线性代数 克莱姆法则

D0 而
5 2 2 D 2 6 0 (5)(6)(4)4(4)4(6)
2 0 4
(5)(2)(8)
由D0 得2、5或8
当2、5或8时 齐次线性方程组有非零解
第一章总结
• 1. 行列式的定义（逆序、展开） • 2. 行列式的性质 • 3. 克莱姆法则 • 其他：特殊行列式（包括分块形式）
定理证明
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解 xj Dj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
❖克莱姆法则
如果线性方程组(＊)的系数行列式D不等于零 则方程组 (＊)有唯一解
x 1 D D 1 x 2 D D 2 x n D D n 其中Dj (j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n 阶行列式
D27 D181 D2108 D327 D427 所以 所给方程组的唯一解为
x 1 D D 1 3 x 2 D D 2 4 x 3 D D 3 1 x 4 D D 4 1
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1
a 1a 1 12 a 1 n
a 1a 1 12 a 1 n
来自百度文库
a a 2 n 1 x x 1 1 1 a a n 2 2 x x 2 2 2 a a n 2 n x x n n n 0 0 ( ＊ ＊ ) D a a 2 n 1 a a 1 n 2 2 2 a a n 2 n n
D27 D181 D2108
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
2 8 5 1
D2
19 0 5
0 6 1 2
108
1 0 7 6
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xj Dj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
❖定理5 如果齐次线性方程组(＊＊)的系数行列式D0 则齐次线
性方程组(＊＊)没有非零解 ❖定理5
如果齐次线性方程组(＊＊)有非零解 则它的系数行列式 必为零
例3 问取何值时 齐次线性方程组
有非零解?
(52)xx(62)yy
2z0 0
2x
(4)z0
解 若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式
❖定理4 如果线性方程组(＊)的系数行列式D0 则方程组(＊)一
定有解 且解是唯一的 ❖定理4
如果线性方程组(＊)无解或有两个不同的解 则它的系数 行列式必为零
讨论 常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组
问齐次线性方程组有什么样的解?
齐次线性方程组
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n 0
D27 D181
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
8 1 5 1
D1
9 5
3 2
0 6 1 2
81
0 4 7 6
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解 xj Dj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
D27 D181 D2108 D327
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
21 8 1
D3
13 9 0 2 5
6 2
27
14 0 6
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解 xj Dj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
D27 D181 D2108 D327 D427
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
2 1 5 8
D4
1 3 02
09 1 5
27
1 4 7 0
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xjDj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
行列式 D a21 a22 a2n 称为方程组(＊)的系数行列式
an1 an2 ann
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1
a 1a 1 12 a 1 n
a a n 2 1 x x 1 1 1 a a n 2 2 x x 2 2 2 a a n 2 n x x n n n b b n 2 ( ＊ ) D a a 2 n 1 a a 1 n 2 2 2 a a n 2 n n
a a n 2 1 x x 1 1 1 a a n 2 2 x x 2 2 2 a a n 2 n x x n n n b b n 2 ( ＊ ) D a a 2 n 1 a a 1 n 2 2 2 a a n 2 n n
复习 行列式按行(列)展开
余子式与代数余子式 行列式按行(列)展开的法则 余子式与代数余子式的应用
两个定义的结合运用
第五节 克莱姆法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组
的求解问题
a11x1a12x2a1nxn b1
aan211xx11aan222xx22aan2nnxxnnbbn2 (＊)
a11 a12 a1n