2016年北京大学博雅计划数学试题

2016年北京大学博雅计划数学试题
选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.
1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）
A -3
B -2
C -1
D 前三个答案都不对
2.已知三角形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题：
为边长的三角形一定存在；⑵以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；⑶以,,222
a b b c c a +++为边长的三角形一定存在；⑷以1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（ ）
A 2
B 3
C 4
D 前三个答案都不对
3.设,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（ ）
A
D 前三个答案都不对
4.函数*1,,(,)1,,,()0,,q x p q p q N p p f x x Q ⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩
，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对
5.若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）
A -13
B -9
C -5
D 前三个答案都不对
6.已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比是（ ） A
12 B 13 C 14
D 前三个答案都不对 7. 计算210cos cos cos 111111πππ的值为（ ） A 116- B 132- C 164- D 前三个答案都不对 8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程2
0ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x
=∑等于（ ） D 前三个答案都不对
9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（ ）
A 34650
B 5940
C 495
D 前三个答案都不对
10. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（ ）
A 11
B 12
C 13
D 前三个答案都不对
11. 两个圆内切于点K ,大圆的弦AB 与小圆切于点L ，已知:2:5AK BK =，10AL =，则BL 的长为（ ）
A 24
B 25
C 26
D 前三个答案都不对
12. ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有2
2()(1)1f x f x +-=
，则(f 等于（ ） A 0 B 1
2 C 1
3 D 前三个答案都不对
13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）
A 30
B 36
C 42
D 前三个答案都不对
14. 已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）
A 101
B 301
C 401
D 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）
A -1
B 0
C 1
D 前三个答案都不对
16.已知1a b c ++=
的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）
A [10,11)
B [11,12)
C [12,13)
D 前三个答案都不对
17.在圆内接四边形ABCD 中，06,30BD ABD CBD =∠=∠=，则四边形ABCD 的面积等于（
）
A
前三个答案都不对
18. 1!2!3!2016!++++除以100所得的余数为（ ）
A 3
B 13
C 27
D 前三个答案都不对
19.方程组23
234345
,
,x y z x y z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解的组数为（ ）
A 5
B 6
C 7
D 前三个答案都不对
20.方程33
3()333x x x x
x +++=的所有实根的平方和等于（ ）
A 0
B 2
C 4
D 前三个答案都不对
2016年北京大学博雅计划数学试题答案
ABCDA BDBDA BCABD CBBCC
略解：
1.由于/()x a x a e e ++-=-，于是切点横坐标为x a =-，从而有()2a a a e -+--+=-，解得3a =-.
2.不妨假设0,a b c a b c <≤≤+> ⑴正确，因为有0a b c a b c +-≥+->； ⑵错误，2,3,4a b c ===即为反例； ⑶正确，因为有0222a b c a b c a ++++-=>； ⑷正确，因为有(1)(1)(1)()()0a b b c c a a b b c c a -++-+--+>-+---=
3.如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⨯， 因此2262OE DE DO =-=
4.满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为11，分别为11213123415,,,,,,,,,,23344555566。

5.根据题意，有2242(31)(3)x x x x c x ax bx c --+-=+++，
于是10,33a c b c =--=-，从而213a b c +-=-。

6.令2log k x =，则11,,23a x a x a x ++
+成等比数列，从而4x a =-，进而可得公比为13
. 7.根据题意，有210cos cos cos 111111πππ=2458(cos cos cos cos cos )1111111111
πππππ 367910(cos cos cos cos cos )1111111111πππππ=224816(cos cos cos cos cos )1111111111πππππ-11024=- 8.因为一元二次方程的虚根必然共轭，因此可设12(cos sin ),(cos sin )x r i x r i θθθθ=+=-，
从而212
(cos3sin 3)x r i x θθ=+为实数，所以()3k k Z πθ=∈，于是1222cos sin 33x k k i x ππ=+， 所以201612015
121022
1()()01k k x x x x x x =-==-∑. 9.不同分法数有444128433
5775C C C A ⋅⋅=. 10.因为BAF CAE ∠=∠,于是AE AF ⊥，又因为BAD ACD ∠=∠，于是AD BC ⊥，
故2AD DE DF DB DC =⋅=⋅，解得9DC =，从而11BC =
11.如图，设BK 与小圆交于点M ，连接ML ，CD 为两圆在K 处的公切线，由弦切角定理得:
DKM BAK KLM ∠=∠=∠,又KLA KML ∠=∠,所以AKL BKL ∠=∠,因此由角平分线定理可得： ::AL BL AK BK =,从而可得25BL =
12.分别令0,1,1x =-，可得2(0)(1)1,2(1)(0)1,2(1)(0)1f f f f f f +-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩
，解得1(0)(1)(1)3f f f ==-=，再令2x =-，可得：2(2)(1)1f f -+=，从而1(2)3
f -= 13.以正9边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有4个，其中有一个是等边三角形，因此所有的方法数为1939303
⨯⨯+= 14.考虑,,,a mn b pq c mp d nq ====。

则()()a b c d mn pq mp nq m q n p +++=+++=++
于是a b c d +++不是质数即可，如301743(16)(142)=⋅=++
于是取1,252,42,6a b c d ====可得答案
15.设323232
333x x y y z z m -=-=-=，则,,x y z 是关于t 的方程33t t m -=的三个实根，其中m 为常数， 由韦达定理可知3x y z ++=。

16.设函数()41f x x =+，则其导函数/2()41
f x x =+，做出函数()f x 的图像，函数()f x 在13x =处的切线 221121()733y x =-+，以及函数()f x 的图像过点1(,0)4-和3(,7)2的割线4177
y x =+，如图 于是可得4122112141()73377
x x x +≤+≤-+， 左侧等号当14x =-
或32x =时取得；右侧等号当13x =时取得，因此原式的最大值为21，当13
a b c ===时取得；最小值为7，当13,42a b c ==-=时取得，从而原式最大最小值的乘积73147[144,169)=∈.
17.如图，连接AC ，有CD AD =且3AC AD =,则有托勒密定理可得
AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅,即()63AD AB BC AD +=,
于是63AB BC +=,进而3()932
ABCD ABD CBD S S S AB BC ∆∆=+=
+=. 18.由于当10n ≥且n N ∈时，100!n ，于是 1!2!3!2016!1!2!3!9++++≡++++！(mod100)
126242*********(mod100)13(mod100)≡++++++++≡
19.顺次记方程中的方程为①，②，③，则①⨯③-②2可得22
()0xy x y -=从而0x =或0y =或x y =
情形一：0x =或0y =此时可得(,,)(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,0,1)x y z =--
情形二：x y =此时可得(,,)(1,x y z =-- 综上所述，原方程共有7组实数解。

20.令3()3
x x f x +=，则原方程等价于(())f f x x =，因为函数()f x 是R 上的增函数，故原方程又等价于()f x x =，
所以原方程的所有实根为4。