用平方差公式解一元二次方程
一元二次方程求解教法解析
一元二次方程讲解与解析一元二次方程一元：代表未知数的个数，这里指的是只含有一个未知数；次：代表次数，这里指次数为2。
第一节一元二次方程的概念：知识点1一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
了解：只有同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。
这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任意一条件都不是一元二次方程。
一元二次方程的一般式为：ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²为二次项，bx为一次项，c为常数项。
a为二次项的系数，b为一次项的系数。
尽可能在正常情况下将右边的数值移动到左边，使右边的数值为0。
【总结】上面的方程都只含有一个未知数x的整式方程并且都可以化成ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
我们吧ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
例子：4x²+5x-1=0（一般形式）。
4x²为二次项，5x为一次项，-1为常数项。
4为二次项系数，5为一次项系数。
随堂练习：1.根据题意列方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。
解：设直角三角形的三边长为x，x+1，x+2。
x²+(x+1)²=(x+2)²（只需要列车方程到这步即可）x²-2x-3 =0x²-2x+1²=3+1²(x-1)²=4x-1=±2习题2.1知识技能1.根据题意，列方程：（1）有一个面积为54㎡的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的变长是多少？解：设这个正方形的边长是x m(x>0)。
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
一元二次方程的解法
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
1
1
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项系数与常数项
2
7
②交叉相乘，和相加为一次项系数
1
③检验确定，横写因式
1 7 6
试一试：
3x 4 x - 15 ( x 3)(3x 5)
方法叫做配方法.
拓展1
例、用配方法解下列方程：
(1)
(2)
x 6x 7 0
2
2 x 3x 1 0
2
请归纳配方法解一元 二次方程的步骤
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方 法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无解。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零（化成一般式） 。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘 积。 3o至少 有一个一次因式为零，得到两 个一元一次方程。 一元一次方程的解就是原方程的 4o两个 解。
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式 的乘积 x－2=0或x+4=0 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的 ∴ x1=2 ,x2=-4 解
• 补充： • 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
1、方程x2- 4=0，这个方程可以化成x2 = 4，所以方程的根 x1=2，x2= - 2
一元二次方程的特点
一元二次方程的特点一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 是已知的实数且a不等于0。
一元二次方程是高中数学中的重要内容，它具有许多特点和性质，下面将对这些特点进行详细的解释，并围绕中心扩展下的描述。
一、一元二次方程的特点1. 二次项、一次项和常数项：一元二次方程中的ax^2、bx和c分别是二次项、一次项和常数项。
其中，二次项包含了变量的平方，一次项包含了变量的一次幂，常数项没有变量。
这三项的系数和次数决定了方程的性质。
2. 非线性方程：一元二次方程是非线性方程，因为它的变量的次数为2。
与线性方程不同，一元二次方程的图像是一个抛物线，而不是直线。
3. 解的个数：一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
4. 根与系数的关系：一元二次方程的根与系数之间存在着特殊的关系。
设方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为x1和x2，则有以下关系成立：x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
5. 对称性：一元二次方程具有对称性。
设方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为x1和x2，那么方程中的二次项系数a和一次项系数b的和与乘积的关系也可以通过x1和x2来表示：a = (x1 + x2)/2，b = (x1 * x2)/2。
二、一元二次方程的中心扩展中心扩展是指围绕某个中心或核心概念对相关知识进行深入探讨和拓展。
在讨论一元二次方程的特点时，可以以根与系数之间的关系为中心进行扩展，探究这种关系在实际问题中的应用。
1. 方程的根与图像的关系：一元二次方程的图像是一个抛物线，而方程的根则是抛物线与x轴的交点。
根与图像的关系可以帮助我们更好地理解方程的解的个数和性质。
当方程有两个实数根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有一个实数根时，抛物线与x轴有一个切点；当方程没有实数根时，抛物线与x轴没有交点。
九年级上第02讲 一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)讲义+练习
因式分解法解一元二次方程.
【知识导图】
1、观察一元二次方程 ，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.
1、形成表象,提出问题
用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
一元二次方程的解法
（配方法和因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式；
2、公式法解一元二次方程；
3、因式分解法解方程.
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．
一元二次方程的解法总结
x a 0或x a 0
x1 a
形如
2
x2 a
的式子运用完全平方公式得：
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
例1 解下列方程
16(2 x) 9 0 （1） 解：原方程变形为： 9 2 (2 x) 16
解：提公因式得：
(3x 2)( x 6) 0
(3x 5)( x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
3x 2 0或x 6 0
2 x1 3
5 x1 3
x2 6
x2 2
平方差公式与完全平方公式
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
2
（2） x( x 2) 1 0 解：原方程变形为：
直接开平方得：
x2 2 x 1 0
( x 1)2 0
3 2 x 4 11 5 x2 x1 4 4
x1 x2 1
2 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘 积的形式，且p + q = 一次项系数。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2
例题讲解
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
平方差公式解方程实践
平方差公式解方程实践
平方差公式是解一元二次方程中常用的方法之一。
在实际应用中，
通过平方差公式可以快速解决一些复杂的方程，提高计算效率。
本文
将通过实践案例来说明平方差公式在解方程中的具体应用。
假设有以下一元二次方程：
$x^2 - 6x + 9 = 0$
首先根据平方差公式的形式，我们可以将上述方程化简为：
$(x - 3)^2 = 0$
接下来我们就可以利用平方差公式来解这个方程。
根据平方差公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
对比上面的方程和平方差公式的形式，我们可以得出：
$a = x$
$b = 3$
将$a$和$b$代入平方差公式，得到：
$(x - 3)^2 = x^2 - 2 * x * 3 + 3^2$
$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$
因此，原方程可以表示为：
$(x - 3)^2 = 0$
根据平方差公式的性质，我们知道如果一个数的平方等于0，那么这个数只能是0。
因此，可以得出：
$x - 3 = 0$
$x = 3$
综上所述，通过平方差公式，我们成功解出了该一元二次方程的解$x = 3$。
在实际应用中，平方差公式是解决一元二次方程的重要方法之一。
通过灵活运用平方差公式，可以更快速地求解复杂方程，提高计算效率，解决实际问题。
希望以上案例能帮助读者更好地理解平方差公式在解方程中的应用。
因式分解法解一元二次方程【学案】
学习过程复习预习1．复习提问如果a×b=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．即a=0或者b=0。
2．复习：将下列各式分解因式。
(1)5X2-4X (2)X2-4X+4 (3)4X(X-1)-（X-1）(4) X2-4 (5)X2+4X+3(6）X2-3X+2一、知识讲解考点1提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．考点2运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．考点3平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)三例题精析【例题1】【题干】解方程x-2＝x（x-2）【答案】 x1＝2，x2＝1．【解析】解：原方程可化为x-2-x（x-2）＝0．（x-2）（1-x）＝0∴ x-2＝0或1-x＝0．∴ x1＝2，x2＝1．【题干】（2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2【答案】C【解析】考点：解一元二次方程－因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．【题干】（2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x－2）2+3B、（x+2）2－4C、（x+2）2－5D、（x+2）2+4【答案】C．【解析】考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x－1=x2+4x+4－4－1=x+22－5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．【题干】（2011•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4【答案】C．【解析】考点：解一元二次方程－直接开平方法。
因式分解法解一元二次方程
例3把a2 7a 10分解因式;
解:原式= (a+5) (a+2)
a
5
a
2
5a+2a=7a
练习一
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
用因式分解法解方程
(1)(x+2)2=2x+4
(2)4(x-3)2-x(x-3)=0 (3)x2 x 0
(4)9(x-2)2=4(x+1)2 (5)( x 4)2 (5 2x)2
一.因式乘法
1:计算: (1). (x+2)(x+3); 解:原式 x2 2x 3x 23
B. x2 5x 6;
C. x2 5X 6;
D. x2 5x 6;
(4). 分解a 2 3ab 2b2的结果为 ( D )
A. a ba 2b;
B. (a b)(a - 2b);
C. (a - b)(a 2b);
D. (a - b)(a- 2b);
分解因式解一元二次 方程的方法称为分解 因式法.
解后思考
1、什么样的一元二次方程适合因式分解法？ 方程左边易于因__式__分解, 而右边等于零___
即 (一次因式A)(一次因式B) =0
例:用因式分解法解方程:
解（：2原x+方1程)2=变(x形-3为)2 ： （2x+1)2-(x-3)2=0
把方程左边进行因式分解，得
3. 你能把下列各式分解因式吗？ (1) x2+7x =x(x+7)
(2) 4x2-9 =(2x+3)(2x-3)
平方差公式解一元二次方程
平方差公式解一元二次方程平方差公式解一元二次方程：轻松搞定！一元二次方程，听起来是不是有点头疼？别急，今天我们用最简单的语言来聊聊怎么用平方差公式来解决它，让你也能轻松搞定这个数学问题。
准备好了吗？那就开始吧！1. 认识平方差公式1.1 平方差公式是什么？平方差公式，顾名思义，就是处理“平方”相关的问题。
具体来说，它的公式是：((a + b)^2 (a b)^2 = 4ab)。
这个公式的妙处在于，它能把复杂的二次方程问题化繁为简，让我们能够快速求解。
听起来有点复杂对吧？其实只要记住这个公式，就能在解题时如鱼得水了。
1.2 为什么要用平方差公式？你可能会问：“为什么偏偏用平方差公式？”嗯，这个公式能把一元二次方程中复杂的项简化为更易处理的形式，像是把“大山”变成“小山丘”，让我们一步步地攻克难关。
它帮助我们更快地找到方程的解，节省不少时间。
2. 实际应用平方差公式2.1 方程的基本形式首先，我们需要把一元二次方程写成标准形式，即 ( ax^2 + bx + c = 0 )。
为了用平方差公式，我们可能需要稍微变换一下方程。
比如，把它写成形如 ((x p)^2 q = 0)的形式。
这时，我们就可以用平方差公式来解题了。
2.2 例子演示让我们看个实际例子吧。
假设我们有方程 (x^2 4 = 0)。
这时，方程看起来就像是((x + 2)(x 2) = 0)。
这里，我们可以看到它正好符合平方差公式的形式：((x + 2)^2 (x2)^2)。
用平方差公式解这个方程，我们就能很快找到 (x = 2) 和 (x = 2) 这两个解。
3. 用平方差公式解题的步骤3.1 确定方程形式首先，你需要把方程化简成平方差公式的形式。
如果原方程不是这个形式，可以通过变换来实现。
这个步骤就像是找出谜题的线索，让我们知道接下来该怎么做。
3.2 应用公式一旦方程化为平方差公式的形式，你就可以直接用公式来解题了。
只要把已知的数值代入公式，计算出结果，就能得到方程的解了。
21.2.3降次--解一元二次方程(因式分解法)
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.方程x( x 1) x的解是_______. 6.方程x 2 10 x 25 0的解是_______. 7.课本P17第6大题(1).(2).(3).(4)
解:( x 4) (5 2x) 0
2 2
( x 1)(3x 9) 0
(4) x 6 x 9 0
2
(5)4x 4x 1 0
2
解:(x 3) =0
2
解:(2x 1) =0
2
x-3=0
2x-1=0
1 x1 x2 2
x1 x2 3.
课后作业： 1.方程(x 3)( x 4) 0的根是(
)
A.x 3 B.x1 3, x2 4 C.x 4 D.x 1 3, x2 4 2.方程x( x 2) 0的根是(
2
) )
A.x 2 B.x 0 C.x 1 0, x2 2 D.x 1 0, x2 4 3.解方程(x 2) 2( x 2)最适当的方法是( 4.方程x x 0的解是_______.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
解： ( x 1)( x 7) 0 x 1 0或x 7 0
4 x1 0; x2 . 5 （3）利用十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
1 1
1 7
x1 1, x2 7
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
一元二次方程的解法 (知识点考点串编)八年级数学下学期核心考点精讲精练(沪科版)(解析版)
专题05 一元二次方程的解法（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·重庆涪陵·九年级期末）方程29x =的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =-D ．13x =，23x =- 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用开方法求解即可． 【详解】©知识点一：直接开平方法技巧：把方程ax 2+c ＝0(a ≠这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
解：29x =，解得：13x =，23x =-， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握直接开方法求解．练习1．（2022·北京丰台·九年级期末）若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个解为0x =，那么m 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．1或-1【答案】A 【解析】 【分析】将0x =代入方程，得到关于m 的一元二次方程，解方程求解即可，注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个解为0x =，∵210,10m m -=-≠1m ∴=- 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义，解一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．练习2．（2021·四川南充·一模）方程（9x ﹣1）2＝1的解是（ ）A ．1213x x == B ．1229x x == C ．1220,9x x == D ．1220,9x x ==-【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：2(91)1x-=，911x∴-=或911x-=-，解得10x=，22 9x=，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习3．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17B．11C．15D．11或15【答案】C【解析】【分析】先求出方程的解，然后根据三角形三边关系利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．【详解】解：（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，解得x1＝5，x2＝1．若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；若x＝1时，6﹣4＝2＞1，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长是解题关键．练习4．（2022·广东白云·九年级期末）解方程：()23250x+-=【答案】x 1=2，x 2=-8 【解析】 【分析】先把方程变形为解（x +3）2=25，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】 解：（x +3）2=25， ∵x +3=±5，解得：x 1=2，x 2=-8． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．例．（2022·甘肃麦积·九年级期末）将一元二次方程2850x x +-=化成()2x a b+=（,a b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．－4，21 B ．－4，11C ．4，21D ．－8，6【答案】C 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．©知识点二 配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax 2+bx ＝-c ；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如X ²＋解：∵x 2+8x -5=0， ∵x 2+8x =5，则x 2+8x +16=5+16，即（x +4）2=21， ∵a =4，b =21， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习1．（2022·海南海口·九年级期末）用配方法解方程2430x x --=，下列配方正确的是（ ） A ．()227x -= B ．()227x +=C ．()223x -=D ．()221x -=【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，两边同时加上4，变形即可得到结果． 【详解】方程移项得 243x x -=方程两边同时加上4，得 24434x x -+=+ 即2(2)7x -= 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．练习2．（2022·山西山阴·九年级期末）用配方法解方程2650x x --=时，配方后的方程是（ ） A ．2(3)4x -= B ．2(3)14x -= C ．2(3)31-=x D ．2(3)14x +=【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可．解：2650--=x x移项得：265-=，x x配方得：26914-+=，x xx-=合并得：()2314故选：B．【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．练习3．（2022·广东禅城·九年级期末）一元二次方程x2﹣8x＋5＝0配方后可化为（）A．（x﹣4）＝19B．（x＋4）＝﹣19C．（x﹣4）2＝11D．（x＋4）2＝16【答案】C【解析】【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：∵2850-+=x x∵281611-+=x x∵()2411x-=故选C．【点睛】本题考查了配方法．解题的关键在于熟练使用配方法．练习4．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）选择合适的方法解方程：(1)x2﹣4x＝2；(2)3(x﹣5)＝x2﹣25．【答案】(1)x1＝6，x2＝26(2)x1＝5，x2＝﹣2【解析】（1）利用配方法直接求解即可； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． (1) ∵x 2﹣4x ＝2∵x 2﹣4x +4＝2+4，即(x ﹣2)2＝6 ∵x ﹣2＝6∵x 1＝6x 2＝26 (2)∵3(x ﹣5)＝x 2﹣25， ∵3(x ﹣5)﹣(x +5)(x ﹣5)＝0， ∵(x ﹣5)(3﹣x ﹣5)＝0， ∵x ﹣5＝0或﹣x ﹣2＝0， ∵x 1＝5，x 2＝﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法主要有开平方法、配方法、公式法、因式分解法．例．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程2850x x --=化成()2x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ）A ．4-，21B ．4-，69C ．4，21D ．8-，11【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】©知识点三：配方法的应用解：∵2850x x --=， ∵285x x -=， 则2816516x x +=+-， 即2()421x -=， ∵4a =-，21b =， 故选A ． 【点睛】本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的求解过程． 练习1．（2021·贵州六盘水·九年级阶段练习）代数式x 2﹣4x +5的值（ ） A ．恒为正 B ．恒为负 C ．可能为0 D ．不能确定【答案】A 【解析】 【分析】直接利用配方法将原式变形，进而得出答案． 【详解】解：2245(2)1x x x -+=-+，2(2)0x -， 2(2)10x ∴-+>，∴代数式245x x -+的值恒为正．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是正确配方．练习2．（2021·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）已知m 是有理数，则m 2﹣2m +4的最小值是（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法对式子进行配方，利用非负性求解最小值即可．【详解】解：2224(1)3m m m -+=-+∵2(1)0m -≥，当1m =时，2(1)0m -= ∵2(1)33m -+≥，当1m =时，2(1)33m -+= 1m =，为有理数，224m m -+的最小值为3故选A 【点睛】本题考查了配方法的应用，然后根据非负性求出最小值，解题的关键是掌握配方法．练习3．（2021·湖北省水果湖第一中学九年级阶段练习）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先把多项式配方，从而得244m +=5，进而即可得到结论． 【详解】解：∵24x mx -++=22424m m x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭，又∵关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5， ∵244m +=5，解得：m =±2， ∵m 的值可能为2． 故选B ． 【点睛】本题主要考查多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键．练习4．（2021·甘肃会宁·九年级期中） “a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝（x ＋2）2＋1，∵（x ＋2）2≥0，∵（x ＋2）2＋1≥1，∵x 2＋4x ＋5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x 2－4x ＋6＝（x _____）2＋______，所以当x ＝_____时，代数式x 2－4x ＋6有最_____（填“大”或“小”）值，这个最值为_______； （2）比较代数式x 2－1与2x －3的大小．【答案】（1）-2；2；2；小；2；（2）2123x x ->- 【解析】 【分析】（1）根据题干的例子配方即可；（2）通过作差法比较大小，根据偶次方的非负性即可． 【详解】解：（1）246x x -+ 2442x x =-++ 2(2)2x =-+，当2x =时，代数式246x x -+有最小值， 这个最值为2．故答案为：2-；2；2；小； （2）2(1)(23)x x --- 2123x x =--+2211x x =-++ 2(1)1x =-+，2(1)0x -，2(1)10x ∴-+>，2123x x ->-∴．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小．例．（2022·上海市建平实验中学八年级期末）下列方程中，有实数解的是（ ） A ．430x += B ．333x x x --= C 130x -= D ．222310x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】判断方程有无实数解，就是看方程的解是否是能满足方程的左右两边相等的实数． 【详解】A 、∵430x +>，故A 错误，不符合题意；B 、333x x x --=， ()2333x x x -=-，2333x x x -=-， 2630x x -+=，627x ±=，1633x +=2633x -=，经检验，1633x +=，2633x -=均是原方程的解，故B 正确，符合题意； C 130x ->，故无实数解，故C 错误，不符合题意； D 、222310x y ++>，故无实数解，故D 错误，不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程的解法，二次根式的性质，解题的关键是掌握方程的解的概念，是能满足方程的左右两边相等的实数．练习1．（2021·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）用公式法解方程4y 2﹣12y ﹣3＝0，得到（ ）©知识点四：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，用配方法所求出的两个根x =−b±√b 2−4ac2a(b ²-4ac ≥0)只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，而把x =−b±√b 2−4ac2a(b ²-4ac ≥0)叫做一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式。
一元二次方程基础知识点注意事项
一元二次方程基础知识点注意事项
一元二次方程是数学中重要的概念之一，也是数学中的必考知识点。
为了帮助大家更好地理解和掌握一元二次方程的基础知识，以下总结了一些注意事项：
一、定义
一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程。
其一般形式为：ax^2+bx+c=0(a≠0)
其中，a、b、c是常数，a≠0。
二、解法
一元二次方程的解法主要有以下几种：
1．公式法：利用求根公式求解一元二次方程的解。
2．配方法：通过配方化简方程，从而求解一元二次方程的解。
3．因式分解法：将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积，从而求解一元二次方程的解。
4．直接开平方法：对于某些特殊的一元二次方程，可以直接开平求解。
三、注意事项
在解一元二次方程时，要注意方程的类型。
对于无常数项的一元二次方程，可以直接用平方根公式求解；对于有常数项的一元二次方程，需要先化简方程，再用求根公式求解。
在使用求根公式求解一元二次方程时，要注意判别式的值。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程无实数根。
在使用因式分解法求解一元二次方程时，要注意因式分解的技巧。
常用的因式分解公式包括平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等。
四、应用
一元二次方程可以应用于解决实际问题。
例如，可以用于求解匀速运动中的路程、时间、速度等问题；也可以用于求解抛物线的顶点坐标等问题。
122 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-公式法与因式分解法【基础知识】一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典例剖析】考点一：公式法【典例1】．小丽同学想用公式法解方程231x x -+=，你认为a ，b ，c 的值应分别为（ ） A ．1-，3，1- B ．1-，3，1 C ．1-，1-，1 D ．1，3-，1-【答案】A 【解析】∵231x x -+=，∴2310x x -+-=．∴1,3,1a b c =-==-．【典例2】．用公式法解方程23412x x +=，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】D 【解析】231240,3,12,4x x a b c -+===-=，代入求根公式得x =．【典例3】．当20,40a b ac ≠-≥的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．20ax bx c -+=C ．2ax bx c +=D ．2ax bx c =+【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程20ax bx c ++=，当0a ≠，240b ac -≥的时候，它有两个实数根242b b c aa -±-．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．【典例4】．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3 B ．2C ．1D ．23【答案】B 【解析】试题分析：2x 2－6x ＋3＝0， 这里a ＝2，b ＝－6，c ＝3， ∵△＝36－24＝12， ∴x 623±33±，即p 33- x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1， ∵△＝4＋8＝12， ∴x 223±13±， 即q ＝132+则p ＋q 2． 故选B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．考点二：因式分解法【典例5】．方程23x x =的根是（ ） A ．3x = B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x ==【答案】D 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可． 【解析】 解：∵x 2＝3x ， ∴x 2﹣3x ＝0， ∴x （x ﹣3）＝0， ∴x ＝0或x ＝3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可． 【典例6】．方程2(3)5(3)x x x +=+的根是（ ） A ．52x =B ．3x =-或52x =C ．3x =-D ．3x =或52x =-【答案】B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：2(3)5(3)x x x +=+ 移项，得2(3)5(3)0x x x +-+=()(3)250x x +-=解得：3x =-或52x = 故选B ． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键． 【典例7】．下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）A ．210x x -+=B ．2(10x x +=C ．22350x x ++=D ．2650x x --=【答案】B 【分析】根据因式分解法即可得． 【解析】观察四个选项可知，只有选项B 适合用因式分解法解，即2(10x x +=可因式分解为(1)(0x x +=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解方程，掌握因式分解法是解题关键． 【典例8】．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（ ） A ．∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -= B ．∵()()311x x +-=，∴30x +=或11x -= C ．∵()()2323x x --=⨯，∴22x -=或33x -= D ．∵()20x x +=，∴20x += 【答案】A 【解析】∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -=，A 选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B ，C 选项错误；∵()20x x +=，∴20x +=或0x =，故D 选项错误．考点三：综合题（换元法、含绝对值问题、设值（参）与代换问题）【典例9】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.【典例10】0．已知(x+y)(x+y +2) = 15, 则x+y的值为（）.A．3或5 B．3或-5 C．-3或5 D．-3或-5【答案】B【分析】首先把x+y看做一个整体,然后利用因式分解法解此方程即可.【解析】解：方程整理，得：(x+y) ²+2(x+y)−15=0，因式分解，得： [(x+y)+5][(x+y)−3]=0，得：x＋y＝－5或x＋y＝3.故答案为B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键．【典例11】．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是（）．A．1；B．2；C．3；D．4．【答案】C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可．【解析】解：当x＞0时，原式=x2-3x+2=0，解得：x1=1；x2=2；当x＜0时，原式=-x2+3x+2=0，解得：x1（不合题意舍去），x2∴方程的实数解的个数有3个解．故选C．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，充分考查的是绝对值的意义．【典例12】．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.【典例13】．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（）A．0，﹣23B．0，23C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A【解析】【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可. 【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①，（a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②，∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1，当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣23；②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.∴方程的解是0或﹣2 3 .故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.【过关检测】一、单选题1．方程210x x+-=的根是（）A．1B C．1-D 【答案】D【分析】观察原方程，可用公式法求解. 【解析】解：∵1a =，1b =，1c =-， ∴241450b ac -=+=>，∴x =； 故选：D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.2．一元二次方程260x +-=的根是( )A ．12x x ==B ．120x x ==-，C ．12x x ==-D ．12x x ==-【答案】C找出方程中二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，再根据x=2b a-± ，将a ，b 及c 的值代入计算，即可求出原方程的解． 【解析】解：∵a=1，c=-6∴ =2- =，∴x 1，x 2 故选：C ． 【点睛】本题考查利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式即可求出原方程的解．3．一元二次方程x 2﹣px+q=0的两个根是（4q ＜p 2）（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式x=(240b ac -≥)可直接得到答案．【解析】∵a=1，b=-p ，c=q ， ∴b 2-4ac=p 2-4q ， ∵4q ＜p 2， ∴b 2-4ac=p 2-4q ＞0，∴x= 2b a -故选A ． 【点睛】此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．4．若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b =(a +1)2-ab ,则方程(x +2)*5=0的解为( )A ．-2B ．-2,3C D【答案】D 【分析】根据题目所给的运算方法，列出一元二次方程，解方程求解即可. 【解析】∵a*b =(a +1)2-ab ,，∴(x +2)*5=(x +2+1)2-5(x +2)= x 2+x -1， ∵(x +2)*5=0， ∴x 2+x -1=0，解得x 1,x 2故选D. 【点睛】本题是阅读理解题，根据新运算的规则列出方程是解答此题的关键． 5．方程()()451x x +-=的根为（ ） A ．x=-4B ．x=5C ．14x =-，25x =D ．以上结论都不对【答案】D 【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可. 【解析】原方程化为2210x x --=，利用求根公式有x =A 、B 、C 中都没有方程的根，故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解方程时，一定把方程化为一般形式.6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ） A ．a 4=-，b 5=，c 3= B ．a 4=-，b 5=-，c 3= C ．a 4=，b 5=，c 3= D ．a 4=，b 5=-，c 3=- 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【解析】 ∵-4x 2+3=5x∴-4x 2-5x+3=0，或4x 2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B ． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式． 7．一元二次方程2234x x x -+=-+ 的根是（ ）A ．11x =-2x 1=-B ．1x =， 212x =C ．112x+=,212x -=D ．1211x x =-+=--【答案】D 【解析】试题解析：方程整理得：2220.x x +-=()224242120.b ac ∆=-=-⨯-=>1x ===-±故选D.点睛：一元二次方程：()200.ax bx c a ++=≠公式法的求根公式为：x =8．方程ax 2+bx+c=0（a ＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（ ）ABC ．2b a -≤2b a-D 【答案】A 【解析】因为b b -≤-且 a ＜0,,故选A.9．已知实数x 满足()()2224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( )A ．7B ．-1C ．7或-1D ．-5或3【答案】A 【分析】将x 2-x 看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x 2-x 的值，再整体代入进行求解即可. 【解析】∵(x 2﹣x)2﹣4(x 2﹣x)﹣12＝0， ∴(x 2﹣x+2)(x 2﹣x ﹣6)＝0， ∴x 2﹣x+2＝0或x 2﹣x ﹣6＝0， ∴x 2﹣x ＝﹣2或x 2﹣x ＝6； 当x 2﹣x ＝﹣2时，x 2﹣x+2＝0， ∵b 2﹣4ac ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解；当x 2﹣x ＝6时，x 2﹣x+1＝7， 故选A ． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x 2-x 看成一个整体． 10．若方程()()x 23x 10-+=，则3x 1+的值为( )? A ．7 B ．2C ．0D ．7或0【答案】D 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x 的值，将x 的值代入31x +中，即可求出值．方程2310x x -+=（）（），可得20x -=或310x +=，解得：12123x x ==-，，当2x =时，313217x +=⨯+=；当13x =-时，1313103x +=⨯-+=（）． 故选D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 11．方程2430x x -+=的解是（ ） A ．1x =±或3x =± B ．1x =或3x = C ．1x =-或3x =- D ．无实数根【答案】A 【解析】 【解析】（1）当x ＞0时，原方程可变形为2430x x -+=， 即()()310x x --=， 解得1x =或3x =；（2）当x ＜0时，原方程可变形为2430x x ++=， 即()()310x x ++=， 解得1x =-或3x =-，则方程2430x x -+=的解是1x =±或3x =±. 故选A. 【点睛】解本题的关键在于对方程去绝对值，再通过因式分解法来解方程即可. 12．若1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，满足()()()()()2123452005200520052005200524x x x x x -----=，则2222212345x x x x x ++++的末位数字是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7【分析】因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，所以()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为26224=23 ，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以2222212345x x x x x ++++的末位数字是1 【解析】解：∵1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将224分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2242(2)46(6)=⋅-⋅⋅-∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -分别等于2、()2-、4、6、()6- ∴1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴2222212345x x x x x ++++的末位数字是1．故选A ． 【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．二、填空题13．方程()()1312x x -+=的解为________． 【答案】3或5- 【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解． 【解析】（x-1）（x+3）=12 x 2+3x-x-3-12=0 x 2+2x-15=0282-±==, ∴x 1=3，x 2=-5 故答案是:3或-5． 【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式． 14．把方程2511333x x +=-化为一般形式是______，其中a =______，b =______，c =______，24b ac -=______，方程的根是1x =______，2x =______.【答案】23520x x --= 3 －5 －2 49 13- 2 【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】 解：方程2511333x x +=-化为一般形式是：23520x x --=， ∴a ＝3，b ＝−5，c ＝−2， ∵b 2−4ac ＝25＋24＝49， ∴x ＝54957236， 则方程的解为x 1＝13-，x 2＝2． 故答案为23520x x --=；3，−5，−2，49；13-，2． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．15．方程20.250x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】5 12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【解析】解：20.250x x +-= a=0.2，b=1，c=-5∴24b ac -=()2140.2550-⨯⨯-=<∴x=120.2-±⨯=52-±∴125522x x -+--==故答案为：5；12x x ==【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键． 16．方程()()2232x x -=-用________法求解较宜，解得方程的根是____________ 【答案】因式分解 122 5.x x ==， 【分析】先移项，然后利用因式分解法进行解方程，即可求出方程的根． 【解析】解：∵()()2232x x -=-， ∴()()22320x x ---=， 利用因式分解法，得()()2230x x ---=，∴()()250x x --=， ∴20x -=或50x -=，∴122, 5.x x ==∴原方程的根是122, 5.x x == 故答案为：因式分解；122, 5.x x == 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程． 17．一元二次方程x(x ﹣5)=x ﹣5的解为___________． 【答案】x 1=5，x 2=1 【分析】先移项得到x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0， （x ﹣5）（x ﹣1）=0， x ﹣5=0或x ﹣1=0， 所以x 1=5，x 2=1． 故填x 1=5，x 2=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知2－4c>0)，则x 2＋bx ＋c 的值为_______________________.【答案】0 【分析】把x 的值代入代数式，再进行计算即可． 【解析】∵2(40)2b x bc -=->，∴2,x bx c ++2,22b b b c ⎛⎫--=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭,c =,c =2222422,4b bc b c ---+=+,c c =-+ 0.=故答案为0. 【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把x 的值代入是解题的关键.19．设A 是方程x 2的所有根的绝对值之和,则A 2=________. 【答案】4083 【分析】根据公式法得到，再根据题意得到，计算即可得到答案.【解析】由公式法得x=2，则=A 2=4083.【点睛】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求一元二次方程.20．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x 的一元二次方程2455x x m mx -+=+和2210x x m ++-=互为“友好方程”，则m 的值为_______．【答案】34-或1或2- 【分析】先利用因式分解法解方程2455x x m mx -+=+，得到x 1=5，x 2=m-1．再分别将x=5，x=m-1代入x 2+2x+m-1=0，求出m 的值即可． 【解析】2455x x m mx -+=+，整理得2(4)5(1)0x m x m -++-=，分解因式，得(5)[(1)]=0x x m ---， 解得1251x x m ==-，．当5x =时，221x x m ++-=251010m ++-=， 解得34m =-；当1x m =-时，221x x m ++-=21)11)0(2(m m m -+-+=-， 解得1m =或2m =-． 所以m 的值为34-或1或2-． 故答案为：34-或1或2-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程2455x x m mx -+=+的两个解是解题的关键． 21．已知c 为实数，并且方程x 2﹣3x +c =0的一个根的相反数是方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，则方程x 2+3x ﹣c =0的解是______． 【答案】x 1=0，x 2=﹣3． 【解析】解：设方程x 2﹣3x +c =0一个根为t ，则t 2﹣3t +c =0①，因为﹣t 为方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，所以t 2﹣3t ﹣c =0②，由①②得：c =0，解方程x 2+3x =0得：x 1=0，x 2=﹣3．故答案为x 1=0，x 2=﹣3．22．对于实数a ，b ，定义运算“*”，a *b ＝22()()a ab a b ab b a b ⎧->⎨-≤⎩例如4*2．因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8，若x 1、x 2是一元二次方程x 2－9x ＋20＝0的两个根，则x 1*x 2＝__． 【答案】4【解析】试题分析：先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算,计算时需要分类讨论.试题解析：x 2－7x ＋12＝0，(x －4)(x －3)＝0，x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝4.当x 1＝4，x 2＝3时，x 1*x 2＝42－4×3＝4， 当x 1＝3，x 2＝4时，x 1*x 2＝3×4－42＝－4，∴x 1*x 2的值为4或－4. 点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，#等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.三、解答题23．公式法解方程：（1）2220x x +-=；（2）2(2)3x x x +=-；（3）228817x x x -+=．【答案】（1）1211x x =-=-2）121,32x x ==-；（3）1211,2x x =-=． 【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【解析】（1）122a b c ===-，，，224241(2)120b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=>，1x ∴===-即1211x x =-=-（2）2(2)3x x x +=-，22530x x ∴+-=，253a b c ∴===-，，，224542(3)49b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，557244b x a ---±∴===，12132x x ∴==-，；（3）228817x x x -+=，整理，得2210x x +-=，211a b c ∴===-，，，224142(1)9b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，134x -±∴===，12112x x ∴=-=，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．24．用因式分解法解下列关于x 的方程（1）()()2234410x x --+= （2）23(5)2(5)x x -=-（3）(1)(2)24x x x ++=+ （4）2(2)3(2)40x x +++-= 【答案】（1）137x =，25x =-；（2）15=x ，2133x =；（3）12x =-，21x =；（4）16x =-，21x =-【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解析】解：（1）()()22344+1=0x x --()()()()344+1344+1=0x x x x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-+-- ()()735=0x x --- 解得：137x =，25x =- （2）23(5)2(5)x x -=-23(5)2(5)0x x -+-=[](5)3(5)20x x --+=()(5)3130x x --=解得：15=x ，2133x = （3）(1)(2)24x x x ++=+()(1)(2)220x x x ++-+=()2(1)0x x +-=解得：12x =-，21x =（4）2(2)3(2)40x x +++-=(24)(21)0x x +++-=(6)(1)0x x ++=解得：16x =-，21x =-【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．25．按指定的方法解方程：（1）9（x ﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）（2）2x 2﹣4x ﹣8=0（配方法）（3）6x 2﹣5x ﹣2=0（公式法）（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）【答案】（1）x 1，x 22）x 1x 2=13）x 1，x 2（4）x 1=﹣1，x 2=1．【分析】（1）移项后，利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法，先把二次项的系数化为1，再确定一次项的系数，然后配方即可；（3）先确定a 、b 、c 的值，然后求出△=b 2-4ac ，判断后利用公式法解方程即可；（4）把方程右边提公因式2，再移项，提公因式x+1即可解方程.【解析】（1）移项得：9（x ﹣1）2=5，（x ﹣1）2=59，开方得：x ﹣x 1，x 2； （2）2x 2﹣4x ﹣8=0，2x 2﹣4x=8，x 2﹣2x=4，配方得：x 2﹣2x+1=4+1，（x ﹣1）2=5，开方得：x ﹣x 1x 2=1（3）6x 2﹣5x ﹣2=0，b 2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）=73，x 1=12，x 2=512； （4）（x+1）2=2x+2，（x+1）2﹣2（x+1）=0，（x+1）（x+1﹣2）=0，x+1=0，x+1﹣2=0，x 1=﹣1，x 2=1．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解法，关键是熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.26．用因式分解法解下列关于x 的方程：（1）2152x x -=；（2）224(3)(2)0+--=x x ；（3）222(3)9x x -=-；（4）22204a x ax b -+-=．【答案】（1）10x =，210x =-；（2）18x =-，243x =-；（3）13x =，29x =；（4）112x a b =-，212x a b =+．【分析】（1）移项后提取公因式；（2）使用平方差公式；（3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式；（4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．【解析】解：（1）2152x x -=，21502x x +=，1502x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有0x =或1502x +=， 解得：10x =，210x =-；（2）224(3)(2)0+--=x x ，[][]2(3)(2)2(3)(2)0x x x x +--++-=，(8)(34)0x x ++=，则有80+=x 或340+=x ，解得：18x =-，243x =-； （3）222(3)9x x -=-，22(3)(3)(3)x x x -=+-，[](3)2(3)(3)0x x x ---+=，(3)(9)0x x --=，则有30x -=或90x -=，解得：13x =，29x =；（4）22204a x ax b -+-=， 2202⎛⎫--= ⎪⎝⎭a x b ， 022a a x b x b ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则有02a x b -+=或02--=a x b ， 解得：112x a b =-，212x a b =+． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根．27．选用适当的方法解下列方程：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0；（3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ）【答案】（1）x 1＝0，x 2＝3；（2）x 1＝2，x 2＝﹣12；（3）x 1＝﹣1，x 2＝35；（4）x 1＝1，x 2＝22 ． 【分析】（1）用完全平方式变形后，提出公因式求解即可；（2）整理后分解因式得出两个一元一次方程，求解即可；（3）先开平方，可得出两个一元一次方程，求解即可；（4）移项后整理分解因式即可求解．【解析】解：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9，2x 2﹣6x ＝0，x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0，（2x ﹣1）2﹣（2x ﹣1）﹣6＝0，（2x ﹣1﹣3）（2x ﹣1+2）＝0，x 1＝2，x 2＝﹣12； （3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；3x ﹣1＝±2（x ﹣1），3x ﹣1＝2x ﹣2或3x ﹣1＝﹣2x +2，x 1＝﹣1，x 2＝35；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ），x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）＝0，x 1＝1，x 2＝22-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．28．选择合适的方法解方程：（1）(1)x x x -=；（2）(1)(1)2(3)8x x x +-++=；（326x =（4）2210x x --=．【答案】（1）120,2x x ==；（2）123,1x x =-=；（3）1x 2x =（4）11x =21x =【分析】（1）移项后利用分解因式法求解；（2）先化为一般形式，再利用分解因式法求解；（3）二次项系数化为1后利用配方法求解；（4）利用公式法解答即可．【解析】解：（1）移项，得(1)0x x x --=，提取公因式，得(11)0x x --=．∴0x =或110x --=，解得：120,2x x ==；（2）整理，得212680x x -++-=，即2230x x +-=，因式分解，得(3)(1)0x x +-=．即30x +=或10x -=，解得：123,1x x =-=；（326x -=二次项系数化为1，得21x -=-．配方，得2221x -+=-+，即2(2x =，∴x -=解得：1x =2x =（4）方程中，1,2,1a b c ==-=-，2(2)41(1)80∴∆=--⨯⨯-=>．∴212x ==即11x =21x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 29．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016．【答案】原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩或2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，然后分别解方程组即可求解． 【解析】解：由题意得：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029， 方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2， ∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．30．小明在解方程x 2﹣5x ＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝1，（第一步）∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x =∴152x =，252x =（第四步） （1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．（2）写出此题正确的解答过程．【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．（2）∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝﹣1，∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴x =∴1x ，2x = 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．31．阅读理解：方程()200++=≠ax bx c a 的根是x =.方程20y by ac ++=的根是y =因此，要求()200++=≠ax bx c a 的根，只要求出方程20y by ac ++=的根，再除以a 就可以了. 举例：解方程2172806x x ++=. 解：先解方程：2187206y y ++⨯=，得12y =-，26y =-. 所以方程2172806x x ++=的两根是1272x -=，2672x -=. 即1136x =-，2112x =-. 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程2149607x x +-=. 【答案】1149x =，217x =- 【分析】 根据材料中方法先求出方程2164907y y +-⨯=的根，然后再除以49即可. 【解析】 先解方程2164907y y +-⨯=，即2670y y +-=， 分解因式得()()170y y -+=，解得11y =，27y =-，∴方程2149607x x +-=的解为1149x =，217x =-. 【点睛】此题考查了解一元二次方程−公式法与因式分解法，理解题中的方法是解本题的关键．32．阅读下面的材料：解方程2||20x x --=．解：当0x >时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；当0x =时，20-=，矛盾，舍去；当0x <时，原方程化为220x x +-=解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．请参照上面材料解方程．（1）2|1|10x x ---=；（2）2|21|4x x =-+．【答案】（1）121,2x x ==-；（2）123,1x x ==-【分析】（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．（2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．【解析】（1）2|1|10x x ---=，当1x >时，原方程化为20x x -=，解得1210x x ==（舍去），（不合题意，舍去）； 当1x =时，原方程化为1010--=，∴1x =是原方程的解；当1x <时，原方程化为220x x +-=，解得1221x x =-=，（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1212x x ==-，； （2）2|21|4x x =-+， 当12x >时，原方程化为2230x x --=， 解得1231x x ==-，（不合题意，舍去）； 当12x =时，144=，矛盾，舍去； 当12x <时，原方程化为2250x x +-=，解得11x =-21x =-（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1231x x ==-，【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程． 33．已知a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中较小的根.（1）求242012a a -+的值；（2）化简求值21211a a a a-+-.【答案】（1）2011；（2）a-1，1【分析】（1）因为a 是一元二次方程的根，可得到2410a a -+=，进而可得到结果；（2）先解出方程，方程两个解中较小的为a ，然后利用二次根式与分式的化简法则对代数式进行化简，最后代入a 即可.【解析】（1）a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2410a a ∴-+=.2420122011a a ∴-+=.（2）解方程可得12x =22x =a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2a ∴=110a ∴-=<.21211a a a a-+--()2111a a a -=- ()21(1)(1)=(1)a a a a a a ------ ()21(1)a a a a -=- 1a =-∴原式1=【点睛】本题考查一元二次方程的解以及二次根式的混合运算，解题关键在于能够得到a 的值.34．观察下列方程：①2227910x x -+=；②2223660x x -+=；③2219450x x -+=；④2215280x x -+=；⑤2211150x x -+=；…上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程24b ac -的值均为1．（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．（2）对于一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0，24b ac -≥0），能否作出一个新方程20ax b x c '+'+=，使24b ac -与24b ac '-'相等？若能，请写出所作的新的方程（b '，c '需用a ，b ，c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．【答案】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，见解析.【解析】【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案.（2）根据（1）可得出一个新方程20ax b x c '+'+＝，使24b ac -与24b ac '-'相等.【解析】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，所作的新方程为2(2)()0ax b a x a b c +++++=．通过观察可以发现2b b a c a b c ''=+=++，．【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.35．阅读下列材料：解方程：x 4﹣6x 2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣6y +5＝0…①，解这个方程得：y 1＝1，y 2＝5．当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝5时，x 2＝5，∴x ＝所以原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3x 4在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程（x 2﹣x ）2﹣4（x 2﹣x ）﹣12＝0时，若设y ＝x 2﹣x ，则原方程可转化为 ；求出x（2）利用换元法解方程：224224x x x x -+-＝2．【答案】（1）y 2﹣4y ﹣12＝0，x 1＝-2，x 2＝3；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，然后进行计算，即可得到结果；（2）设y=224x x -把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x 的值． 【解析】解：（1）设y ＝x 2﹣x ，原方程可变形为：y 2﹣4y ﹣12＝0故答案为：y 2﹣4y ﹣12＝0 ，∴(6)(2)0y y -+=，∴6y =或2y =-，∴26x x -=或22x x -=-解得：x 1＝-2，x 2＝3． （2）设y ＝224x x -，则2412x x y-=， 原方程变形为：120y y+-=， 去分母，得y 2﹣2y +1＝0，即（y ﹣1）2＝0解得，y 1＝y 2＝1经检验，y ＝1是分式方程的根． ∴224x x -＝1， 即x 2﹣2x ﹣4＝0解得：x 1＝x 2＝1经检验，∴原分式方程的解为：x 1＝x 2＝1【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．36．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =⋅，作为第一列，2y 项系数12c c c =⋅，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=⨯，623=⨯，而51312=⨯+⨯；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=⨯，1262-=-⨯，而4121(6)-=⨯+⨯-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=⨯，3(1)(3)=-⨯-，3(3)1-=-⨯；满足41(3)1(1)-=⨯-+⨯-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=⨯-+⨯=-⨯-+-⨯；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【答案】（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-⎧⎨=⎩和24x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；。
一元二次方程的解集及其根与系数的关系
-1
1
∴x1+x2=- =- =-1,x1·x2= = =-1,
∴12 + 22 =(x1+x2)2-2x1·x2=(-1)2-2×(-1)=1+2=3.
答案:-1 3
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
5.已知关于x的方程x2-2x+m-1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
答案:4 037
方法点睛 根据一元二次方程解的定义得到a2+a=2 019,然后利用
整体代入法计算即可,而不需求出方程的根.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
1.下列方程中,无实数根的方程是(
)
A.x2+1=0
B.x2+x=0
C.x2+x-1=0
D.x2=0
解析:A.∵Δ=-4×1=-4<43; -4 -- -4
,
2
2
;
2
(3)当 Δ=b2-4ac<0 时,方程的解集为⌀.
;
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是 (
A.两个不等的实数根
B.两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,
思维辨析
当堂检测
反思感悟 一元二次方程根的情况
1.一元二次方程的判别式
方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数,且a≠0):