第三章-表示力学量的算符-习题范文
力学量的算符表示
第三章 力学量的算符表示1．如果算符αˆ、βˆ满足条件1ˆˆˆˆ=-αββα， 求证：βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-，233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=-， 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα [证] 利用条件1ˆˆˆˆ=-αββα，以βˆ左乘之得 βαββαβˆˆˆˆˆˆ2=-则有 βαβββαˆˆˆˆ)1ˆˆ(2=--最后得 βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-。
再以βˆ左乘上式得222ˆ2)ˆˆˆˆ(ˆβαββαβ=-， 即232ˆ2ˆˆˆˆˆβαββαβ=- 则有 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=- 最后得 233ˆ3ˆˆβαββα=-应用数学归纳法可以证明 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα： 先设 211ˆ)1(ˆˆˆ----=-n n n n βαββα 成立，以βˆ左乘上式得11ˆ)1(ˆˆˆˆˆ---=-n n n n βαββαβ则有 11ˆ)1(ˆˆˆ)1ˆˆ(---=--n n n n βαβββα最后得 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα2．证明{}+++ )ˆˆˆ()ˆˆˆ(2121nnM M M L L L{}++=++-+++-+)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111M M M L L Lm m n n[证] 应用+++++A B B A ˆˆ)ˆˆ( 及++++=+B A B A ˆˆ)ˆˆ(，则 ====+-+-++-++ )ˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆ(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L+++-+=121ˆˆˆˆL L L L n n 同理可证++-++=1121ˆˆˆ)ˆˆˆ(M M M M M Mm mm则 {}{}++=+++++)ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L{} ++=++-+++-+)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111M M M L L Lm m n n3．若算符Le ˆ满足+++++=!ˆ!2ˆˆ12ˆn L L L e n L，求证：++++=-))ˆ,ˆ(,ˆ(,ˆ(!31))ˆ,ˆ(,ˆ(!21)ˆ,ˆ(ˆˆˆˆaL L L a L L a L a e a e L L其中， L a a L a L ˆˆˆˆ)ˆ,ˆ(-≡[证] 方法一：把Le ˆ直接展开，比较系数法。
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
第3章 力学量用算符表达：习题解答
第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。
② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
第3章 力学量用算符表达1
§3.1 表示力学量的算符
作用在一个函数u上得出另一个函数v ˆ ˆ 的运算符号 F ，简称为算符: Fu v 。如:
du d v, dx dx
是算符，其作用是求导数, xu=v,x是算符，
其作用是与u相乘。
ˆ 如果算符 F 作用于一个函数 ,结果等于
ˆ 乘上一个常数 : F ，则称此方程称为算符
0
( x, t )
e
2 x2 i
2
t 2
求： (1)势能的平均值
(2)动能的平均值
1 V 2 x 2 2
p2 T 2
ˆ 对于两个任意函数 和 ,如果算符 F 满足
等式: ˆ ˆ ˆ ① F(c1 c 2 ) c1F c 2 F) 则称之为线性算符；
i ( Et p r )
p p ( r , t )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，动量的确定值的确为动量算符在其 本征态中的本征值。
习题3.1 下列函数哪些是算符 数，其本征值是什么？
x , e , sin x,3 cos x, sin x cos x
2 x
d2 dx 2
的本征函
量子力学中,力学量为什么要用算符表 示?这是由微观粒子的波粒二象性决定的, 体现在以下几个方面: ①力学量的观测值具有不确定性,有一系列 可能取值.但力学量的统计平均值是确定的, 而统计平均值的计算要用到一个新的工具 * ˆ (r , t )d 3 r —算符—来完成: F (r , t ) F
习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明 理由。
d2 4x2 2 dx
2
k 1
第三章 力学量用算符表达
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A
任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
（7）逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为： A ˆ * dr * A
即
思考：常 数算符的 转置？
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明，
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考：
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1：证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。
曾谨言量子力学第3章
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 证明：
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符 性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如 算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为
ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A
(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A
第三章-量子力学中的力学量 lt
第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。
（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。
第3章_矩阵力学基础——力学量和算符
1第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。
它的着眼点是波函数),(t x ψ。
薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(t x ψ猫述粒子的运动状态。
通过在波函数的运动方程中引入 的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。
在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。
它是海森伯（Heisenberg ）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。
着眼点是力学量和力学量的测量。
他们将力学量看成算符。
通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r 和p 的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。
这种量子化，通常称为正则量子化。
在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。
算符的运算归结为矩阵的运算。
本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。
§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。
一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
第三章：量子力学中的力学量_6讲
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易 如果： [A,B]=[B,A]
px
px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称 则称 是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学 为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.
算符与力学量的关系_第三章
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）
a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在 态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基 本 假 设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算 符，它们的本征函数 组成完全系。当体系 处于波函数 所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值 之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2
C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关， 由此得到动量 的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4
9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加 原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结 注 果符合而得到验证 意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数 值，而是具有一系列的可能值，这些可能值 就是该力学量算符的本征值，测得该可能值 的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量用算符表达】
第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为，F＋与F－均为厄米算符．证明：因为即和均为厄米算符而F＋与F－显然均为厄米算符．3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．解：对于l＝r×P，有同理所以是厄米算符，对于r·P，有所以r·P不是厄米算符，而相应的厄米算符为类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：（参见3.8题），本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：3.3 设F（x，p）是x和p的整函数，证明整函数是指F（x，p）可以展开成．证明：利用类似可证明．3.4 定义反对易式，证明证明：所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为A＝（A x，A y，A z）＝（A1，A2，A3）等等，A、B的标积和矢积定义为等等，试验证下列各式：A·（B×C）＝（A×B）·C （3）[A×（B×C）]α＝A·（BαF）－（A·B）Cα（4）[（A×B）×C]α＝A·（BαC）－Aα（B·C）（5）证明：式（3）左端写成分量形式，为其中εαβγ为Levi—CiVita符号，即ε123＝ε231＝ε312＝1ε132＝ε213＝ε321＝－1 （6）εαβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同式（3）右端也可化成故得验证式（4），以第一分量为例，左端为[A×（B×C）]1 ＝A2（B×C）3 A3（B×C）2＝A2（B1C2－B2C1）－A3（B3C1－B1C3）＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A383）C1 （8）而式（4）右端第一分量为A（B1C）－（A·B）C1＝A1B1C1＋A2B1C2＋A3b1C3－（A1B1＋A2B2＋A3B3）C1＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A3B3）C1和式（8）相等，故式（4）成立．同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）这正是经典物理中的三重矢积公式．3.6 设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】4.2 设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B] （1）[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B] （2）证明：式（1）右端等于（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B] 这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．3.7 设F是由r与p的整函数算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】4.3 以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明证明：利用对易式以及题4.2式（2），即得此即式（1）。
3.1 表示力学量的算符
§3.1 表示力学量的算符(续5)
Chapter 3. The Dynamical variable in Quantum Mechanics
(8)力学量算符与力学量测量值的关系 ˆ 在第二章讨论哈密顿算符 H的本征值问题时已看
ˆ 到，当体系处在 H的本征态时，体系有确定的能量， ˆ 该能量值就是 H在此本征态中的本征值。当体系处在
若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则可 用所谓箱归一化方法确定常数C。 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征 (r ) 满足周期性边界条件 函数 P
L L P , y, z P , y, z 2 2 L L P x, , z P x, , z 2 2 L L P x, y, P x, y, 2 2
换成坐标算符 r i ˆ 的坐标变量 r P
即 F (r , P)
ˆ ˆ F (r , P) F (iP , P)
对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有
的力学量，其算符如何构造的问题将另外讨论。
有了表示力学量算符的规则后，那么算符和它 表示的力学量之间的关系如何？
(5)线性算符
注 意
(6)算符的本征方程
§3.1 表示力学量的算符(续3)
Chapter 3. The Dynamical variable in Quantum Mechanics
ˆ 如果算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 此称为算符 F 的本征方程 即 F
§3.1 表示力学量的算符(续6)
Chapter 3. The Dynamical variable in Quantum Mechanics
量子力学-第三章量子力学中的力学量
dpe
*
x
-i
d
dx
x dx
dx
1
dx
2π
e
i
p( xx)
dp
*
x
-i
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
P
* x pˆ xd * xi
1
d2 d 2
(常数）
由
d 2 d 2
0
33
Cei
由周期性条件 2 得 ei2π 1
2π 2mπ m 0, 1, 2,
Ceim
由归一化条：
* d 1 得 C
1 2π
所以
1 eim
2π
m*md δmm
34
sin d (sin d ) sin2 m2
17
[例题] 求动量的转置算符。
[解]
d* pˆx
dx pˆ x*
dx
i
x
*
i *
dx
*
i
x
*
i
x
dx
所以
pˆ x i
x
pˆ x
②算符的复共轭算符
把算符中的所有复量换成共轭复量。
如：动量的复共轭算符
pˆ *x i
x
pˆ x
18
③厄米共轭算符
, Fˆ † Fˆ, 或 d*Fˆ d*Fˆ * d Fˆ ** d Fˆ *
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)
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（2）算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式：
式中 c1 与 c2 为任意常数．
7．转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
（h 是一个普适常数，不为 0），则有
2．（l2,lz）的共同本征态 称为球谐（spherical harmonic）函数，它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的．l 称为轨道角动量量子数．m 称为磁量子数．
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式中
称为 Levi—Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出，即
5．逆算符 设
能够唯一地解出 ψ，则可以定义算符 Â 之逆 Â－1 为
6．算符的函数与标积 （1）算符函数 给定一函数 F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，
3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）
（1）对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
，它们的共同本征态记为
也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数 a 之后，就能够确定体系的唯一一个可能状
态，则我们称（Aˆ1，Aˆ2， ）构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数．
8．复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*．定义为
第三章-力学量的算符表示
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
3-4 力学量算符
3-4 力学量算符
~ 3 ~
果正则坐标采用直角坐标 x, y, z ，相应的正则动量就是机械动量 px , p y , pz 。
2. 基本对易关系
根据坐标算符和动量算符在坐标表象的表达式，不难验证如下对易关系成立
ˆ, p ˆx ˆ, p ˆy ˆz i ˆ, p x y z ˆi , p ˆj x 0, i j
ˆ x, xx
ˆ y, yy
ˆz zz
(4)
ˆ x i px p
, x
ˆ y i py p
, y
ˆ z i pz p
z
(5)
在经典力学中，xi ei r r ei 和 pi ei p p ei ， 其中 i 1, 2,3 。 在量子力学中， 同样有
第三个等号利用了 ei 是个常矢量，也就是不随位置而变化，因此 对于在经典力学中坐标的函数 f r 和动量的函数 f 接使用量子化规则(1)和(2)
(9)
ei 0。 x j
p ，过渡到量子力学时，可以直
(10) (11)
ˆ f r f r f r ˆ f i f p f p
对于经典力学中的函数 f r , p ， 如果通过化简可以使表达式中不出现 r 与 p 的分量相 乘的情况，可以直接使用量子化规则(1)和(2)，得到相应的算符
1
ˆ, p ˆ f r , i f r, p f r
(12)
当经典哈密顿量为 H T V 的形式时，就是这样的情况。 如果表达式中无法通过化简消除 r 与 p 的分量相乘的情况， 则不同方案通常给出不同的 算符。基于物理上的考虑可能会排除一些方案，比如力学量算符必须是厄米算符。如果由此 得到的方案仍然不唯一，此时有两种可能：第一，不同算符代表不同的物理意义；第二，只 有一个算符有意义，究竟是哪一个由实验来裁决。 (2) 在量子力学中，会碰到一些没有经典对应的力学量，比如自旋，其算符的形式需要 具体讨论。 (3) 在量子化规则中，坐标和动量是指正则坐标和正则动量。在没有磁场的情况下，如
第三章 力学量的算符.
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符 算符求和满足交换率和结合率。 注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
f
f
j , j 1,2,, f
ˆ F ˆ F A ji ni nj
f
ˆ A ji F ni
i 1
f
i 1
Fn A ji ni
i 1
f
Fn nj
算符 F 本征值 Fn简并 的本质是当 Fn 确定后 还不能唯一的确定状态， 要想唯一的确定状态还 得寻找另外一个或几个 力学量算符，F 算符与 这些算符对易，其本征 值与 Fn 共同确定状态。
在势场中 V ( r ) 的粒子 H T V
2 ˆ T ˆ V (r ) 2 V (r ) H 2m
问题：算符、动量算符、 Hamilton算符
§3-2
算符的本征值和本征函数
ˆ F F n n n
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符 F 的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平
均值必为实数。
证：
F
ˆ d * F
ˆ ) * d ( F
ˆ ]* [ d * F
F*
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
定理II：厄密算符的本征值必为实。
第3章 力学量用算符表达
证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论 量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两 边分别对 x y z 求偏导数得：
量子力学习题解答-第3章
=c
2.
b * 1 a
ò
f
* 1
( x ) g ( x ) dx + c ò f ( x ) g ( x ) dx = c
展开系数 C ( p, t ) 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数 C ( p, t ) 来研究这个 态。 Y 的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。
ˆ 的本征态为分立谱 f 时， 当力学量 F n Y = å cn f n ,
n
cn = f n Y
ˆ 表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展 在 F ˆ 表示为一个方矩阵 开系数 {c 可表示为一列矩阵，算符 G n } æ c æ G11 G12 1 ö ç c ÷ çG 22 ç 2 ÷ ç 21 G Ψ = ç M ÷ G = ç ... ... ç ÷ ç ç cn ÷ ç Gn1 ... ç M ÷ ç ... ... è ø è
2
测量力学量 Q ，得到的可能结果必是 Q 本征值中的一个，得到 q n 几率为 c n 。对系综测量 力学量 Q （具有大量相同 Y 态系综中的每一个 Y 进行测量）所得的平均值（期待值）为
Q = å qn cn
n
2
ˆ Ydx 计算方法等价。 这与用 Q = ò Y Q
*
ˆ 具有连续谱的本征函数系 如果力学量 Q
a a
第三章-表示力学量的算符-习题
第三章 表示力学量的算符第一部分；基本思想与基本概念题目1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。
2. 如何理解力学量完全集？3. 守恒量有哪些特征？4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？5. 如何构造力学量算符？6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。
7. 设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？8. 设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？9. 试述│C n │2的物理意义。
10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。
13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？14. 2ˆL 的本征态是否一定是 ˆzL 的本征态？举例说明。
15. ˆzL 的本征态是否一定是2ˆL 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪些力学量可同时确定，其值分别是多少？17. 若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？第二部分：基本技能训练题1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）2. 判断下列等式是否正确12ˆˆˆ() () E H T U (3) H E T UHT U =+==+==+3. 设ψ（x ）归一化，｛ϕk ｝是ˆF 的本征函数，且 ()()k k k x C x ψϕ=∑（1）试推导C k 的表达式。
（2）求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2k k k F C F =∑。
（3） 说明|C k |2的物理意义。
4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中（1） 势能的平均值2212U x μω= （2） 动能的平均值22p T μ= （3） 动量的几率分布。
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第三章 表示力学量的算符
第一部分；基本思想与基本概念题目
1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。
2. 如何理解力学量完全集？
3. 守恒量有哪些特征？
4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？
5. 如何构造力学量算符？
6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。
7. 设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？ 8. 设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。
10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？
11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。
13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14.
2ˆL 的本征态是否一定是 ˆz
L 的本征态？举例说明。
15. ˆz
L 的本征态是否一定是2ˆL 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪
些力学量可同时确定，其值分别是多少？
17. 若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？
第二部分：基本技能训练题
1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）
2. 判断下列等式是否正确
12ˆˆˆ() () E H T U (3) H E T U
H
T U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛ϕk ｝是
ˆF
的本征函数，且 ()()k k k
x C x ψϕ=∑
（1） 试推导C k 的表达式。
（2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2
k k k
F C F =∑。
（3）
说明|C k |2的物理意义。
4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221
2
U
x μω=
（2） 动能的平均值2
2p T μ
=
（3）
动量的几率分布。
5. 氢原子处于
(,,)r a r ψθϕ-
= 态，求
（1） r 的平均值。
（2）
－e 2/r 的平均值
（3） 最可几半径. （4）
动能平均值.
6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为
J er = J e θ=0, J e ϕ=(-eћm/μrsinθ)|ψnlm |2
7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成 (1) 求一圆周电流的磁矩
(2) 求证氢原子磁矩为 M=M z =-meћ/2μ
8. 求一维无限深势阱中粒子动量与位置的测不准关系
22()()?x p ∆⋅∆=
9. 证明氢原子中电子的力学量算符 2ˆL 与 ˆz
L 是守恒量. 10. 设线谐振子处于 011
32
2
()()()x x x ψψψ=+ 描述的状态, 则在该态中能量可能取哪些值? 对应的几率各是多少? ( 01(), ()x x ψψ 分别是基态与第一激发态的本征函数)。
11. 上题中用两种方法求能量平均值。
12. 设粒子处于Y lm (θ,ϕ)态,求该态中L x , L y , L z 的平均值.
13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L 2/2I,这儿L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。
（1） 转子绕一固定轴转动。
（2） 转子绕一点转动。
14．若 ˆˆG F
和都是厄密算符，且ˆˆˆˆG G F F ≠ (1) ˆˆˆˆG G F
F -是否是厄密算符？试证明。
(2) ˆˆˆˆ(
G G )i F
F -是否是厄密算符？试证明。
15. 0ˆˆˆˆ[G],
G F F =设，证明 是厄密算符。
16. t ＝0时，粒子处于态
21
2
()[sin cos ]x A kx kx ψ=+
求此时粒子平均能量和平均动能。
17. 证明：若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数。
18. 下列哪些算符是厄密算符
22
22
; ; i ; i d d d d dx dx dx dx 19. 设氢原子处于
21102111122
(,,)r R Y R Y ψθϕ-=
+ 求氢原子能量、角动量平方及z 分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。
20. 证明自由粒子能级是简并的。
21. 求解算符 ˆx d
p
i dx
=- 的本征方程。
22. 求解自由粒子的能量本征方程。
23. 一维运动粒子的状态是 0 x 0
() x 0
x Axe x λψ-⎧≥=⎨<⎩
其中λ>0，求
（1） 粒子动量的几率分布。
（2） 粒子平均动量。
24.
0ˆˆˆˆˆˆ [, y]-i x; [, y]; [, y]i z y x
L L L z ===证明： 25. 设体系处于ψ＝C 1Y 11＋C 2Y 10态中，求
（1） 力学量L z 的可能值与平均值。
（2） L 2的可能值与平均值。
26. 试求角动量平方算符2ˆL
当本征函数为 Y(θ,ϕ)=A[cos θ+asin θcos ϕ]的本征值. 第三部分: 小论文题目 1. 量子力学中守恒量研究。
2. 守恒量与对称性之间关系。
3. 力学量平均值计算方法探讨。
4. 算符与它所表示力学量之间关系研究。
5. 球坐标下角动量算符的推导方法研究。