第十二章无穷级数练习题含答案

第十二章 无穷级数练习

1.判别下列级数的敛散性：

21

2

1

1

1

1

11

!

21sin ;ln(1);;(

)32

n n n n n n n n n n n n ∞

∞

∞

∞

+====++-∑∑∑∑

2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？

211

(1)[3n n n n ∞

-=-+

∑； 21

cos 3n

n n n

∞

=∑；

1

(1)n n ∞

-=-∑。

3.

求幂级数0

n

n ∞

=的收敛区间。

4.证明级数1

!n

n n n x n ∞

=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n

n n

x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。

5.在区间(1,1)-内求幂级数 1

1

n n x n +∞

=∑ 的和函数。

6.求级数∑∞

=-2

22)1(1

n n

n 的和。 。

7.设1111

2,()2n n n

a a a a +==

+ （1,2,n =）证明

1）lim n n a →∞

存在； 2）级数

1

1

(

1)n

n n a a ∞

=+-∑收敛。

8.设40tan n n a xdx π

=

⎰

，

1） 求211

()n n n a a n

∞

+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1

n

n a n λ∞

=∑收敛。

9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞

=-1)1(n n n

a 发散，试问∑∞

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+111n n

n a 是否收敛？并说明理

由。

10.已知2

2211

135

8π+++

=[参见教材246页]，计算1

011ln 1x dx x x

+-⎛⎜⎠。

。

无穷级数例题选解

1.判别下列级数的敛散性：

21

2

1

1111

1!21sin ;ln(1);;()32

n n

n n n n n n n n n n ∞∞

∞∞

+====++-∑∑∑∑

解：1）221

1sin n n < ，而∑∞

=121n n 收敛，

由比较审敛法知 ∑∞

=1

21

sin n n 收敛。

2）)(1

~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞

=11n n

发散，

由比较审敛法的极限形式知 ∑∞

=+1

)1

1ln(n n 发散。

3） e n n n n n n u u n

n n n n n

n n 11lim !)1()!1(lim lim 11=⎪⎭⎫

⎝⎛+=⋅++==∞→+∞→+∞→ρ， 1<ρ ，由比值审敛法知 ∑∞

=1!

n n n

n 收敛。

4） 9423122312lim lim

1

2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∞→∞

→n

n n n n n n n n u ρ， 1<ρ ，由根值审敛法知 ∑∞

=+⎪

⎭⎫

⎝

⎛-+11

22312n n n n 收敛。

2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？

21

1(1)[3n n n n ∞

-=-+∑； 21cos 3n

n n n ∞=∑；

1

(1)n n ∞

-=-∑。 解：1）对于级数∑∞

=--1

213)1(n n

n n ， 由31||||lim 1==+∞→n

n n u u ρ，知级数∑∞

=--1213)1(n n n n 绝对收敛， 易知∑∞

=--1

1

1

)1(n n n 条件收敛，故

21

1(1)[3n n n n ∞

-=-+

∑条件收敛。 2）n n n u n n n =≤3|3cos |

2

2，由31lim 1==+∞→n

n n u u ρ，知级数∑∞

=123n n n 收敛， 故21

cos 3n

n n n

∞

=∑绝对收敛。 3）记n n u n ln 1-=，n u n 1

≥ ，而∑∞=11n n 发散，故∑∞

=1n n u 发散，

令x x x f ln )(-=，x

x f 1

1)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),1(+∞内单