2018年高考数学模拟试题_一_王勇

第Ⅱ卷（ 非选择题 共 90 分）
二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
分． 将答案填在题中横线上．
13． 已知 a，b，c 是同一平面内的三个单位向量，且 满足 a⊥b，xc = a + yb（ x，y∈Ｒ） ，则 x2 － y2 = ．
{x － y≤0，
14． 设 x，y 满足约束条件 x + y － 1≥0，则目标 x － 2y + 2≥0，
个面 都 为 直 角 三 角 形
图4
的三棱锥称为鳖臑． 如图 4 为一个阳马与一个鳖臑
的组合体，已知三棱锥 P － ADE 为鳖臑，且 PA⊥平
面 ABCE，AD = AB = 2，ED = 1，若该鳖臑的外接球的
表面积为 9π，则该阳马的外接球的体积为（
）．
A． 2 槡3 π B． 3 槡3 π C． 4 槡2 π D． 4 槡3 π
数学版
中学生理科应试
·27·
2018 年高考数学模拟试题（ 一）
湖北省襄阳市第一中学 （ 441000） 王 勇
第Ⅰ卷 选择题（ 共 60 分）
一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1． 已 知 集 合 A = {x∈Ｒ x + 1≥0 }，B =
=
C28 C14 C312
=
28 55
，（ 8
分）
P（ ξ = 2）
=
C18 C24 C312
=
12 55
，（ 9
分）
P（ ξ = 3）
=
C34 C312
=
1 55
．
（ 10 分）
因此，ξ 的分布列为（ 11 分）
ξ
0
1
2
3
P
14
28
55
55
12
1
55
55
所以 E（ ξ）
=0
×
14 55
+1
×
28 55
π 6
）
+ 1．
（ 1） 求函数 f（ x） 的最小正周期及 f（ x） 图象的对
称中心；
（
2）
将函数
f（
x）
的图象向左平移
π 6
个单位长
度，得到函数 g（ x） 的图象，求 g（ x） 在［0，π］上的单
调递增区间．
18． （ 本小题满分 12 分） 为了贯彻中央精确扶
贫政策，西部某镇工作组对管辖内的甲、乙两个村庄
）．
A． （
3 2
）
10
B．
（
1 2
）
10
C．
10 × （
1 2
）
9
D．
5 ×（
1 2
）
9
7． 某三棱锥的三视图
如图 3 所示，则该三棱锥最
长棱的长为（
）．
A． 槡5 B． 2 槡2
C． 3 D． 2 槡3
8． 已 知 函 数 f （ x） =
－ x3 － x + 1，若对任意的实
数 x，f（ x2 － a） + f（ 2x） ＜ 2
π 6
= kπ（ k∈Z） ，即
x
=
kπ 2
+
π 12
（
k∈Z）
，∴
f（
x）
图象的对称中心为（
Байду номын сангаас
kπ 2
+
π 12
，34
）
（
k∈Z）
．
（
6
分）
（ 2） 由题意知 g（ x）
=
1 2
sin［2（
x
+
π 6
）
－
π6 ］+
3 4
=
1 2
sin（
2x
+
π 6
）
+
3 4
，（ 8
分）
令 2kπ －
π 2
≤2x
+
π 6
≤2kπ
+
π 2
（ k∈Z）
得
kπ
－
π 3
≤x≤kπ
+
π 6
（ k∈Z）
（ 10 分）
又 x∈［0，π］，∴ g（ x） 在［0，π］上的单调递增区
间是［0，π6 ］和［23π，π］． （ 12 分）
18． 解析 （ 1） 根据茎叶图，这 30 户中“扶贫
户”有 12 户，“脱 贫 户”有 18 户，用 分 层 抽 样 的 方
户为“扶贫户”．
（ 1） 如果用分层抽样的方法从“扶贫户”和“脱
贫户”中抽取 5 户，再从这 5 户中选 2 户，求至少有 1
户是“扶贫户”的概率；
（ 2） 若从所有“扶贫户”中选 3 户，用 ξ 表示所
选的“扶贫户”中是乙村的户数，求 ξ 的分布列与数
学期望．
19． （ 本 小 题 满 分
12 分） 如 图 6，在 四 棱
=
1 2
AD，所
以 NT∥CM，NT = CM，所以四边形 CMNT 为平行四
边形，所以 MN∥CT，（ 5 分） 又 MN平面 CC1 D1 D， CT平面 CC1 D1 D，
所以直线 MN∥平面 CC1 D1 D． （ 6 分） （ 2） 取 AD 的中点 O，连接 A1 O， 因为 AA1 = AD = 2，∠A1 AD = 60°， 所以△A1 AD 为等边三角形，所以 A1 O⊥AD．
共 30 户的每户人均年收
入进行调查． 为了做到精
准扶 贫，工 作 组 对 甲 村
12 户 和 乙 村 18 户 进 行
调查，现将这 30 户 的 每
户 人 均 年 收 入 （ 单 位：
元） 绘制成如图 5 所示的
图5
茎叶图：
若某户人均年收入不低于 2300 元，定义该户为
“脱贫户”，若某户人均年收入低于 2300 元，定义该
{x∈Ｒ 2 － x2 ＜ 0 }，则 A∪（ CＲ B） = （
）．
A．［－ 1，+ ∞ ）
B． ［－槡2 ，+ ∞ ）
C． （ － ∞ ，－槡2］∪［－ 1，+ ∞ ） D． ［－ 1，槡2］
2．
已知
i
是虚数单位，若1
z －
i
=
2i
+
1，则
z=
（
）．
A． 槡2 B． 2 C． 槡10
D． 10
3． 已知 数 列 {an }为 等 差 数 列，其 前 n 项 和 为
法，抽样比是350
=
1 6
，（ 1 分）
所以抽取的“扶贫户”
有
1 6
×
12
=
2
户，“脱贫户”有
1 6
× 18 = 3 户． （ 3 分）
用事件 A 表示“至少有 1 户是‘扶贫户’”，则它的对
－
－
立事件 A 表示“没有‘扶贫户’”，则 P （ A）
=
C23 C25
=
3 10
，（ 4
分）
所以
P（
A）
=1
+1
=
cosx（
槡3 2
sinx
－
1 2
cosx）
+1
=
槡3 4
sin2x
－
1 2
×
1
+
cos2x 2
+
1
= 槡3 sin2x － 1 cos2x + 3
4
4
4
=
1 2
sin（
2x
－
π 6
）
+
3 4
，（
3
分）
∴
函数
f（
x）
的最小正周期
T
=
2π 2
=
π，（ 4
分）
令 sin（ 2x －
π 6
）
= 0，得 2x －
参考答案与评分标准
一、选择题 1． B 2． C 3． D 4． A 5． C 6． D
7． C 8． D 9． B 10． D 11． A 12． B
二、填空题
13． 1 14． ［－ 1，2］ 15． 11
16．
3 4
三、解答题
17． 解析
（ 1） f（ x）
= cosxsin（ x －
π 6
）
函数 z = － x － y + 3 的取值范围为 ．
15． 设数列{an }的首项 a1
=
3 2
，前 n 项和为 Sn ，
且满足
2an +1
+
Sn
= 3（
n∈N*
）
，则满足
66 65
＜
S2n Sn
＜
32 31
的所有 n 的和为 ．
16． 已知抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F，直线 l 与
11．
已知双曲线
x2 a2
－
y2 b2
= 1（ a ＞ 0，b ＞ 0）
的左、
右焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 的直线交双曲线的右支 于 A，B 两点，∠AF1 B = 90°，△AF1 B 的内切圆的圆
心的纵坐标为槡27 a，则该双曲线的离心率为（
）．
A． 2
B． 3
C． 槡5
D．
槡5 2
·28·
1 3
C． 1
D． 3
图1
4
4
5． 执行如图 2 所示的程序框图，则输出的 S 的
值为（
）．
图2
A．
9 2
B．
13 2
C．
19 4
D．
39 4
6． 已知（ 1
+
x 2
） 10
= a0
+ a1 x + a2 x2
+…
+ a9 x9
+ a10 x10 ，则 a1 － 2a2 + … + 9a9 － 10a10 = （
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2018． 5，6
12． 已知函数 f（ x） （ x∈Ｒ） 的导函数为 f ' （ x） ，
若 2f（ x） + f '（ x） ＞ 2，且 f（ 0） = 8，则不等式 f（ x） －
7e －2x ＞ 1 的解集为（
）．
A． （ － ∞ ，0）
B． （ 0，+ ∞ ）
C． （ － ∞ ，－ 1） ∪（ 0，+ ∞ ） D． （ 1，+ ∞ ）
20． （ 本 小 题 满 分 12
分）
如图
7，已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1（
a
＞b
＞ 0）
的离心
率
为
槡2 2
，直 线
AB
过椭圆
的右焦点 F2，交椭圆于 A，B
图7
两点． 当直线 AB
的倾斜角 α
=
π 3
时，直线 AB
被圆 x2
+
y2 = b2 截得的弦长为 3槡2 ．
（ 1） 求椭圆的方程；
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·29·
{ { x = 1 + 2cosθ，
x = tcosα，
（ θ 为参数） ，直线 l：
（t为
y = 2 + 2sinθ
y = tsinα
参数，α∈（ 0，π2 ） ） 与曲线 C 相交于 A，B 两点，以 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（ 1） 写出直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
2sin2B，则△ABC 的面积是（ ） ．
A． 槡3
B．
2 槡3 3
C．
槡3
或2
槡3 3
D． 2 槡2
10． 中 国 古 代 数 学
经典《九 章 算 术》系 统
地总结了战国、秦、汉时
期的数学成就． 书中将
底面 为 长 方 形 且 有 一
条侧 棱 与 底 面 垂 直 的
四棱锥 称 为 阳 马，将 四
图3
恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） ．
A． （ 2，+ ∞ ）
B． （ － 1，+ ∞ ）
C． （ 0，2）
D． （ － ∞ ，－ 1）
9． 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b， c，已知 c = 2，a2 + b2 － ab = 4，sinC + sin （ A － B） =
（ 2） 求
1 OA
+
1 OB
的最大值．
23． （ 本小题满分 10 分） 选修 4 － 5： 不等式选讲
已知函数 f（ x） = 2 x + x － 3 ．
（ 1） 解不等式 f（ x） ＜ 4；
（ 2）
若
a，b，c
都
是
正
实
数，且
1 3a
+
1 2b
+
1 c
=
f（ 0） ，求证： 3a + 2b + c≥3．
柱 ABCD － A1 B1 C1 D1
中，平面 ADD1 A1 ⊥平面
ABCD，四边形 ABCD 为
矩形，AA1 = AD = 2AB =
2，∠A1 AD = 60°，M，N 分
别是 BC，AD1 的中点．
图6
（ 1） 求证： 直线 MN / / 平面 CC1 D1 D；
（ 2） 求平面 A1 CD 与平面 DCD1 夹角的余弦值．
－
3 10
=
7 10
．
因此，至少有
1
户是“扶贫户”的概率是170 ． （ 5 分）
（ 2） 根据茎叶图，这 30 户中“扶贫户”有 12 户，
其中甲村有 8 户，乙村有 4 户，
依题意，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3． （ 6 分）
P（ ξ = 0）
=
C38 C312
=
14 55
，（
7
分）
P（ ξ = 1）
Sn ． 若 S3 = 6，S5 = 20，则 S7 的值为（
）．
A． 32 B． 36 C． 40 D． 42
4． 如图 1，正方形 OABC 的边长为 1，曲线 y = x3 与 y = x1/3 的交点为 B，向正
方形内随机抛掷一点，则其
落在 阴 影 部 分 的 概 率 是
（ ）．
A．
1 2
B．
抛物线 C 交于 A，B 两点，若抛物线上存在一点 M，
使得四边形 AFBM 为平行四边形，且抛物线 C 在点
M 处的切线的斜率为 2，则此时△AOB（ O 为坐标原
点） 的面积为 ．
三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
17． （ 本小题满分 12 分）
已知 f（ x）
= cosxsin（ x －
+2
×
12 55
+3
×
1 55
=
1． （ 12 分）
19． 解析 （ 1） 如图 8，取 DD1 的中点 T，连接
NT，TC，因 为 N，T 分 别 为 AD1 ，DD1 的 中 点，所 以
NT / / AD，NT =
1 2
AD，（
3
分）
因为四边形 ABCD
为矩
形，M 为 BC
的中点，所以
CM ∥ AD，CM
1 2
ax2 （
a∈Ｒ，x
＞ 0）
．
（ 1） 求函数 f（ x） 的极值点； （ 2） 讨论函数 f（ x） 在区间［1，e2］上零点的个数． 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果 多做，则按所做的第一题计分． 22． （ 本小题满分 10 分） 选修 4 － 4： 坐标系与参 数方程 在直角 坐 标 系 xOy 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为
（ 2） 若直线 CD 过椭圆的右焦点 F2 ，交椭圆于
C，D 两点，且 AB⊥CD，设线段 AB，CD 的长分别为
m，n． ①求（ m － 4） （ n － 4） 的值； ②当四边形 ACBD
的面积取得最小值时，求直线 AB 的方程．
21． （ 本小题满分 12 分） 已知函数 f（ x） = lnx －