6-2拉普拉斯变换的反演
6-2拉普拉斯变换的反演
1 0 x2 a2
p2
p x2
dx
p2
p a2
0 ( x2
1 a2
p2
1
x2 )dx
p2
p a2
[ 1 arctg a
x a
1 arctg p
x ]
p
p2
p 1
a2
[ a
2
1 p
]
2
0
p pa 1 p2 a2 2 ap 2a p a
再反演回去： I (t) eat 2a
p
0t
这样，实际把对 f (t) 的积分变换成对 f (t) 的拉普拉斯变换的积分，当然，反过来亦可，就 t
看哪个好算.
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
例： sin tdt 1 dp arctgp
0t
0 p2 1
02
5. 普遍反演公式 普遍反演公式就是：
_ [sin t ]
t
dq arctg q arctg p
p q2 2
p 2
上述性质也可用于计算定积分：
因为：
f (q)dq
f (t)e pt dt
（因为
f (q)dq 的拉普拉斯逆变换为 f (t) ）.
p
0t
p
t
取 p 0 的情况，即得：
f (q)dq
f (t)dt
t 0
sin
cos 0
(t
)d
2
f0 02
[cos
0t
cos
t
]
3. 像函数导数的反演
已知： _ 1[ f ( p)] f (t) ，则_ 1[ f (n) ( p)] (t)n f (t)
拉普拉斯逆变换
即得
1 2π j
j
F
(
s)
e
st
d
j
s
n k 1
Res [
F (s)est ,
sk
].
(返回)
18
第九章 拉普拉斯变换
§9.3 Laplace 逆变换 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
附：将实系数真分式 F (s) P(s) / Q(s) 化为部分分式
1. Q(s) 含单重一阶因子旳情况 若 Q(s) 含单重一阶因子 (s a) , 即 Q(s) (s a)Q1(s) ,
第九章 拉普拉斯变换
解 措施二 利用留数法求解
(1) s1 2, s2 1 分别为 F (s) 旳一阶与二阶极点，
Res[ F (s)est,
2]
1 (s 1)2
est
s2
e2t,
Res[ F (s)est, 1] ( est ) et t et.
s 2 s1
(2) f (t ) Res[ F (s)est, 2 ] Res[ F (s)est, 1]
上面讨论了 Q(s) 含单重和多重一阶因子旳情况，假如是 在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。
但假如仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。
因为实系数多项式旳复零点总是互为共轭地成对出现旳， 即假如复数 z a jb 为 Q(s) 旳零点，那么它旳共轭复数 z a jb 也必为 Q(s) 旳零点。 所以，Q(s)必具有(实旳) 二阶因子 (s z)(s z ) (s a)2 b2 .
(1) s1 3 , s2,3 1 2i 为 F (s) 旳一阶极点，
Res[ F (s)est, 3 ] 2e3t,
数学物理方法 第六章 拉普拉斯变换
ω
p2 + ω2
1 (3)由于 2 ⇔ sin ωt , ⇔ e −( R L ) t p + ω2 p+R L 引用卷积定理完成反演， E0 t −( R L )( t −τ ) E0 −( R L ) t ( R L )τ ( R L) sin ωt − ω cos ωt t j (t ) = sin ωτdτ = {e [e ] |0 } 2 2 2 ∫0 e L L R L +ω E0 ( R L) sin ωt − ω cos ωt E0 ωe −( R L ) t = + 2 2 2 L R L +ω L R 2 L2 + ω 2
wuxia@
至于它在初始时刻之前的值，不关心，不妨 设f(t)=0 (t<0)。 为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为 g(t)=e-σt f(t). e-σt 是收敛因子，即，正实数σ 的值选的足够大，以保证g(t)在(-∞,∞)上绝 对可积。 于是，可以对g(t)做傅里叶变换，
− 3 2
wuxia@
−
（二）查表法
e −τp 例2：求 解： 1 1 查表得 , ⇔ πt p e −τp 1 再利用延迟定理 ⇔ p π (τ − t ) p 的原函数.
wuxia@
ω p+λ 例3：求 和 的原函数。 2 2 2 2 ( p + λ) + ω ( p + λ) + ω
t0 ∞ − p ( ξ + t0 )
dξ = e
− pt0
∫
∞
t0
f (ξ )e
− pξ
dξ = e
− pt0
−
f ( p)
拉普拉斯变换性质及反演
b p a
p f( ) a
数学物理方法
（7）卷积定理
若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )]
t
则 L[ f1 (t )* f 2 (t )] f1 ( p) f 2 ( p) ，其中 积。 在傅里叶变换中我们定义了两个函数的卷积： f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
a y ( p) y ( p) 2 2 p p 1
1 1 解得 y ( p ) a ( 2 4 ) p p
1 3 从而 y (t ) a (t t ) 6
数学物理方法
（三）黎曼－梅林反演公式* 在 上两种方 法都不能 求出原函 数 时 ， 原 则 上 总 是 可 以 采 用
n
数学物理方法
（4）相似性定理
1 p L[ f (at )] f ( ) a a
（5）位移定理 L[ e t f( t) f ( ] p 请大家仿照傅里叶积分变换验证。
)
计算 eat cos t ， e at sin t ， eat cht ， eat sht 的拉普拉斯变换函数。 解：略。 例 6.2.6
e ap 1 解：由于 的原函数为 H (t ) ，应用延迟定理有 p p 1 的原函数为 H (t a) ，又由位移定理有 的原函 pb bt 数为 e 。应用卷积定理，有
t e ap 1 L [ ] H ( a)e b (t ) d 0 p ( p b)
t 1 1 L [ 2 ] ( )et d t 1 et 0 p p 1 1
6.3 拉普拉斯变换的反演
数学物理方法
第六章-拉普拉斯变换
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p0 p p 0 p0 p
− pt ∞
L[e st ] (3) 求
L[e ] = ∫ e ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ e
0
∞
−( p − s ) t
1 −( p − s )t dt = − e p−s
∞ 0
1 = . p−s
Re P > Re s
(4) 求 L[te st ]
L[te ] = ∫ te ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ te
θ = arccos
R R +ω L
2 2 2
.
Re P > 0
高阶导数的
L[ f ( n ) (t )] = p n L[ f (t )] − p n −1 f (0) − p n − 2 f ' (0) − K − pf ( n − 2 ) (0) − f ( n −1) (0)
(3) 积分定理
1 L[ ∫ ψ (τ ) dτ ] = L[ψ (t )]. 0 p
例 (1) 解如下交流 RL 电路的方程。
d L j + Rj = E0 sin ωt , dt j (0) = 0.
有源的非齐次方程
A. Lpj + Rj = E0 p 2 + ω 2 ,
ω
E0 E0 1 ω ω B. j = = , 2 2 2 2 Lp + R p + ω L p + R / L p +ω
数学物理方法课件：6-拉普拉斯变换
[ e p f2 ( )d ]e p f1( )d f1( p) f2 ( p)
00 15
例 在LR串联电路中加上一方形脉
冲电压E
E(t)
0E,0 ,
t
0
T
t
T
E (t )
求电路中的电流 i (t)，设 i (0)=0。
解
L di Ri E (t) dt
(1)
由(2)得 I ( p) 1 E( p)
f(t) f(t-t0)H(t-t0)
o
t0
t
14
(7)卷积定理 L [ f1(t) f2 (t)] f1( p) f2 ( p).
其中 L [ f1(t)] f1( p), L [ f2 (t)] f2 ( p),
t
τ
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2. Laplace 变换即(6.1.3)式存在的条件
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间 断点外，函数 f(t) 及其导数是处处连续的，
（2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
| f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都满足这 个充分条件
L
L0
E0
R E0
R
Rt
(1 e L ),
RT
Rt
(e L 1)e L ,
0t T t T
16
本节作业： 第95页 （1，2，4）
17
§6.2 Laplace 变换的反演
反演：由像函数求原函数
（一）有理分式反演法
若像函数
f ( p) G( p) H ( p)
第6章拉普拉氏变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
j
E0 Lp R
p2 2
E0 L
1 pR/L
p2 2
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j E0
t R (t )
e L sin d
L0
R2
E0
L2 2
(R sin
t
L cos
t)
E0L R2 L2 2
e(R/ L)t
例：求常微分方 程初值问题
y'''2 y" y' 4
p R 2L
(
R )2 2L
1 LC
I (t)
2L
1
[ R ( R )2 2L 2L LC e 2L 2L LC }
( R )2 1
2L LC
例：积分
I
0
sin 2 x2
txdx
解： I ( p)
1(1
p ) 1 dx
0 2 p p2 4x2 x2
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时间域转换到频率域。
在工程学、物理学、数学和其他领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
在这篇文章中，我们将探讨拉普拉斯变换的反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是指，如果我们知道一个函数的拉普拉斯变换，那么我们可以通过反演公式将其转换回时间域。
具体来说，如果我们有一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换为F(s)，那么反演公式可以表示为：
f(t) = (1/2πi) ∫γ [F(s) e^(st) ds]
其中，γ是一个逆时针围绕所有极点的曲线，i是虚数单位，e是自然对数的底数，s是复变量。
这个公式的意义是，我们可以通过对F(s)进行逆拉普拉斯变换，得到原始函数f(t)。
这个过程可以看作是将一个函数从频率域转换回时间域的过程。
需要注意的是，拉普拉斯变换的反演公式并不总是适用。
如果函数F(s)有无穷多个极点，或者它的极点不在γ内部，那么反演公式就不成立。
此外，如果F(s)的极点在γ上，那么反演公式也需要进行修正。
在实际应用中，我们通常会使用一些数值方法来计算拉普拉斯变换的反演。
这些方法包括数值逆拉普拉斯变换、快速逆拉普拉斯变换等。
这些方法可以帮助我们更快、更准确地计算反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们将一个函数从频率域转换回时间域。
在实际应用中，我们需要注意反演公式的适用条件，并使用适当的数值方法来计算反演。
Laplace拉氏变换公式表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：4)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
3. 拉普拉斯变换
§3 拉普拉斯变换[拉普拉斯变换及其反演公式] )(t f 的拉普拉斯变换⎰∞-==0d )()]([)(t e t f t f s L t s ϕ (s 是复数，s =ωσi +)拉普拉斯变换的反演公式⎰∞+∞--==i i st s e s L i s L t f σσπϕd )(21)]([)(1)0,0(≥≥σt 积分沿着任一直线Res=a >σ来取，a 是)(t f 的增长指数，同时，积分理解为在主值意义下的.[拉普拉斯变换的存在条件] 如果)(t f 满足下面三个条件，那末它的拉普拉斯变换存在.(i) 实变量的复值函数)(t f 和)('t f 在)0(≥t 上除掉有第一类间断点（在任一有限区间上至多有有限多个）外连续；(ii) 当t <0时，)(t f =0;(iii) )(t f 是有限阶的，也就是说可以找到常数0≥a 和A >0,使得t a Ae t f ≤)( )0(≥t这里数a 称为)(t f 的增长指数，)(t f 是有界函数时，可取a =0.如果满足上面三个条件，那末L ( s )是半平面Res>a 上的解析函数.而反演公式在)(t f 的连续点处成立.[拉普拉斯变换的性质])]([)](([t f a t f a ϕϕ= (a 是常数))]([)]([)]()([t g b t f a t bg t af ϕϕϕ+=+ (a ,b 是常数) )]([)]([)]()([t g t f t g t f ϕϕϕ∙=* 式中⎰⎰-=-=*ttu u g u t f u u t g u f t g t f 0d )()(d )()()()(称为函数)(t f 和g ( t )的褶积（或卷积）.[拉普拉斯变换的主要公式表］［拉普拉斯变换表］dt )()]([)(0st e t f t f s L -∞⎰==ϕ )0Re (≥=σs⎰∞+∞--==i i st e s L is L t f σσπϕds )(21)]([)(1 )0,0(≥≥σt拉普拉斯变换表I拉普拉斯变换表II[二重拉普拉斯变换及其反演公式] 函数f (x ,y)的二重拉普拉斯变换为⎰⎰∞∞--=00d d),(),(yxeyxfqsL y q x s二重拉普拉斯变换的反演公式为⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=i i i i y q x s s q e q s L y x f σσσσπ''2d d ),(41),( 其中ππππσσ<<-<<-==q s q s arg ,arg ;Re ',Re .。
拉普拉斯变换及反变换
例3 I(s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
11
i(t)
t
lim s(
s0
s
s
) 1
1
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例4：已知F(s)=
1 sa
，求f(0)和f(∞)
解：由初值定理和终值定理可得
f
(0)
limsF (s) s
lims s
s
1
a
1
f
()
limsF (s) s0
2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
lim f (t)存在时 ，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
L
i
(t)
L1[
I
(s) ]
L1
s
1
a
1 L
• 拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相 反变换。
• 时域f(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又 称“复频率”。
第06章_拉普拉斯变换
f ( )e p ( t0 )d
0
e
t0 p
0
f ( )e p d
e
t0 p
f ( p)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
t
15
(6) 位移定理 [e 证明： [e
其中积分 f (t )e pt dt称为拉普拉斯积分，f ( p )称为函
0
数f (t )的拉普拉斯变换函数(像函数)，f (t )称为原函数。
拉普拉斯变换存在的充分条件：(1) 在0≤t<∞的任一有限 区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数 是处处连续的；(2) 存在常数M>0和σ≥0，使得对于任何 的t值(0≤t<∞)，有 f (t ) Me t σ的下界称为收敛横标，用σ0表示。特别说明：大多数函 数都满足该条件！
d
1 p f( ) a a
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
14
(5) 延迟定理
[ f (t t0 )] e
t0 p
f ( p)
pt
证明： [ f (t t0 )]
0
f (t t0 )e dt
WangChengyou © Shandong University, Weihai
Байду номын сангаас
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
11
(2) 导数定理
[ f '(t )] pf ( p) f (0)
拉普拉斯变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d
数学物理方法1课件——第六章 拉普拉斯变换
f1(x) ∗ f2 (x) =
∞
−∞ f1(x −η) f2 (η)dη
简单的证明过程要掌握
¾ δ函数有两个重要的特征
（1） δ(x)函数在x=0处为无穷大，在其它处为0；
（2）
δ(x)是归一化的分布函数，即
∫∞ δ (x)dx −∞
=1
¾ δ(x)函数具有挑选性
∫∞ −∞
f
(x)δ (x −
x0 )dx
0
0
p −α
eαt U 1
p −α
其中要求Rep>Reα
例3 求函数f(t)=tn的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ F ( p) = ∞ tn ⋅ e− ptdt 0
当n=1时，
∫ ∫ ∫ 方法1
F( p) =
∞
t
⋅ e− pt dt
=
d2 dp2
∞ e− pt dt
0
=
d2 dp2
⎛ ⎜ ⎝
1⎞
p
⎟ ⎠
=
2 p3
类推，有
tn
U
n! p n +1
例4 求函数f(t)=teαt的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ ∫ F ( p) = ∞ teαt ⋅ e− pt dt = ∞ te−( p−α )tdt
∫ F( p) =
∞
1⋅
e−
pt
dt
=
−
1
e− pt
∞
=
1
0
p 0p
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
拉氏变换及反变换
n!
s an1
w
s a2 w 2
sa
s a2 w 2
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换 （欧拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换 斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换 洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换 抛物线函数
拉氏变换的主要运算定理
e at te at
sin(wt) cos(wt)
1
1/s
1/s2
1 sa
1
s a2
w s2 w2
s
s2 w2
序号 8 9 10 11
常见时间函数拉氏变换表
f(t) tn(n=1,2,3….)
t neat (n=1,2,3….)
eat sinwt eat coswt
F(s)
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数） F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
序号
1 2 3 4 5 6 7
常见时间函数拉氏变换表
f(t)
F(s)
单位脉冲函数:d(t)
单位阶跃函数:1(t) 单位速度函数：t
补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换
拉氏变换的定义 常用函数的拉氏变换 拉氏变换的定理 拉氏反变换
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1、f(t)实函数；
2、当t<0时，f(t)=0；
3、当t0时，f(t)的积分
0
f
(t)est dt
在s的某一域内收敛。
拉普拉斯变换-PPT
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0
数学物理方法§06-2-22
lim ∫ f ( p)e pt dt = 0
(t > 0)
⑶
说明： 让 p=iz， 相当于约当定理 1， σ→-y;ω→x。 此时指数函数为衰减函数，即有结论。
例题 4：求证拉氏变换的反演公式。 解：拉氏变换可以看作函数加一指数收敛核的傅 氏变换的延拓，令：
g (t ) = H (t ) f (t )e −σt
e −τp p
1 p
; 的函数。
解：由查表求出
的原函数：
1 p
由延迟定理：
. =.
1
πt
⑴
f (t ) = L−1 [ I ] =
1
π (t − τ )
#
⑵
四、
黎曼-梅林反演公式
利用傅立叶积分变换，可以证明，f(t)拉氏变换以及反演公式为：
f ( p) = ∫ f (t )e − pt dt
0
∞
( p ∈ C)
p 3 + 2 p 2 − 9 p + 36 p 4 − 81
⑴
I=
[ ] p 3 + 2 p 2 − 9 p + 36 = 4 2 p − 81 ( p − 3)( p + 3)( p + 9) ⑵ 1 1 1 1 p −1 1 1 1 1 p 1 3 = − + = − + − 2 p − 3 2 p + 3 p2 + 9 2 p − 3 2 p + 3 p2 + 9 3 p2 + 9
⑴
f (t ) =
1 it (e − e −it ) = sin t i2
#
⑵
4
2
解： f ( p )e
数学物理方法1课件——6.3 拉普拉斯变换的反演
∫ i(t) = E0 t e−R(t−τ )/L sin ωτ dτ
L0
外界电源引起的
暂态电流
∫ = E0 e−Rt/L ⋅ 1
L
2i
t 0
⎡⎣e(R/ L+iω
)τ
− e(R/L−iω)τ ⎤⎦dτ
强迫震荡电流
[ ] =
E0 Lω R2 + L2ω 2
e− Rt / L
+
R2
E0
+ L2ω 2
R sin ωt − Lω cosωt
f1 (t
−τ )
f2
(τ
)dτ
⎤ ⎥⎦
e−
pt
dt
对于这个二重积分，积分顺序为： 变量τ先从τ=0到τ=t进行积分，然后 变量t再从t=0到t=∞进行积分。
现在改变积分顺序，变量t先从t= τ到
t= ∞进行积分，然后变量τ再从τ=0到
τ= ∞进行积分
两种方法，积分区域相同，因此积分
结果也相同
∫ ∫ ∫ ∫ 则
1 p( p −1)2
的反演
解：方法一 可以把这个像函数分解
思路：1 − 1 = p2 − 3 p +1，1 + 1 = p2 − p +1 = 1 + p2 − p
p ( p −1)2 p( p −1)2 p ( p −1)2 p( p −1)2 p( p −1)2 p( p −1)2
则有
F( p)
f1
(ς
)e−
p(ς
+τ
)dς
⎤ ⎥⎦
f
2
(τ
)dτ
∫ ∫ =
∞ 0
f1(ς )e− pς dς
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式是：
$$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\rightarrow
\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} F(s) e^{st} ds$$ 其中 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，$\gamma$ 是实轴上的
一个足够大的实数。
此公式表示了将函数 $F(s)$ 变换回原函数 $f(t)$ 的方法，它
是拉普拉斯变换的核心之一。
进一步的拓展包括：
1. 周期函数的拉普拉斯变换。
在这种情况下，反演公式中的
$T$ 应该是函数周期的长度。
2. 非常数系数常微分方程的解法。
使用拉普拉斯变换后，微分方
程转变为一个代数方程，可以通过求解该代数方程得到原函数 $f(t)$。
3. 与傅里叶变换的关系。
拉普拉斯变换实际上是傅里叶变换的一个拓展，可以在一些情况下使用傅里叶变换来替代拉普拉斯变换，例如当函数是因果函数（即在 $t<0$ 时等于 $0$）时。
4. 实际应用中的数值计算。
拉普拉斯变换和反演公式都可以用来进行数值计算。
由于计算区域需要取到无穷远，因此需要合适的数值方法来进行计算。
常见的方法包括复平面积分方法和数值逆拉普拉斯变换方法。
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( p 2 2 p 1) y( p) y(0) 0 (0) y 解得 y ( p) ( p 1) 2
反演
y(t ) y(0)tet
将t=1，y=2代入
再由位移定理
et f (t )≒ f ( p )
p t t cos t e sin t e ≓ ≓ ( p )2 2 ( p )2 2 e ap 例4：求 的原函数。 p ( p b) e ap e ap 1 p( p b) p pb 1 e ap ∵ ≓ H (t a) ≓ e bt pb p t e ap b ( t ) d ∴ ≓ 0 H ( a)e p ( p b)
ey(0) 2 y(0) 2e1
y(t ) 2tet 1
三、黎曼—梅林反演公式：
1 a i pt f (t ) f ( p ) e dp a i 2i Re s[ f ( p)e pt ]
全平面
p=σ+iω在p平 面上应用留 数定理
§6.2 拉普拉斯变换的反演
求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下 求原函数(即为求反演积分)。我们分不同情况按 下述方法来求。 一、 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分 项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就 能得到相应的原函数。
p 3 2 p 2 9 p 36 例1 ：(P96)求 f ( p) 的原函数。 4 p 81
解：(分解成分项分式，再利用典型结果) ∵p4-81=(p2+9)(p+3)(p-3)
D ，求出ABCD ∴令 f ( p) A B Cp 2 p 3 p3 p 9
1 1 1 1 p 1 f ( p) 2 2 p 3 2 p 3 p 9 1 1 1 1 p 1 3 2 2 p 3 2 p 3 p 9 3 p2 9
f (t ) 1 3 t 1 3t 1 e e cos 3t sin 3t 2 2 3
二、查表法：
p e 例2：求
解：
p 的原函数。 1 1 ∵ ≓ (查表：P394) p t
e p ≓ p
再由延迟定理： f (t t0 )≒ e pt0 f ( p)
1 ∴ (t ) p 例3：求 2 2和 2 2 的原函数 ( p ) ( p ) p 解：∵ ≓ ≓ cost sin t 2 2 2 2 p p
H ( a)e
a
t
b ( t )
d H (t b (t a ) ]H (t a) b
例5：求解边值问题
y 2 y y 0 y(0) 0，y(1) 2
解：对方程进行拉普拉斯变换，并记 y ( p) L [ y(t )] 则得像函数满足的方程