工程力学第4节 考虑摩擦时物体的平衡问题
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解 本题属于第一类型的问题，可先假定物体静止， 然后计算保持静止时所需要的 摩擦力与可能产生的最大静摩 擦力Fmax进行比较，即可确定 物体所处的实际状态。
设物体静止并有向下滑的 趋势，画物体受力图并选取坐 标如图，列平衡方程：
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FP mg sin F 0 (1)
例3-4 如图所示，一重 G 的物体放在倾角 的斜 面上，物体与斜面间的摩擦角为m（摩擦角的正切等 于静滑动摩擦因数 f ，即摩擦角m= arctan f ），且知 > m ，试求维持物体在斜面上静止时，水平推力FP
所容许的范围。
解 本题属于第三类型的问题，FP的大小允许在一定 范围内变化。显然，这个变化范围的上下限即为物体 的两个临界状态：当FP值为下限时，物体处于向下滑 动的临界状态；当FP值为上限 时，物体处于向上滑动的临界
FN mg cos 0
(2)
由 (1) 得 F G sin FP 107 N
由 (2) 得 FN G cos 693 N
由静摩擦定律得
Fmax fs FP 138 .6N F Fmax 物体在斜面上保持静止。
“–”说明 F 的实际指向应与
假设方向相反，即沿斜面向下。
(
b f
c)
FP是按临界状态求得的最小值， 制动鼓轮的力必须满足的条件为
FP
Gr aR
(
b f
c)
• 考虑摩擦时，求解物体平衡问题的方法和步骤与前
几章所述基本相同，但是在画受力图及分析计算时
必须考虑摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动趋势的
方向相反，大小的范围为
0
F
Fm
。当物体处于
ax
临界的平衡状态，摩擦力达到最大值 Fmax fsFN 。
考虑有摩擦时的平衡问题可分为三种类型
1）已知作用于物体上的主动力，须判断物体是否处 于平衡状态，并计算所受的摩擦力。
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FP2 cos G sin F2 0 (1) FP2 sin G cos FN2 0 (2)
列摩擦力的补充方程
F2 fs FN2 FN2 tanm (3)
联立 (1)、(2)、(3) 得
FP2
G tF1 fs FN1 FN1 tanm (3)
联立 (1)、(2)、(3) 得
FP1
G tan fs 1 fs tan
G tan(
m )
2）求FP的上限FPmax：设FPmax = FP2，这时静摩擦力 F2 的方向应沿斜面向下，取坐标轴如图，列平衡方程
G tan(
m )
例3-6 制动器的构造和主要尺寸如图所示，制动 块与鼓轮表面间的摩擦因数 为 f ，求制动鼓轮转动所必 需的最小力FP。
解 1）先取鼓轮为研究对 象，受力如图所示。其中
FT G，列平衡方程：
n
MO1(Fi ) 0
i1
FTr FR 0
F
r R
FT
状态，故第三类型的问题，往
往可以化为两个第二类型的问 题进行分析。
1）求FP的下限FPmin：设FPmin = FP1，这时静摩擦力 F1 的方向应沿斜面向上，取坐标轴如图，列平衡方程
n
Fix 0 FP1 cos G sin F1 0 (1)
i1
n
Fiy 0
FP1 sin G cos FN1 0 (2)
r R
G
当 FP 为最小值时，鼓轮与制动块间处于临界平
衡状态，则有：
FN
Fm a x f
r Rf
G
2）取杠杆OAB为研究对象，受力分析，列平衡方程：
2）取杠杆OAB为研究对象，受力分析，列平衡方程：
n
MO (Fi ) 0
FPa Fc FNb 0
i1
解得
FP
Gr aR
2）已知物体处于临界的平衡状态，需求主动力的大 小或物体平衡时的位置（距离或角度）。
3）求物体的平衡范围。
例3-3 如图所示，质量m为 100kg的物体放在倾角
= 45的斜面上，若接触面间的静摩擦因数 fs =0.2，
今有一大小为FP= 800N的力沿斜面推物体，问物体在 斜面上是否处于平衡状态？若静止时摩擦力为多大？
设物体静止并有向下滑的 趋势，画物体受力图并选取坐 标如图，列平衡方程：
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FP mg sin F 0 (1)
例3-4 如图所示，一重 G 的物体放在倾角 的斜 面上，物体与斜面间的摩擦角为m（摩擦角的正切等 于静滑动摩擦因数 f ，即摩擦角m= arctan f ），且知 > m ，试求维持物体在斜面上静止时，水平推力FP
所容许的范围。
解 本题属于第三类型的问题，FP的大小允许在一定 范围内变化。显然，这个变化范围的上下限即为物体 的两个临界状态：当FP值为下限时，物体处于向下滑 动的临界状态；当FP值为上限 时，物体处于向上滑动的临界
FN mg cos 0
(2)
由 (1) 得 F G sin FP 107 N
由 (2) 得 FN G cos 693 N
由静摩擦定律得
Fmax fs FP 138 .6N F Fmax 物体在斜面上保持静止。
“–”说明 F 的实际指向应与
假设方向相反，即沿斜面向下。
(
b f
c)
FP是按临界状态求得的最小值， 制动鼓轮的力必须满足的条件为
FP
Gr aR
(
b f
c)
• 考虑摩擦时，求解物体平衡问题的方法和步骤与前
几章所述基本相同，但是在画受力图及分析计算时
必须考虑摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动趋势的
方向相反，大小的范围为
0
F
Fm
。当物体处于
ax
临界的平衡状态，摩擦力达到最大值 Fmax fsFN 。
考虑有摩擦时的平衡问题可分为三种类型
1）已知作用于物体上的主动力，须判断物体是否处 于平衡状态，并计算所受的摩擦力。
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FP2 cos G sin F2 0 (1) FP2 sin G cos FN2 0 (2)
列摩擦力的补充方程
F2 fs FN2 FN2 tanm (3)
联立 (1)、(2)、(3) 得
FP2
G tF1 fs FN1 FN1 tanm (3)
联立 (1)、(2)、(3) 得
FP1
G tan fs 1 fs tan
G tan(
m )
2）求FP的上限FPmax：设FPmax = FP2，这时静摩擦力 F2 的方向应沿斜面向下，取坐标轴如图，列平衡方程
G tan(
m )
例3-6 制动器的构造和主要尺寸如图所示，制动 块与鼓轮表面间的摩擦因数 为 f ，求制动鼓轮转动所必 需的最小力FP。
解 1）先取鼓轮为研究对 象，受力如图所示。其中
FT G，列平衡方程：
n
MO1(Fi ) 0
i1
FTr FR 0
F
r R
FT
状态，故第三类型的问题，往
往可以化为两个第二类型的问 题进行分析。
1）求FP的下限FPmin：设FPmin = FP1，这时静摩擦力 F1 的方向应沿斜面向上，取坐标轴如图，列平衡方程
n
Fix 0 FP1 cos G sin F1 0 (1)
i1
n
Fiy 0
FP1 sin G cos FN1 0 (2)
r R
G
当 FP 为最小值时，鼓轮与制动块间处于临界平
衡状态，则有：
FN
Fm a x f
r Rf
G
2）取杠杆OAB为研究对象，受力分析，列平衡方程：
2）取杠杆OAB为研究对象，受力分析，列平衡方程：
n
MO (Fi ) 0
FPa Fc FNb 0
i1
解得
FP
Gr aR
2）已知物体处于临界的平衡状态，需求主动力的大 小或物体平衡时的位置（距离或角度）。
3）求物体的平衡范围。
例3-3 如图所示，质量m为 100kg的物体放在倾角
= 45的斜面上，若接触面间的静摩擦因数 fs =0.2，
今有一大小为FP= 800N的力沿斜面推物体，问物体在 斜面上是否处于平衡状态？若静止时摩擦力为多大？