题目3：阻尼比确定

题目3：阻尼比确定
1. 阻尼
阻尼是指任何振动系统在振动中，由于外界作用和系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。

在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力，该模型称为粘性阻尼模型，是工程中应用最广泛的阻尼模型。

粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对振动的阻碍作用。

粘性阻尼可表示为以下式子：
式中 为阻尼力（ ）， 表示振子的运动速度（ ）， 是表征阻尼大小的常数，称为阻尼系数（ ）。

理想的弹簧阻尼器振子系统如下图所示。

分析其受力分别有：
弹性力（k 为弹簧的劲度系数，x 为振子偏离平衡位置的位移）：
F s = − kx 阻尼力（c 为阻尼系数，v 为振子速度）：
2. 阻尼比
假设振子不再受到其他外力的作用，于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动方程：
其中a 为加速度。

上面得到的系统振动方程可写成如下形式，问题归结为求解位移x 关于时间t 函数的二阶常微分方程：
将方程改写成下面的形式：
然后为求解以上的方程，定义两个新参量：
上面定义的第一个参量n ω，称为系统的（无阻尼状态下的）固有频率。

第二个参量ζ，称
cv F -=m N ∙m/s s/m N ∙F v c
为阻尼比。

根据定义，固有频率具有角速度的量纲，而阻尼比为无量纲参量。

阻尼比也定义为实际的粘性阻尼系数c 与临界阻尼系数r c 之比。

ζ= 1时，此时的阻尼系数称为临界阻尼系数r c 。

3. 阻尼比计算公式
由上述分析可知，微分方程化为：
根据经验，假设方程解的形式为
其中参数γ一般为复数。

将假设解的形式代入振动微分方程，得到关于γ的特征方程：
解得γ为：
当0 <ζ< 1时，运动方程的解可写成：
其中
D
D D T ωπ
ξωω212
=
-=，
经过一个周期D T 后，相邻两个振幅1+i i A A 和的比值为
D
D i i T T t t i i e Ae Ae A A ξωξωξω==+--+)
(1
由此可得
D
i i T A A ωπ
ξωξω2ln
1==+
如果2.0<ξ，则
1≈ω
ωD
，而 1
ln 21
+≈
i i A A πξ
同样，用n i i A A +和表是两个相隔n 个周期的振幅，可得
n
i i
A A n +≈
ln 21D
ωωπξ
当
1≈ω
ωD
时， 1
ln 21
+≈
i i
A A n πξ
参考文献
[1] 龙驭球, 包世华主编. 结构力学.Ⅰ, 基本教程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006 [2] 阻尼. /wiki/阻尼(2013/4/9)。