无旋流动的速度势函数解读
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第三节
无旋流动的速度势函数
在任意时 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 刻处处为零，即满足 V 0的流动为无旋流动，无旋流动也 称为有势流动。
一、速度势函数引入
二、速度势函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质
一、速度势函数引入
无旋流动的假定
由数学分析可知， V 0是 udx vdy wdz 成为某 一标量函数 ( x，y，z，t ) 全微分的充分必要条件。
二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数φ满足拉普拉斯 方程，势函数φ是调和函数。
2 2 2 2 0 2 2 2 x y z
拉普拉斯（Laplace）方程
2 2 2 2 2 x y z 2
2
拉普拉斯算子
在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯 方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为 调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方 程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求 解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分
B B AB Vds (udx vdy wdz) d B A A A A B
这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。 对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单 值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于 AB 0 零，即 。 （3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
V ui vj wk i j k grad x y z
对于圆柱坐标系，则有 1 vr ，v ，v z r r z
d vr dr v rd vzdz
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不 论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然 存在速度势函数。
函数φ称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函 数φ的流动为有势流动，简称势流。 根据全微分理论，势函数φ的全微分可写成
d dx dy dz x y z
u ，v ，w x y z
u
按矢量分析
，v ，w x y z
无旋流动的速度势函数
在任意时 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 刻处处为零，即满足 V 0的流动为无旋流动，无旋流动也 称为有势流动。
一、速度势函数引入
二、速度势函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质
一、速度势函数引入
无旋流动的假定
由数学分析可知， V 0是 udx vdy wdz 成为某 一标量函数 ( x，y，z，t ) 全微分的充分必要条件。
二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数φ满足拉普拉斯 方程，势函数φ是调和函数。
2 2 2 2 0 2 2 2 x y z
拉普拉斯（Laplace）方程
2 2 2 2 2 x y z 2
2
拉普拉斯算子
在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯 方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为 调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方 程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求 解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分
B B AB Vds (udx vdy wdz) d B A A A A B
这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。 对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单 值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于 AB 0 零，即 。 （3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
V ui vj wk i j k grad x y z
对于圆柱坐标系，则有 1 vr ，v ，v z r r z
d vr dr v rd vzdz
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不 论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然 存在速度势函数。
函数φ称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函 数φ的流动为有势流动，简称势流。 根据全微分理论，势函数φ的全微分可写成
d dx dy dz x y z
u ，v ，w x y z
u
按矢量分析
，v ，w x y z