晶格振动与晶体的热学性质

格波： 连续介质弹性波：
Ae
i t naq
i t xq
Ae
将 µ nq
Ae i t qna
i t naq
代入运动方程得
m 2 Ae
Ae
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解 得
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内 原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶 体中形成各种模式的波，称为格波。只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是 简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。由于晶体的平 移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。通常用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
nj Aje
i jt naqj


频率为 j 的特解：
方程的一般解：
n

线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
Ae
j j
i jt naqj


Q q, t einaq Nm
q
1
1 N
＝N＝晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数 三、格波的简谐性、声子概念
1 2 n m 2 n 2 1 U n 晶体链的势能： n 1 2 n
晶体链的动能：T

系 统 的总 机械 能 即 体系的哈密顿量为：
H
：
2 1 1 2 n m n n 1 2 n 2 n
1 d2V dV V a V a 2 2 d x a d x
相互作用力为：
2 1 V a 2 2 a
F
dV d
：力常数
只考虑最近邻原子间的相互作用：
f n n n 1 n n 1 n 1 n 1 2n
件可得：
Ae i qna t Ae i q n N a t ， 也就是波数 q 的取值必须满足：
a ei q N 1
qh
2 2 h Na L
h 为整数
N n n
Ae
i t N n aq
Ae
i t naq
第 n 个原子的运动方程：
n n 1 n 1 2n m
我们寻找具有下列波动形式的解： µ nq Ae
i t qna
其中 A 为振幅， 为简谐振动的角频率， q 2 / 为波数，如果 n 为波的传播方向的单位 矢量，则 q q n 为波矢。格波解与弹性波解有完全类似的形式。

i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
2 Ae
i t naq Biblioteka 2m
sin
1 aq 2
——色散关系
为了保证格波波函数的单值性，对于一维布拉伐晶格，波数 q 的取值限制在：


a
q

a
区别于连续介质波中 x 表示空间任意一个质点的位置， 在格波中， 如果将坐标原点取在 某一格点上，则只有在 x = na 的位置才有原子。相邻原子间的位相差为 qa，显然相邻原子 间的位相差为 qa 加上 2 的整数倍描述的是完全相同的格波运动，即对相同的格波 xnq 波 数 q 的取值是多值的， 当然也对应地有多个波长 的取值。 例如波长 = 4a (q = 2a) 和 = 4a/5 (q = 5 2a)的格波描述完全相同的原子振动。
若
q q
2 a
则 q 与 q`描述同一晶格震动状态
二、 周期性边界条件（ Born－ Karman 边界条件） 除了将波数 q 的取值限制在： q a a 波矢 q 的取值还要受样品边界条件的限制。设想在一长 L = Na 的一维有限单原子晶体之外， 仍然有无穷多个相同的晶体， 这些一维晶体内相应的原子运动情况完全一样， 即第 n 个原子 和第 n + tN 个原子的运动情况完全相同，其中 t 为整数。考虑到原子间的相互作用主要是短 程的，因此实际的有限晶体中只有极少数边界上原子的运动才受到相邻的假象晶体的影响。 这样的边界条件称为玻恩－卡曼 (Born－Von Karman) 周期性边界条件。根据周期性边界条


对于确定的 n：第 n 个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻 t：不同的原子有不同的振动位相 q 的物理意义：沿波的传播方向（即沿 q 的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。 q 取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。
eiNaq 1 e
q
在 q 轴上，每一个 q 的取值所占的空间为 q 的分布密度：
i 2 h
1
2 h Na
h =整数
q
Na L 2 2
2 Na
L＝Na ——晶体链的长度 简约区中波数 q 的取值总数
q
2 Na 2 a 2 a
§ 3.1 一维单原子链的振动
一、 运动方程及其解
考虑一维单原子链晶格振动问题时，通常有两点基本假设， 一是原子间的相互作用势能只 考虑到平方项，即简谐近似；另一个是只考虑相邻原子间的相互作用。设每个原子具有相同的质 量 m，平衡时原子间距即晶格常数为 a，用 µ n 代表第 n 个原子离开平衡位置的位移，第 n 个原 子和第 n + 1 个原子间的相对位移为 = µ n +1 µ n ，则两个原子间的相互作用势能为：