正态总体均值方差的区间估计

X ①从点估计着手构造枢轴量: Z / n
~ N ( 0 ,1 )
② 构造Z的 一个1-α区间:
P{|
X
③ μ的1-α置信区间:
( X z , X z ) n n 2 2

n
| Z 2 } 1
(2)σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间
X ①从点估计着手构造枢轴变量: T ~ t( n 1 ) S/ n
小时. 试以95%的可靠性估计两总体方差之比的置信区间.
解 设方法一生产的产品的寿命为 X~N(μ1,σ12),
方法二生产的产品的寿命为
要求 σ12/σ22
Y~ N(μ2,σ22),
的置信度为95%的置信区间 .
S1 S1 1 ( , F ( n2 1, n1 1 ) 2 ) 2 F ( n1 1, n2 1 ) S 2 S2 2
2 2 2
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1

n
Z 2 } 1
于是所求 的 置信区间为
(X

n
Z 2 , X

n
Z 2 )
注意 置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以
有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越 好.一般来说,置信区间取成概率对称区间.
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
和Y1 , Y2 , , Y17 , 计算出 X 10.6(克),Y
2 S1
9.5
(克),

的重量都服从正态分布, 其总体均值分别为 1 , 2 ,
且有相同的总体方差. 试求总体均值差 1 2 的
2 2.4, S 2
4.7. 假设这两条流水线上罐装番茄酱
区间估计, 置信系数为0.95.
P( z Z z ) 1
2 2
Z
( X Y ) ( 1 2 )
1 / n1 2 / n2
2 2
~ N (0,1)
③ 概率恒等变形，得到μ1- μ2的1-α置信区间:
1 2 1 2 (( X Y ) z , ( X Y ) z n1 n2 n1 n2 2 2
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(n 1) S 2 (n 1) S 2 ( 2 , 2 ) (n 1) (n 1)
2 1 2
1-α 1-α/2
2
2
例 3 投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险. 随机 地调查了26个年回收利润率(%), 标准差S(%). 设回收利 润率为正态分布 , 求它的方差的区间估计 ( 置信系数为
对给定的Biblioteka Baidu信水平1 , 查正态分布表得 Z 2 ,
[ ( z ) 1 ] 2 2
φ(x)

α/2
-zα/2 zα/2
α/2
X
使
P{| X

n
| Z 2 } 1
1-α
由
P{|
X


n
n
| Z 2 } 1
从中解得
P{ X Z 2 X
0.95).
解 总体均值 未知,α=0.05,方差的区间估计.
(n 1) S 2 (n 1) S 2 ( 2 , 2 ) (n 1) (n 1)
2 1 2
查表得方差的区间估计
(0.615 S 2 ,1.905 S 2 )
三、两个正态总体均值差的区间估计 设X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22),从中分别抽取容量为n1,n2的样 本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为 2 2 X , S 1 ;Y , S 2 . (1) σ12, σ22已知, μ1- μ2的1-α置信区间 ① 相对μ1- μ2，构造枢轴变量: ② 构造Z的 一个1-α区间:
ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
ˆ ,ˆ ]是 的置信水平（置信度、 则称区间 [ 1 2
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
两个要求：
ˆ ,ˆ ] 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 [ 1 2 ˆ ˆ } 要尽可能大. 内，就是说，概率P{ 1 2
取 Z
寻找未知参数的 明确问题,是求什么参数的置信区间 ? 一个良好估计. 置信水平是多少？ X

n
~N(0, 1)
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
F ( n1 1, n2 1 )
2
(3)解不等式得σ12/σ22 的1-α置信区间: 2 2 S1 S1 1 ( , F ( n2 1, n1 1 ) 2 ) 2 F ( n1 1, n2 1 ) S 2 S2 2
2
2
2
查表得 F (n1 1, n2 1) 2.57, F (n2 1, n1 1) 2.76
2 2
12 故 2 的0.95置信区间: (0.58,4.14) 2
由上述方法求得的总体均值差或总体方差比的置信区间 , 我们在实际中通常有下列结论: (1) 若 1 2 的置信区间的下限大于零, 则可认为 1 2;
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度
2. 寻找置信区间的方法
ˆ， 1. 选取未知参数的某个估计量
使得
ˆ | } 1 P{|
2
F ( n1 1, n2 1 )
1 2
1 F / 2 ( n2 1, n1 1 )
例 5 为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命 而进行一项试验. 试验中抽选了由方法一生产的16个产品
组成一随机样本, 其方差为1200小时; 又抽选了由方法二
生产的21个产品组成另一随机样本, 得出的方差为800
② 构造T的 一个1-α区间: P(| T | t / 2 (n 1)) 1
P{ X t / 2 ( n 1 ) X t / 2 ( n 1 ) S n S n
f(x)
α/2
t /2 (n 1)
α/2
t / 2 ( n 1 )
} 1
2
故μ1- μ2的0.95置信区间:
(1.81,4.01)
四、两个正态总体方差比 σ12/σ22的1-α置信区间 (1)对于σ12/σ22 ，构造枢轴变量: f(x) α/2 1-α λ1 λ2
S1 / 1 F 2 ~ F (n1 1, n2 1) 2 S2 / 2
2 2
α/2 X
误差限 .
2. 根据置信水平1 ，找一个正数 ，
ˆ | 可以解出 ： 3. 由不等式 |
ˆ ˆ
2 例1 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 已知,
求参数 的置信水平为1 的置信区间. 解： 选 的点估计为X
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
ˆ , ˆ ) 就是 的100(1 )％的置信区间. 则 ( 1 2
第五节 正态总体均值与方差的区间估计
一、单个总体的情况 1.均值的置信区间 2.方差的置信区间
二、两个总体的情况 1.两个总体均值差的置信区间 2.两个总体方差比的置信区间
一、单个正态总体数学期望的区间估计 设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， (1) σ2已知, 求μ的置信度为1-α置信区间
查表：( z ) 1 , z 1.96 2 2 2
( X z , X z ) n n 2 2
(4.804, 5.196)
μ的1-α置信区间:
例 2 有一大批糖果 . 现从中随机地取 16 袋 , 称得重量 (单位: 克)如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 假设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 求平均重量 的区间估计, 置信系数是0.95. 解 未知σ2, α=0.05,求 μ的1-α置信区间:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T (X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 只能含有 S(T, ),且其分布为已知. 待估参数 称S(T, )为枢轴量.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a<S(T, )<b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
解 σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的0.95置信区间:
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 1 2 2 其中 S 2 1 n1 n2 2 t (n1 n2 2) 2.0518 查表得
n t ( n 1) 2.1315 计算：x 503.75, s 6.2022 查表：
2
( X t / 2 ( n 1 )
S n
, X t / 2 ( n 1 )
S
)
μ的1-α置信区间:
(500.4, 507.1)
二、单个正态总体方差的区间估计
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， 总体均值
四. 区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大 似然估计为1000条. 湖中鱼数的真值
ˆ 1
[
]
ˆ 2
ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
1. 区间估计定义： 设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ( X , X ,, X ), ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n (ˆ1 ˆ2 ) 满足
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：