2018年高考数学模拟试题_一_王勇
2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷理一20180428113
2018 年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷理（一）本试题卷共14 页，23 题（含选考题）。
全卷满分150 分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合M x,y x y2，N x,y x y2，则集合M N（）A．0,2B．2,0C．0,2D．2,0- 1 -【答案】 Dx y【解析】解方程组x y2 2 x ，得 y2 0．故 M N2,0．选 D ． 2．[2018·台州期末]若复数2z i1 i（i 为虚数单位），则 z （）A ． 2B ．1C ． 1 2D ．22【答案】C 【解析】2zi 1i112i 2i 11zi ，选 C ． 2 2，3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由 x 轴及曲线 y sin x 围成，在矩形区域OABC内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A ．2 πB ．1 2C ．1 πD ．3 π【答案】A【 解 析 】 由 题 意 ， 得 矩 形 区 域 OABC 的 面 积 为S ， 阴 影 部 分 的 面积 为1π 1 πS 2 0sin x d x cos x 02，由几何概型的概率公式，得在矩形区域OABC 内随机取一S 2点，则该点取自阴影部分的概率为P 2．故选A．Sπ14．[2018·滁州期末]已知cos 2cos2，则tan4（）1A．4B．4C．D．31 3【答案】C【解析】因为cos 2cos2，所以sin 2costan 2，- 2 -1 tan1tan所以41 tan3，故选 C ． 5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知 某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 （）A ．2B ． 4 2 2C ． 4 4 2D ． 4 6 2【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直 角 边 分 别 是 2 、 斜 边 是 2， 且 侧 棱 与 底 面 垂 直 ， 侧 棱 长 是 2， ∴ 几 何 体 的 侧 面 积S 22 22 2 4 4 2 ，故选：C ．2≥ x y6．[2018·天津期末]已知实数 x ， y 满足2 x ≤ y 1 0≥，若 z x my 的最大值为10，则m（ ）A ．1B ． 2C ．3D ． 4【答案】B【解析】作出可行域，如图△ABC 内部（含边界），其中 A 2, 4，B 2,1，C 1, 1，若 A是最优解，则 24m 10， m 2 ，检验符合题意；若 B 是最优解，则 2 m 10 ， m 8 ，检验不符合题意，若 m 8 ，则 z 最大值为 34；若 C 是最优解，则 1 m10 ， m11，检验不符合题意；所以 m2 ，故选 B ．- 3 -f x2018x2017x2x1，下列程序框图设计的7．[2018·蚌埠一模]已知20172016是求f x的值，在“”中应填的执行语句是（）开始输入x0i=1,n=2018S=2018i=i+1否i≤2017？S=S+n是输出SS=Sx0结束A．n2018i B．n2017i C．n2018i D．n2017i【答案】A【解析】不妨设x，要计算f120182017201621，01首先S201812018，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填n2018i．f x x a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，8．[2018·达州期末]若函数24则a的取值范围为（）A．0,4B．0,+C．3,4D．3,+【答案】C【解析】如图，若f x24a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a3，4，x故选C．- 4 -9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k 0且k 1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．22B．2C．223D．23【答案】A【解析】如图，以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标PA系；则：A1，0，B1，0，设P x，y，2＝；PB22x 1y22x 1y＝2，两边平方并整理得：2x2y26x10x 3y28．∴△PAB面积的最大值是1222222，选A．x y的离心率232210．[2018·郴州一中]双曲线C:1(a0,b0)e，右焦点为F，a b322点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF，△AOF的面积为33，则双曲线C的方程为（）A．x y B．x yC．2222113612186x yD．22193x23y21【答案】C- 5 -b【解析】由点A所在的渐近线为bx ay 0, 三个该渐近线的倾斜角为，则tan，a2tan2ab AOF OAF tan21tan2 2 2，所以直线AF的倾斜角为2，，a b2ab则AF: y xca b2 2与bx ay 0联立解得 22a2abA ,c c，1 2abS c ab 3 3△，因为双曲线的离心率AOF2 c2 3e，3a b 42 2，a 32b 1，与ab 3 3 联立得a 3，b 3 ．故双曲线的方程为a 3x y ．故选C．2 219 311．[2018·昆明一中]设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c ，A 2C，则△ABC周长的取值范围为（）1A ．0,22B ．0,33C ． 2 2,33D ． 22,33【答案】C【解析】因为△ABC为锐角三角形，所以0 A ，2B ，2C ，即20 2C ，0 C 2C，02 2C ，所以2C6 4，2 3cos C ；又因2 2为A 2C，b c所以sin A 2sin C cos C，又因为c 1，所以a 2cos C；由，sin B sin C即sin sin3 4cos2 1bC ，所以a b c 4cos2C 2cos C，令t cos C，sin C sin Cc B C则t 2 3( ,2 2 ，又因为函数y t t在( 2 ,34 222 2上单调递增，所以函数值域为(2 2 ,3 3 ，故选：C．12．[2018·济南期末]若关于x的方程x exme x ex x0 有三个不相等的实数解x，1x，2x，且3 x x x，其中m R，e 2.71828为自然对数的底数，则1 02 32x x x1 12 1 13e x e x e x1 2 3的值为（）A．1 B．e C．m 1 D．1m- 6 -【答案】A 【 解 析 】 化 简xexmex exx0 ， 可 得x 1 mxxe1 exx ， 令 =t ， 原 式 可 化 为 e x1 t mt 1 0 ，， 由 韦 达 定 理 可 得1t 2m 1 tm 1 0ttm，abttm1， abx x1131 t 1 t 1xx13ee 13=t t + t t 1= m 1 m1+1=1，1 313x x12t t111112e xe x12=t t + tt 1= m 1 m 1+1=1，两式相乘可1 212得：22xxxxx x1 121 31 13，即11211e xe xexe xe xe x123123的值为1，故选 A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【推荐精选】2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(一)理
推荐精选K12资料2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合MN =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02） A ．B ．C ．12D3．如图所示的阴影部分是由轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ） A ．2πB ．12C ．1πD ．3π4） A ．4-B ．C ．13-D ．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2B．4+C．4+D．4+6．已知实数，y 满足2210x yx y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B ，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ）推荐精选K12资料A．BCD10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213x y -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2+B．(0,3+C．(2 D．(2+12．若关于的方程e 0e exx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1B ．C ．1m -D ．1m +第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)含答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知复数z 满足(i)i 2i z -⋅=+，则z =A ．1+iB ．1−iC ．−1−iD ．−1+i 2．已知集合{|0}A x x =≥，2{|4,}B x x x =∈Z ≤，则A ∩B =A ．{0，−1，−2}B ．{−1，−2}C ．{0，1，2}D ．{1，2} 3．已知等差数列{}n a 的前13项和为13S =182，则9112a a -=A ．7B ．14C ．21D ．284．已知x ，y 满足320210280--⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤x y x y x y ，则目标函数=-z x y 的最大值为A ．0B ．12C ．1D ．2 5．已知直线l 截圆2220+-=x y y 所得的弦AB 的中点坐标为13(,)22-，则弦AB 的垂直平分线方程为A ．x −y −1=0B ．x +y −1=0C ．x −y +1=0D ．x +y +1=06．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为A ．23B ．09C ．17D ．02 7．设*∈N n ，11(1)+=+n x n，1(1)=+ny n，则下列结论成立的是A ．xy >y x B ．x y <yx C ．xy =yx D ．x ，y 的大小关系与n 的取值有关8．已知22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x，执行如图所示的程序框图，则输出的结果a 所在的范围为A ．(0，1e ) B ．(0，1e] C ．(0，e ) D ．(0，e ] 9．已知()sin()ωϕ=+f x x (0ω>，||2πϕ<)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，若对任意的x ∈R ，()()6π≤f x f ，则下列结论不正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(712π，0)对称 C ．函数()f x 的图象关于直线76π=x 对称D ．函数()f x 在区间[6π，23π]上单调递减10．已知双曲线22221-=x y a b(a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，1∆POF 为等腰三角形，过P 作y 轴的垂线，延长后交双曲线的左支于点Q ，若2112=PQ F F ，则双曲线的离心率为ABC+1 D+111．已知等腰直角三角形ABC，BD 为底边上的高，沿BD 将三角形ABD 折起，当三棱锥A −BCD的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为 A ．2π BC． D ．5π12．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于直线x =1对称，其导函数为()'f x ，当x <1时，2()(1)()0'+-<f x x f x ，则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 的解集为 A ．(−∞，−2 016) B ．(−∞，−2 018)C ．(−2 018，−2 016)D ．(−∞，−2 018)∪(−2 016，+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知6(+ax 的展开式中含3x 项的系数为60，则展开式的常数项为 ． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，||2=AD ，向量AD 在AB 方向上的投影为1，且0⋅=BD DC ，点P 在线段CD 上，则0⋅=PA PB 的取值范围为．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．16．已知数列{}n a 的通项公式为52-=nn a ，数列{}n b 的通项公式为=+n b n k ，设,,⎧=⎨>⎩≤n n nn n nn b a b c a a b ，若在数列{}n c 中，5≤n c c 对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ， 且222cos cos +=+-A C b a c a c b．(1)求证：A ，B ，C 成等差数列；(2)若∆ABC b 的最小值，并判断此时∆ABC 的形状． 18．(本小题满分12分)某高校进行自主招生考试，有A 、B 、C 3个专业可供选报，每名考生必须选报且只能报其中1个专业，且选报每个专业的概率相等．现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试，且每名同学对专业的选报是相互独立的．(1)求甲、乙2名同学都选报A 专业的概率； (2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业， (i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率；(ii)这4名同学中选A 专业的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差． 19．(本小题满分12分)在如图1所示的平面图形中，ABEC 与ADFC 为全等的平行四边形，∠BAC =∠DAC =30°，AB =AD BE =DF =2，将△EBC 和△FDC 分别沿BC 、DC 折起，使E 、F 重合于点P ，如图2．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)若M 为P A 的中点，求平面PBC 与平面MBD 所成二面角的正弦值． 20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆1C ：22214+=x y b(b >0)的左焦点F 与抛物线2C ：22=-y px (p >0)的焦点重合，M 是1C 与2C 在第二象限内的交点，抛物线的准线与x 轴交于点E ，且7||3=ME ．(1)求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；(2)过E 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点，则在椭圆的长轴上是否存在点N ，使得⋅NA NB 为定值?若存在，求出点N 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln 1++mmx x e(m ≠0)，()g x =2ax x e (a ∈R )． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当m >0时，若对任意的1x ，2x ∈(0，2]，1()f x >2()g x 恒成立，求实数a 的取值范围．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，A (0，1)，B 0)，以AB 为直径的圆记为圆C ，圆C 过原点O 的切线记为m ，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若过点P (0，−1)，且与直线m 垂直的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求|MN |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|1||2||1||2|+--++-≤≤x x a x x 都成立． (1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：221222++-+≥m n a m mn n．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案1．B 【解析】由题意知z =2i 1ii 1i i i+++==-，故选B ． 2．C 【解析】易知B ={−2，−1，0，1，2}，又{|0}A x x =≥，则A ∩B ={0，1，2}，故选C ．3．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由13S =1137()1321322a a a +⨯⨯==182，解得7a =14，所以9112a a -=2(7a +2d )−(7a +4d )=7a =14，选B ．4．C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y =x 并平移，知当直线过点B 时，z取得最大值，由210280-+=⎧⎨+-=⎩x y x y ，得B(3，2)，故z 的最大值为1，故选C ．5．B 【解析】圆2220+-=x y y 可化为22(1)1+-=x y ，故圆心坐标为(0，1)，又弦AB 的中点坐标为13(,)22-，故弦AB 的垂直平分线的斜率为−1，故所求直线方程为x +y −1=0． 6．D 【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02． 7．C 【解析】 通解 由11(1)+=+n x n，得1ln (1)ln(1)=++x n n ，由1(1)=+ny n，得1ln ln(1)=+y n n l ，则ln 1ln +=x n y n ，又11(1)11(1)+++==+n n x n n y n n， 因而ln ln =x xy y， ln ln =x y y x ，即x y =y x ，故选C ． 优解 11(1)+=+n x n=11()++n n n ，1(1)=+n y n=1()+nn n ， yx =1(1)()1()++⨯+n n n n n n =11()1()++⨯+n n n n n n=xy ，故选C ． 8．A 【解析】由22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x，作出函数|()|=y f x 的大致图象如图所示，当0>x 时，2ln 1ln ()()-''==x x f x x x ，令()0'=f x ，得=x e ，此时1|()|=f e e，|()|f x 在(e ，+∞)上单调递减，1|()|()<=f x f e e ，且当x 趋近于+∞时，|()|f x 趋近于0，数形结合知，满足|()|f x =a 有4个解时，a 的取值范围为(0，1e )．9．B 【解析】 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，知其最小正周期为π，因而2ω=；()f x 的最大值为()6πf ，因而sin()13πϕ+=，又||2πϕ<，所以6πϕ=，()sin(2)6π=+f x x ．由26π+x =k π(k∈Z )得122ππ=-+k x (k ∈Z )，因而(712π，0)不是函数()f x 的图象的对称中心，由262ππ+=x +k π(k ∈Z )，得62ππ=+k x (k ∈Z )，因而76π=x 是函数()f x 的图象的对称轴；由2π+2k π≤3262ππ+≤x +2k π(k ∈Z )，得6π+k π≤x ≤23π+k π(k ∈Z )，所以函数()f x 在[6π，23π]上单调递减．故选B ．10．D 【解析】解法一 设00(,)P x y (00>x )，由题意知1||||=PO OF ，因而22200+=x y c ，又2112=PQ F F ，所以02=c x ，则22034=c y ．又00(,)P x y 在双曲线上，因而22223144-=c c a b，得1=e ，故选D ．解法二如图，由题意知12||||||==PO OF OF ，则12∆PF F 为直角三角形，又2112=PQ F F ，所以∠POy =30°，则∠12PF F =30°，1||=PF ，2||=PF c ，2-=c a ，因而离心率1=+e ，故选D ．11．B 【解析】如图，由题意知当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥A −BCD 的体积最大，此时BC 为三棱锥A −BCD 的外接球中小圆1O 的直径，作小圆1O 的另一条直径DE ，则AD ⊥DE ，连接EA ，则EA 为外接球的直径，2223=+=EA DE AD ，即外接球的半径为，其体积343π=⨯=V ，故选B ．12．C 【解析】由题意可构造函数2()(1)()ϕ=-x x f x ，则2()2(1)()(1)()ϕ''=-+-x x f x x f x(1)[2()(1)()]'=-+-x f x x f x ，当1<x 时，()ϕ'x >0，因而()ϕx 在(−∞，1)上为增函数，由于函数()f x ，2(1)=-y x 的图象关于直线x =1对称，因而()ϕx 在(1，+∞)上为减函数，则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 化为(2018)(2)ϕϕ+>x ，因而|20181|1+-<x ，解得−2 018<x <−2 016，故选C ．13．30【解析】6(ax的展开式的通项为1+r T =66C ()-⋅r rr ax =36626C --r r r a x ， 当3632-=r 时，2=r ，此时246C 60=a ，解得22=a ， 而当3602-=r 时，4=r ，则常数项为426C 30=a ．14．[1，3]【解析】通解 由题意知∠DAB =45°，且|AB |=1，设|PD |=x ，则0≤x ≤1，=+AP AD PD ，=+=+BP BC CP AD CP ，因而2()()⋅=--⋅--=+⋅+⋅+⋅PA PB AD DP AD CP AD AD CP AD DP DP CP(1−x )cos 135°cos 45°−x (1−x )=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]． 优解以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知B (0，0)，A (−1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则⋅PA PB =(−1−x ，−1)·(−x ，−1)=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]．15．4π+8【解析】由三视图，可得该几何体为一棱长为2的正方体切掉两个底面半径为1，高为2的二分之一圆柱后剩余的部分，因而其侧面积为S =2π×1×2+2×2×2=4π+8． 16．[−5，−3]【解析】若55=c a ，则55>a b ，则前面不会有{}n b 的项，∵{}n b 单调递增，{}n a 单调递减，∴i b (i =1,2,3,4)<5b <5a <i a (i =1,2,3,4)，∴55>a b ，即025>+k ，得4<-k ，∴当n ≥6时，必有≠n n c a ，即=n n c b ，此时应有65≥b a ，即6+k ≥1，得k ≥−5，∴−5≤k <−4．若55=c b ，则55≥b a ，同理，前面不能有{}n b 的项，即454>≥a b b ，∵{}n a 单调递减，{}n b 单调递增，∴当n ≥6时，55>>≥n n b b a a ，∴当n ≥6时，=n n c b ．由55≥b a ，即5+k ≥1，得k ≥−4，由45≥a b ，即2≥5+k ，得k ≤−3，∴−4≤k ≤−3．综上得，−5≤k ≤−3，即实数k 的取值范围是[−5，−3]． 17．【解析】(1)222cos cos +=+-A C b a c a c b ，可化为222cos cos +=+-c A a C bac a c b ， 由余弦定理得，222cos cos +=+-c A a C bac a c b， 即2cos (cos cos )+=B c A a C b （2分）由正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin +=B C A A C B ， ∴2cos sin()sin +=B A C B ．（4分）在∆ABC 中，sin()sin +=A C B 且sin 0≠B ，∴1cos 2=B ，∴B =60°， 又A +B +C =180°，∴A +C =2B ，因而A ，B ，C 成等差数列．（6分）(2)1sin 2∆===ABC S ac B ，因而6=ac ．（8分） 又222222cos 6=+-=+-=≥b a c ac B a c ac ac ， 当且仅当a =c 时取等号，因而b ，此时a =c ，∆ABC 为正三角形．（12分）18．【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种，因而4名同学的不同选报方法总数为43，记“甲、乙2名同学都选报A 专业”为事件M ，不同的选报方法数为23，则所求概率为P (M )=243139=．（4分）(2) 甲、乙2名同学没有选报同一专业，则不同的选报方法总数为223A 354⨯=．（6分）(i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N ，其选报方法数为223A 224⨯=，则所求概率为P (N )=244549=．（8分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P (ξ=0)=222A 245427⨯=， P (ξ=1)=1312222C 2C A 24549⨯+⨯=， P (ξ=2)=221122222C A C C 21543+⨯=， P (ξ=3)=12C 225427⨯=， 因而ξ的分布列为Eξ=0×427+1×49+2×13+3×227=43，（11分） Dξ=2222444441422(0)(1)(2)(3)32739333273-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．（12分） 19．【解析】(1)由题意知，EC ⊥BC ，FC ⊥DC ．∵折起后E 、F 重合于点P ，∴PC ⊥BC ，PC ⊥DC ，又BC ∩DC =C ， ∴PC ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ．（2分）又在四边形ABCD 中，∠BAC =∠DAC ，AB =AD ，∴BD ⊥AC ，又AC ∩PC =C ， ∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．（6分）(2)由(1) 知PC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)， B (−12，0)，−12，0)，A (0，−2，0)，M (0，−1，从而BD0，0)，MD，12，)． 设平面MBD 的法向量为m =(x ，y ，z )，（8分）则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD MD m m，即0102=+-=x y z ，则x =0，令y =3，则z故m =(0，3为平面MBD 的一个法向量．（10分）又BA ⊥平面PBC ，因而平面PBC 的一个法向量为BA−32，0)．∴cos<m ，BA >=||⋅⋅BABA m |m |=−34，设平面PBC 与平面MBD 所成的二面角为θ， ∴sin θ，即平面PBC 与平面MBD．（12分） 20．【解析】(1)2=p， 由椭圆的对称性，知E 为椭圆的右焦点，连接MF ， 由椭圆的定义知|MF |+|ME |=4，则|MF |=4−7533=．（2分） 设(,)M M M x y ，过点M 作准线的垂线，垂足为H ， 由抛物线的定义知|MF |=|MH |=53，因而==M y ，43=-M x p， 代入22214+=x y b 中，得2248193+=pb 2=p联立， 得p =2，2b =3，所以椭圆的方程为22143+=x y ，抛物线的方程为24=-y x ．（6分） (2)由(1)知E (1，0)，若直线l 的斜率存在，设直线方程为(1)=-y k x ，由22143(1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(34)84120+-+-=k x k x k ． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴1x +2x =22834+k k ，1x ·2x =2241234-+k k．（8分） 假设点N 存在，其坐标为(m ，0)，其中− 2≤m ≤2，1122(,)(,)⋅=-⋅-NA NB x m y x m y =1212()()(1)(1)-⋅-+-⋅-x m x m k x k x =22221212(1)()()+-++++k x x m k x x m k=222222224128(1)()3434-+-+++++k k k m k m k k k=2222(485)31234--+-+m m k m k． 若⋅NA NB 为定值，则满足2248531243---=m m m ，得118=m ，定值为13564-．（10分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不妨设其与椭圆22143+=x y 的交点为A (1，32)，B (1，−32)，又N (118，0)， 则⋅NA NB =(−38，32)·(−38，−32)=13564-．（11分） 综上，在椭圆的长轴上存在点N (118，0)，使得⋅NA NB =13564-，为定值．（12分）21．【解析】(1)由题意得()'f x =(1ln )+m x ，令()'f x =0，得1=x e．（2分）当m >0时，在(0，1e)上，()'f x <0，则()f x 单调递减，在(1e，+∞)上，()'f x >0，则()f x 单调递增；当m <0时，在(0，1e)上，()'f x >0，则()f x 单调递增，在(1e，+∞)上，()'f x <0，则()f x 单调递减．（4分）综上，当m >0时，()f x 的单调递减区间为(0，1e )，单调递增区间为(1e，+∞)；当m <0时，()f x 的单调递减区间是(1e ，+∞)，单调递增区间是(0，1e)．（5分）(2)原问题等价于当x ∈(0，2]时，min max ()()>f x g x ， 当m >0时，由(1)知min 111()()ln1==++mf x f m e e e e=1． 2()2(2)'=+=+ax ax ax g x xe ax e x ax e ．(i)当a ≥0时，()'g x >0，即()g x 在(0，2]上单调递增， 因而2()(2)41=>≤ag x g e，不合题意．（7分）(ii)当a <0时，由()'g x =0，得2=-x a， 若−2a≥2，即−1≤a <0，()'g x ≥0在(0，2]上恒成立，因而()g x 在(0，2]上单调递增，2()(2)4=≤a g x g e ，由241<a e ，得a <−ln 2，因而−1≤a <−ln 2．（9分）若−2a <2，即a <−1，()g x 在(0，−2a ]上单调递增，在(−2a，2]上单调递减， 因而()g x ≤g(−2a )=224-e a ，由224-e a<1，得a <−2e ，由于−2e>−1，所以a <−1． （11分）综上所述，实数a 的取值范围为(−∞，−ln 2)．（12分）22．【解析】(1)由题意，知圆C 的直径为|AB |=2，圆心的直角坐标为C12)，极坐标为C (1，6π)，且圆C 过点O ．设圆C 上任意一点Q 的极坐标为Q (ρ，θ)，如图，连接QC ，OC ，OQ ，则∠COQ =θ−6π．解法一 在△OCQ 中，222||||||2||||cos()6πθ=+--QC OQ OC OQ OC ，即2112cos()6πρρθ=+--，化为2cos()6πρθ=-， 即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．解法二 延长OC 交圆C 于点D ，连接DQ ，在Rt △ODQ 中，2cos()6πρθ=-，即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．（5分） (2)解法一 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线m 垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，又直线l 过P (0，−1)，故可设直线l的参数方程为112⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y t (t 为参数)，将(1)中圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为220+-=x y y ，与直线l的参数方程联立，得22311(1)(1)0422+-+---+=t t t ，即2320-+=t t ．设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则1t =1，2t =2或1t =2，2t =1， 则|MN |= |1t −2t |=1．解法二 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，斜率为3，又直线l 过P (0，−1)，故直线l的方程为1=-y x，即x −3y −3=0．圆心C(，12)到直线l的距离==d ，所以|MN．（10分） 23．【解析】设()|1||2|=+--f x x x ，则()f x =3,121,123,2-⎧⎪--<<⎨⎪⎩≤-≥x x x x ，∴()f x 的最大值为3．∵对任意实数x ，|x +1|−|2−x |≤a 都成立，即()f x ≤a ， ∴a ≥3．设()h x =|x +1|+|2−x |=21,13,1221,2-+-⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≤≥x x x x x ，则()h x 的最小值为3．∵对任意实数x ，|x +1|+|2−x |≥a 都成立， 即()h x ≥a ， ∴a ≤3． ∴a =3． (2)由(1)知a =3．221222++-+≥m n a m mn n∵2221122()()2()+-=-+-+-+-m n m n m n m mn n m n ，且m >n >0，∴21()()()-+-+-m n m n m n ≥，∴221222++-+≥m n a m mn n．。
高三数学-2018年高考数学仿真试题(一)答案02018 精品
2018年高考数学仿真试题(八)答案一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 2116.因为x 甲=x 乙=12.5，S 甲2=0.12,S 乙2=0.10,所以乙选手成绩比甲选手成绩稳定，派乙选手参赛更好.三、17.设甲、乙、丙答题及格分别为事件A ，B ，C ，则事件A ，B ，C 相互独立. （1）三人中有且只有2人答及格的概率为:P 1=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )+P (A )·P (B )P (C )=54×53×(1－107)+54×(1－53)×107+(1－54)×53×107=250113.6分（2）三人中至少有1人不及格的概率为 P 2=1－P （ABC ）=1－P （A ）P （B ）P （C ）=1－54×53×107=12583. 12分18.f (x )=21||x x x- =⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤<-0)(-1 ,11)(0 ,122x x x x(1)当0＜x ≤1时,f (x )=21x -,f (－x )=221)(1x x --=---.由f (x )－f (－x )＞x .则221x -＞x ＞0.4－4x 2＞x 2，x 2＜54. ∵0＜x ≤1.∴0＜x ＜5526分（2）当－1≤x ＜0时，f (x )=－21x -,f (－x )= 221)(1x x -=--,f (x )－f (－x )＞x ,－221x -＞x ,221x -＜－x ,4－4x 2＜x 2,x 2＞54. ∵－1≤x ＜0,∴－1≤x ＜－552. 由（1）（2）知原不等式的解集为{x |－1≤x ＜－552,或0＜x ＜552}. 12分19.（1）连结AC 取AC 中点E .连结EM ，EN . ∵M ,N ,E 分别为AB ，PC ，AC 的中点，∴ME ∥BC .ME ⊥AB ，NE ∥P A ，NE ⊥面ABCD . ∴MN ⊥AB . 6分 （2）若MN ⊥P C.∵MN ⊥CD∴有MN ⊥面PCD .延长ME 交CO 于F . ∵ME ∥BC .∴F 为CD 中点，连结NF .则NF ⊥CD ，∴∠NFM 为面PDC 与面ABCD 所在二面角的平面角. 8分∠NFM =θ,又∵MN ⊥面PCD ，∴MN ⊥NF ，∴△MNF 为Rt △，且E 为MF 的中点，NE ⊥MF ，∴MN =NF ,∠MFN =45°. 12分20.（1）因为a =(－2,sin θ),b =(cos θ,1),a ⊥b , 所以(－2,sin θ)·(cos θ,1)=0. 2分 即－2cos θ+sin θ=0. 所以tan θ=2. 4分又因为θ∈(－2π,2π),所以θ=arctan2. 6分（2）因为c =a －b =(－2－cos θ,sin θ－1),所以|c |=22)1(sin )cos 2(-+--θθ=θθcos 4sin 26+- =)2arctan sin(526--θ,8分因为θ∈(－2π, 2π), 所以θ－arctan2∈(－2π－arctan2, 2π－arctan2). 10分 所以当θ=－2π+arctan2时，|c |的最大值为5+1.12分21.（1）曲线C :42x +y 2=1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点M （x 0,y 0）,421x +y 12=1①422x +y 22=1②由①－②可得42221x x -+y 12－y 22=0.k AB =0000212121214242)(4y x y x y y xx x x y y -=⋅-=++-=--.2分l 的方程y －y 0=04x y (x －x 0),令y =0,x =43x 0.4分∵－2＜x 0＜2,∴x ∈(－23,23).6分（2）设直线l 的方程为y =k (x －1),AB 的中点M （x 0,y 0）.由（1）可知k AB =－004y x ,∴k =004x y. ∵M 在直线l 上，∴y 0=4x y (x 0－1). ∵y 0≠0.∴x 0=34.8分∵M (x 0,y 0)在椭圆内部.∴420x+y 02＜1即4916+y 02＜1.10分－35＜y 0＜35且y 0≠0. k =04x y =3440y =3y 0. ∴－5＜k ＜5且k ≠0.12分22.（1）由a 2+(y 1+y 2)a +y 1y 2=0有(y 1+a )(y 2+a )=0.2分 ∴y 1=－a 或y 2=－a ,即存在i ∈{1,2},使得y i =－a . 4分（2）由（1）知存在i ∈{1,2},使得y i =－a ,则有－a =ax 2+bx +c ,即ax 2+bx +a +c =0,由Δ=b 2－4a (a +c )≥0.∴b 2－4ac ≥4a 2＞0.∴b 2－4ac ＞0.∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴总有两个不同的交点. 8分（3）方程ax 2+bx +c =0有两个实数根x 1、x 2,x 1+x 2=－a b ,x 1x 2=a c. 10分 ∴（m i －x 1）(m i －x 2)=m i 2－(x 1+x 2)m i +x 1x 2=m i 2+a b m i +a c =a 1(am i 2+bm i +c )= a1y i ,由（1）可知a1y i =－1＜0,∴x 1＜m i ＜x 2. 14分.。
2018届全国统一招生高考押题卷文科数学(一)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（一）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数132i z =+，121i z z +=+，则复数12z z ⋅=（ ） A ．47i -- B ．2i --C ．1+iD ．14+5i【答案】A【解析】根据题意可得，21i 32i 2i z =+--=--，所以()()1232i 2i 47i z z ⋅=+⋅--=--． 2．集合{}|A x x a =<，{}3log 1B x x =<，若{}3A B x x =<U ，则a 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．(]0,3C ．(],3-∞D ．(),3-∞【答案】B【解析】根据题意可得{}{}3log 103x B x x x <=<<=，因为{}3A B x x =<U ，所以03a <≤． 3．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如下图），四个全等的直角三角形（朱实），可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形（黄实）．若直角三角形中一条较长的直角边为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为（ ）A ．14B ．13C ．125D ．2573【答案】C【解析】根据题意可得，另外一条直角边长为6，所以“黄实”区域的面积为()286=4-，大正方形的面积是228+6=100，所以小球落在“黄实”区域的概率是4110025=． 4．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．22【答案】C【解析】由题意可知：2b a =，224ba =，2224c a a -=，5e =．5．将函数215log cos π262x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到曲线为（ ）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- B ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- C ．1sin 2y x =-D ．1sin2y x = 【答案】D【解析】因为215log cos π26152cos π26x y x ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，所以沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到曲线为1251151π1cos ππcos ππcos sin 236236222y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．6．如图的程序框图，则输出y 的最大值是（ ） A ．3B ．0C ．15D ．8此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】C【解析】当3x =-时，3y =；当2x =-时，0y =；当1x =-时，1y =-；当0x =时，0y =；当1x =时，3y=；当2x =时，8y =；当3x =时，15y =，所以y 的最大值为15．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图侧视图A ．2π+B ．1+πC ．2+2πD ．12π+【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，21112π122π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+．8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．2x x y =B ．22xy =-C ．e xy x =-D ．|2|2x y x =﹣【答案】D【解析】对于A ，函数()2x x xf =，当0x >时，0y >，0x <时，0y <，不满足题意；对于B ，当0x ≥时，()f x 递增，不满足题意；对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意．故选D ．9．在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为：20x y -=，圆C 的方程为()222423100x y ax y a a +--++=>，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为2，则圆C 的面积为（ ） A ．π或(201π- B ．πC．(201π+D ．π或(201π+【答案】B【解析】因为()()2222224231210x y ax y a x a y a +--++=-+--=，所以()()22221x a y a -+-=，圆C 的圆心为(2,1)a ，半径为a ．因为点P 在圆C 上的动点，所以P 到直线l的最大距离为2a +=，当a ≥时，解得11a =-2112-当0a <<1a =，符合题意，所以1a =，2S a =π=π圆． 10．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数()()5g x f x =-；数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()190g a g a +=，则129a a a +++=L （ ）A ．45B ．15C ．10D ．0【答案】A【解析】由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，可知()()5g x f x =-关于()5,0对称，且在R 上是单调函数， 由()()190g a g a +=，所以1910a a +=，即55a =， 根据等差数列的性质，1295945a a a a +++==L ．11．若x =()()22e x f x x ax =-的极值点，则函数()y f x =的最小值为（ ）A．(2e +B ．0C．(2-D ．e -【答案】C【解析】()()22e x f x x ax =-，∴()()()()2222e 2e 212e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+=+--⎣⎦-，由已知得，0f '=，∴220a +-=，解得1a =．∴()()22e x f x x x =-，∴()()22e x f x x '-=，所以函数的极值点为，当(x ∈时，()0f x '<，所以函数()y f x =是减函数，当(,x ∈-∞或)x ∈+∞时，()0f x '＞，函数()y f x =是增函数．又当()(),02,+x ∈-∞∞U 时，220x x ->，()0f x >，当()0,2x ∈时，220x x -<，()0f x <，∴()min f x 在()0,2x ∈上，又当(x ∈时，函数()y f x =递减，当)x ∈时，函数()y f x =递增，∴()(min 2f x f==-．12．已知0b a >>，函数()2log 21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],a b 上的值域为132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则ab =（ ） A ．14B ．12C ．2D【答案】D【解析】()2log 2211log log 2xf x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()a x b ≤≤，又()2110ln2f x x x '=--<，所以()y f x =在[],a b 上递减，∴()()312f a f b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2213log 11log 2a a b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①，由1y t x =+与2log y x =的图象只有唯一交点可知方程21log t x x +=只有唯一解，经检验122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩是方程组①的唯一解，所以ab =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高三数学-[整理]2018年全国高考数学模拟试题 精品
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2018年全国高考数学模拟试题第一卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1 设集合P ＝{}01|<<-m m ，Q ＝{∈m R 2|440,mx mx +-<对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）（A ）P Q （B ）Q P （C ）P ＝Q （D ）P Q ＝∅ ⒉ 已知圆C 与圆x 2+(y-1)2=1关于直线y=-x 对称，则圆C 的方程为( )A (x+1)2+y 2=1B x 2+y 2=1C x 2+(y+1)2=1D x 2+(y-1)2=1⒊ 223x xy --=的反函数1()y f x -=（ ）A 是奇函数，在（-∞，+∞）上是减函数B 是偶函数，在（-∞，+∞）上是减函数C 是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数D 是偶函数，在（-∞，+∞）上是增函数4 在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形。
上述命题正确的是A ．①②B 。
①④C 。
②③D 。
②③④ 5 若sin θ+cos θ=15, 且π＜θ＜2π，则tan θ的值为 A. 34-B. 34±C. 43-D. 43± 6 已知A （a,0）B(0, a)(a> 0),(01),AP t AB t =≤≤求OP 的最大值是( ).AB 2a 1C 、2 aD 、7 ABC ∆及其边界作为一个线性规划问题的可行域，00(,)P x y 属于内部的点，如果目标函数z ax by =+在B 处取最小值3,在点C 处取最大值12 则下列关系一定成立的是（） A 0012ax by +> B 003ax by +< C 0012ax by +≤ D 003ax by +≤8 ．某出版公司把全国分成四大营销区，分别有300 个、300个、250个、150个销售点.公司为了调查出版物销售情况，需从这1000个销售点中抽取一个容量为100的样本；在某营销区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查服务质量情况.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ ） A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．简单随机抽样法，分层抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ． 分层抽样法，简单随机抽样法 9 曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则22n P P 等于 （）A ．πB ．2n πC ．(1)n π-D ．12n π- 10 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( )(A)若l ⊂β且α⊥β,则l⊥α. (B) 若l⊥β且α∥β,则l⊥α.(C) 若l⊥β且α⊥β,则l∥α. (D) 若α∩β=m 且l∥m,则l∥α.11某厂投资和利润逐年增加，投入资金逐年增长的百分率相同，利润逐年增加值相同。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)(含答案)
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知复数z =2i1i+ (i 为虚数单位)，则z·z =A B ．2 C ．1 D ．122．已知集合A ={x ∈Z |y 243x x --}，B ={a ，1}，若A ∩B =B ，则实数a 的值为A ．2B ．3C ．1或2或3D ．2或3 3．已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，c =a +b ，c ⊥a ，则a ·b =A ．−2B ．−1C ．1D ．24．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式()f x =5432543210a x a x a x a x a x a +++++当0x x =(0x 是任意实数)时的值的过程，若输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，则输出的v 的值为A ．984B ．985C ．986D ．9875．若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线2x +y +b =0对称，则点(k ，b )所在的圆为A ．(x −12)2+(y +5)2=1 B ．(x −12)2+(y −5)2=1C ．(x +12)2+(y −5)2=1 D ．(x +12)2+(y +5)2=1 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8π+2B ．8π+4C ．7π+4D ．8π7．已知命题p ：“a =2”是“直线1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1)y +a 2−1=0平行”的充要条件，命题q ：“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*且0()f n ≤20n ”，则下列命题为真命题的是 A ．p ∧q B ．(¬p )∧q C ．p ∧(¬q ) D ．(¬p )∧(¬q )8．已知实数x ，y 满足约束条件40431208240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，则21y x -+的最大值是A ．56 B ．65C ．1D ．2 9．已知a ，b ，l 表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为①若a ⊥α，b ⊥β，l ⊥γ，a ∥b ∥l ，则α∥β∥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l ，则l ⊥γ；③若a ⊂α，b ⊂β，α∩β=a ，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥β；④若a ，b 为异面直线，a ⊥α，b ⊥β，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，l ⊄β，则α与β相交，且交线平行于l ． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 10．已知函数()f x =sin()A x ωϕ+(A >0，ω>0， |ϕ|<2π)的导函数()f x '的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数的单调递增区间是A ．[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z) B ．[512π+k π，1112π+k π](k ∈Z)C ．[−12π+2k π，512π+2k π](k ∈Z) D ．[512π+2k π，1112π+2k π](k ∈Z)11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，若(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018， (2017a −2)5+2017(2017a −2)3+2018(2017a −2)=−2018， 则下列四个命题中真命题的序号为①2017S =4034；②2018S =4036；③2017S <2S ；④2017a −2a <0． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④12．已知函数()f x =1,01,0ex m x ex m x --⎧+>⎪⎨-+≤⎪⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为A ．(12e +1)B ．(1，1e+1) C ．2e ，1) D ．(02e ) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若()f x =(21)221x x a +-+是R 上的奇函数，则实数a 的值为 ．14．已知cos(2π+α)=2cos(π−α)，则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-= ．15．某校2017年元旦晚会对2个相声和5个小品安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有 种．16．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为2π的直线l 过2F 且与双曲线交于M ，N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{n a }的前n 项和为n S ，满足3S =9，n S =n 1n a +−n (n +1)，n ∈N *． (1)求数列{n a }的通项公式；(2)记n b =n a ×12na +），求数列{nb }的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)某中学高三年级共有学生1 000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按[70，80)，[80，90)，…，[140，150]分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)求x 的值；(2)试估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数；(3)为了研究低分学生的失分情况，3位教师分别在自己电脑上从成绩在[80，100)内的试卷中随机抽取1份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，ξ为抽到的成绩在[90，100)内的试卷数，写出ξ的分布列，并求数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P −ABCD 中，E 是棱PC 上一点，且2AE AC AP =+，底面ABCD 是边长为2的正方形，∆P AD 为正三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ．(1)求证：平面ABE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A −BE −C 的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =12，抛物线E ：24y x =的焦点恰好是椭圆C 的右焦点F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在的直线1l ，2l ，1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点G ，H ，若|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，求|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln x +2a 2x −(a +1)x ． (1)判断()f x 的单调性；(2)若函数()g x =()f x +x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 求证：g (1x )−g (2x )<2a−ln a ． 选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 23sin 2x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数，0<α<2π)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()|1|2|2|f x x x =++-． (1)解不等式()4f x ≥；(2)设()f x 的最小值为M ，如果正实数a ，b 满足a +b =M ，试求24a b+的最小值．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)答案1．B 【解析】通解 z =2i 1i +=2i(1i)(1i)(1i)-+-=1+i ，z =1−i ，z·z =2，故选B ． 优解 由题意知|z|=|2i ||1i |+22，利用性质z·z =|z|2，得z·z =2，故选B ． 2．D 【解析】由题意知，A ={x ∈Z |y 243x x --，2，3}，且B ={a ，1}，由A ∩B =B ，知B ⊆A ，则实数a的值为2或3，故选D ．3．B 【解析】由c ⊥a 得c ·a =0，又c =a +b ，∴c ·a =(a +b )·a =a 2+a ·b =1+a ·b =0，∴a ·b =−1，故选B ．4．C 【解析】执行程序框图，输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，经过第1次循环得v =13，n =2；经过第2次循环得v =35，n =3；经过第3次循环得v =111，n =4；经过第4次循环得v =328，n =5；经过第5次循环得v =986，n =6，退出循环．故输出的v 的值为986．故选C ． 5．A 【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x +y +b =0互相垂直，所以k =12．又圆上两点关于直线2x +y +b =0对称，故直线2x +y +b =0过圆心(2，0)，所以b =−4，结合选项可知，点(12，−4)在圆(x −12)2+(y +5)2=1上，故选A ．6．B 【解析】依题意，该几何体是底面直径为2，高为4的圆柱截去一个底面直径为2，高为2的半圆柱后所得到的几何体，其表面积为2π×1×2+π×1×2+2×2+2×π×12= 8π+ 4，故选B ．7．D 【解析】由1l ∥2l 得a (a −1)=2，解得a =2或a =−1，故“a =2”是“直线 1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1) y +a 2−1=0平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，¬p 是真命题；“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*或0()f n ≤20n ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∧q ，p ∧(¬q )均为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，选D ．8．D 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (0，4)，B (3，0)， C (4，8)．令k =21y x -+，k 的几何意义是可行域内的点M (x ，y )与定点P (−1，2)连线的斜率，故当直线y −2=k (x +1)过点A (0，4)时，k max =4201-+=2，故选D ．9．A 【解析】对于①，a ，b ，l 就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b ∥l ，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a ∥b ，由线面垂直的判定定理可知，直线l 不一定垂直于β，只有当a 与b 相交时，l ⊥β，所以③不正确；对于④，由a ⊥α，l ⊥a ，且l ⊄α，得l ∥α．又b ⊥β，l ⊥b ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线a ，b 为异面直线，且a ⊥α，b ⊥β，得α与β相交，否则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l ，所以④正确．10．A 【解析】∵()f x =sin()A x ωϕ+，∴()f x '=cos()A x ωωϕ+，由题图知，()f x '的最小正周期为π， ∴ω=2，又A ω=1，∴A =12，又()3f π'=0，∴cos(2×3π+ϕ)=0，∴2×3π+ϕ=2π+k π，k ∈Z ， 又|ϕ|<2π，∴ϕ=−6π，因此()f x =12sin(2x −6π)．将函数()f x =12sin(2x −6π)的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数为y=12sin(2x −3π)，由−2π+2k π2x −3π2π+2k π(k ∈Z)，解得−12π+k πx 512π+k π(k ∈Z)，∴函数y=12sin(2x −3π)的单调递增区间为[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z)，故选A ．11．C 【解析】构造函数()f x =5x +2 0173x +2 018x ，∵()f x 为奇函数且单调递增，依题意有2(2)f a -=2 018，2017(2)f a -=−2 018，∴(2a −2)+(2017a − 2)=0， ∴2a +2017a =4．又2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，∴数列{}n a 为等差数列，且公差d ≠0，∴1a +2018a =2a +2017a =4， 则2018S =120182018()2a a +=4036，②正确；∵公差d ≠0，故2017a ≠2018a ，2017S =120172017()2a a +≠4034，①错误；由题意知2a >2，2017a <2，∴d <0，2017S =2018S −2018a =4036−(4−1a )=4032+1a ，2S =1a +2a ，若2017S <2S ，则2a >4032，而此时(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018不成立，因此③错误；∵2a >2，2017a <2，∴2017a −2a <0，④正确．故选C ．12．A 【解析】函数()f x =1,01,0ex m x ex m x --⎧+>⎪⎨-+≤⎪⎩有三个不同的零点等价于方程()f x =0有三个不同的实根，当x ≤0时，()f x =xe -x -−m +1，设()g x =xe-x -，x ≤0，则()g x =x e -x -为减函数，()g x min =g (0)=0；当x >0时，()f x =xe -x −m +1，设()h x =xe-x x >0，则()h x '2xxe， 当x >12时，()h x '<0，当0<x <12时，()h x '>0，故()h x 在(0，12)上单调递增，在(12，+∞)上单调递减，所以()h x 极大值=h (122e ． 分别画出()g x =xe-x -(x ≤0)与()h x =x e -x (x >0)的大致图象如图所示，由题意得0<m −1<，即1<m 2e，故选A ．13．1【解析】∵函数()f x 是R 上的奇函数，∴(0)f =0，∴222a -=0，解得a =1． 14．3【解析】通解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，又cos 2α+sin 2α=1，所以25sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或25sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3．优解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，所以2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3cos cos αα--=3．15．1 320【解析】若第一个节目排相声甲，有66A =720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有1555A A =600种排法．根据加法计数原理可得共有720+600=1 320种排法． 16．y =【解析】由题意知，2F (c ，0)，c 22a b +M (c ，M y )，由2222M y c a b -=1得2M y =2b ×(22c a −1)=42b a ，|M y |=2b a．因为1F MN ∆是等边三角形，所以2c=|M y |，即222b c a ac ac -==，即223c a --=0，得3c a =2c =32a ，又2a +2b =2c ，所以2b =22a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，故双曲线的渐近线方程为2y x =． 17．【解析】(1)由题意得，121231232269S a a a a a a a =-⎧⎪+=-⎨⎪++=⎩，解得1a =1，2a =3，3a =5，（1分）当n ≥2时，1n S -=(n −1)n a −(n −1)n ， 所以n a =n 1n a +−n (n +1)−(n −1)n a +(n −1)n ， 即1n a +−n a =2．（3分）又2a −1a =2，因而数列{n a }是首项为1，公差为2的等差数列， 从而n a =2n −1． （5分） (2)由(1)知n b =n a ×2)1n a +=(2n −1)×2n，n T =1×21+3×22+5×23+…+(2n −3)×12n -+(2n −1)×2n ，2n T =1×22+3×23+5×24+…+(2n −3)×2n +(2n − 1)×12n +． 两式相减得−n T =1×21+ 2×22+ 2×23+…+2×2n −(2n −1)×12n +=−2+2×(21+22+23+…+2n )−(2n − 1)×12n +=−2+2×2(12)12n ⨯--−(2n −1)×12n +=−2+22n +−4−(2n −1)×12n +=−6−(2n −3)×12n +． 所以n T =6+(2n −3)×12n +．（12分）【备注】高考对数列的考查难度不大，以基本题型为主，常常围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等进行设置，而求和类型以错位相减法、裂项相消法为考查热点，数列的递推关系以及n S 与n a 的关系(即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩)更是常考常新，对考生分析与转化能力有较高的要求，对于基本运算能力的要求更为突出．18．【解析】(1)由(0.002+ 0.005+0.008+2x + 2×0.02+0.025)×10=1，得x =0.01．（2分）(2)由(1)得成绩在[130，150]内的频率为(0.01+0.008)×10=0.18，估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数为1 000×0.18=180． （6分）(3)由图得成绩在[80，100)内的试卷数为1 000×(0.01+0.005)×10=150，其中成绩在[80，90)内的试卷数为50，成绩在[90，100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在[80，90)内的概率为5011503=，成绩在[90，100)内的概率为10021503=．（8分） 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，故P(ξ=0)=03C ×02()3×31()3=127，P(ξ=1)=13C ×23×21()3=29，P(ξ=2)=23C ×22()3×13=49，P(ξ=3)=33C ×32()3×01()3=827．（10分）所以ξ的分布列为ξ123由于ξ~B (3，23)，所以Eξ=3×3=2．（12分） 【备注】高考对概率与统计的考查常以对立事件、互斥事件、相互独立事件等知识为载体，综合考查事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，有时也与抽样方法(系统抽样、分层抽样)、频率分布直方图等知识结合构成综合性问题来考查．求解时要分清事件的类型以及事件之间的关系，正确选用公式．19．【解析】(1)在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ．（2分） ∵底面ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ． 又A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD =EF ， ∴AB ∥EF ，∴CD ∥EF ．又2AE AC AP =+，∴E 为棱PC 的中点，F 是棱PD 的中点． ∵△P AD 是正三角形，∴AF ⊥PD ．又PD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ， ∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．（5分）(2)取AD 的中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (−1，2，0)，P (0，03，E (−12，13)，AE =(−32，13，BE =(−32，−1，CB =(2，0，0)．（7分） 设平面ABE 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则m ⊥AE ，m ⊥BE ， ∴m ·AE =−321x +1y 31z =0，m ·BE =−321x −1y +31z =0，解得1y =0，1z 31x ，令1x =1，则m =(1，03为平面ABE 的一个法向量．（9分） 设平面BEC 的法向量为n =(2x ，2y ，2z )，则n ⊥BE ，n ⊥CB ， ∴n ·BE =−322x −2y +322z =0，n ·CB =22x =0，得2x =0，2y =322z ， 令2z =2，则n =(03，2)为平面BEC 的一个法向量．（11分） ∴cos<m ，n >=21||||7⋅=m n m n ， 由图知二面角A −BE −C 为钝角， ∴二面角A −BE −C 的余弦值为−217．（12分） 20．【解析】(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，即c =1，又e =c a =12，∴a =2，2b =3， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（3分） (2)∵|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，∴|AF |2=|AH |2−|FH |2，即|AF |2+|FH |2=|AH |2，∴直线1l ⊥2l ．（5分） 又直线1l ，2l 的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零， 故可设直线1l ：x =ky +1(k ≠0)，直线2l ：x =−1ky +1，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，G (3x ，3y )，H (4x ，4y )， 由221431x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得(32k +4)2y +6ky −9=0， ∴122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，同理得3422342634934k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，（8分） ∴|AF |·|FB 22221122(1)(1)x y x y -+-+2k )|12y y |，|GF |·|FH 22223344(1)(1)x y x y -+-+21k)|34y y |， ∴|AF |·|FB |+|GF |·|FH |=(1+2k )|12y y |+(1+21k )|34y y | =(1+2k )·2934k ++(1+21k)·22934k k +=9(1+2k )·(2134k ++2134k+) =2222222263(1)6312(1)12(1)k k k kk +=++++=226311212k k+++， 又2k >0，∴2k +21k≥2，当且仅当2k =1时取等号，（11分） 故|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值为367．（12分）【备注】解决此类问题的一般步骤：(1)利用定义、各基本量之间的关系与圆锥曲线的性质，得到关于基本量的方程(组)，解方程(组)，求出基本量的值，从而得到圆锥曲线的方程；(2)对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解． 21．【解析】(1)由已知得()f x 的定义域为(0，+∞)，()f x '=1x+ax −(a +1)=2(1)1ax a x x -++． 当a =0时，()f x '=1x x-+，当x ∈(0，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减． 当a <0时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<0，因而当x ∈(0，1)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（3分）当0<a <1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a >1，因而当x ∈(0，1)与x ∈(1a，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增，当x ∈(1，1a)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（5分）当a =1时，()f x '=2(1)x x-≥0，因而当x ∈(0，+∞)时，()f x 单调递增．当a >1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<1，因而当x ∈(0，1a)与x ∈(1，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1a，1)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（7分） 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a <1时，()f x 在(0，1)与(1a ，+∞)上单调递增，在(1，1a)上单调递减； 当a =1时，()f x 在(0，+∞)上单调递增；当a >1时，()f x 在(0，1a )与(1，+∞)上单调递增，在(1a ，1)上单调递减． (2)()g x = ()f x +x =ln x +2a 2x −ax ，则()g x 的定义域为(0，+∞)，()g x '=1x+ax −a =21ax ax x -+． 若()g x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 则方程a 2x −ax +1=0的判别式Δ=2a −4a >0， 且1x +2x =1，1x 2x =1a>0，（8分） 因而a >4，又1x <2x ，∴21x <1x 2x =1a ，即0<1x ag (1x )−g (2x )=ln 1x +212a x −a 1x −ln 2x −222a x +a 2x =ln 1x +ln(a 1x )+2a−a 1x ．（10分） 设()h t =ln t +ln(at )+2a−at ，其中t =1x ∈(0a)， 由()h t '=2t −a =0得t =2a ，由于2a a2aa -<0，∴()h t 在(0，2a )上单调递增，在(2a a)上单调递减， 即()h t 的最大值为h (2a )=2ln 2−ln a +2a −2<2a−ln a ， 从而g (1x )−g (2x )<2a−ln a 成立． （12分）22．【解析】(1)将1cos 23sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数，0<α<2π)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y −32=(x −12)tan α，即x tan α−y −12tan α3=0(0<α<2π)．将cos sin x y ρθθ=⎧⎨=⎩代入22cos 30ρρθ--=，得22230x y x +--=， 即曲线C 的直角坐标方程为22(1)4x y -+=．（5分）(2)设直线l 的普通方程为y 3k (x −12)，其中k =tan α， 又0<α<2π，∴k >0， 则直线l 过定点M (123，∵圆C 的圆心C (1，0)，半径r =2，|CM 2213(1)(0)22-+-， 故点M 在圆C 的内部．当直线l 与线段CM 垂直时，|AB |取得最小值，∴|AB |min =2|AM 2221-3．（10分）23．【解析】(1)由题意()|1|2|2|f x x x =++-4，当x −1时，−3x +34，即x −13，所以x −1； 当−1<x <2时，−x +54，即x 1，所以−1<x 1； 当x 2时，3x −34，即x 73，所以x 73． 综上，不等式()f x 4的解集为{x |x 1或x 73}．（5分）(2)()f x =33,15,1233,2x x x x x x -+-⎧⎪-+-<<⎨⎪-⎩≤≥，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知，当x =2时，()f x 取得最小值3，所以M =3，a +b =3．又a >0，b >0，所以24a b +=(24a b +)·3a b +=2+23b a +43ab 42， 当且仅当a 23，b 2时，等号成立，所以24a b+的最小值为42．（10分）。
2018届高三下学期高考模拟(一)数学试题 含答案
第I卷（80分）一、填空题（每空5分，共20分）1、已知函数是定义在区间上的奇函数，则。
2、设变量满足条件，则的最大值为__________。
3、已知双曲线与有相同的离心率，则=__________。
4、已知点在单位圆上运动，点到直线与的距离分为，则的最小值是。
二、选择题（每空5分，共60分）5、集合，，若，则实数的范围是（）A．B．C．D ．6、若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A.B. C.D.7、已知定义在上的奇函数满足，且则的值为（）A. B. C.D.8、已知，那么等于（）A. B. C.D.9、有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB．若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为（）A． B． C．D．11、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。
书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺 D．尺12、现有名女教师和名男教师参加说题比赛，共有道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A. B.C.D.13、的值为（）A． B． C．D．14、设是等比数列的前项和，，则公比（）A、 B、 C、或 D、或15、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（）A. B. C.D.16、函数导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是( )A．为函数的递增区间B．为函数的递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值第II卷分析题（70分）三、简答题（本题分为必考题和选考题，共70分）17、已知函数（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递减区间。
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11．
已知双曲线
x2 a2
－
y2 b2
= 1（ a ＞ 0，b ＞ 0）
的左、
右焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 的直线交双曲线的右支 于 A，B 两点，∠AF1 B = 90°，△AF1 B 的内切圆的圆
心的纵坐标为槡27 a，则该双曲线的离心率为（
）．
A． 2
B． 3
C． 槡5
D．
槡5 2
·28·
－
3 10
=
7 10
．
因此，至少有
1
户是“扶贫户”的概率是170 ． （ 5 分）
（ 2） 根据茎叶图，这 30 户中“扶贫户”有 12 户，
其中甲村有 8 户，乙村有 4 户，
依题意，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3． （ 6 分）
P（ ξ = 0）
=
C38 C312
=
14 55
，（
7
分）
P（ ξ = 1）
1 3
C． 1
D． 3
图1
4
4
5． 执行如图 2 所示的程序框图，则输出的 S 的
值为（
）．
图2
A 4
D．
39 4
6． 已知（ 1
+
x 2
） 10
= a0
+ a1 x + a2 x2
+…
+ a9 x9
+ a10 x10 ，则 a1 － 2a2 + … + 9a9 － 10a10 = （
Sn ． 若 S3 = 6，S5 = 20，则 S7 的值为（
）．
A． 32 B． 36 C． 40 D． 42
4． 如图 1，正方形 OABC 的边长为 1，曲线 y = x3 与 y = x1/3 的交点为 B，向正
方形内随机抛掷一点，则其
落在 阴 影 部 分 的 概 率 是
（ ）．
A．
1 2
B．
参考答案与评分标准
一、选择题 1． B 2． C 3． D 4． A 5． C 6． D
7． C 8． D 9． B 10． D 11． A 12． B
二、填空题
13． 1 14． ［－ 1，2］ 15． 11
16．
3 4
三、解答题
17． 解析
（ 1） f（ x）
= cosxsin（ x －
π 6
）
个面 都 为 直 角 三 角 形
图4
的三棱锥称为鳖臑． 如图 4 为一个阳马与一个鳖臑
的组合体，已知三棱锥 P － ADE 为鳖臑，且 PA⊥平
面 ABCE，AD = AB = 2，ED = 1，若该鳖臑的外接球的
表面积为 9π，则该阳马的外接球的体积为（
）．
A． 2 槡3 π B． 3 槡3 π C． 4 槡2 π D． 4 槡3 π
抛物线 C 交于 A，B 两点，若抛物线上存在一点 M，
使得四边形 AFBM 为平行四边形，且抛物线 C 在点
M 处的切线的斜率为 2，则此时△AOB（ O 为坐标原
点） 的面积为 ．
三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
17． （ 本小题满分 12 分）
已知 f（ x）
= cosxsin（ x －
（ 2） 若直线 CD 过椭圆的右焦点 F2 ，交椭圆于
C，D 两点，且 AB⊥CD，设线段 AB，CD 的长分别为
m，n． ①求（ m － 4） （ n － 4） 的值； ②当四边形 ACBD
的面积取得最小值时，求直线 AB 的方程．
21． （ 本小题满分 12 分） 已知函数 f（ x） = lnx －
+1
=
cosx（
槡3 2
sinx
－
1 2
cosx）
+1
=
槡3 4
sin2x
－
1 2
×
1
+
cos2x 2
+
1
= 槡3 sin2x － 1 cos2x + 3
4
4
4
=
1 2
sin（
2x
－
π 6
）
+
3 4
，（
3
分）
∴
函数
f（
x）
的最小正周期
T
=
2π 2
=
π，（ 4
分）
令 sin（ 2x －
π 6
）
= 0，得 2x －
第Ⅱ卷（ 非选择题 共 90 分）
二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
分． 将答案填在题中横线上．
13． 已知 a，b，c 是同一平面内的三个单位向量，且 满足 a⊥b，xc = a + yb（ x，y∈Ｒ） ，则 x2 － y2 = ．
{x － y≤0，
14． 设 x，y 满足约束条件 x + y － 1≥0，则目标 x － 2y + 2≥0，
数学版
中学生理科应试
·29·
{ { x = 1 + 2cosθ，
x = tcosα，
（ θ 为参数） ，直线 l：
（t为
y = 2 + 2sinθ
y = tsinα
参数，α∈（ 0，π2 ） ） 与曲线 C 相交于 A，B 两点，以 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（ 1） 写出直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
）．
A． （
3 2
）
10
B．
（
1 2
）
10
C．
10 × （
1 2
）
9
D．
5 ×（
1 2
）
9
7． 某三棱锥的三视图
如图 3 所示，则该三棱锥最
长棱的长为（
）．
A． 槡5 B． 2 槡2
C． 3 D． 2 槡3
8． 已 知 函 数 f （ x） =
－ x3 － x + 1，若对任意的实
数 x，f（ x2 － a） + f（ 2x） ＜ 2
法，抽样比是350
=
1 6
，（ 1 分）
所以抽取的“扶贫户”
有
1 6
×
12
=
2
户，“脱贫户”有
1 6
× 18 = 3 户． （ 3 分）
用事件 A 表示“至少有 1 户是‘扶贫户’”，则它的对
－
－
立事件 A 表示“没有‘扶贫户’”，则 P （ A）
=
C23 C25
=
3 10
，（ 4
分）
所以
P（
A）
=1
π 6
）
+ 1．
（ 1） 求函数 f（ x） 的最小正周期及 f（ x） 图象的对
称中心；
（
2）
将函数
f（
x）
的图象向左平移
π 6
个单位长
度，得到函数 g（ x） 的图象，求 g（ x） 在［0，π］上的单
调递增区间．
18． （ 本小题满分 12 分） 为了贯彻中央精确扶
贫政策，西部某镇工作组对管辖内的甲、乙两个村庄
共 30 户的每户人均年收
入进行调查． 为了做到精
准扶 贫，工 作 组 对 甲 村
12 户 和 乙 村 18 户 进 行
调查，现将这 30 户 的 每
户 人 均 年 收 入 （ 单 位：
元） 绘制成如图 5 所示的
图5
茎叶图：
若某户人均年收入不低于 2300 元，定义该户为
“脱贫户”，若某户人均年收入低于 2300 元，定义该
=
C28 C14 C312
=
28 55
，（ 8
分）
P（ ξ = 2）
=
C18 C24 C312
=
12 55
，（ 9
分）
P（ ξ = 3）
=
C34 C312
=
1 55
．
（ 10 分）
因此，ξ 的分布列为（ 11 分）
ξ
0
1
2
3
P
14
28
55
55
12
1
55
55
所以 E（ ξ）
=0
×
14 55
+1
×
28 55
数学版
中学生理科应试
·27·
2018 年高考数学模拟试题（ 一）
湖北省襄阳市第一中学 （ 441000） 王 勇
第Ⅰ卷 选择题（ 共 60 分）
一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1． 已 知 集 合 A = {x∈Ｒ x + 1≥0 }，B =
1 2
ax2 （
a∈Ｒ，x
＞ 0）
．
（ 1） 求函数 f（ x） 的极值点； （ 2） 讨论函数 f（ x） 在区间［1，e2］上零点的个数． 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果 多做，则按所做的第一题计分． 22． （ 本小题满分 10 分） 选修 4 － 4： 坐标系与参 数方程 在直角 坐 标 系 xOy 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为
≤2kπ
+
π 2
（ k∈Z）
得
kπ
－
π 3
≤x≤kπ
+
π 6
（ k∈Z）
（ 10 分）
又 x∈［0，π］，∴ g（ x） 在［0，π］上的单调递增区