两种计数原理的综合应用

【解析】从四个门选取两个门作为进门和出门,有 4×3=12种方式.
用加法原理和乘法原理分析电路中的问题
如图,电路中共有7个电阻与一个电灯A,若灯A 不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种情况.
【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三 条支线路,分别记为支线a、b、c,
支线a电阻断路时有R1,R2,R1和R2断路3种情况; 支线b电阻断路时有R3,R4,R3和R4断路3种情况; 支线c电阻断路的有R5,R6,R7,R5和R6,R5和R7,R6和R7,R5、R6和R7断路 7种情况, 因为灯A不亮,所以a、b、c三条支线都出现了电阻断路, 因此灯A不亮的情况共有3×3×7=63种情况.
D.21
【解析】当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个);当x≠2时,x=y,
点的个数为7×1=7(个),则共有14个点,故选B.
2 3位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从
甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得20分,答错得-20
分;选乙题答对得10分,答错得-10分.若3位同学的总分为0,则这
分步乘法计数原理的应用 把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有多少种?
【解析】第1封信投到信箱中有4种投法;第2封信 投到信箱中也有4种投法;第3封信投到信箱中也有4种 投法.只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘 法计数原理可得共有43种方法.
超市有四个门,某人到超市购物,从其一个门进,从另一门 出,则不同的进出方式有多少种?
“分问题步,”完
成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存各,完个成步任骤何其中的一
步都不能完成该件事,只有当
都完成后,才算完成这件
事.
问题4 完成一件事,分类加法计数原理、分步乘法计数原理
的选择
分类加法计数原理的各类方法是 相互独的立,用任何
一种方法可以完成这件事,而分步乘法计数原理的各个步
骤是 相互依的,存必须完成每个步骤,才能完成这件事.
先看下面的问题: ①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不 同的选法? ②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法? 要解决这些问题,就要用到分类加法计数原理与分步 乘法计数原理.这节课,我们从具体例子出发来进一步学 习、理解这两个原理.
问题1 分类加法计数原理 做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有
通了,那么焊点脱落的可能情况共有
1种5 .
【解析】当线路不通时,焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2-1=15种.
4 某校学生会由高一年级5人,高二年级6人,高三年级4人组成. 选其中1人为学生会主席,有多少种不同的选法?
【解析】若当选学生会主席的为高一学生,则有5种选 法;若当选学生会主席的为高二学生,则有6种选法;若当选学 生会主席的为高三学生,则有4种选法.根据加法原理,不同的 选法种数为N=5+6+4=15.
3位同学不同得分情况的种数是( ).
A.3
B.4
C.6
C
D.8
【解析】由题意总分为0分二类:第一类得分为20,-10,-10;第 二类为-20,10,10.每类有三种情况,总共有6种情况.
3 如图,某电子元件是由3个电阻组成的回路,其中有4个焊点A、
B、C、D,若某个焊点脱落,整个电路就不通,现在发现电路不
m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在 第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=
种不同的方m1法+m. 2+…+mn
问题2 分步乘法计数原理
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种 不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种
不同的方法,那么完成这件事有N= m1×m2×种…不同×的mn方
有一项活动,需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加. (1)若只需1人参加,有多少种不同选法? (2)若需老师、男生、女生各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师和一名学生参加,有多少种不同的选法?
如图,电路中共有5个电阻与一个电灯 A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共 有多少种情况.
【解析】当R5断路时,灯A不亮,此时R1,R2,R3,R4分别有2种情形, 利用乘法原理,即有2×2×2×2=16种情况;
当R5通路时,R1,R2至少一个断路,有3种情形,同时R3,R4至少 一个断路,有3种情形,利用分步乘法原理,即有3×3=9种情况.
法.
问题3 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题;
②不同点:分类加法计数原理针对的是 “分问类题”,完成一
件事要分为若干类,各类的方法
,各相类中互的独各立种方法
也
,用任何相一对类独中的立任何一种方法都可以单独完成这件
事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是
根据具体问题的特征,正确认识分类和分步的特征,才
能正确选择分类 来解决问题.
计数原理或
加法
乘法计数原理
分步
Baidu Nhomakorabea
1 集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上
述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的
点的个数是( ).
B
A.9
B.14
C.15
根据分类加法计数原理可得,灯A不亮时共有16+9=25种情况.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理综合问题 把由0,1,2,3,4组成无重复数字的所有五位数从小到大进 行排列,23140排在第几个?
【解析】第一类:万位数为1的五位数的个数为4×3×2×1=24; 第二类:万位数为2、千位数是0或1的五位数的个数为2×3×2×1=12; 第三类:万位数为2、千位数是3、百位数是0的五位数的个数为2×1=2; 第四类:万位数为2、千位数是3、百位数是1的五位数分别为23104和 23140, 所以比23140小的数共有24+12+2+1=39个,故从小到大进行排列,23140 排在第40个.
第3课时
两种计数原理的综合 应用
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正 确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简 单的实际问题.
2.通过实例总结出分类加法计数原理、分步乘法计 数原理规律,能根据具体问题的特征,选择分类加法计数 原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
3.过程与方法:引导学生形成 “自主学习”“合作 学习”等良好的学习方式,培养学生的归纳概括能力.