模糊数学原理及其应用

模糊数学原理及其应用

目录

模糊数学原理及其应用

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摘要

1．模糊集的定义

2．回归方程

3．隶属函数的确定方法

3.1隶属函数

3.2隶属度

3.3最大隶属原则

4．模糊关系与模糊矩阵

5．应用案例——模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用

5.1研究的目的

5.2国外研究情况

5.2.1

5.2.2

5.3国内研究情况

5.3.1

5.3.2

5.4研究的意义

6，小结与展望

参考文献

摘要：

文章给出了模糊集的定义，对回归方程式做了一定的介绍。并且介绍了隶属函数，隶属度，隶属度原则，以及模糊关系与模糊矩阵的联系与区别。

本文给出了一个案例，是一个关于模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用，本文提出针对影响侵蚀的各个因素进行比较，找出影响最大的一项因子进行分析应用。

关键字模糊数学回归方程隶属函数模糊关系与模糊矩阵

1.模糊集

1）.模糊集的定义

模糊集的基本思想是把经典集合中的绝对隶属函数关系灵活化，用特征函

数的语言来讲就是：元素对“集合”的隶属度不再是局限于0或1，而是

可以取从0到1的任一数值。

定义一

如果X是对象x的集合，则X的模糊集合A：

A={（x, μA（x））| x∈X}

μA（x）称为模糊集合A的隶属函数（简写为MF）X称为论域或域。

定义二

设给定论域U,U在闭区间[0,1]的任一映射μ

A：

μA：U→[0,1]

x→μA（x）,x∈U

可确定U的一个模糊子集A。模糊子集也简称为模糊集。

μA（x）称为模糊集合A是隶属函数（简写为MF）。

2）.模糊集的特征

一元素是否属于某集合，不能简单的用“是”或“否”来回答，这里有一个渐变的过程。[1]

3）.模糊集的论域

1>离散形式（有序或无序）：

举例:X={上海，北京，天津，西安}为城市的集合，模糊集合C=“对

城市的爱好”可以表示为：

C={(上海，0.8)(北京，0.9)(天津，0.7)(西安，0.6)}

又：X={0,1,2,3,4,5,6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合，模糊集合C=“合适的可拥有的自行车数目的集合”

C={（0,0.1），（1,0.3），（2,0.7），（3,1.0），（4,0.7），（5,0.3），（6,0.1）}

2>连续形式

令X=R +

为人类年龄的集合，

模糊集合A=“年龄在50岁左右”则表示为：

A={x ，μA （x ）,x ∈X }

式中μA （x ）=4)1050(11-+x

2. 回归方程

1>回归方程

回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。

指具有相关的随机变量和固定变量之间关系的方程。

回归直线方程

若：在一组具有相关关系的变量的数据（x 与Y ）间，通过散点图我们可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，而我们希望其中的一条最好地反映x 与Y 之间的关系，即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，记此直线方程为（如右所示，记为①式）

这里在y的上方加记号“^”，是为了区分Y的实际值y，表示当x取值xi=1，2，……，6）时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是

①式叫做Y对x的

回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，b叫做回归系数。要确定回归直线方程①，只要确定a与回归系数b。

2>最小二乘法

用各个离差的平方和M=Σ(i=1到n)[yi-(axi+b)]^2最小来保证每个离差的绝对值都很小。解方程组?M/?a=0；?M/?b=0，整理得(Σxi^2)a+(Σxi)b=Σxiyi；(Σxi)a+nb=Σyi。解出a,b。

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中, 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X (式1-1)

其中：a0、a1 是任意实数

为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)

把(式1-1)代入(式1-2)中得:

φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)

当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

(式1-4)

(式1-5)

亦即：

m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)

得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)

a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9)

这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。

在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2,

y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。

R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊

在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。[2]

最小二乘法公式