离散数学屈婉玲第三章
离散数学答案-屈婉玲版-第二版-高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⌝p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲Part3代数系统部分
图11
第十三章 习题课
解 图12
图13
图12
解
解：
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第二节 整环与域
第十二章 习题课
第十三章 格与布尔代数
第一节 格的定义与性质
图1
图2
第二节 子格与格同态
图4
第三节 分配格与有补格
图5
图7
图8
图9
第四节 布尔代数
图10
第五节 正规子群与商群
第六节 群的同态与同构
第七节 循环群与置换群
பைடு நூலகம்
图2
第十一章 习题课
解：
解
第十二章 环与域
第一节 环的定义与性质
第三部分 代数结构
第十章 代数系统
第一节 二元运算及其性质
第二节 代数系统
第十章 习题课
解
第十一章 半群与群
第一节 半群与独异点
第二节 群的定义与性质
第三节 子群
图1
第四节 陪集与拉格朗日定理
离散数学-03-一阶逻辑
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
21
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
1
第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
2
3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
8
3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
3
3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
4
3.1.1 命题逻辑的局限性
11
3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化
屈婉玲版离散数学课后习题答案【1】
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
〔1〕p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0〔2〕〔p↔r〕∧(﹁q∨s)⇔〔0↔1〕∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.〔3〕〔⌝p∧⌝q∧r〕↔(p∧q∧﹁r)⇔〔1∧1∧1〕↔ (0∧0∧0)⇔0(4)〔⌝r∧s〕→(p∧⌝q)⇔〔0∧1〕→(1∧0)⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
〞答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：〔4〕(p→q) →(⌝q→⌝p)〔5〕(p∧r)↔(⌝p∧⌝q)〔6〕((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：〔4〕p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式//最后一列全为1〔5〕公式类型为可满足式〔方法如上例〕//最后一列至少有一个1〔6〕公式类型为永真式〔方法如上例〕//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)〔p→(p∨q)〕∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r 〔p∨q〕→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明〔2〕(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)〔4〕(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取X式与主合取X式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：〔1〕主析取X式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q) ⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取X 式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q)⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取X 式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取X 式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取X 式为 0(3)主合取X 式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取X 式为 1主析取X 式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：〔2〕①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明〔4〕：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥〔q→t〕∧(t→q) ⑤置换⑦〔q→t〕⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r是矛盾式,所以推理正确.。
离散数学(屈婉玲版)第三章部分答案
3.6从1到300的整数中（1）同时能被3、5、和7这3个数整除的数有A个。
（2）不能被3、5，也不能被7整除的数有B个。
（3）可以被3整除，但不能被5和7整除的数有C个。
（4）可被3或5整除，但不能被7整除的数有D个。
（5）只能被3、5和7之中的一个数整除的数有E个。
供选择的答案A、B、C、D、E：①2；②6；③56；④68；⑤80；⑥102；⑦120；⑧124；⑨138；⑩162。
解：设1到300之间的整数构成全集E，A、B、C分别表示其中可被3、5或7整除的数的集合。
文氏图如下图：在A∩B∩C中的数一定可以被3、5和7的最小公倍数105整除，即∣A∩B∩C∣=⎣300/105⎦=2，同样可得∣A∩B∣=⎣300/15⎦=20，∣A∩C∣=⎣300/21⎦=14，∣B∩C∣=⎣300/35⎦=8.然后将20-2=18，14-2=12，8-2=6分别填入邻近的3块区域.再计算∣A∣=⎣300/3⎦=100，∣B∣=⎣300/5⎦=60，∣C∣=⎣300/7⎦=42.所以∣A∪B∪C∣=162.所以本题的答案是：A=①2；B=⑨138；C=④68；D=⑦120；E=⑧124.3.10列元素法表示下列集合。
（1）A={ x | x ∈N ∧x2 ≤7}.（2）A={ x | x ∈N ∧|3-x|<3}.（3）A={ x | x ∈R ∧(x+1)2≤0}.（4）A={<x,y> |x,y∈N∧x+y≤4}.解：(1) A={0，1，2}.(2) A={1,2,3,4,5}.(3) A={-1}.(4) A={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<4,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<3,1>,<2,2>}.3.11求使得以下集合等式成立时，a,b,c,d应满足的条件。
离散数学第二版屈婉玲
离散数学第二版屈婉玲简介《离散数学第二版》是由屈婉玲编写的离散数学教材。
离散数学是计算机科学中的一门基础课程，主要研究离散对象及其结构、性质和相互关系。
这本教材系统地介绍了离散数学的各个方面，具有循序渐进、清晰易懂的特点，适合计算机科学及相关专业本科生使用。
目录•离散数学概论–离散数学的基本概念–命题逻辑–谓词逻辑与推理–集合与命题逻辑的应用•图论基础–图的基本概念–有向图与无向图–图的遍历–最短路径•关系与函数–二元关系–关系的闭包与等价关系–函数与映射关系–函数的复合与反函数•计数原理–基本计数原理–排列与组合–生成函数–容斥原理•离散数学中的数论–整数与整除性–模运算与同余关系–素数与因子分解–公约数与最大公约数•离散结构中的代数系统–代数系统的基本概念–半群与幺半群–群与子群–环与域内容概述离散数学概论第一章介绍了离散数学的基本概念和离散对象的性质。
包括集合论、命题逻辑和谓词逻辑等内容。
后续讲解了命题逻辑的推理规则，以及如何应用集合论和命题逻辑解决实际问题。
图论基础第二章介绍了图论的基本概念和图的表示方法。
包括有向图和无向图的概念、图的遍历算法和最短路径算法。
通过实例讲解了如何使用图论解决实际问题。
关系与函数第三章介绍了关系与函数的概念和性质。
包括二元关系的定义和性质、关系的闭包和等价关系的概念，以及函数与映射关系的概念和性质。
通过实例讲解了如何使用关系和函数解决实际问题。
计数原理第四章介绍了计数原理的基本概念和计数方法。
包括基本计数原理、排列与组合、生成函数和容斥原理等内容。
通过实例讲解了如何使用计数原理解决实际问题。
离散数学中的数论第五章介绍了离散数学中的数论知识。
包括整数与整除性、模运算与同余关系、素数与因子分解、公约数与最大公约数等内容。
通过实例讲解了如何使用数论知识解决实际问题。
离散结构中的代数系统第六章介绍了离散结构中的代数系统。
包括代数系统的基本概念、半群与幺半群、群与子群、环与域等内容。
离散数学(屈婉玲)答案_1-5章
离散数学(屈婉玲)答案_1-5章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式 //最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例）//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1 所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q) ⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命xF(x题。
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第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
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第一章部分课后习题参考答案16设p 、q 的真值为0; r. s 的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1) pV (qAr) <=> 0V (0A1) o0(2) (p<-r) A (—'qVs) O (OTL) A (IV1) o0/\lo0.(3) ( A -•qAr) ^(p Aq A —^r) <=> ( 1 Al Al) — (0A0A0) <=>0 (4) ( ->r As) — (P /X F ) O (0A1) -* (1 AO) oO —Ool17. 判断下面一段论述是否为真：“兀是无理数。
并且，如果3是无理数，则、伍也 是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：P ：兀是无理数1 q ： 3是无理数0 r:、迈是无理数1 s ： 6能被2整除1 t: 6能被4整除0命题符号化为：pA(q-r)A(t-*s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
19. 用真值表判断下列公式的类型: (4) (p — q) f (「qf 「p) (5) (pAr)㈠"(「p/\「q)(6) 公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案(6) ((pf q)A (qf r)) f (pf r)答:(4)Pqpf q ~>q「p 「qf 「p 「P )0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 1 1 0 01(pf q) — (「qf1 1 1 1所以公式类型为永真式(5) 公式类型为可满足式(方法如上例)3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)「(pAq~*q)(2)(pf (pVq)) V (p-*r)(3)(pVq) f (pAr)答：(2) (p~* (p Vq) ) V (p-*r)<=>(~i pV (pVq))V (-1pVr)0_,pVpVqV r<=>l 所以公式类型为永真式(3) P Q r pVq p Ar (pVq) f (p Ar)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(pf q) A (p-*r) <=> (p~* (qAr))(4)(pA-'q) V (-^pAq) <=> (pVq) A(pAq)证明(2) (p-*q) A (p~*r)<=> (-'pVq) A (-'pVr)<=> -'pV (qAr))Opf (qAr)(4) (pA_,q)V ("'pAq) O(pV (_,pAq)) /\ (「qV (~>p/\q)<=> (pV -^p) A (pVq) A (-'qV -^P) /XGqVq)Ol/\ (pVq) A -1 (pAq) Al<=> (pVq) A (pAq)5.求下列公式的主析取范式及主合取范式，并求成真赋值(1)(「pf q) —(「qVp)(2)「(pf q) AqAr(3)(pV (qAr)) -* (pVqVr)解：(1)主析取范式(「pf q) C-1 v)O-!(v)v(-w)'V)O (—>A_1)V (-1A)V (~'A_1)V(A)V(A-1)O (-1A-1) V(A->)V(A)O w；() v rn2 v0刀(0, 2, 3)主合取范式：(_,p-*Q)-*(_, v)°-(v) v (-v)<^=*> ( ~i A -1 ) V ( -' V )O(-ipv (-> v ) ) A (~'q v (~1 v ))01 A (v ~n)O (\/ -i) O Mion⑴(2)主合取范式为：-1(P-* q) AA<=>_'(_1V)AAO (人一i) /\ 人<=>0所以该式为矛盾式.主合取范式为口(0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为:(pv ( A )) -* (v v) O-i (pv ( A )) -* (v v)<=>(_'PA (_1V _1))V ( V V )O(-ipv ( V V ) ) A ( (~' V -') ) 7 ( V V ))<=>1A 101所以该式为永真式. 永真式的主合取范式为1 主析取范式为E (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： (2)前提：,—I (A ) 结论：->p (4) 前提：TROA 结论：A前提引入 ① 置换② 蕴含等值式 前提引入 ③④拒取式 前提引入 ⑤⑥拒取式证明：(2) ①7八) (2) —1 7 -1 ③-> -1 ④r ⑤ -iq ⑥ T ⑦ —'p (3) 证明(4)：®A前提引入①化简律③O 前提引入 ④O 前提引入⑤O③④等价三段论⑥（T ） 人（T ） ⑤置换 ⑦（T ） ⑥化简⑧q ②⑥假言推理 ⑨T 前提引入 ⑩P⑧⑨假言推理(ID A⑧⑩合取15在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理: （1）前提：PT （T ）T 结论：T证明®s附加前提引入 ②T 前提引入 ®P①②假言推理④PT 1 （T ）前提引入 ⑤T ③④假言推理 ⑥q前提引入 ⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P 中用归谬法证明下面各推理:（1）前提： T —）—1 V —I 结论：-<P 证明：结论的否定引入前提引入 ©P②p-> —q ③ 一iq①②假言推理④「V 前提引入⑤「r ④化简律@r A ~'s 前提引入⑦r ⑥化简律®TA -ir ⑤⑦合取由于最后一步rA -r是矛盾式，所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a), (b)条件时命题的真值：(1)对于任意x,均有以-2二(0(x-2).(2)存在x,使得5二9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x):以-2二(护)6-卩).G(x): 5=9.(1)在两个个体域中都解释为V A F(A),在(a)中为假命题，在⑹中为真命题。
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第一章 命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；.7.因为p 与q 不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）pq ，真值为1；（4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1.16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p ∨(q ∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0（2）（p?r ）∧(﹁q ∨s) ⇔（0?1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p ∧⌝q ∧r ）?(p ∧q ∧﹁r) ⇔（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r ∧s ）→(p ∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
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离散数学第三版[屈婉玲，耿素云，张立昂编著]2014年版离散数学第三版作者：屈婉玲，耿素云，张立昂著出版时间：2014丛编项： 21世纪大学本科计算机专业系列教材内容简介《离散数学（第3版）/21世纪大学本科计算机专业系列教材》是参照ACM和IEEE最新推出的Computing CurricuLa，根据教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会最新编制的“高等学校计算机科学与技术专业规范”中制定的关于离散数学的知识结构和体系撰写的.全书共14章，内容包含证明技巧、数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、初等数论、离散概率、代数系统等，《离散数学（第3版）/21世纪大学本科计算机专业系列教材》体系严谨，文字精练，内容翔实，例题丰富，注重与计算机科学技术的实际问题相结合，并选配了大量难度适当的习题，适合教学.另外，《离散数学（第3版）/21世纪大学本科计算机专业系列教材》有配套的习题解答与学习指导等教学辅导用书，以及用于课堂教学的PPT演示文稿和在线数字资源等，以满足教学需要。
本书适合作为高等学校计算机及相关专业本科生“离散数学”课程的教材，也可以作为对离散数学感兴趣的人员的入门参考书。
目录第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.1.1 集合符号1.1.2 运算符号1.1.3 逻辑符号1.2 集合及其运算1.2.1 集合及其表示法1.2.2 集合之间的包含与相等1.2.3 集合的幂集1.2.4 集合的运算1.2.5 基本集合恒等式及其应用1.3 证明方法概述1.3.1 直接证明法和归谬法1.3.2 分情况证明法和构造性证明法1.3.3 数学归纳法1.4 递归定义习题第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念2.1.1 命题与联结词2.1.2 命题公式及其分类2.2 命题逻辑等值演算2.2.1 等值式与等值演算2.2.2 联结词完备集2.3 范式2.3.1 析取范式与合取范式2.3.2 主析取范式与主合取范式2.4 推理2.4.1 推理的形式结构2.4.2 推理的证明.2.4.3 归结证明法2.4.4 对证明方法的补充说明习题第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念3.1.1 命题逻辑的局限性3.1.2 个体词、谓词与量词3.1.3 一阶逻辑命题符号化3.1.4 一阶逻辑公式与分类3.2 一阶逻辑等值演算3.2.1 一阶逻辑等值式与置换规则3.2.2 一阶逻辑前束范式习题第4章关系4.1 关系的定义及其表示4.1.1 有序对与笛卡儿积4.1.2 二元关系的定义4.1.3 二元关系的表示4.2 关系的运算4.2.1 关系的基本运算4.2.2 关系的幂运算4.3 关系的性质4.3.1 关系性质的定义和判别4.3.2 关系的闭包4.4 等价关系与偏序关系4.4.1 等价关系4.4.2 等价类和商集4.4.3 集合的划分4.4.4 偏序关系4.4.5 偏序集与哈斯图习题第5章函数5.1 函数的定义及其性质5.1.1 函数的定义……第6章图第7章树及其应用第8章组合计数基础第9章容斥原理第10章递推方程与生成函数第11章初等数论第12章离散概率第13章初等数论和离散概率的应用第14章代数系统参考文献。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案之欧阳家百创编
离散数学答案屈婉玲版欧阳家百（2021.03.07）第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1)⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)⇔（0↔1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)⇔（1∧1∧1）↔(0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)⇔（0∧1）→(1∧0)⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r)↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q)⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x):2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，xF在(b)中为真命题。
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练习1：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p
解 推理的形式结构:(pq)qp 方法一：等值演算法
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq
不是重言式，所以推理不正确.
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5
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
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8
推理规则
(4) 假言推理规则
(5) 附加规则
AB A
∴B (6) 化简规则
AB ∴A
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(8) 假言三段论规则
(9) 析取三段论规则
AB
AB
BC
B
∴AC
∴A
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9
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC
归谬法 (反证法) 欲证
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
做法
在前提中加入B，推出矛盾. 理由
A1A2…AkB
(A1A2…Ak)B
(A1A2…AkB)
(A1A2…AkB)0
A1A2…AkB0
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归谬法实例
例4 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明 用归缪法
①q
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B 精品文档
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附加前提证明法实例
例3 构造下面推理的证明
2是素数或合数. 若2是素数, 则 是无理数. 若 是无理数,
则4不是素数. 所以, 如果4是素数, 则2是合数.
解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数，
自然推理系统: 无公理集, 即AX(I)= 公理推理系统 有公理集, 推出的结论是系统中的重言式, 称
作定理
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表 (1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同定义1.6） 3. 推理规则
r： 是无理数，s：4是素数
(2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
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附加前提证明法实例
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
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归谬法（反证法）
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
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附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
直接证明法
附加前提证明法
归谬法(反证法)
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基本要求
理解并记住推理形式结构的两种形式： 1. (A1A2…Ak)B 2. 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等 值演算法、主析取范式法等）
牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法 ∴AC
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD
BD ∴AC
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在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推 出B的证明
例2 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三, 我明天就有课. 若我明天有课, 今天必备课. 我今天没备课. 所以, 明天不是星期一, 也不 是星期三.
解 (1) 设命题并符号化
设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我明天有课，s：我精今品天文档备课
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直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
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练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp
((pq)q)p pq M2 m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正确.
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练习1解答
方法三 真值表法
p q pq (pq)q
00
0
0
01
1
0
10
1
1
11
1
0
不是重言式, 推理不正确
(pq)qp 1 1 0 1
方法四 直接观察出10是成假赋值
定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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推理的形式结构
推理的形式结构
1. {A1, A2, …, Ak} B 若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B
2. A1A2…AkB 若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
⑨p
前提引入
pp
⑧⑨合取
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第三章 习题课
主要内容
推理的形式结构
判断推理是否正确的方法
真值表法
等值演算法
主析取范式法
推理定律
自然推理系统P
构造推理证明的方法
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每一组赋值， A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论.
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练习2：构造证明
2. 在系统P中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩. 如果颐和 园游人太多，就不去颐和园. 今天是周六，并且颐和园游 人太多. 所以, 我们去圆明园或动物园玩.
证明： (1) 设 p：今天是周六，q：到颐和园玩，
r：到圆明园玩，s：颐和园游人太多, t：到动物园玩. (2) 前提：p(qr), sq, p, s 结论：rt
构造性二难
(AB)(AB) B
构造性二难(特殊形式)
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
每个等值式可产生两个推理定律
如, 由AA可产生 AA 和 AA
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3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的形式语言 系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
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练习2解答
(3) 证明： ① p(qr) ②p ③ qr ④ sq ⑤s ⑥ q ⑦r ⑧ rt
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入 ④⑤假言推理 ③⑥析取三段论 ⑦附加
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解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 推理正确
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推理实例
(2) 推理的形式结构:(pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp
(pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 推理不正确
3. 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
判断推理是否正确的方法:
真值表法
等值演算法
主析取范式法
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.