九年级数学黄金分割同步练习
人教版九年级下册数黄金分割同步练习
27.1.2 黄金分割基础训练知识点1 比例中项1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )A.3错误!未找到引用源。
cmB.±3错误!未找到引用源。
cmC.±18 cmD.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶44.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.±错误!未找到引用源。
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知识点2 黄金分割5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A.AB∶AC=AC∶BCB.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶ABD.AC∶AB=AB∶BC6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则①AB=错误!未找到引用源。
AC;②AC=错误!未找到引用源。
AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).提升训练考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。
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,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求MA,DM的长;(2)求证:AM2=AD·DM.(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)10.宽与长的比是错误!未找到引用源。
九年级数学上册18_2黄金分割同步练习新版北京课改版
18.2黄金分割一、夯实基础1．假设点P 是AB 的黄金分割点，那么线段AP 、PB 、AB 知足关系式 ．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精准到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，假设舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，若是他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精准到0．1m ）4．已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP<PB ，那么 ( )A ．AP 2＝AB·PB B．AB 2＝AP·PBC ．PB 2＝AP·AB D．AP 2＋BP 2＝AB 25．在中华经典美文阅读中，小明同窗发觉自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，那么它的宽约为 ( )A ．12.36 cmB ．13.6 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm二、能力提升6．有以下命题：①若是线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，那么有d c b a =；②若是点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、B C 的比例中项；③若是点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④若是点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，那么AC=5－1．其中正确的判定有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，那么以下各式中不正确的选项是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM B ．AM=215-AB C ．BM=215-AB D ．AM ≈0．618AB8．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 那么AC ∶BC = ( )A ． (5－1)∶2B ． （5 +1）∶2C ．（3－5）∶2D ．（3+5）∶29．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．那么ＰＱ＝（ ）A ．215-B ．53-C ．25-D ．253- 三、课外拓展10.如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM 、DM 的长．（2）求证：AM 2=AD ·DM ．（3）依照（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？四、中考链接11．（2021 昆明）如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么△EBG 的周长是 cm12．（2021怀化）如图，D 、E 别离是△ABC 的边AB 、AC 上的中点，那么S △ADE ：S △ABC = ．参考答案一、夯实基础1．AP2=BP·AB或PB2=AP·AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C5．A二、提升能力6．C；7．C；8．B；9．C；三、课外扩展10. ⑴AM=5－1；DM=3－5；⑵略；⑶点M是线段AD的黄金分割点；四、中考链接11．1212．1：4。
黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．125-C．454D．54 -B．9452．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA51-B51C．35D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．35B51C．15D．354．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A51B51-C35D．3525．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么51AC AB -=D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．202051-⎝⎭B ．202151-⎝⎭C ．202035-⎝⎭D ．202135-⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割，已知AB =10 cm ，AC ＞BC ，那么AC 的长约为____________cm （结果精确到0.1 cm ）． 14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，51-（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”5 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则AC= . 17．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．18．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）19．已知线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA ＝ ___；PB ＝______． 20510.61803398-=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ．21．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，若AB ＝10，则BC ＝_____． 22．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm ，则较长线段AP 的长是_____cm ．三、解答题23．已知C 、D 是线段AB 上的点，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，则C 、D 是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 5 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP 51-AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长． 【详解】解：△P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）， △AP 51-AB ， △AB 的长度为8cm ， △AP 51-×8=454（cm ）， △BP =AB -AP =8-（454）=125- 故选：A ．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC 51-AB ． 2．C 【分析】利用黄金分割比的定义即可求解. 【详解】由黄金分割比的定义可知 5151251BC AB --=== △2(51)35AC AB BC =-=-= 故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键. 3．A 【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解. 【详解】解: 较短的线段长=2⨯ (15-1=255 故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值5-1是解题的关键.4．A 【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP>得出51AP AB-=，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则5151251ABAP--===．故选：A．352，51-．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么51AC AB -=D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线51-叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，151BP -= 则151351AP --==23233535,,AP AP --==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段2020202035AP -=⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割． 1251- 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 51-计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，51-51-， 51-． 51-是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC :AB =BC :AC ，△AC :AB ≈0.618，△AC =0.618×10cm ≈6.2(结果精确到0.1cm )故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．51-米 【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-叫做黄金比． 【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯51-51- 51-米.51-是解的关键． 15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解：51-5 2.236≈， 51-≈2.23612-≈0.62， 故答案为：0.62． 【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键． 1651 【解析】51251AC -==17．()252cm ．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可． 解：较长线段的长=×4=（2）cm ．故答案为（2）cm ． 18．52 【分析】51-计算即可. 【详解】 解：△点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ） △51AP 252AB -== 故答案为：252.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)51cm (35cm 【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段51-AB ，则PB=AB -352AB ，然后把AB=2cm 代入计算即可．【详解】解：△P 是AB 的黄金分割点， △较长线段51-AB ， △PB=AB -352AB ， 而AB=2cm ， △PA=)51cm ，PB=(35cm ． 故答案为：)51cm ；(35cm ．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分51-倍． 20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．555【分析】根据黄金分割点的定义，知BC 为较长线段；则BC 51-AB ，代入数据即可得出AC 的值．【详解】解：由于C 为线段AB ＝10的黄金分割点，且AC ＜BC ，BC 为较长线段；则BC ＝51-＝55． 故答案为：555．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中51-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 22．555【解析】△P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，51-AB ， △AB=10cm ， △AP=5110555-=. 故答案为555．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即51-AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析 【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
北师大版九年级数学上册《黄金分割》综合练习-精品
《黄金分割》综合练习一、选择题1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1C.2∶3D.1∶32.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a =2，b =3，c =2，d =3 B.a =4，b =6，c =5，d =10 C.a =2，b =5，c =23，d =15 D.a =2，b =3，c =4，d =13.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d =c ∶b B.a ∶b =c ∶d C.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b4.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.ccb d d a +=+ C.c dba =22D.dacd ab = 5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A.AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 二、填空题6.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________.7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________.8.若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________. 9.若53=-b b a ，则ba=________. 10.若AEACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________. 三、解答题 11.已知342=+x y x ，求y x .12.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1.5 m 的测杆的影长为2.5 m ，那么古塔的高是多少?13.在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C.14.现有三个数1，2，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？*15.如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.图1参考答案一、1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 二、6.320 km 7.1∶2 8.2∶557 9.58 10.45 三、11.5312.30 m 13.10 cm14.22，1，2，2成比例；12 2，2也成比例，比例式不惟一15.矩形ABFE 是黄金矩形 由于215-=BC AB ，设AB =(5－1)k ，BC =2k ， 所以FC =CD =AB ，BF =BC －FC =BC －AB =2k －(5－1)k =(3－5)k ， 所以215)15()53(-=--=k k AB BF ，所以矩形ABFE 是黄金矩形.。
苏科版九年级数学下册黄金分割同步练习
6.2黄金分割A组题1、点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB=2cm，则BC ≈cm。
（精确到0.1cm）≈2、顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，等腰△ABC中，若∠A=360，则BCAB3、研究表明：标准人体的黄金分割点是人的肚脐，请你计算身高180cm的人，如果肚脐是黄金分割点，那头顶到肚脐的长度约为cm。
（精确到1c m）4、已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，那么AC是线段与的比例中项，若AC=10cm，则BC约为cm。
（精确到0.1cm）5、已知点C是线段的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（）A、2AB AC BCCB AC AB=•=•B、2C、2=•AC AB BCAC BC AB=•D、226、如图，点C是线段AB的黄金分割点，矩形ABFD的宽与长的比等于黄金比，则下列结论中错误的是DA（）A、四边形ACED是正方形B、矩形CBFE是黄金矩形C、EC与EF之比是黄金比D、EC与DF之比是黄金比7、下列说法中正确的是（）A、如果一条线段是另两条线段的比例中项，那么这三条线段构成黄金比；B、一条线段上的黄金分割点只有一个；；C、黄金分割比是512D、黄金分割比就是我们看上去舒服的比。
8、科学研究表明：当人的下肢长度与身高的比约为0.618时，看起来最美。
若某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，则该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少cm？（精确到0.1cm）9、如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是最自然得体的位置？（结果精确到0.1米）10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC。
①求∠ABC的度数；②图中有多少个黄金三角形？把它们一一写出来。
11、如图，△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于D，交AB于E，且AE=BC。
北师大版数学九年级上册同步课时练习：4.4 第4课时 黄金分割 (word版含答案)
第4课时 黄金分割知识点 对黄金分割的理解1.已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ,BC ,下列说法错误的是( )A .如图果AC AB =BC AC ,那么线段AB 被点C 黄金分割 B .如图果AC 2=AB ·BC ,那么线段AB 被点C 黄金分割C .如图果线段AB 被点C 黄金分割,那么AC 与AB 的比叫做黄金比D .一条线段有两个黄金分割点2.已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC ,AB=2,则AC 的长为 ( )A .√5-1B .3-√5C .√5-12D .0.6183.人体的正常体温是37 ℃左右,根据有关测定,当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感觉最舒适,这个气温的度数约为 (精确到1 ℃).4.世界上有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”,如图广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”,如图,塔高AB 为339米,观光区P 为塔AB 的黄金分割点(AP>PB ),求观光区的高度.(结果精确到1米)5.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士的身高为160 cm,下半身长x 与身高l 的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A .6 cmB .10 cmC .4 cmD .8 cm6.C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6 cm,则BC 的长为( )A.(3√5-3)cmB.(9-3√5)cmC.(3√5-3)cm或(9-3√5)cmD.(9-3√5)cm或(6√5-6)cm7.[教材习题4.8第1题变式题]如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,求支撑点C,D 之间的距离.∶1的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调匀称的8.宽与长之比为√5-12美感.如图,如图果在一个黄金矩形里面画一个正方形,那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗?请证明你的结论.答案1.C2.A ∵C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC ,∴AC=√5-12AB. 又∵AB=2,∴AC=√5-1.3.23 ℃ 37×√5-12≈23(℃).4.解:∵塔高AB 为339米,观光区P 为塔AB 的黄金分割点(AP>PB ), ∴AP=√5-12AB=√5-12×339≈210(米). 故观光区的高度约为210米.5.D6.C ∵C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6 cm,∴BC=√5-12AB=(3√5-3)cm 或BC=3-√52AB=(9-3√5)cm .7.解:∵支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点,支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点, ∴AC=BD=80×√5-12=(40√5-40)cm, ∴CD=BD-(AB-AC )=BD+AC-AB=(80√5-160)cm .8.解:留下的矩形CDFE 还是黄金矩形.证明:∵四边形ABEF 是正方形,四边形ABCD 是矩形,∴AB=DC=AF .又∵AB AD =√5-12, ∴AF AD =√5-12, 即F 是线段AD 的黄金分割点,∴FD AF =AF AD =√5-12, ∴FD DC =√5-12, ∴矩形CDFE 是黄金矩形.。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2＝AB⋅PBB.AB2＝AP⋅PBC.PB2＝AP⋅ABD.AP2+BP2＝AB22. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 已知，点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，若线段AB=2cm，则线段AP的长是（）cm B.(√5−1)cm C.(3−√5)cm D.(2−√5)cmA.√5−124. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD平分∠ACB交AB于点D，若CA=4，则CB的长是（）A.2√5+2B.√5+1C.√5−1D.2√5−25. 爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm6. 如图，P是线段AB的黄金分割点(PB>PA)，四边形ABCD、四边形PBEF都是正方形，且面积分别为S1、S2，四边形APMD、四边形APFN都是矩形，且面积分别为S3、S4，下列说法正确的是（）A.s2=√5−12s1 B.s2=s3 C.s3=√5−12s4 D.s4=√5−127. 美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(√5−12≈0.618)，那么就非常美丽，已知一个女孩身高为155cm，下半身为94cm，请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为（）A.2∼3cmB.3∼4cmC.4∼5cmD.5∼6cm8. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36∘，BD平分∠ABC，则BC的长为（）A.1 2B.−1+√52C.1−√52D.−1+√52二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）9. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，AB=4厘米，则线段AP=________厘米．10. 我们知道，下身长与身高的比等于黄金数的人身材比较协调．某女士身高1.50米，其下身长90厘米，则她应该穿________厘米高的高跟鞋比较合适（精确到1厘米）．11. 点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，若AB=5cm，则AC=________cm，BC=________cm．12. 已知线段AB的长度为2，点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长度为________．13. 为了美观起见，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．已知这本书的宽为15cm，则它的长为________cm（精确到0.1cm）．14. 已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，那么线段AP＝________厘米．（结果保留根号）15. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，已知AB=4，则AP=________（结果保留根号）．16. 已知线段AB=4dm，点C是线段AB上一点，AC>BC，若C点是线段AB的黄金分割点，则AC=________dm．（保留根号）17. 科学研究表明，当人的下肢长与身高之比成0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长96cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为________cm（精确到0.1cm）18. 在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，那么她应选择约________厘米的高跟鞋看起来更美．（精确到十分位）三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）19. 已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM．（1）写出AB、AM、BM之间的比例式；（2）若AB=12cm，求AM与BM的长．20. 已知线段AB=a，点C为AB的黄金分割点，求AC的长．21. 中国民间乐器二胡的“千斤钩”钩在弦长的黄金分割点处音质最好，一把二胡的弦长为68cm，求“千金钩”上、下两部分弦长．22. 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？,√5≈2.236）（精确到1cm）（参考数据：黄金分割数：√5−1223. 已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．24. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】C【解答】∵ P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，∵ PB2＝AP⋅AB．2.【答案】C【解答】解：∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点，∵ AD2=BD⋅AB，∵ AD=AC=BC，∵ BC2=BD⋅AB，即BC:BD=AB:BC，而∠ABC=∠CBD，∵ △BCD∽△BAC，∵ ∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∵ ∠ACD=∠ADC=2x，∵ x+2x+x+x=180∘，解得x=36∘，即∠A=36∘．故选：C．3.【答案】B【解答】解：由于P为线段AB=8cm的黄金分割点，且AP是较长线段；=√5−1．则AP=2×√5−12故选B．4.【答案】D【解答】解：∵ △ABC中，AB=AC，∠A=36∘，∵ △ABC是黄金三角形，∵ BC=√5−12AC=2√5−2，故选：D．5.【答案】C【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．6.【答案】B【解答】解：根据黄金分割得出：PB=√5−12AB，设AB=x，PB=√5−12x，PA=(1−√5−12)x，∵ S1=x2，S2=√5−12x⋅√5−12x，S3=(1−√5−12)x⋅x，S4=(1−√5−12)x⋅√5−12x，∵ S1S2=3−√5，故A错误；S2S3=1，即S2=S3，故B正确；S3 S4=√52√5−4，故C错误；S4S1=√5−2，故D错误；故选B．7.【答案】C【解答】解：设高跟鞋的高度是xcm ，则 94+x 155+x =0.618，解得：x ≈4.69，即高跟鞋的高度应为4∼5cm ．故选C ．8.【答案】B【解答】解：∵ AB =AC ，∠A =36∘，∵ ∠ABC =∠ACB =12×(180∘−36∘)=72∘，∵ BD 平分∠ABC ，∵ ∠ABD =∠CBD =12×72∘=36∘， ∵ ∠A =∠ABD ，∵ AD =BD ，又∵ ∠ACB =∠BCD ，∵ △ABC ∽△BCD ，∵ BC CD =AC BC ，设BC =x ，则x 1−x =1x ， 整理得，x 2+x −1=0，解得x 1=−1+√52，x 2=−1−√52（舍去）， 即BC 的长为−1+√52． 故选B ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）9.【答案】 2√5−2【解答】解：由于P 为线段AB =4厘米的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP =4×√5−12=2√5−2（厘米）．故答案为：2√5−2．10.【答案】7【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x ，根据题意列方程得：(90+x)÷(150+x)≈0.618，解得x ≈7．故答案为：7．11.【答案】5√5−52,15−5√52 【解答】解：∵ C 为线段AB 上的一个的黄金分割点，且AC >BC ，∵ AC =√5−12AB ，BC =AB −AC =3−√52AB ，∵ AB =5cm ，∵ AC =√5−12×5=5√5−52(cm)，BC =3−√52×5=15−5√52(cm)． 故答案为：5√5−52，15−5√52． 12.【答案】 √5−1【解答】∵ C 为线段AB 上的黄金分割点，AC >BC ，∵ AC =√5−12AB =√5−1， 13.【答案】24.3【解答】解：根据题意得这本书的长=√5−12≈150.618≈24.3(cm)．故答案为24.3．14.【答案】2√5−2【解答】∵ 点P 是线段AB 的黄金分割点，AP >BP ，AB＝2√5−2，∵ AP=√5−1215.【答案】6−2√5【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=4，=6−2√5，∵ AP=4×3−√52故答案为：6−2√5．16.【答案】(2√5−2)【解答】解：由于C为线段AB=4dm的黄金分割点，且AC>BC，AC为较长线段；=2√5−2(dm)．则AC=4×√5−12故答案为：(2√5−2)．17.【答案】7.5【解答】解：设该女士穿的鞋跟高度约为xcm，由题意得(96+x)：(160+x)=0.618，解得x≈7.5．故答案为：7.5．18.【答案】7.5【解答】解：设应选择xcm的高跟鞋，∵ 张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，∵ 其身高为1.60米=160厘米，身体躯干高为160×0.60=96厘米，≈0.618，则有96+x160+x解得：x≈7.5．故本题答案为：7.5．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）19.【答案】解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．【解答】解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．20.【答案】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．【解答】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．21.【答案】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．【解答】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．22.【答案】她应该穿约10cm高的鞋好看【解答】设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：65 95+x =√5−12，解得x≈10，经检验，x≈10是原方程的解．23.【答案】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．24.【答案】主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．【解答】解：根据黄金比得：20×(1−0.618)≈7.6米，∵ 黄金分割点有2个，∵ 20−7.6=12.4，由于7.6<12.4米。
北师大版九年级数学上册《黄金分割》 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章4.4.4黄金分割 同步测试题一、选择题1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BCAC ，那么线段AB 被点C 黄金分割B ．如果AC 2＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式中正确的是( )A ．AB 2＝AC ·BC B ．BC 2＝AC ·AB C ．AC 2＝BC ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC3．已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( )A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cmD.3－52cm4．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列说法正确的有( )①AB ＝5＋12AC ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC ≈0.618AB. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.我们把宽与长的比值等于黄金比5－12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB ＞BC)的边AB 上取一点E ，使得BE ＝BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A.22B.5－12C.3－52D.5＋12二、填空题6.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB，AB为边的矩形的面积为S1与S2的关系是S1＝S2．7．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么相邻一条边的边长等于(105－10)cm.8．已知线段AB＝4 cm，C为AB的黄金分割点，则AC的长为(25－2)cm或(6－25)cm．9．宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中是黄金矩形的是矩形DCGH．10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为5－12的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝6－25．11．乐器上一根弦AB长80 cm，两个端点A，B固定在乐器板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则CD的长为(805－160)cm.9．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－1 2.若AB＝5－12，则MN＝5－2．三、解答题12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点F在BC的延长线上，且EF＝DE，以CF为边作正方形CFGH，点H在CD边上．试说明点H是线段CD的黄金分割点．13.如图，以长为2 cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上．(1)试求AM，DM的长；(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB 的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．参考答案1-5、CCACB6、S1＝S2．7、(105－10)cm.8、(25－2)cm或(6－25)cm．9、矩形DCGH．10、6－25．11、5－2．12、解：∵点E是BC的中点，∴EC＝1.∴EF＝DE＝22＋12＝ 5. ∴CF＝5－1.∵四边形CFGH是正方形，∴CH＝CF＝5－1.∴CHCD＝5－12.∴点H是线段CD的黄金分割点．13、解：(1)在Rt△APD中，AP＝1 cm，AD＝2 cm，由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝ 5 cm.∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(5－1)cm.∴DM＝AD－AM＝(3－5)cm.(2)点M是线段AD的黄金分割点，理由如下：∵AM2＝(5－1)2＝6－25，AD·DM＝2×(3－5)＝6－25，∴AM2＝AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点．14、解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，且AD＞BD，∴AD2＝BD·AB.∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC.∴∠A＝∠BCD.设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x.在△ABC中，x＋(2x＋x)＋x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°.15、解：点E是线段AB的黄金分割点．理由如下：连接EC.∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.又∵AE＝BC，∴EC＝BC.∴∠BEC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠BEC＝∠ACB.又∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB.∴BEBC＝BCAB，即BC2＝BE·AB，又∵AE＝BC，∴AE2＝BE·AB.∴点E是线段AB的黄金分割点1、在最软入的时候，你会想起谁。
4.2 黄金分割 同步练习及答案
4.2 黄金分割 同步练习◆基础训练一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）．A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．S 1≥S 2二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ．7．已知a b =112,a c c b a b c-+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227（2）x=3 7．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a b ab c a b c+=+=即． 8．1：4，4：3 9．（1）52 （2）4cm （3）24cm10．2或16或±．30m ，中午12点 12．略.。
探索三角形相似的条件4.4.4+黄金分割+同步练习+2024-2025学年北师大版九年级数学上册
4.4 探索三角形相似的条件课时4 黄金分割题型1 黄金分割的定义1、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2=AB∙PBB.AP2=AB∙PBC.PB2=AP∙ABD.AP2+ BP2=AB22、如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，AB=1，那么AC的长度为（）A.23 B.12C.√5−12D.3−√523、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（ ）A.(3√5−3)cmB.(9−3√5)cmC.(3√5−3)cm或(9−3√5)cmD. (9−3√5)cm或(6√5−6)cm4、宽与长的比是√5−12（约0.618）的矩形叫黄金矩形，矩形的长与宽分别为a和b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）A.a=4，b=√5+2B.a=4，b=√5−2C.a=2，b=√5+1D.a=2，b=√5−15、定义：如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC⋅AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。
如图2,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长。
题型2 黄金分割的应用6、主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体。
如图所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她要到达最理想的位置至少走（ ）A.(18−6√5)米B.(6√5−6)米C. (6√5+6)米D. (18−6√5)米或(6√5−6)米7、某种乐器的弦AB长为120cm,点A、B固定在乐器面板上,弦AB之间有一个支撑点C,且点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为( )A.(120−30√5)cmB.(160−60√5)cmC.(60√5−120)cmD.(60√5−60)cm8、宽与长的比是√5−1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调2和匀称的美感。
【北师大版】数学九(上).4黄金分割同步练习本(课件版)
第三步：以点 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长
线于点 E；
第四步：过点 E 作 EF ⊥ AD，交 AD 的延长线于点 F.
请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形.
证明：在正方形 ABCD 中，取 AB = 2a.
1
的结论. （不需要证明）
解：（1）如图所示：
解：（2）四边形 EBCF 是黄金矩形. 理由如下：
∵四边形 AEFD 是正方形，∴∠AEF = 90°.
∴∠BEF = 90°.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B = ∠C = 90°.
∴∠BEF = ∠B = ∠C = 90°.
∴四边形 EBCF 是矩形.
（3）设 = k，试求 k 的值.
解：（1）如图，BD 即为所求.
解：（2）△BCD 是黄金三角形. 证明如下：
∵点 D 在 AB 的垂直平分线上，∴AD = BD.
∴∠ABD = ∠A.
∵∠A = 36°，AB = AC，
∴∠ABC = ∠C = 72°.
∴∠ABD = ∠DBC = 36°.
∵∠BDC = ∠A + ∠ABD = 72°，
∴∠BDC = ∠C.
∴BD = BC. ∴△BCD 是黄金三角形.
解：（3）设 BC = x，AC = y，由（2）知，
AD = BD = BC = x.
∵∠DBC = ∠A，∠C = ∠C，
∴△BDC ∽ △ABC.
BC
∴AC =
DC
x
，即y =
结果精确到 0.001 m）
解：设维纳斯女神雕像下部的设计高度为 x m，
北师大版九年级上册数学《黄金分割》同步练习(含答案)
黄金分割一 、选择题1.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为2米，则a 约为（ ）A ．1.24米B ．1.38米C ．1.42米D ．1.62米二 、填空题2.如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC = cm ，DC = cm ．3.如图所示，在黄金分割矩形ABCD AB BC ⎛=⎝⎭中，分出一个正方形ABFE ，则FC CD= ．三 、解答题4.如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求,AM DM 的长；（2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？C D F E DB A C6.E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AD AE =，BE 交DC 于F ．已知1AB =，求CF 的长． 黄金分割答案解析一 、选择题1.A;解：∵雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b 为2米，∴a 约为1.24米．二 、填空题2.40；点C 是靠近点B 的黄金分割点，∴:AC AB =，即8040AC AB ==，又∵点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴40BD =，∴8080160DC AC BD AB =+-=-=AB AC =BC AB =．∴BC AB AB -=． ∵BC AB BC BF FC -=-=，AB CD =∴12FC CD =． FE D C BA 160三 、解答题4.1,3AM DM ==M 是AD 的黄金分割点．（1）在Rt APD △中，1,2AP AD ==，由勾股定理知：PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=,3DM AD AM =-=故1,3AM DM =（2）点M 是AD 的黄金分割点．由于AM DM AD AM ∴点M 是AD 的黄金分割点．【解析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =1,3AM AF DM AD ===（2）根据（1）中的数据得：,AM DM AD AM =，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点．5.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,CBF AEB BCF BAE ∠-∠∠-∠∴BCF EAB △∽△ ∴BC AE CF BA =，即AD CF AE AB =2CF =． 【解析】根据平行四边形的性质得出,CBF AEB BCF BAE ∠-∠∠-∠,从而得出BCF EAB △∽△,根据相似三角形比例关系即可得出答案．6.∵AD AE =,∴DE AE又∵DC AB ∥,∴DE DF AE AB =，1AB =∴4DF =∴3CF =。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=10，则AP长约为（）A.0.618B.6.18C.3.82D.0.3822. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列各式不正确的是（）A.AB:AC=AC:BCB.AC=√5−12ABC.AB=√5+12AC D.BC≈0.618AB4. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD是∠ACB的平分线，则△DBC的面积与△ADC的面积的比值是（）A.√5−12B.√5+12C.3−√52D.3+√525. 把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（）A.−1+√5B.3−√5C.3+√5D.1+√56. 现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长约为（）A.6.18B.0.382C.0.618D.3.287. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，若AB=2，则PB=()A.√5−12B.√5+12C.3−√5D.√5−18. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列各式的值不等于√5−12的是（）A.AP ABB.PBAPC.PBABD.√PBAB9. 顶角为36∘的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（）A.25B.10C.15D.2010. 如图所示，顶角为36∘的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长为（）A.k2012B.k2013C.k2013(2+k)D.k20132+k二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. C是长为10cm的线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC=________．12. 如图，△ABC中，D是AB的黄金分割点(AD<BD)，过点D作DE // BC交AC于E，若BC=3+√5，则DE=________．13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．李老师身高165厘米，下半身长与身高的比值是0.6，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________（结果精确到0.1）．14. 美是一种感觉，一矩形的长为6cm，宽为3cm，当矩形的宽与长的比值是黄金比值时，这样的矩形给人一种美感．试问长不变，宽增加________cm时，给人的美感效果最佳．15. 有些植物茎上，相邻两张叶子成137∘28′的角，这种角度使植物通风和采光的效果最佳，这一度数与________∘角成黄金比例．16. 要使点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，那么线段AB、BC、AC应满足的数量关系是________．17. 若点P是AB的黄金分割点(AP<BP)，则线段AP、BP、AB满足关系式________．18. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP<PB，那么PB的值为________．PA19. 已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则AG=________．BC20. 报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走________米报幕．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，在五角星图形中，AD=BC，C，D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长．22.（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP>PB．23. 在△ABC中，D为BC边上一点，过点D作DE//AB交AC与点E，连接BE.若BE= CD，∠C=∠ABE.(1)点D是线段BC的黄金分割点吗？请说明你的理由；(2)已知BC=1，计算黄金比.24. 如图，在线段AB上有一点C，若AC:CB=CB:AB，则称点C为AB的黄金分割点，现已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC)，求BC的长．25. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是________．26. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108∘，过点C作直线CD分别交直线AB，OD=2．AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=12（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比．（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比√5−12①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=√5−12AB≈0.618AB=0.618×10=6.18．故选B．2.【答案】C【解答】解：∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点，∵ AD2=BD⋅AB，∵ AD=AC=BC，∵ BC2=BD⋅AB，即BC:BD=AB:BC，而∠ABC=∠CBD，∵ △BCD∽△BAC，∵ ∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∵ ∠ACD=∠ADC=2x，∵ x+2x+x+x=180∘，解得x=36∘，即∠A=36∘．故选：C．3.【答案】D【解答】解：∵ AC>BC，∵ AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB:AC=AC:BC，AC=√5−12AB，AB=√5+12AC，AC≈0.618AB．故选D．【答案】A【解答】解：设AB=x，BC=y．∵ △ABC中，AB=AC，∠A=36∘，∵ ∠ABC=∠ACB=72∘．∵ CD是角平分线，∵ ∠BCD=∠ACD=36∘．∵ AD=CD=BC=y，∵ BD=x−y．∵ ∠BCD=∠A=36∘，∠B=∠ACB=72∘，∵ △DBC∽△ABC．∵ ABBC =BCBD，即xy =yx−y，x2−xy−y2=0，x=1±√52y（负值舍去）．则yx =√5−12．∵ △DBC与△ADC底边分别为BD，AD时，高度相等，∵ △DBC的面积与△ADC的面积的比值是：ADBD =yx=√5−12．故选：A．5.【答案】A【解答】把2米长的线段进行黄金分割，分成的较长线段的长=√5−12×2=√5−1，【答案】A【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，∵ PA=0.618AB=6.18．故选：A．7.【答案】C【解答】解：当AP>BP时，AP=√5−12×2=√5−1，PB=2−(√5−1)=3−√5，故选C.8.【答案】C【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，∵ AP=√5−12AB，设AB=2，则AP=√5−1，BP=2−(√5−1)=3−√5，∵ APAB =√5−12；PB AP =√5√5−1=√5−12；PB AB =3−√52≠√5−12；√PB AB =√3−√52=√5−12．故选C．9.【答案】D【解答】解：根据题意，得图中的黄金三角形有△BMN、△CNF、△DFG、△EHG、△AMH、△ABN、△CBM、△CDG、△EDF、△AGE、△ACD、△BDE、△CEA、△DBA、△EBC，△NCD，△HDE，△AME，△ABH，△BCF，共20个．故选D10.【答案】C【解答】解：∵ AB=AC=1，∵ △ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2=k(2+k)；△CDE的周长为k2+k2+k3=k2(2+k)；依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k2013(2+k)；故选：C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】(5√5−5)cm【解答】解：∵ 点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∵ AC=√5−12AB，∵ AB=10cm，∵ AC=(5√5−5)cm．故答案为：(5√5−5)cm．12.【答案】2【解答】解：∵ DE // BC，∵ △ADE∽△ABC，∵ DEBC =ADAB，∵ D是AB的黄金分割点(AD<BD)，∵ BD=√5−12AB，∵ AD=AB−√5−12AB=3−√52AB，∵3+√5=3−√52，∵ DE=2．故答案为2．13.【答案】7.8cm 【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈7.8．故答案为7.8cm．14.【答案】(3√5−6)【解答】解：设宽增加xcm，根据题意得x+36=√5−12，解得x=3√5−6，即长不变，宽增加(3√5−6)cm时，给人的美感效果最佳．故答案为(3√5−6)．15.【答案】84.95∘或222.44【解答】解：137∘28′≈137.467∘，137.467∘×0.618=84.95∘，137.467∘÷0.618=222.44∘，所以137∘28′与84.95∘或222.44∘的角成黄金比例．故答案为84.95∘或222.44．16.【答案】AB2=BC⋅AC【解答】解：∵ 点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，∵ AB2=BC⋅AC．故答案为AB2=BC⋅AC．17.【答案】BP2=AB⋅AP 【解答】解：∵ 点P是AB的黄金分割点(AP<BP)，∵ BP2=AB⋅AP．故答案为BP2=AB⋅AP．18.【答案】√5+12【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP<PB，∵ PBPA =√5−13−√5=√5+12，19.【答案】1【解答】解：由题意得，AG=3−√52AB，BC=3−√52AB，∵ AGBC=1．故答案为：1．20.【答案】(15−5√5)【解答】解：报幕员要走的路程为：10×(1−√5−12)=15−5√5（米）．故答案为：(15−5√5)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∵ C、D两点都是AB的黄金分割点，∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12，∵ AD=AC−CD=√5−12−CD，∵ AD=BC，∵ BC=√5−12−CD，而AC+BC=AB，∵ √5−12+√5−12−CD=1，∵ CD=√5−2．【解答】解：∵ C、D两点都是AB的黄金分割点，∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12，∵ AD=AC−CD=√5−12−CD，∵ AD=BC，∵ BC=√5−12−CD，而AC+BC=AB，∵ √5−12+√5−12−CD=1，∵ CD=√5−2．22.【答案】解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×√5−12=√5−1，或AP=2−(√5−1)=3−√5；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．【解答】解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×√5−12=√5−1，或AP=2−(√5−1)=3−√5；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．23.【答案】解：(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明：∵ ∠C=∠ABE，DE//AB，∵ ∠ABE=∠DEB，∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE，∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE，即BE2=BC⋅BD，又BE=CD，∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点；(2)由(1)知，BDBC =CDBD，即BD2=BC⋅CD，∵ BD2=BC(BC−BD)，即BD2=BC2−BC⋅BD，BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2，BC BD =√5+12，BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.【解答】解：(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明：∵ ∠C=∠ABE，DE//AB，∵ ∠ABE=∠DEB，∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE，∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE，即BE2=BC⋅BD，又BE=CD，∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点；(2)由(1)知，BDBC =CDBD，即BD2=BC⋅CD，∵ BD2=BC(BC−BD)，即BD2=BC2−BC⋅BD，BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2，BC BD =√5+12，BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.24.【答案】解：∵ C为线段AB=1的黄金分割点，且AC<BC，BC为较长线段，∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12．【解答】解：∵ C为线段AB=1的黄金分割点，且AC<BC，BC为较长线段，∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12．25.【答案】解：（1）（2）CM=AB【解答】解：（1）（2）CM=AB26.【答案】AB，解：（1）∵ AB是⊙O的直径，DE=12∵ OA=OC=OE=DE，则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，又∠BOC=108∘，∵ ∠CDB+∠OCD=108∘，∵ x+2x=108，x=36∘．∵ ∠CDB=36∘．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵ OE=DE，∠CDB=36∘，∵ △DOE是黄金三角形；∵ OC=OE，∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘．∵ △COE是黄金三角形；∵ ∠COB=108∘，∵ ∠COD=72∘；∵ ∠OCD=∠COD．∵ OD=CD，∵ △COD是黄金三角形；②∵ △COD是黄金三角形，∵ OCOD =√5−12，∵ OD=2，∵ OC=√5−1，∵ CD=OD=2，DE=OC=√5−1，∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，∵以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；∵以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．【解答】解：（1）∵ AB是⊙O的直径，DE=12AB，∵ OA=OC=OE=DE，则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，又∠BOC=108∘，∵ ∠CDB+∠OCD=108∘，∵ x+2x=108，x=36∘．∵ ∠CDB=36∘．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵ OE=DE，∠CDB=36∘，∵ △DOE是黄金三角形；∵ OC=OE，∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘．∵ △COE是黄金三角形；∵ ∠COB=108∘，∵ ∠COD=72∘；∵ ∠OCD=∠COD．∵ OD=CD，∵ △COD是黄金三角形；②∵ △COD是黄金三角形，∵ OCOD =√5−12，∵ OD=2，∵ OC=√5−1，∵ CD=OD=2，DE=OC=√5−1，∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，∵以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；∵以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合。
苏科版初中数学九年级下册《6.2 黄金分割》同步练习卷
苏科新版九年级下学期《6.2 黄金分割》同步练习卷一．选择题（共17小题）1．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间2．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定3．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．5．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣7．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．其中正确的说法的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）A．B．C．D．9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个10．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．12．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）A．（7+7）cm B．（21﹣7）cm C．（7﹣7）cm D．（7﹣21）cm 13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2＝AP•PB B．AP2＝BP•ABC．BP2＝AP•AB D．AP•AB＝PB•AP14．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长（）A．B．C．或D．或15．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A为边的正方形的面积，S2表示以PD，PB为边的矩形的面积，且PD＝AB，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定16．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 17．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定二．填空题（共15小题）18．若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为cm．（结果保留根号）19．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1，AP＞BP，那么AP＝20．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为．21．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝（精确到0.01）22．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是厘米．23．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．24．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．25．如图，若点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8，则BC的长为．26．一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为米．27．如图，在五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，CD＝1，则AB的长是．28．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长厘米．29．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是．30．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为．31．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为厘米．32．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP 的长是cm．三．解答题（共8小题）33．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．34．小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程x+＝1，化简得x2﹣x+1＝0，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程y﹣＝1，变形得y＝1+＝1+＝1+＝1+于是得到形如1+这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段AB的长度设为1，点M是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为z，试将z表示为连分数的形式．35．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．36．已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．38．如果一个矩形的宽长之比（﹣1）：2时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形ABCD是黄金矩形且＝，将矩形ABCD剪裁掉一个正方形ADEF后，剩余的四边形BCEF是否是黄金矩形？请说明理由．39．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）求证：BC2＝AC•CD；（2）求∠ABD的度数．40．在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D （1）求证：AD2＝AC•CD；（2）求线段AD的长．苏科新版九年级下学期《6.2 黄金分割》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间【分析】根据≈2.236，可得答案．【解答】解：∵≈2.236，∴﹣1≈1.236，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键．2．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1、S2即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，设正方形ABCD的边长为2a，∵E为AD的中点，∴AE＝a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE＝＝＝a，∵EF＝BE，∴EF＝a，∴AF＝EF﹣AE＝a﹣a＝（﹣1）a，即AF＝AH＝（﹣1）a∴S1＝AF×AH＝（﹣1）a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，S2＝S正方形ABCD﹣S长方形ADIH＝2a×2a﹣2a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，即S1＝S2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．3．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【解答】解：A、每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B、黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC；故选：B．【点评】此题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据题设条件，由，知[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．【解答】解：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x＝，∵0＜x＜1，∴x＝．故选：D．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．5．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°【分析】如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．想办法证明△BCD∽△ACB，推出∠ABC＝∠C＝2∠A即可解决问题；【解答】解：如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．∵BC＝AB，AD＝BC，∴AD＝AB，∴点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2＝CD•CA，∴BC2＝CD•CA，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴∠BDC＝∠ABC，∠DBC＝∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，设∠A＝x，则∠ABC＝∠A＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，故选：B．【点评】本题考查黄金分割．等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝（﹣1）cm．故选：A．【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．7．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．其中正确的说法的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①利用判别式的值即可判断；②根据方程的解的定义即可解决问题；③根据最简二次根式是定义即可判断；④根据比例中项的定义即可解决问题；⑤根据黄金分割的定义即可解决问题；【解答】解：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5或BC＝5﹣5．故选：C．【点评】本题考查黄金分割、最简二次根式、同类二次根式、一元二次方程的根的判别式、方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）A．B．C．D．【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：∵，∴AB2＝2×（2﹣AB），∴AB2+2AB﹣4＝0，解得，AB1＝，AB2＝（舍去），故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程得到解法、理解黄金分割的概念是解题的关键．9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据黄金矩形的判定解答．【解答】解：∵矩形ABCD是黄金矩形．点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，∴图中黄金矩形有矩形AEGH，矩形GHFB，故选：C．【点评】本题考查的是黄金矩形的判定，掌握黄金矩形的判定是解题的关键．10．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．【解答】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB，①正确；AC＝AB，②错误；BC：AC＝AC：AB，③正确；AC≈0.618AB，④正确．故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．【分析】首先证明BD∥AE，可得△AEF∽△BDF，推出＝（）2，想办法求出即可解决问题；【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴∠EBC＝36°，∴∠ABE＝∠A＝36°，∵∠DBE＝72°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴BD∥AE，∴△AEF∽△BDF，∴＝（）2，设BC＝BE＝AE＝x，∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，∴△CBE∽△CAB，∴BC2＝CE•CA，∴x2＝（2﹣x）2，∴x2+2x﹣4＝0，∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣，∴＝（）2＝故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）A．（7+7）cm B．（21﹣7）cm C．（7﹣7）cm D．（7﹣21）cm 【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：由黄金比值可知，这本书的长＝＝（7+7）cm，故选：A．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2＝AP•PB B．AP2＝BP•ABC．BP2＝AP•AB D．AP•AB＝PB•AP【分析】由AP＞BP知P A是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2＝BP•AB．【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP•AB．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．14．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长（）A．B．C．或D．或【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：由于AC可能是较长的线段，也可能是较短的线段，∴AC＝×＝cm或AC＝﹣（）＝（）cm．故选：C．【点评】考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比计算．这里主要注意AC可能是较长线段，也可能是较短线段．15．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A为边的正方形的面积，S2表示以PD，PB为边的矩形的面积，且PD＝AB，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定【分析】根据黄金分割的定义得到P A2＝PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝P A2，S2＝PB•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，∴P A2＝PB•AB，又∵S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝P A2，S2＝PB•AB，∴S1＝S2．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．16．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 【分析】根据黄金分割的定义得出＝，从而判断各选项．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴＝，即AC2＝BC•AB，故A、B错误；∴AC＝AB，故C错误；BC＝AC，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．17．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．二．填空题（共15小题）18．若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为15﹣15 cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金分割的定义得到这本书的宽＝长×，然后进行计算即可．【解答】解：根据题意得：这本书的宽＝30×＝（15﹣15）cm．故答案为：15﹣15．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．19．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1，AP＞BP，那么AP＝【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1cm，AP＞BP，∴AP＝×1＝．故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．20．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为﹣1．【分析】设分成的较长的线段长为x，根据黄金分割的定义得出方程2（2﹣x）＝x2，求出方程的解即可．【解答】解：设分成的较长的线段长为x，则2（2﹣x）＝x2，x2+2x﹣4＝0，x＝，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（负数不符合题意，舍去），故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的定义是解此题的关键．21．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝0.62（精确到0.01）【分析】由于点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），根据黄金分割的定义得到AC＝AB，然后把AB＝1代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝1，∴AC＝×1≈0.62．故答案为：0.62．【点评】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，难度适中．22．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是6﹣2厘米．【分析】根据黄金比是计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP＝×4＝2﹣2（厘米），∴较短线段AP＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2（厘米），故答案为：6﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，黄金比是是解题的关键．23．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是3﹣3．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．24．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约6cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．【分析】设她要穿xcm的高跟鞋，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，由题意得，＝0.618，解得x＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是黄金分割的知识，根据题意列出方程是解题的关键，注意要准确找出等量关系．25．如图，若点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8，则BC的长为12﹣4．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．【解答】解：由题意知：BC＝，故答案为：12﹣4【点评】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算．26．一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为（15﹣5）米．【分析】根据黄金比为进行计算，即可得到答案．【解答】解：如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，AC＞BC，则AC＝AB＝5（﹣1）米，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣5（﹣1）＝15﹣5米，故答案为：15﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比．27．如图，在五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，CD＝1，则AB的长是+2．【分析】利用黄金分割的定义得到AC＝AB，BD＝AB，然后利用AC+BD＝AB+CD进行计算．【解答】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，∴AC＝AB，BD＝AB，∴AC+BD＝（﹣1）AB，即AB+CD＝（﹣1）AB，∴AB＝+2．故答案为+2．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．28．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长（10﹣20）厘米．【分析】根据黄金分割的定义得到AD＝BC＝AB＝5﹣5，然后利用CD ＝AD+C﹣AB进行计算．【解答】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD＝BC＝AB＝×10＝5﹣5，∴CD＝AD+C﹣AB＝10﹣10﹣10＝（10﹣20）cm．故答案为（10﹣20）．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．29．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是x2﹣6x+4＝0．【分析】设雕像的上部高x m，则下部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可．【解答】解：设雕像的上部高x m，则题意得：，整理得：x2﹣6x+4＝0，故答案为：x2﹣6x+4＝0【点评】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．30．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为6﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB＝AB，代入数据即可得出BP的长度．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP＜BP，则BP＝×4＝（2 ﹣2）cm．∴AP＝4﹣BP＝6﹣2故答案为：（6﹣2）cm．【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．31．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为（﹣1）厘米．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP＝AB＝2×＝（﹣1）厘米．故答案为（﹣1）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．32．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP 的长是（2﹣2）cm．【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝4cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段MN的黄金分割点，∴MP＝MN，而MN＝4cm，∴MP＝4×＝（2﹣2）cm．故答案为（2﹣2）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．三．解答题（共8小题）33．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠C＝72°，∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，则可得到AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2＝CD•AC，于是有AD2＝CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，由（1）的结论得到x2＝1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）解：设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD•AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的长为．【点评】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．34．小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程x+＝1，化简得x2﹣x+1＝0，。
九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割同步练习
第4课时 黄金分割知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BC AC，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果AC 2＝AB·BC，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点2．如图4－4－28，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC)，下列结论错误的是( )图4－4－28A .AC AB ＝BCACB ．BC 2＝AB·ACC .AC AB＝5－12 D .BCAC≈0.618 3．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝2，则AC 的长为( )A .5－1B ．3－ 5C .5－12D ．0.618 4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP ＞BP)，若AB ＝2，则AP －BP ＝________． 5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，求C ，D 之间的距离．图4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A．216° B．135° C．120° D．108°4－4－304－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)图4－4－3210．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( ) A．(3 5－3)cmB．(9－3 5)cmC．(3 5－3)cm或(9－3 5)cmD．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm11．宽与长之比为5－12∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．图4－4－3312．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．图4－4－3413．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD 的长．图4－4－3514．如图4－4－36①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1(S 1>S 2)，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问点D 是不是AB 边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?(2)若△ABC 在(1)的条件下，如图③，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝∠BCD＝90°，对角线AC ，BD 相交于点F ，延长AB ，DC 交于点E ，连接EF 并延长分别交梯形上、下底于G ，H 两点，请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线？并证明你的结论．图4－4－361．C 2.B3．A [解析] ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴AC ＝5－12AB ，而AB ＝2， ∴AC ＝5－1.4．2 5－4 [解析] ∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，∴AP ＝5－12AB ＝5－1，则BP ＝2－AP ＝3－5，∴AP －BP ＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.5．解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点， ∴AC ＝BD ＝80×5－12＝(40 5－40)cm ， ∴CD ＝BD －(AB －BD )＝2BD －AB ＝(80 5－160)cm. 6．B 7.D8．23 ℃ [解析] 37×5－12≈23(℃)． 9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)， 故主持人应走到离A 点至少7.6 m 处才最自然得体．10．C [解析] ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB ＝6 cm ，∴BC ＝5－12AB ＝(3 5－3)cm ，或BC ＝3－52AB ＝(9－3 5)cm.11．解：留下的矩形CDFE 还是黄金矩形． 证明：∵四边形ABEF 是正方形， ∴AB ＝DC ＝AF . 又∵AB AD ＝5－12， ∴AF AD ＝5－12， 即点F 是线段AD 的黄金分割点，∴FD AF ＝AF AD ＝5－12， ∴FD DC＝5－12， ∴矩形CDFE 是黄金矩形．12．[解析] 因为C ，D 均为线段AB 的黄金分割点， 所以AD AB 与BC AB相等，都等于黄金比． 因此AD ＝BC ，所以AC ＝BD .解：∵C ，D 均为线段AB 的黄金分割点， ∴AD AB ＝BC AB，∴AD ＝BC ， ∴AB －AD ＝AB －BC ，即BD ＝AC .设AC ＝BD ＝x cm ，则AD ＝(x ＋6)cm ，AB ＝(2x ＋6)cm. ∵AD AB ＝5－12， ∴x ＋62x ＋6＝5－12， ∴x ＋62（x ＋3）＝5－12，解得x ＝3 5＋3， ∴AB ＝(6 5＋12)cm.13．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°， ∴∠BDC ＝72°， ∴BC ＝BD ＝AD .∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ，∴△BCD ∽△ACB ，∴BC AC ＝CD CB，即BC 2＝AC ·CD ， ∴AD 2＝AC ·CD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点． (2)设AD ＝x ，则CD ＝1－x . 由(1)得x 2＝1－x .解得x 1＝－1－52(舍去)，x 2＝－1＋52，∴AD ＝－1＋52.14．解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点． (2)直线CD 是△ABC 的黄金分割线． 证明：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC ＝12AD ·h ，S △DBC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ，∴S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ，S △DBC ∶S △ADC ＝BD ∶AD .由(1)知点D 是AB 的黄金分割点， ∴AD AB ＝BD AD，∴S △ADC ∶S △ABC ＝S △DBC ∶S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(3)直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线． 证明：∵BC ∥AD ，∴△EBG ∽△EAH ，△EGC ∽△EHD ， ∴BG AH ＝EG EH，①GC HD ＝EG EH.② 由①②得BG AH ＝GCHD，即BG GC ＝AH HD.③同理，由△BGF ∽△DHF ，△CGF ∽△AHF ， 得BG HD ＝GC AH ，即BG GC ＝HDAH.④由③④得AH HD ＝HDAH，∴AH ＝HD ， ∴BG ＝GC ，∴梯形ABGH 与梯形GCDH 的上、下底分别相等，高也相等， ∴S 梯形ABGH ＝S 梯形GCDH ＝12S 梯形ABCD ，∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．。
专题07-黄金分割-同步学与练-(含解析)数学苏科版九年级下册
专题07黄金分割（2个知识点2种题型1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）知识点2.黄金矩形（拓展）【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算题型2.黄金分割的实际应用【方法三】仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算【方法四】成果评定法【学习目标】1.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割、黄金比、黄金分割点、黄金矩形的定义．2.会一条线段的黄金分割点．3.了解黄金分割在生活中的应用，会运用黄金比解决实际问题．【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）黄金分割：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （如图AC BC >），如果AC BC AB AC=，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB =≈，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）注意！！！一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P 是线段AB 的黄金分割点时，需加注 AP PB >或AP ＜ BP ，否则在已知AB 的长度求AP （或BP ）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论．【例1】1．已知线段AB 的长度为l ，点P 在线段上，PB AP AP AB=，求线段AP 的长．【变式1】2．（1）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =厘米，求BP 的长；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，1AB =，求AP 的值．【变式2】3．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求线段AM 、DM 的长；(2)求证：2AM AD DM =⋅；(3)请指出图中的黄金分割点．知识点2.黄金矩形（拓展）【例2】4的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．【变式】．（绵阳）5．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB =（ ）．A ．)1a -B ．()2aC ．)1aD ．()2a 【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算（芦溪县期中）6．已知线段AB 的长度为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（ ）A B C 1或3D 2（瑞安市期末）7．已知P 为线段AB 的黄金分割点，4AB =，AP BP >，则AP 的长为（ ）A ．2B ．4C ．1D ．6-题型2.黄金分割的实际应用（安庆期中）8．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP PB >），如果AP 的长度为10cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．5B ．15-C ．5D ．15+（沈河区期末）9．如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高6cm ，则玩偶嘴巴到脚的距离是（ ）A ．3)cmB C D ．(9-（天长市期中）10．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B 为AC 的黄金分割点（AB BC >），若100AC =cm ，则BC 约为（ ）A ．42cmB ．38cmC ．62cmD ．70cm（酒泉期中）11．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．A ．4.14B ．2.56C ．6.70D ．3.82【方法三】 仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算（黄石）12．关于x 的一元二次方程210x mx +-=，当1m =时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a ，b 满足：221,24a ma b mb +=-=，且2b a ≠-，求ab 的值；(3)已知两个不相等的实数p ，q 满足：2211p np q q nq p +-=+-=,，求pq n -的值．【方法四】 成果评定法一．选择题（共8小题）（杨浦区期末）13．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP =B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．AB AP =（开化县模拟）14．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高 165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm（会同县期末）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（ ）cm ．A ．4-B ．4C ．4+D ．4-（八步区期中）16．若线段MN 的长为1cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，则较长的线段MP 的长为（ ）A ．1)cmB ．(3CD （鄞州区期中）17．点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，则PQ 长度是（ ）A ．1B ．C ．4-D （福鼎市期中）18．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至F ，使得EF BE =，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．若记正方形AFGH 的面积为1S ，矩形BCIH 的面积为2S ，则1S 与2S 的比值是（ ）A B C D ．1（盐湖区校级期中）19．如图，正五边形ABCDE 的几条对角线的交点分别为,,,,M N P Q R ，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若2AB =，则MN 的长为（ ）A ．3B ．3C 1D 1（和平区期末）20．如果一个等腰三角形的顶角为36︒，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 看作第一个黄金三角形；作ABC ∠的平分线BD ，交AC 于点D ，BCD △看作第二个黄金三角形；作BCD ∠的平分线CE ，交BD 于点E ，CDE 看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）A ．2023B ．2024C ．2023D ．2024二．填空题（共8小题）（沈北新区校级月考）21．如果点C 是线段AB 的黄金分割点，2cm =AC ，AC BC >，那么AB 的长为 ．（平川区校级期末）22．若点P 为线段AB 的黄金分割点，且AP BP <，10BP =，则AP = ．（吉安期中）23．如图，线段10cm AB =，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，设以AC 为边的正方形的面积为1S ，以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为21S S ， 2S （填：“>”、“=”或“<”）．（高港区期中）24．我们把宽与长的比是1):2的矩形叫做黄金矩形，从外形看它最具美感．小明想制作一张“黄金矩形”的贺卡，已知贺卡长为20cm ，那么贺卡的宽为 cm ．（结果保留根号）．（朝阳一模）25．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB 的长为20米，主持人站在点C 处自然得体，已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，则此时主持人与点A 的距离为 米．（徐汇区期末）26．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，如果2AB =，那么BP 的长是 ．（达州）27．如图，乐器上的一根弦80cm AB =，两个端点,A B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，,C D 之间的距离为 ．（天府新区期中）28．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB = ．三．解答题（共5小题）（市南区校级期中）29．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，计算线段AB 的黄金比AC AB 的值．（瑞安市期中）30．（1）已知 4.5a =，2b =，c 是a ，b 的比例中项，求c ；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，求AC 的长．（金安区校级期中）31．已知顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比），如图，ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，已知36A ∠=︒，1AB =，求DE 的长度．（上城区校级期中）32．如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？（兰山区期中）33．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计多高？参考答案：1．AP=【分析】由题意得点P是线段AB的黄金分割点，再列式计算即可．=，【详解】解： 点P在线段AB上，PB APAP AB∴点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，PB AP∴==AP AB线段AB的长度为l，AP∴．【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值．2．（1）(9BP=-厘米；（2）2AP=或1AP=-．【分析】（1）根据条件建立等式AP AB=，求解即可；（2然后建立等式求解．【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且AP BP>，可知AP AB=，此时(BP AB69===-厘米；（2故2AP ABAP=．==或1【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．3．(1)1DM=AM=-，3(2)见解析(3)见解析【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1,3AM AF DM AD AM ===-=（2）根据（1）所求分别求出2AM AD DM ⋅，的值即可证明结论；（3）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）解：在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知：PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，∴3DM AD AM =-=（2）证明：由（1）得)(2216236AM AD DM ==-⋅=⨯=-∴2AM AD DM =⋅；（3）解：∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．4．是；见解析【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案．【详解】解：是，证明如下：∵四边形ABEF 是正方形，∴AB AF =，∵四边形ABCD 是矩形 ，∴AB CD =，∴AF CD =，又∵AB AD =∴AF AD =， 即点F 是AD 的黄金分割点，∴AF AD =，∴DF AD AF AD =-=，∴DF AF =，即DFDC=∴矩形CDEF 是黄金矩形．5．D【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握A BB F =计算即可．【详解】解：设AB x =，四边形ABCD 是正方形，AB BC x ∴==，矩形ABFG 是黄金矩形，A B B F \=4x x a \=+解得：(2x a =+，经检验：(2x a =+是原方程的根，(2A B a \=+，故选：D ．6．C【分析】分AC ＜BC 、AC ＞BC 两种情况，根据黄金比值计算即可．【详解】解：当AC ＜BC 时，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴1BC AB ==，同理当AC ＞BC 时，1AC AB ==，∴)213BC AB AC =-=-=故选C ．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线）叫做黄金比．7．A【分析】本题考查了黄金分割的概念．黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值【详解】解： 点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且4AB =，AP BP >，42AP ∴==．故选：A ．8．A【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：AP AB =，由此可求得AB 的长．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点，∴AP AB =，即105)cm AB ==+，故选：A ．9．A【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答．【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为：()63cm =故选：A ．10．B【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：0.618ABAC≈，100AC =cm ，∴61.8cm AB ≈，∴38cm BC AC AB =-≈；故选B ．11．A【分析】设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，确定BC 的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．【详解】如图，设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，AC =1.58米,∴BC =1.58÷0.618=2.56米，故车长为1.58+2.56=4.14米，故选:A ．【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．12．(2)2(3)0【分析】（1）依据题意，将1m =代入然后解一元二次方程210x x +-=即可得解；（2）依据题意，将224b m b -=变形为21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以看作a ，2b -是一元二次方程210x mx +-=的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq ，进而可以得解．【详解】（1）依据题意，将1m =代入210x mx +-=得210x x +-=，解得x =，∵黄金分割数大于0，∴（2）∵224b m b -=，∴2240b m b --=，则21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又∵2b a ≠-，∴a ，2b-是一元二次方程210x mx +-=的两个根，则12b a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，∴2ab =．（3）∵21p np q +-=，21q nq p +-=；∴()()2211p np q nq q p +-++-=+；即()()222p q n p q p q +++-=+；∴()()222p q pq n p q p q +-++-=+．又∵()()2211p np q nq q p +--+-=-；∴()()()22p q n p q p q -+-=--；即()()10p q p q n -+++=．∵p ，q 为两个不相等的实数，∴0p q -≠，则10p q n +++=，∴1p q n +=--．又∵()()222p q pq n p q p q +-++-=+，∴()()212121n pq n n n ---+---=--，即0pq n -=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．13．A【分析】由于点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，故有AP 2=BP×AB ，那么AB APAP BP=.【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即AB APAP BP=，故A正确，B、C错误；BP APAP AB==D错误；故答案为A.【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．14．C【分析】本题考查了黄金分割的应用．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可．【详解】根据已知条件得下半身长是1650.6099⨯=，设需要穿的高跟鞋是y，根据黄金分割的定义得：990.618 165yy+=+，解得：8y≈．故选：C．15．B【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB，∵AB的长度为8cm，∴AP×8=4（cm）．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．16．C【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】解： 点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，1cm MN =，)cm MP ∴==，故选：C ．17．C【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．根据黄金分割的定义，得到AQ BP AB AB ==【详解】如图，点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，∴AQ BP AB AB ==∴1AQ BP ==，∴1124PQ AQ BP AB =+-=---=，故选：C ．18．D【分析】根据H 是AB 的黄金分割点求出2AH BH AB =⋅，求出21S AH =，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，再得出答案即可．【详解】解：H 是AB 的黄金分割点，2AH BH AB ∴=⋅，21S AH = ，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，12S S ∴=，即121S S =，故选：D ．【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．19．A【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABME 为平行四边形，进而求出BM 的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到MN 的长.黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形∴2AE AB ==，()180521085EAB ABC ︒⨯-∠=∠==︒,∴36AEB ABE ∠=∠=︒同理可得36CBD ∠=︒∴1083672ABD ∠=︒-︒=︒∵10872180EAB ABD ∠+∠=︒+︒=︒∴AE BD同理可证明EC AB ∥∴四边形ABME 为平行四边形∴2EM AB ==,2BM AE ==，同理：2DN =，∵M 、N 为BD 的黄金分割点∴BD =21=+，∴DM BD BM =-=1，∴21)3MN DN DM =-=-＝故选：A ．20．A【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识；由黄金三角形的定义得BC AB =，同理求出2CD =，3DE =，可得第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，第2，第3个黄金三角形的腰长是2，第4个黄金三角形的腰长是3，得出规律第n 个黄金三角形的腰长是1n -，即可得出答案．【详解】解：∵ABC 是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，∴BC AB =，BC AB ∴==，∵BCD △是第2个黄金三角形，∴CD BC =第2，2CD ∴==，∵CDE 是第3个黄金三角形，∴DE CD 第3个黄金三角形的腰长是2，3DE ∴==，∴第4个黄金三角形的腰长是3，…∴第n 个黄金三角形的腰长是1n -，∴第2024个黄金三角形的腰长是202412023-=，故选：A ．21．(1cm【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，”结合题意AC BC >，且2cm =AC ，即可列出关于线段AC 长的等式，解出AC 即可．【详解】解：∵点C 是线段AB 的一个黄金分割点，且AC BC >，∴AC AB =，∴2AB∴)1cm AC =+．故答案为：(1cm ．22．5-+5【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．设AP x =，则10AB x =+，根据黄金分割的定义得到AP BP BP AB =即101010x x =+，解方程即可得到答案．【详解】解：设AP x =，则10AB AP BP x =+=+，∵点P 为线段AB 的黄金分割点，∴AP BP BP AB =，即101010x x =+，∴2101000x x +-=，解得5x =-+或5x =--（舍去），经检验，5x =-+∴5AP =-+故答案为：5-+23．=【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴AC BC AB AC=，∴2AC AB BC =⋅，∵212,S AC S AB BC ==×，∴12S S =，故答案为：=．【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．24．)101【分析】本题主要考查的是黄金分割的概念和性质，根据黄金比值求解即可．【详解】解∶ 宽与长的比是1):2-，∵贺卡长为20cm∴贺卡宽为)20101=，故答案为：)101.25．()10##(10-+【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得AC AB =，再代入AB 的长计算即可．【详解】解： 点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，20AB =米，2010)AC ∴===（米)，故答案为：10)．26．3##3+【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，2BP AB AP AP =-=-，由点P 是线段AB 的黄金分割点，可得=AP BP AB AP ，即22AP AP AP -=，整理得2240AP AP -+=，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：由题意知，2BP AB AP AP =-=-，∵点P 是线段 AB 的黄金分割点，∴=AP BP AB AP ，即22AP AP AP-=，整理得2240AP AP -+=，解得：1AP =-1AP =-，∴(2213BP AP =-=--=故答案为：327．160)cm-【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分，由此即可求解．【详解】解：弦80cm AB =，点C 是靠近点B 的黄金分割点，设BC x =，则80AC x =-，∴8080x -=120x =-点D 是靠近点A 的黄金分割点，设AD y =，则80BD y =-，∴8080y -=120y =-，∴,C D 之间的距离为8080120120160x y --=-++=，故答案为：160)cm ．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．28．()2a【分析】结合题意可得，DE 和EF 是扇形DEF 的边，则DE EF CE CF ==+，根据正方形性质可得BC CD AB ==，90ECD ∠=︒，因为E 是BC 的中点，则12CE BE BC ==；根据勾股定理可得，直角CDE 中，222CD CE DE +=，即DE =CE CF +=AB 的值．【详解】解：依题得：DE EF =，设2AB x =，则正方形ABCD 中，2BC CD AB x ===，90ECD ∠=︒，E 是BC 的中点，12CE BE BC x ∴===，又4CF a = ，4EF CE CF x a DE ∴=+=+=，在直角CDE 中，222CD CE DE +=，即()()22224x x x a +=+2225816x x ax a =++2224x ax a -=()225x a a -=)11x a ∴=，()21x a =，40CF a => ，即0a >，()210x a ∴=<，2x ∴舍去，)()2212AB x a a ∴===+．故答案为：()2a ．【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到DE EF CE CF ==+和222DE CE CD =+两个等量关系式列一元二次方程．29即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．【详解】解： 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，∴AC AB =，∴线段AB 的黄金比AC AB ．30．（1）c 为3或3-；（2）2AC =【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可；（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．【详解】解：（1）∵c 是,a b 的比例中项，∴2 4.529c ab ==⨯=∴13c =，23c =-∴c 为3或3-；（2）∵C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，∴4 2.AC AB ===31【分析】证明ABC BDC ∽△△，可得2BC AB CD =⨯，从而得到221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，进而得到CD =【详解】解：∵ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，∴,,AB AC BD BC AD DE CD ====，36A CBD CDE ∠=∠=∠=︒，∵C C ∠=∠，∴ABC BDC ∽△△，∴AC BC BC CD=，∴2BC AB CD =⨯，∵1AB =，∴221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，∴1AD CD =-③，代入①整理得，()21CD CD =-，解得：CD =∵1CD <，∴CD =，∵DE CD =，∴DE =【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金三角形的定义，解题的关键是理解黄金三角形的定义．32．(1)AM 1，DM 的长为3(2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD ===，则1,3AM AF DM AD AM ==-=-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．33．1)m【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2)m x -，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为x m ，则题意得：22x x x -=，整理得：2240x x +-=，解得11x =，21x =-（舍去），答：雕像的下部高为1)m -．。
2021年苏科版九年级数学下6.2黄金分割同步练习含答案与试题解析
2021年苏科版九年级数学下6.2黄金分割同步练习一．选择题（共2小题）1．（2019秋•瑶海区期中）点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜CB ），若AC ＝2，则CB ＝（ ）A ．√5+1B ．√5+3C ．√5−12D ．3−√522．（2020秋•长丰县期末）如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）A ．（40√5−40）cmB ．（80√5−40）cmC ．（120﹣40√5）cmD ．（80√5−160）cm二．填空题（共5小题）3．（2014秋•泾县校级期中）报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走 米报幕．4．（2020秋•射阳县期末）如图，东方明珠电视塔高468m ，如果把塔身看作一条线段AC ，中间的球体看作点B ，那么点B 是线段AC 的黄金分割点，则AB 的长为 m ．（精确到0.1m ）5．（2017秋•秦淮区期末）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适．因此夏天使用空调时，如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到 ℃最适合．（结果保留到个位数字）6．（2018秋•崇明区期末）已知线段AB 的长为10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm．（结果保留根号）7．（2015秋•泰州校级月考）科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长为98cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm（精确到0.1cm）．2021年苏科版九年级数学下6.2黄金分割同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2019秋•瑶海区期中）点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜CB ），若AC ＝2，则CB ＝（ ）A ．√5+1B ．√5+3C ．√5−12D ．3−√52【解答】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＜CB ，∴CB =√5−12×AB =√5−12×（AC +BC ）， ∴CB =√5−12×（2+BC ），解得，CB =√5+1，故选：A ．2．（2020秋•长丰县期末）如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）A ．（40√5−40）cmB ．（80√5−40）cmC ．（120﹣40√5）cmD ．（80√5−160）cm【解答】解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点， ∴AC ＝BD ＝80×√5−12=40√5−40，∴CD ＝BD ﹣（AB ﹣BD ）＝2BD ﹣AB ＝80√5−160，故选：D ．二．填空题（共5小题）3．（2014秋•泾县校级期中）报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走 （15﹣5√5） 米报幕．【解答】解：报幕员要走的路程为：10×（1−√5−12）＝15﹣5√5（米）．故答案为：（15﹣5√5）．4．（2020秋•射阳县期末）如图，东方明珠电视塔高468m ，如果把塔身看作一条线段AC ，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为289.2m．（精确到0.1m）【解答】解：AB=√5−12AC≈468×0.618≈289.2（m）．故答案为289.2．5．（2017秋•秦淮区期末）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适．因此夏天使用空调时，如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到23℃最适合．（结果保留到个位数字）【解答】解：36.5℃×0.618＝23℃．所以如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到23℃最适合．故答案为23．6．（2018秋•崇明区期末）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝5√5−5cm．（结果保留根号）【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC=√5−12AB＝（5√5−5）cm，故答案为：5√5−5．7．（2015秋•泰州校级月考）科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长为98cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 2.3 cm（精确到0.1cm）．【解答】解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度为xcm，由题意得，98+x160+x=0.618，解得x≈2.3．该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度为2.3cm。
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19.2黄金分割
一、请你填一填
（1）如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项．
图4—2—1
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）．
（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm ．
（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________．
（5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d
b c a ++=________． 二、认真选一选
（1）已知y
x 23=,那么下列式子成立的是_________． [ ] A ．3x =2y B ．xy =6
C ．3
2=y x D ．32=x y （2）把ab =21
cd 写成比例式，不正确的写法是_________． [ ]
A ．
b d
c a 2= B ．b
d c a =2 C ．b d c a =2 D ．d
a b c 2= （3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于_________．[ ]
A ．3∶1
B ．2∶3
C ．2∶1
D ．3∶2
（4）有以下命题:
①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d
c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项
③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项
④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1
其中正确的判断有_________． [ ]
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
三、细心算一算
已知实数a ,b ,c 满足
c b a b a c a c b +=+=+,求a
c b +的值． 四、好好想一想
以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4—2—2．
图4—2—2
（1）求AM 、DM 的长．
（2）求证：AM 2
=AD ·DM ．
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
参考答案
一、（1）AP
PB AB AP = PB AB （2）0.618
（3）10
（4）22∶1∶2即1∶2∶2
（5）3
二、（1）D （2）B （3）C （4）C 三、解：设c
b a b a
c a c b +=+=+=k 则b +c =ak ,c +a =bk ,a +b =ck
∴2（a +b +c ）=k （a +b +c ）
当a +b +c ≠0时，∴k =2,∴a
c b +=2 当a +b +c =0时,b =－（b +c ）,
a c
b +=－1 四、解：如图（见原题图）
（1）∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 中点 ∴AB =AD =2，AP =1
在Rt △A PD 中，PD =
522=+AD AP
∵PF =PD ,
∴AF =PF －AP =5－1
∵AMEF 是正方形，
∴AM =AF =5－1 DM =AD －AM =2－（5－1）=3－
5 （2）由（1）得AM 2=（5－1）2=6－25
AD ·DM =2（3－5）=6－25
∴AM 2=AD ·DM
（3）图中点M 是线段AD 的黄金分割点．。