第三章-表示力学量的算符-习题范文

第三章 表示力学量的算符

第一部分；基本思想与基本概念题目

1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。

2. 如何理解力学量完全集？

3. 守恒量有哪些特征？

4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？

5. 如何构造力学量算符？

6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。

7. 设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？ 8. 设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。

10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？

11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。

13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14.

2ˆL 的本征态是否一定是 ˆz

L 的本征态？举例说明。 15. ˆz

L 的本征态是否一定是2ˆL 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪

些力学量可同时确定，其值分别是多少？

17. 若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？

第二部分：基本技能训练题

1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）

2. 判断下列等式是否正确

12ˆˆˆ() () E H T U (3) H E T U

H

T U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛ϕk ｝是

ˆF

的本征函数，且 ()()k k k

x C x ψϕ=∑

（1） 试推导C k 的表达式。

（2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2

k k k

F C F =∑。

（3）

说明|C k |2的物理意义。

4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221

2

U

x μω=

（2） 动能的平均值2

2p T μ

=

（3）

动量的几率分布。

5. 氢原子处于

(,,)r a r ψθϕ-

= 态，求

（1） r 的平均值。 （2）

－e 2/r 的平均值

（3） 最可几半径. （4）

动能平均值.

6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为

J er = J e θ=0, J e ϕ=(-eћm/μrsinθ)|ψnlm |2

7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成 (1) 求一圆周电流的磁矩

(2) 求证氢原子磁矩为 M=M z =-meћ/2μ

8. 求一维无限深势阱中粒子动量与位置的测不准关系

22()()?x p ∆⋅∆=

9. 证明氢原子中电子的力学量算符 2ˆL 与 ˆz

L 是守恒量. 10. 设线谐振子处于 011

32

2

()()()x x x ψψψ=+ 描述的状态, 则在该态中能量可能取哪些值? 对应的几率各是多少? ( 01(), ()x x ψψ 分别是基态与第一激发态的本征函数)。 11. 上题中用两种方法求能量平均值。

12. 设粒子处于Y lm (θ,ϕ)态,求该态中L x , L y , L z 的平均值.

13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L 2/2I,这儿L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。

（1） 转子绕一固定轴转动。 （2） 转子绕一点转动。

14．若 ˆˆG F

和都是厄密算符，且ˆˆˆˆG G F F ≠ (1) ˆˆˆˆG G F

F -是否是厄密算符？试证明。 (2) ˆˆˆˆ(

G G )i F

F -是否是厄密算符？试证明。 15. 0ˆˆˆˆ[G],

G F F =设，证明 是厄密算符。

16. t ＝0时，粒子处于态

21

2

()[sin cos ]x A kx kx ψ=+

求此时粒子平均能量和平均动能。

17. 证明：若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数。 18. 下列哪些算符是厄密算符

22

22

; ; i ; i d d d d dx dx dx dx 19. 设氢原子处于

21102111122

(,,)r R Y R Y ψθϕ-=

+ 求氢原子能量、角动量平方及z 分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。

20. 证明自由粒子能级是简并的。

21. 求解算符 ˆx d

p

i dx

=- 的本征方程。 22. 求解自由粒子的能量本征方程。

23. 一维运动粒子的状态是 0 x 0

() x 0

x Axe x λψ-⎧≥=⎨<⎩

其中λ>0，求

（1） 粒子动量的几率分布。 （2） 粒子平均动量。 24.

0ˆˆˆˆˆˆ [, y]-i x; [, y]; [, y]i z y x

L L L z ===证明： 25. 设体系处于ψ＝C 1Y 11＋C 2Y 10态中，求

（1） 力学量L z 的可能值与平均值。 （2） L 2的可能值与平均值。

26. 试求角动量平方算符2ˆL

当本征函数为 Y(θ,ϕ)=A[cos θ+asin θcos ϕ]的本征值. 第三部分: 小论文题目 1. 量子力学中守恒量研究。 2. 守恒量与对称性之间关系。 3. 力学量平均值计算方法探讨。 4. 算符与它所表示力学量之间关系研究。 5. 球坐标下角动量算符的推导方法研究。