同济大学弹性力学期末试题 知识点汇总

3.1 应力与一点的应力状态
外力：外界作用在物体上的力，包括体力（[力][长度]-3） 、面力（[力][长度]-2） 内力：物体内一部分与另一部分间的相互作用力 应力：截面上内力的集度（[力][长度]-2） 应力矢量： Fv = X v i + Yv j + Z v k = σ V + τ v V⊥
（第一个下标为方位，第二个下标为方向） 方向的规定：正面正向为正，负面负向为正
3.2 与坐标轴倾斜的微分面上应力
X v = σ x l + τ yx m + τ zx n Yv = τ xy l + σ y m + τ zy n Z v = τ xz l + τ yz m + σ z n
3.3 平衡微分方程、静力边界条件
u × v= ui ei × v j e j= ui v j ei × e j= ui v j eijk e k eijk = ersk δ irδ js − δ isδ jr
4、张量定义： = T Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein
∂ 5、Hamilton 算子： = ∇ ei= e1 ∂ + e 2 ∂ + e3 ∂ ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂ × u j e j = u j ,i eijk e k ∂xi
2 ∂ ⋅ e j ∂ = ∂ = ( ),ii ∂xi ∂x j ∂xi ∂xi
9、Laplace 算子 ∆ ： ∆ = ∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ = ei
知识点三：弹性力学问题的建立
点的应力状态：平衡微分方程、静力边界条件————静力学 位移与应变的关系：几何方程————几何学 应力—应变关系：本构方程（广义虎克定律）————物理学
∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2γ xz + 2 =， ∂x 2 ∂z ∂x∂z ∂ 2ε y ∂z 2 +
εx 1 ε ij = γ xy 2 1 γ xz 2
1 γ yx 2
εy
1 γ yzΒιβλιοθήκη 21 γ zx 2 1 γ zy 2 εz
3.5 应变协调方程
3 个位移分量（u，v，w）表示 6 个应变分量（ ε x ， ε y ， ε z ， γ xy ， γ xz ， γ yz ） ，显 然 6 个应变分 量是相关联的。若已知 6 个应变分量，求 3 个位移分量，出现矛盾方程。补充的协调方程（6 个） ：
或
FX σ x τ xy τ xz i FY = τ yx σ y τ yz ⋅ j = σ ij τ τ zy σ z k FZ zx
[ ]
i ⋅ j k
一点的应力状态：过物体内同一点的各个微分面上的应力情况，可以 用过一点 M 的三个与坐标面 平行的微分面的应力矢量来表示： FX 、 FY 、 FZ
FX = σ x i + τ xy j + τ xz k FY = τ yx i + σ y j + τ yz k
FZ = τ zx i + τ zy j + σ z k
Xv = σ x l + τ yx m + τ zx n Yv = τ xy l + σ y m + τ zy n Zv = τ xz l + τ yz m + σ z n
静力上可能的平衡：应力分量在物体内部满足平衡微分方程，在边界上满足静力边界条件。 真正的平衡：满足上述平衡条件的同时，应满足变形协调条件。
知识点一：弹性力学绪论
形状 弹性力学： 杆、板、壳、水坝等 材料力学： 杆状 结构力学： 杆状物件组合 ①连续性 ②均匀性 ③各向同性 基本假设 ④线性完全弹性 ⑤小变形 ⑥无初始应力 范围 弹性 弹塑性、蠕变、疲劳等 弹性 方法上 基本假设：在 基本假设的 基础上还有 应力、变形状 态的附加假 设
3.4 几何方程
= ε ij
1 (ui , j + u j ,i ) 2
∂u ∂v ∂w ，εy = ，εz = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂u ∂w ∂v ∂w ，γ= + ， γ= + + xz yz ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y
εx =
γ= xy
正应变：三条相互垂直棱边的伸缩的变化（伸长为正） 。 剪应变：棱边间所夹直角的改变量（减小为正，增大为负） 。 应变张量：
6、梯度： ϕ = ∇
ϕ, j ⊗ = e j ϕi , j ei ⊗ e j ,
∇ = ϕ ei ⊗= ϕ ,i ϕ j ,i e i ⊗ e j
7、散度： divϕ = ϕ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ϕ = ϕij , j ei = ϕ ji , j ei 8、旋度： curlu = ∇ × u = ei
知识点二：张量基础
1、 e i ⋅ e = j 2、
δ= ij
1, 0,
当i= j ； 当i≠ j 。
1, 当 i , j , k 为顺序排列； eijk = －， 1 当 i , j , k 为逆序排列； 0， 当指标中有两个相等。 e1 e 2 3、 u × v = u1 u2 v1 v2 e3 u3 v3
∂ 2ε y
2 ∂ 2ε x ∂ γ xy + 2 =， ∂x 2 ∂y ∂x∂y
∂γ ∂γ ∂γ ∂ 2ε x ∂ (− yz + xz + xy ) = 2 ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y∂z ∂ 2ε y ∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy − + ( )= 2 ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x∂z ∂ 2ε z ∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ( )= 2 + − ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x∂y
小变形条件下：
∂σ ji ∂x j
+ Xi = 0
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + +X =0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ zy ∂z +Y = 0
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + +Z =0 ∂x ∂y ∂z
剪应力互等定理： τ ij = τ ji 静力边界条件： X i = σ ji n j