立体几何公式 定理 公立 结论和二面角及其几何表示

空间的直线与平面

一．平面的基本性质：

知识点图形表示文字描述符号表达

平行公理. 过直线外一点有且只有一

条直线和这条直线平行。

⇒

∉a

A过A有且只有一条直

线b，使得a

b//

公理1

如果一条直线的两点在一

个平面内，那么这条直线上

的所有点都在这个平面内。

α

α

α⊂

⇒

∈

∈AB

B

A,

公理2 ---------------

如果两个平面有一个公共

点，那么它们还有其他的公

共点，这些公共点的集合是

一条直线。

β

α⋂

∈

A

l

A

l∈

=

⋂

⇒且

,

β

α

公理3

．

．．

经过不在同一条直线上的

三点有且只有一个平面。

不共线三点确定一个平面

公理4 平行于同一条直线的的两

条直线互相平行。

c

a

c

b

b

a//

//

,

//⇒

推论1 ．经过一条直线和直线外的

一点有且只有一个平面

直线和直线外一点确定一个平

面

推论2 经过两条相交直线有且只

有一个平面

两相交直线确定一个平面

推论3 经过两条平行直线有且只

有一个平面

两平行直线确定一个平面

空间图形的直观图画法斜二测画法

等补角定理

如果一个角的两边和另一

个角的两边分别平行，那么

这两个角相等或互补。

ABC

∠=EFG

∠

ABC

∠=1800-EFG

∠

异面直线的定义

不同在任何一个平面的内的两条直线叫做异面直线。

异面直线的判定定理

连结平面内与平面外一点

的直线，和这个平面内不经

过此点的直线是异面直线。

a

A

A

a∉

∈

∈,

,α

α；

a

AB

B与

⇒

∉,α是异面直线

异面直线所成的角a与b是异面直线，a’//b’，且a’与b’相交，则a’与b’的夹角就是a与b异面直线所成的角。

二．平行与垂直：线面平行

（一）三者之间的互相转化：“线线平行面面平行”

线面平行的判定

定理如果不在同一个平面内的一条直

线和平面内的一条直线平行，那

么这条直线和这个平行平行。

b

a

b

a//

,

,α

α⊂

⊄

α

//

a

⇒

线面平行的性质

定理如果一条直线和一个平面平行，

经过这条直线的平面和这个平面

相交，那么这条直线和交线平行。

b

a

a=

⋂

⊂β

α

β

α,

,

//

b

a//

⇒

面面平行的判定

定理如果一个平面内有两条相交直线

分别平行于另外一个平面，那么

这两个平面平行。

A

b

a

b

a=

⋂

⊂

⊂,

,α

α;

且β

α

β

β//

//

,

//⇒

b

a

交线原面投影面原线影线第一垂线

α和β的二面角O A'A m αβ两个平面平行的

判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行的性质

定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 αββα//,//a a ⇒⊂ 直线与平面垂直

的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直

的性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 两平面垂直的判

定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 面面平行的判定

定理的推论

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。 A b a b a =⋂⊂⊂,,αα; 且ββ⊂⊂','b a ; 且'//a a ，βα//'//⇒b b

面面平行的性质

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面 ,,//a =⋂γαβα b =⋂γβb a //⇒

1.两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ).空间向量法；

2.由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]；

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（三）二面角

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）性

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。