5-3 角动量相加

2
ˆ 2 j , m j j 1 J ˆ j, m m J z
也可以将升降算符的作用写为
2
j, m
j, m
(2)
ˆ j, m J ˆ j, m J
j m j m 1 j m j m 1
j, m 1 j, m 1
(3) (4)
(26)
ˆ 相应的升降算符 引入与 J
ˆ J ˆ iJ ˆ , J x y
根据(12)和(20)式可知
ˆ J ˆ iJ ˆ J x y
(27)
ˆ J ˆ J ˆ , J 1 2
ˆ 写为 类似于(13)和(14)式，可以将 J
2
ˆ J ˆ J ˆ J 1 2



Jˆ
2
ˆ J ˆ J ˆ J 2 1z 2 z

(30)

将(30)式代入(25)式，得
5-3 角动量相加
~5~
ˆ2 J ˆ J ˆ J 1 2
2


2
ˆ2 J ˆ 2 2J ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 1 2 1z 2 z J1 J 2 J1 J 2
2
(31)
ˆ 对易，但 J ˆ 与J ˆ 与J ˆ 均不对易 ˆ 、J 注意，虽然 J z 2z 1z
ˆ2 ˆ J , J1z 0,
比如，根据(25)式
ˆ2 ˆ J , J2z 0
(32)
ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ J ˆ ˆ ˆ , J1z J1 J 2 2J1 J 2 , J1z J1 J 2 , J1z 2 J1 J 2 , J1z ˆ ,J ˆ 0 ，并利用(16)式，可得 由于 J 1 1z
(11)
ˆ 分别表示与 J ˆ 和J ˆ 和J ˆ 相应的升降算符 用J 2 1 1 2
ˆ J ˆ iJ ˆ , J 1 1x 1y ˆ J ˆ iJ ˆ , J 2 2x 2y
根据“角动量理论”这一节的结果
ˆ J ˆ iJ ˆ J 1 1x 1y ˆ J ˆ iJ ˆ J 2 2x 2y
ˆ ,J ˆ ,J ˆ 满足如下对易关系 根据(10)和(15)式，可以证明 J x y z
(20)
5-3 角动量相加
~4~
ˆ ˆ ˆ J i , J j i ijk J k
证明如下：利用(10)和(16)式
(21)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J i , J j J1i J 2i , J1 j J 2 j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J1i , J1 j J1i , J 2 j J 2i , J1 j J 2i , J 2 j ˆ i J ˆ i J
(35)
ˆ ,J ˆ 0 ，这正是(23)式的结果。 将(34)和(35)式相加，可得 J z
2

ˆ 与J ˆ 和J ˆ 的任何分量均不对易 实际上， J 1 2
2
ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ , J1i 2 J1k J 2 k , J1i 2 J1k , J1i J 2 k 2i kij J1 j J 2 k 0 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J , J 2i 2 J1k J 2k , J 2i 2 J1k J 2k , J 2i 2i kij J1k J 2 j 0
k , j 中的作用时，不必声明 k 的取值。 k , j 中讨论角动量算符对态矢量的作用时，我们可以将基
根据以上分析，在子空间
矢量 k , j , m 简记为 j , m ， 只要记住讨论中涉及的所有态矢量属于同一子空间即可。 比如写为 ˆ 和J 可以将 J z
1. 记号的简化
ˆ 之外，通常还需要一个或多个与 J ˆ 和J ˆ 和 如前所述，要构成态空间的 CSCO，除了 J z
2 2
ˆ, J ˆ 对易的观察算符。为了简单起见，我们假定只需要补充一个观察算符。设 A ˆ2, J ˆ 构 J z z ˆ, J ˆ2, J ˆ 的共同本征矢量 k , j, m 的集合构成态空间 成态空间的 CSCO， A z

在“态空间的张量积”这一节讲过，如果两个算符属于不同空间，则它们的延伸算符是 互相对易的，因此下标为 1 的算符与下标为 2 的算符均对易，比如
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A 1 , A2 A1 , J 2i A2 , J1i 0 ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ2 J 1i , J 2 j J1 , J 2i J 2 , J1i J1 , J 2 0




中的一个基。
对于固定的 k , j ， 2 j 1 个基矢量 k , j , m 的线性叠加构成一个 2 j 1 维子空间，记为
k , j 。为了避免记号难看，我们不用 k , j 的直和
k, j
这样的记号。态空间
可以看作是各个子空间


k, j
(1)
ˆ 的三个分量算符 ˆ 是一个标量算符，即 A ˆ 与J 根据“角动量理论”这一节，如果 A
量 k , j, m ， 只将 m 值加 1 或减 1， 而 k , j 保持不变， 因此仍然属于子空间
同一个 j 值、不同 k 值的所有子空间，维数都是 2 j 1 ，与 k 无关。此外，在升降算符相 关的递推关系中，基矢量之间的比例系数只跟 j, m 有关，也与 k 无关。因此，在讨论角动 量算符在子空间
1
ˆ I ˆ 理解为 A ˆ， ˆ 比如， 算符 A 1 2 其中 I 2 是 1
2
ˆ 理解为 I ˆ ˆ J ˆ ， 中的单位算符；J 2z 1 2 z 其中 I1 是
中的单位算符，等等。实际上，只要明白这个算符原来属于哪个空间，将其作用于原来属于 该空间的态矢量上即可，比如
ˆ k ,k , j , j ,m ,m J ˆ k , j ,m J 1z 1 2 1 2 1 2 1z 1 1 1
ˆ ,J ˆ ,J ˆ 均对易， ˆ ,J ˆ ,J ˆ 及其线性组合算符作用于子空间 则J J x y z x y z
所得到的态矢量仍然属于子空间
k , j 的基矢量 k , j, m
，
k , j 。比如，用磁量子数 m 的升降算符 Jˆ 作用于基矢 k , j 。注意，

k , j ,m
2 2
2
(8) (9)
ˆ k ,k , j , j ,m ,m k , j ,m A ˆ k , j ,m A 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2
等等。


5-3 角动量相加
~3~
3. 对易关系
ˆ 和J ˆ 作为 中的延伸算符，仍然满足对易关系 J 1 2
中的基矢量的张量积 (7)
k1 , k2 , j1 , j2 , m1 , m2 k1 , j1 , m1 k2 , j2 , m2
集合 k1 , k2 , j1 , j2 , m1 , m2 原来属于
1或 2

构成
中的基。
中的算符， 在用于张量积空间
1

自动理解为其延伸算符。 2 时，
2
(33)

ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ , J1z 2 J1x J 2 x J1 y J 2 y , J1z 2i J1 y J 2 x 2i J1x J 2 y 0
同样可以得到
(34)
ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ , J 2 z 2 J1x J 2 x J1 y J 2 y , J 2 z 2i J1x J 2 y 2i J1 y J 2 x 0
在经典力学中，如果两个粒子的角动量分别为 J1 和 J 2 ，则二者的总角动量为
(15) (16)
J =J1 J 2
量子力学中的关系是完全相同的，只是将(17)式换成算符表达式
(17)
ˆ =J ˆ J ˆ J 1 2
注意， (18)式中的算符都是张量积空间 和
2
1
(18)

2 中的算符。 1 和
根据矢量表达式(18)
(24)
ˆ2 J ˆ J ˆ J 1 2


2
ˆ2 J ˆ 2 2J ˆ J ˆ J 1 2 1 2
(25)
ˆ J ˆ J ˆ J ˆ ，因此(25)式中交叉项可以写为 2 倍。此外由(16)式可知 注意根据(16)式， J 1 2 2 1
ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 J , J1 J , J 2 0
(28)
ˆ2 1 J ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ2 J J J J z 2
此外，根据(12)式可知


(29)
ˆ J ˆ J ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 1 2 1 x 2 x J1 y J 2 y J1 z J 2 z 1 ˆ ˆ ˆ J ˆ 1 J ˆ J ˆ J1 J J 1 2 2 1 1 4 4 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 1 J 2 J1 J 2 J1 z J 2 z 2
ijk 1k ijk 2k
(22)
ˆ i ijk J k
ˆ ,J ˆ ,J ˆ 满足角动量算符的定义，因此的确是角动量算符，关于角动量算符的 也就是说， J x y z
一切普遍的结果都成立。比如，由(21)式可以证明
ˆ2 ˆ J , Ji 0