，如图，Q 正比例函数的解析式为y x =，45POA \Ð=°，PA OP ^Q ，POA \D 为等腰直角三角形，OB AB \=，114222POB POA S S D D \==´=，\122k =，4k \=．故答案为4．【点睛】本题考查了反比例函数(0)k y k x =¹系数k 的几何意义：从反比例函数(0)ky k x=¹图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．也考查了等腰直角三角形的性质．14．小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A 地后，再上坡到达B 地，最后下坡到达学校，所行驶路程s （千米）与时间t （分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是_______分钟．【答案】16.5【分析】根据图象可知：小明从家骑车上学，平路路程是1千米，用3分钟；上坡的路程是1千米，用6分钟，则上坡速度是16千米/分钟；下坡路长是2千米，用3分钟，因而速度是23千米/分钟，由此即可求出答案．【详解】解：根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用6分钟，则上坡速度是16千米/分钟；下坡路长是2千米，用3分钟，则速度是23千米/分钟，他从学校回到家需要的时间为：2÷16+1÷23+3＝16.5（分钟）．故答案为：16.5．【点睛】此题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．15．如图，矩形ABCD 的顶点C ，D 在x 轴的正半轴上，顶点A ，B 分别在反比例函数y=4x 和y=16x的图象上，则矩形ABCD 的面积为__【答案】12．【分析】利用反比例函数k 的几何意义求解即可．【详解】∵延长BA 交y 轴于点E ，顶点A ，B 分别在反比例函数y=4x 和y=16x的图象上，∴ADOE S 矩形=4，OE S 矩形B C =16，∴矩形ABCD 的面积为：OE S 矩形B C -ADOE S 矩形=16-4=12；故答案为：12．【点睛】本题考查了反比例函数的k 的几何意义，熟练将k 的几何意义与图形的面积有机结合，灵活解题是解题的关键．16．如图，点A 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，AB x ^轴于点B ，点C 在x 轴负半轴上，且:2:1CO OB =．若ABC V 的面积为9，则k 的值为________．【答案】6【分析】首先确定△AOB 的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定k 的值即可．【详解】解：连接AO ，∵CO ：OB=2：1，∴OB=13BC ，∴S △AOB =13S △ABC =13×9=3，∴|k|=2S △AOB =6，∵反比例函数的图象位于第一象限∴k=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|；解题的关键是能够确定△AOB 的面积．17．如图，点P ，Q ，R 是反比例函数2y x=的图象上任意三点，PA y ^轴于点A ，QB x ^轴于点B ，RC x ^轴于点C ，1S ，2S ，3S 分别表示OAP △，OBQ △，OCR △的面积，则1S ，2S ，3S 的大小关系是__________．【答案】123S S S ==【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义作答．【详解】解：依题意，得S 1=1，S 2=1，S 3=1，∴S 1=S 2=S 3,故答案为123S S S ==．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即S=12|k|．18．（2021·上海市实验学校二模）如图双曲线()20y x x=>，经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB//x 轴，将三△ABC 沿AC 翻折后得△A B C ¢，点B ¢落在OA 上，则四边形OABC 的面积是___________．【答案】2．【分析】延长BC ，交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB =a ，由角平分线的性质得，CD =CB ′，则△OCD ≌△OCB ′，再由翻折的性质得，BC =B ′C ，根据反比例函数的性质，可得出S △OCD =12xy ，则S △OCB ′=12xy ，由AB ∥x 轴，得点A （x -a ，2y ），由题意得2y （x -a ）=2，从而得出三角形ABC 的面积等于12ay ，即可得出答案．【详解】解：延长BC ，交x 轴于点D ，设点C (x ，y )，AB =a ，∵OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，∴CD =CB ′，△OCD ≌△OCB ′再由翻折的性质得BC =B ′C ，∵双曲线2y x=(x >0)经过四边形OABC 的顶点A 、 C ，∴S △OCD =12xy =1，∴S △OCB ′=12xy =1，由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC =B ′C =CD ，∴点A 、B 的纵坐标都是2y ，∵AB ∥x 轴，∴点A (x −a ，2y )，∴2y (x −a )=2，∴xy −ay =1，∵xy =2∴ay =1，∴S △ABC =12ay =12，∴S OABC =S △OCB ′+S △AB ′C +S △ABC =1+12+12=2.故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积等等，解题的关键在于如何求出面积进行求解．19．（2021·上海宝山·九年级期中）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点()2,3A 和点()3,2B 为一对“关联点对”．如果反比例函数10y x=在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为那么这对“关联点对”中，距离x 轴较近的点的坐标为____________．【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）．【分析】根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．【详解】解：设反比例函数y ＝10x在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A （a ，b ），B （b ，a ）且a ＞b ，∴ab ＝10，∵这两个点之间的距离为∴AB，∴a ﹣b ＝3，由310a b ab -=ìí=î解得52a b =ìí=î或25a b =-ìí=-î，∴A （5，2），B （2，5）或A （﹣5，﹣2），B （﹣2，﹣5），∴距离x 轴较近的点的坐标为（5，2）或（﹣5，﹣2），故答案为（5，2）或（﹣5，﹣2）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点．20．（上海浦东新·八年级期末）如图，是反比例函数1k y x =和()212ky k k x=>在第一象限的图象，直线AB 平行于x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若4D =AOB S ，则12k k -的值是______.【答案】8【分析】由12k k >知，点A 在1k y x =上，点B 在2ky x=上，因直线AB 平行于x 轴，则点A 和点B 的纵坐标相等，设A 和B 坐标为12(,),(,)A x y B x y ，则有1122k y x k y x ì=ïïíï=ïî可得1212k k x x =，又根据121()42AOB S x x y D =-=，将11k y x =代入即可得121142x x k x -×=，联立上面的式子即可得.【详解】12k k >Q ，则点A 在1k y x =上，点B 在2ky x=上，又因直线AB 平行于x 轴，\点A 和点B 的纵坐标相等，因此可设A 和B 坐标为12(,),(,)A x y B x y ，则有1122k y x k y x ì=ïïíï=ïî，即1212k k x x =，可化为2211x k x k =，根据图可得1211()422AOB S AB y x x y D ==-=，将11k y x =代入即可得121142x x k x -×=，121(142k xx \×-=将2211x k x k =代入得121(1)42k kk ×-=即112142k k k k -×=可得128k k -=.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，并结合三角形的面积，判断出A 、B 点具体在哪条反比例函数上和A 、B 点的纵坐标相等是解题关键.三、解答题21．（2020·上海·华南理工大学附属实验学校八年级期末）已知四边形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示,其中边AD 和边BC 都与x 轴平行,边AB 和边CD 都与y 轴平行,且D(2,3）,点C 的纵坐标是-1,反比例函数y=kx(k≠0)的图像过点C ，与边AB 交于点E.(1)求直线OD 的表达式和此反比例函数的解析式:(2)如果点B 到y 轴的距离是4,求点E 的坐标.【答案】（1）y=32x, 2y x =-；（2）点E 的坐标为（-4，12）【分析】（1）设直线OD 的解析式为y=mx ，把D 点坐标代入求出m 的值即可；求出点C 坐标为（2，-1），代入反比例函数y=k x(k≠0)中求出k 的值即可；（2）由点B 的横坐标确定出点E 的横坐标，代入反比例函数的解析式求出点E 的纵坐标即可得到结论.【详解】（1）设直线OD 的表达式为y=mx ，将点D （2，3）代入得，2m=3，m=32，∴直线OD 的表达式为：y=32x,∵点D 的坐标为（2，3），∴点C 的横坐标为2，∴点C 的坐标为（2，-1），将点C （2，-1）代入反比例函数k y x=得，12k =-，k=-2,∴反比例函数的解析式为：2y x=-；（2）∵点B 到y 轴的距离是4，∴点B 的横坐标为-4，∴点E 的横坐标为-4，将x=-4代入2y x =-得，2142y =-=- ∴点E 的坐标为（-4，12）【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是根据待定系数法求反比例函数与正比例函数解析式．22．（2020·上海·八年级期中）如图，直线AC 与函数()0k y x x=<的图象相交于点()1,6A -，与x 轴交于点C ，且45ACO Ð=°，点D 是线段AC 上一点．（1）求k 的值；（2）若DOC △与OAC V 的面积比为2∶3，求点D 的坐标；（3）将OD 绕点O 逆时针旋转90°得到OD ¢，点D ¢恰好落在函数()0k y x x=<的图象上，求点D 的坐标．【答案】（1）k=-6；（2）（1，4）；（3）（3，2）或（2，3）【分析】（1）将点()1,6A -代入反比例函数解析式中即可求出k 的值；（2）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，根据三角形的面积比可得23DM AN =，再根据点A 的坐标即可求出DM ，然后证出V ACN 和V DCM 都是等腰直角三角形，即可求出OM ，从而求出结论；（3）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点D ¢作D ¢G ⊥x 轴于G ，设点D 的纵坐标为a （a ＞0），即DM=a ，然后用a 表示出OM ，利用AAS 证出△G D ¢O ≌△MOD ，即可用a 表示出点D ¢的坐标，将D ¢的坐标反比例函数解析式中即可求出a 的值，从而求出点D 的坐标．【详解】解：（1）将点()1,6A -代入k y x=中，得61k=-解得k=-6；（2）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N∵DOC △与OAC V 的面积比为2∶3∴122132OC DM OC AN =g g ∴23DM AN =∵()1,6A -∴AN=6，ON=1∴DM=4∵45ACO Ð=°∴V ACN 和V DCM 都是等腰直角三角形∴CN=AN=6，CM=DM=4∴OM=CN －CM －ON=1∴点D 的坐标为（1，4）；（3）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点D ¢作D ¢G ⊥x 轴于G 设点D 的纵坐标为a （a ＞0），即DM=a∵V ACN 和V DCM 都是等腰直角三角形∴CN=AN=6，CM=DM=a∴OM=CN －CM －ON=5－a∴点D 的坐标为（5－a ，a ）∵∠D ¢GO=∠OMD=∠D ¢OD=90°∴∠G D ¢O ＋∠D ¢OG=90°，∠MOD ＋∠D ¢OG=90°，∴∠G D ¢O=∠MOD由旋转的性质可得D ¢O=OD∴△G D ¢O ≌△MOD∴G D ¢=OM=5－a ，OG=DM=a∴D ¢的坐标为（-a ，5－a ）由（1）知，反比例函数解析式为()06y x x=-<将D ¢的坐标代入，得56a a-=--解得：122,3a a ==∴点D 的坐标为（3，2）或（2，3）．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解题关键．23．（2020·上海市澧溪中学八年级期末）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x （小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（0x a ££）时，满足2y x =，下降时，y 与x 成反比．（1）直接写出a 的取值，并求当8££a x 时，y 与x 的函数表达式；（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？【答案】（1）3，18(38)=££y x x ；（2）抗菌新药可以作为有效药物投入生产，见解析【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）把y ＝3分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案．【详解】（1）由图象知，3a =；∵当38x ££时，y 与x 成反比，∴设(0)k y k x=¹，由图象可知，当3x =时，6y =，∴3618=´=k ；∴18(38)=££y x x ；（2）把3y =分别代入2y x =和18y x=得， 1.5x =和6x =，∵6 1.5 4.54-=>，∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键．24．（2020·上海松江·八年级期末）如图，点A ，B 在反比例函数k y x=的图像上，A 点坐标(1,6)，B 点坐标(,)(1)m n m >．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC y ^轴，垂足为点C ，联结AC ，当6ABC S =V 时，求点B 的坐标．【答案】（1）6y x=；（2）()3,2B 【分析】（1）把A 点坐标代入函数解析式即可求出反比例函数解析式；（2）△ABC 中，BC=m ，根据三角形的面积即可求得m 的值，代入反比例函数解析式即可求得B 点坐标．【详解】解：（1）把点A(1，6)代入反比例函数k y x =中得：61k =，∴6k =，∴反比例函数解析式为：6y x=；（2）∵6ABC S =V ，∴()1662m n -=，∵反比例函数()0k y x x=>的图像经过点()(),1B m n m >;∴6n m=，∴16662m m æö-=ç÷èø，解得：3m =，∴623n ==，∴B 点坐标为()3,2．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在坐标系中，求线段的长度可以转化为求点的坐标．25．（2021·上海金山·八年级期末）已知：12y y y =+，1y 与1x +成正比例，2y 与x 成反比例．当1x =时，7y =；当3x =时，4y =．求y 与x 的函数解析式．【答案】y ＝12（x +1）+6x 【分析】根据正比例与反比例的定义设出y 与x 之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解【详解】解：（1）设y 1＝k 1（x +1）（k 1≠0），y 2＝2k x （k 2≠0），∴y ＝k 1（x +1）+ 2k x．∵当x ＝1时，y ＝7．当x ＝3时，y ＝4，∴122127433k k k k +=ìïí+=ïî，∴12126k k ì=ïíï=î，∴y 关于x 的函数解析式是：y ＝12（x +1）+6x；【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算．26．（2021·上海·八年级期末）如图，已知直线OA 与反比例函数m y (m 0)x =¹的图像在第一象限交于点A ．若4OA =，直线OA 与x 轴的夹角为60°．（1）求点A 的坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）若点P 是坐标轴上的一点，当AOP V 是直角三角形时，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(2,A （2）y =（3）(2,0)或()8,0或(0,或æççè【分析】（1）作AD ⊥x 轴于点D ，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出OD=1OA 22=，再根据勾股定理得出AD ，即可得A 的坐标；（2）把点A 的坐标代入反比例函数m y (m 0)x =¹即可得出答案；（3）分点P 在x 轴上和y 轴上两种情况，再分别分∠OPA=90°或∠OAP=90°两种情况考虑即可．【详解】解：（1）作AD ⊥x 轴于点D ，则90ADO Ð=o ，∵60AOD Ð=o ，∴30OAD Ð=o ，∴OD=1OA 22=，∴==AD ，∴点A 的坐标为(2,；（2）∵点A 在m y (m 0)x=¹的图像上，∴2=´=m∴反比例函数的解析式为：y =（3）点P 在x 轴上时，①∠OPA=90°时，点P 与点D 重合，OP=OD=2，∴点P 坐标为(2，0)；②∠OAP=90°时，设P （x ，0），∵222OA PA OP +=，∴()(222242+-+=x x ，∴x=8，∴点P 坐标为(8，0)；点P 在y 轴上时，①∠OPA=90°时，OP=AD=∴点P 坐标为(0，，②∠OAP=90°时，设P （0，y ），∵222OA PA OP +=，∴(222242++-=y y ，∴y =，∴点P 坐标为æççè．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式．难度适中．27．（2021·上海市康城学校八年级期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，2OA =，3OC =，E 是AB 的中点，反比例函数图象过点E 且和BC 相交于点F ．（1）直接写出点B 和点E 的坐标；（2）求直线OB 和反比例函数的解析式；（3）连接OE 、OF ，求四边形OEBF 的面积．【答案】（1）()2,3B ，32,2E æöç÷èø；（2）32y x =，3y x =；（3）3【分析】（1）根据2OA =，3OC =和第一象限内点的坐标特征可求得B 的坐标，根据E 为AB 的中点即可求得E 点坐标；（2）用待定系数法即可求得直线OB 和反比例函数的解析式；（3）根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．【详解】解：（1）∵2OA =，3OC =，四边形OABC 为长方形，∴BC ⊥y 轴，BA ⊥x 轴，3AB OC ==，∴()2,3B ∵E 是AB 的中点，∴32AE =，∴32,2E æöç÷èø；（2）设直线OB 的解析式是1y k x =，把B 点坐标代入，得132k =，则直线OB 的解析式是32y x =．设反比例函数解析式是2k y x =，把E 点坐标代入，得23k =，则反比例函数的解析式是3y x=；（3）3323322OEBF OABC OAE OCF S S S S =--=´--=△△．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数（一次函数）解析式和反比例函数比例系数k 的几何意义的运用．理解反比例函数上任意一点向x 轴（y 轴）作垂线，这一点、垂足和原点所围成的三角形面积等于||2k 是解题关键．28．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）的关系可近似地用正比例函数100y x =刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 的关系可近似地用反比例函数(0)k y x x =>刻画（如图）．（1）求k 的值．（2）当75y …时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？（3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．假设某驾驶员晚上20:00喝完半斤白酒，第二天早上7:00能否驾车？请说明理由．【答案】（1）225k =；（2）肝功能持续受损的时间为2.25小时；（3）第二天早上7：00不能驾车去上班，理由见解析．【分析】（1）当x=1.5时，求出y=150，进而代入k y x=，代入可求得k 的值；（2）把y=75分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式，可求得x 的值，则可求得持续时间；（3）可求得时间为11小时，把x=11代入反比例函数解析式可求得酒精含量，结合规定可进行判断．【详解】（1）由题意可得：当x=1.5时，y=150，则满足(0)k y k x=> ，∴150 1.5225k xy ==´=；（2）把y=75代入225y x =，解得3x =；把75y =代入100y x =得，0.75x =，∵3-0.75=2.25小时，∴喝酒后血液中的酒精含量不低于75毫克的时间持续了2.25小时，答：肝功能持续受损的时间为2.25小时；（3）不能驾车上班，理由如下：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将11x =代入225y x =，则2252011y =>，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．【点睛】本题为一次函数和反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、一元一次方程等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．29．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(),3a （其中4a >），射线OA 与反比例函数12y x=的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当152ABO S =△时，求点A 的坐标；。

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