直线方程的概念及斜率练习题
人教B版高中数学必修二2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学学习材料(灿若寒星 精心整理制作)2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率一、选择题1.有下列命题:①若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应;②若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应;③坐标平面上所有的直线都有倾斜角;④坐标平面上所有的直线都有斜率.其中错误的是( )A .①②B .③④C .①③D .②④[答案] D[解析] 当直线的倾斜角为90°时,其斜率不存在,故②、④错.2.直线l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( )A .45°B .135°C .135°或225°D .0°[答案] A[解析] 由斜率公式得直线l 的斜率k =0-(-1)0-(-1)=1,故倾斜角为45°. 3.直线y =kx +b ,当k >0,b <0时,此直线不经过的象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .以上都不是[答案] B[解析] 由k >0知,直线的倾斜角为锐角,由b <0知,直线过y 轴负半轴上点(0,b ),∴直线不经过第二象限.4.若A (-2,3)、B (3,-2)、C (12,m )三点共线,则m 值为( ) A .-2B .2C .-12D.12[答案] D[解析] 解法一:k AB =-2-33-(-2)=-1, k AC =m -312-(-2)=k AB =-1, 解得m =12, 解法二:可用两点间距离求解|AC |+|CB |=|AB |.(注意三点横坐标从左至右依次为A 、C 、B )5.点(1,3)、(5,7)和(10,12)的位置关系是( )A .在同一条直线上B .三点间的距离两两相等C .三点连线组成一个直角三角形D .三点连线组成一个等边三角形[答案] A[解析] 由任意两点连线斜率相等可得.6.斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(-1,b )三点,则a +b 等于( )A .4B .-7C .1D .-1 [答案] C[解析] 由题意,得2=7-5a -3=b -5-1-3, ∴a =4,b =-3,∴a +b =1.7.过M (-2,m ),N (m,4)的直线的倾斜角为90°,则m 的值为( )A .-2B .4C .2D .-4 [答案] A8.若直线l 经过二、四象限,则直线l 的倾斜角的范围是( )A .[0°,90°)B .[90°,180°)C .(90°,180°)D .[0°,180°)[答案] C[解析] 由直线过二、四象限,则直线斜率为负,因此倾斜角的范围是(90°,180°).二、填空题9.若过点P (1,1)、Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是____________.[答案] ⎝⎛⎭⎫-∞,12 [解析] 由k =2a -13-1=2a -12<0,得a <12. 10.如图所示,直线l 1、l 2、l 3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4,从小到大的关系是____________.[答案] k 1<k 3<k 4<k 2[解析] 由倾斜角和斜率的关系可知k 1<k 3<k 4<k 2.11.已知点A 的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B ,若k AB =2,则B 点的坐标为________.[答案] (1,0)或(0,-2)[解析] 设B (x,0)或(0,y ),k AB =43-x 或4-y 3, ∴43-x=2或4-y 3=2,∴x =1,y =-2. 12.已知两点M (2,-3)、N (-3,-2),直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是________[答案] k ≥34或k ≤-4 [解析] 如图所示,k PM =1-(-3)1-2=-4,k PN =1-(-2)1-(-3)=34, 因为过点P 且与x 轴垂直的直线P A 与线段MN 相交,但此时直线l 的斜率不存在,当直线PN 绕点P 逆时针旋转到P A 处的过程中,l 的斜率始终为正,且逐渐增大,所以此时l的斜率的范围是k ≥34,当直线l 由P A (不包括P A )逆时针绕P 点旋转到PM 处的过程中,斜率为负且逐渐增大,此时l 的斜率范围是k ≤-4.三、解答题13.经过下列两点的直线的斜率是否存在,如果存在,求其斜率.(1)A (-3,2)、B (2,-3);(2)P (m ,b -2)、Q (m ,c -6).[解析] (1)存在 k AB =2-(-3)-3-2=-1. (2)∵P 、Q 两点横坐标相等,∴斜率不存在.14.(1)当且仅当m 为何值时,经过两点A (-m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12?(2)当且仅当m 为何值时,经过两点A (m,2)、B (-m,2m -1)的直线的倾斜角是45°? [解析] (1)由题意,得3m -61-(-m )=12, 解得m =-2.(2)由题意,得(2m -1)-2-m -m=1, 解得m =34. 15.已知A (1,1)、B (3,5)、C (a,7)、D (-1,b )四点共线,求直线方程y =ax +b .[解析] ∵A 、B 、C 、D 四点共线,∴直线AB 、AC 、AD 的斜率相等,即k AB =5-13-1=2, k AC =7-1a -1,k AD =b -1-1-1, ∴2=6a -1=b -1-2.解得a =4,b =-3. ∴所求直线方程为y =4x -3.16.已知方程2x +3y +6=0. (1)把这个方程改写成一次函数形式;(2)画出这个方程所对应的直线l ;(3)点⎝⎛⎭⎫32,1是否在直线l 上?(4)方程2x +3y +6=0(x ∈Z )是不是直线l 的方程?[解析] (1)由2x +3y +6=0,得3y =-2x -6,即y =-23x -2. (2)当x =0时,y =-2,y =0时,x =-3,∴在坐标平面内作出两点,即A (0,-2)、B (-3,0).作出直线AB 即为方程2x +3y +6=0的直线l .(3)将⎝⎛⎭⎫32,1的坐标代入2x +3y +6=0不满足,∴点⎝⎛⎭⎫32,1不在直线l 上.(4)虽然以方程2x +3y +6=0(x ∈Z )的解为坐标的点都在直线l 上,但直线l 上的点的坐标不都是该方程的解,如点C ⎝⎛⎭⎫-32,-1∈l ,但⎩⎪⎨⎪⎧ x =-32y =-1,却不是该方程的解. ∴方程2x +3y +6=0(x ∈Z )不是直线l 的方程,直线l 也不是方程2x +3y +6=0的直线.。
直线的方程(解析版)
直线的方程题型一:倾斜角、斜率问题典例1、直线3310x y ++=的倾斜角为( )A .150B .120C .30D .60答案: A解析: 求出直线斜率,可得倾斜角.【详解】 直线3310x y ++=的斜率为33k =-,所以倾斜角为150°. 故选:A.【点睛】本题考查直线的倾斜角,解题时可先求得直线斜率,由斜率与倾斜角关系得倾斜角. 典例2、如果过P (-2,m ),Q (m ,4)两点的直线的斜率为1,那么m 的值是( )A .1B .4C .1或3D .1或4答案: A解析: 根据直线的斜率公式,列出方程,即可求解,得到答案.【详解】由题意,过过P (-2,m ),Q (m ,4)两点的直线的斜率为1,根据直线的斜率公式,可得41(2)m m -=--,解得1m =. 故选:A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用,其中解答中熟记直线的斜率公式,准确运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.典例3、直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是( )A .(2,﹣3)B .(2,3)C .(﹣3,2)D .(3,2) 答案: D解析: 由题意可得:直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=,所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=(1,),或(3,2)故选D .典例4、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=,(θ∈R ),则直线l 倾角α的取值范围是_______。
答案: 3[0][)44πππ⋃,,解析: 依题意可得,直线l 的方向向量为(1,cos )θ-,则tan cos [1,1]αθ=-∈-,所以3[0,][,)44ππαπ∈⋃典例5、已知线段AB 的端点()()2,1,1,4A B -,直线l 过原点且与线段AB 不相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是__________________答案: (-∞,-4+∞)解析: 求出直线,OA OB 的斜率,观察线段AB 是否过y 轴,即可得。
直线方程的概念与直线的斜率
y=2x+1
Y ●
O
X
●
二、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义:
x 轴 正向与直线 向上 的方向所成的角叫做
这条直线的倾斜角。
yl
o
注意: (1) x轴的正向;
(2)直线向上的方向。
x
2、直线倾斜角的范围:
x 规定,与 轴平行或重合的直线的倾斜角为 零度角
直线的倾斜角的取值范围为: 00 ,1800
数学应用
例3:已知三点A(-3,-3),B(-1,1),
C(2,7),求KAB,KBC KAB=2 KBC=2
如果KAB=KBC,那么A、B、C三点的位置关系怎样? A、B、C三点共线
如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a) 在一条直线上,
求a的值 a=-3
已知直线l经过点P(2,3)与Q(-3,2)
4、运用斜率的几何意义解决代数问题
数学应用 斜率几何意义的应用
例2:已知实数x, y满足2x y 8,当2 x 3时,
求 : y 的最大值和最小值. x
解 : 如图,方程2x y 82 x 3的图
像为线段AB,其中A2, 4, B3, 2,设线 y A
段AB上任一点为Px, y,
P
巩固练习1:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
巩固练习2:
如图, ABC的边AB, BC , AC所在直线
的倾斜角分别为哪个角?
y
A
0B
Cx
问题情境
直线的方程题及答案
直线的方程题及答案本文将探讨一些关于直线方程的题目,并提供详细的解答。
直线方程是数学中的重要概念,掌握好直线方程的求解方法对理解几何学和代数学都至关重要。
题目一:求直线的斜率和截距已知直线通过点P(2, 3),斜率为2,求此直线的方程。
解答:直线的一般方程为:y = mx + c,其中m为直线的斜率,c为直线的截距。
已知直线通过点P(2, 3)且斜率为2,代入上述方程得:3 = 2 * 2 + c,解得c = -1。
因此,直线的方程为:y = 2x - 1。
题目二:两条直线的交点已知直线l1过点A(1, 2),斜率为3;直线l2过点B(2, 4),斜率为-2。
求直线l1和l2的交点坐标。
解答:设直线l1的方程为y = 3x + c1,直线l2的方程为y = -2x + c2。
由已知,直线l1经过点A(1, 2),代入方程得:2 = 3 * 1 + c1,解得c1 = -1。
直线l2经过点B(2, 4),代入方程得:4 = -2 * 2 + c2,解得c2 = 8。
将c1和c2带入对应方程,得到直线l1的方程为y = 3x - 1,直线l2的方程为y = -2x + 8。
为求两条直线的交点,令它们的y值相等,解方程得:3x - 1 = -2x + 8,解得x = 1,将x = 1代入任一方程得到y = 2。
因此,直线l1和l2的交点为(1, 2)。
题目三:两直线平行或垂直判断已知直线l1的方程为2x + 3y = 4,直线l2经过点C(1, -1),斜率为-2。
判断直线l1和l2是否平行或垂直。
解答:两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
直线l1的斜率可用标准形式y = (-a/b)x + c得到,即斜率为-2/3;直线l2的斜率为-2。
由此可知,直线l1和l2的斜率不相等,因此它们不平行。
两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。
直线l1的斜率为-2/3,直线l2的斜率为-2,它们的乘积不等于-1。
数学自我小测:直线方程的概念与直线的斜率
自我小测1.直线l过点A(2,1),B(3,m2)(m∈R),则直线l的斜率的范围为( )A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1)D.(-∞,-1]2.若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题中正确的是()A.若α1<α2,则两直线的斜率k1〈k2 B.若α1=α2,则两直线的斜率k1=k2C.若两直线的斜率k1〈k2,则α1〈α2 D.若两直线的斜率k1=k2,则α1=α23.给出下列四个命题:①一条直线必是某个一次函数的图象;②一次函数y=kx+b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线;③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则此方程叫做这条直线的方程;④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这条直线叫做此方程的直线.其中正确命题的个数是()A .0B .1C .2D .34.已知直线l 1:ax -y -b =0,l 2:bx -y +a =0,当a ,b 满足一定的条件时,它们的图形可以是( )5.油槽储油20 m 3,从一管道等速流出,50 min 流完.关于油槽剩余油量Q (m 3)和流出时间t (min)之间的关系用图可表示为( )6.若a =ln21,b =ln32,c =ln54,则( ) A .a 〈b <c B .c 〈b <a C .c 〈a 〈b D .b <a <c7.若三点A (2,2),B (a,0),C (0,4)共线,则a 的值等于__________.8.若经过A (-1,-1),B (-4,y ),C (x,3)三点的直线的斜率为-2,则实数x =__________,y =__________.9.直线l 过点A (1,2)且不过第四象限,则l 的斜率k 的取值范围是________.10.如图所示,已知A (3,2),B (-4,1),C (0,-1),求直线AB ,BC ,CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角?11.已知点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交,求直线l 的斜率的取值范围.12.设直线l 与坐标轴的交点分别为M (a ,0),N (0,b ),且ab ≠0,斜率为k ,坐标原点到直线l 的距离为d .试证:(1)b =-ka ;(2)a 2k 2=d 2(1+k 2);(3)21d =21a +21b .参考答案1.解析:由斜率公式求得斜率k =m 2-1,故k ≥-1.答案:A2.答案:D3.解析:y=5表示一条直线,但它却不是一次函数,原因是一次函数y=kx+b中的k≠0,所以①不正确.当一次函数y=kx+b(k≠0)中的b=0时,其图象经过原点,可知②也不正确.由直线方程的定义可知③④均不正确.答案:A4.解析:直线l1的斜率为a,在y轴上的截距是-b;直线l2的斜率为b,在y轴上的截距是a.对于A项中的图,由直线l1知斜率a<0,在y轴上的截距-b>0,即b<0;由直线l2知斜率b>0,在y轴上的截距a>0,条件矛盾.对于B项中的图,由直线l1知斜率a>0,在y轴上的截距-b>0,即b<0;由直线l2知斜率b<0,在y轴上的截距a>0,条件相容.对于C项中的图,由直线l1知斜率a <0,在y轴上的截距-b>0,即b<0;由直线l2知斜率b<0,在y 轴上的截距a>0,条件矛盾.对于D项中的图,由直线l1知斜率a>0,在y轴上的截距-b<0,即b>0;由直线l2知斜率b<0,在y轴上的截距a>0,条件矛盾.答案:B5.解析:由题意,得Q=20-20t,0≤t≤50,它表示一条线段,排50,而D项中的图所表示的线段的除A,C项,又因为斜率为-25斜率为25,不合题意.故选B .答案:B6.解析:ln 1x x -=ln 01x x --表示函数y =ln x 图象上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率,如图所示.令a =k DA ,b =k DB ,c =k DC ,由图知k DC <k DB 〈k DA ,即c <b <a . 答案:B7.答案:48.解析:由3(1)(1)x ----=-2,解得x =-3; 由(1)4(1)y -----=-2,解得y =5.答案:-3 59.解析:在平面直角坐标系中观察适合题意的直线,再求斜率的范围.如图所示,当直线l 在l 1位置时,k =0;当直线l 在l 2位置时,k =2010--=2,故直线l 的斜率的取值范围是[0,2].答案:[0,2]10.解:直线AB 的斜率k AB =1243---=17; 直线BC 的斜率k BC =110(4)----=24-=-12; 直线CA 的斜率k CA =1203---=33--=1. 由k AB 〉0及k CA 〉0知,直线AB 与直线CA 的倾斜角均为锐角; 由k BC <0知,直线BC 的倾斜角为钝角.11.解:如图所示,直线l 与线段AB 相交,只需直线l 绕点P 按逆时针从PB 转到PA ,即为直线l 的范围.因为k PB =34,k PA =-4,但过点P 且垂直于x 轴的直线的斜率是不存在的,所以在旋转过程中,l 的斜率由k PB 变化到无穷大,此时倾斜角在增大.当倾斜角转过90°时,斜率又由无穷小到k PA ,所以直线l 的斜率的取值范围是(-∞,-4]∪3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 12.证明:(1)由斜率公式得k =00b a --=-b a, 所以b =-ka .(2)由面积公式可得S △OMN =12|a ||b |=12d ·错误!,所以a 2b 2=d 2(a 2+b 2).又由(1)b =-ka 可得b 2=k 2a 2,代入上式即得a 2k 2=d 2(1+k 2).(3)由(2)中a 2b 2=d 2(a 2+b 2), 可得21d =2222a b a b =21a +21b , 即21d =21a +21b .。
高中数学 直线的倾斜角与斜率(常见例题 考题 练习)附答案
直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°。
(2)范围:直线l 倾斜角的范围是[0,π)。
2.直线的斜率(1)定义:若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k =tan θ。
(2)计算公式:若由A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)确定的直线不垂直于x 轴,则k =y 2-y 1x 2-x 1。
3.直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1.直线l :x sin30°+y cos150°+1=0的斜率是( )A.33B.3 C .- 3 D .-332. 已知点A (1,2),B (3,1),则线段AB 的垂直平分线方程为( )A .4x +2y -5=0B .4x -2y -5=0C .x +2y -5=0D .x -2y -5=0走进教材答案1.A ; 2. B ;二、查漏补缺1.过点M (-2,m ),N (m,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( )A .1B .4C .1或3D .1或42.直线x +3y +m =0(m ∈R )的倾斜角为( )A .30°B .60°C .150°D .120°3.已知直线l 过点P (-2,5),且斜率为-34,则直线l 的方程为( ) A .3x +4y -14=0 B .3x -4y +14=0 C .4x +3y -14=0 D .4x -3y +14=04.若点A (4,3),B (5,a ),C (6,5)三点共线,则a 的值为__________。
5.过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。
查漏补缺答案5.4x -y +16=0或x +3y -9=0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α-y -3=0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6,π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6,π3B.⎣⎡⎦⎤π4,π3C.⎣⎡⎦⎤π4,π2D.⎣⎡⎦⎤π4,2π3(2)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为________。
2-2-1直线方程的概念与直线的斜率
技能演练基 础强 化1.下列命题正确的个数为( )①若α是直线l 的倾斜角,则α∈[0°,180°);②任何直线都存在倾斜角,但不一定存在斜率;③任何直线都存在斜率,但不一定存在倾斜角;④任何直线都存在倾斜角和斜率.A .1B .2C .3D .4解析 任何直线都存在倾斜角,但当倾斜角为90°时,斜率不存在.故正确的是①②.答案 B2.直线l 过点P (-2,a ),Q (a,4),若直线l 的斜率为1,则a 的值为( )A .1B .4C .1或4D .1或-4解析 k PQ =a -4-2-a =1,∴a -4=-2-a ,∴a =1.答案 A3.已知直线y =(3a -1)x +2的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围为( )A .a <13B .a >13C .a >3D .a <3解析 直线y =(3a -1)x +2的斜率为3a -1, ∵该直线的倾斜角为钝角,∴3a -1<0,∴a <13.答案 A4.设点P 在y 轴上,点M 与点N 关于y 轴对称,若直线PM 的斜率为2,则直线PN 的斜率为( )A .2B .-2 C.12D .-12解析 设P (0,y 0),M (a ,b ),则N (-a ,b ). ∵k PM =y 0-b 0-a=2,∴y 0-ba =-2, ∴k PN =y 0-b0-(-a )=-2.答案 B5.点A (a +b ,c )、B (b +c ,a )和C (c +a ,b )的位置关系是( ) A .同在一条直线上 B .三点间的距离两两相等 C .三点连线组成一个直角三角形 D .三点连线组成一个等边三角形 解析 k AB =c -a(a +b )-(b +c )=-1,k AC =c -b(a +b )-(c +a )=-1,∵k AB =k AC ,∴A 、B 、C 三点共线. 答案 A6.斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b ),则a ,b 的值为( )A .a =4,b =0B .a =-4,b =-3C .a =4,b =-3D .a =-4,b =3解析 7-5a -3=b -5-1-3=2,∴a =4,b =-3.答案 C7.已知直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,如图所示,则k 1,k 2,k 3的大小关系为________.解析 由于l 3过二、四象限,故l 3的斜率小于0,l 1与l 2过一、三象限,故它们的斜率大于0,因为l 2倾斜角大于l 1的倾斜角,∴k 2>k 1>0.答案 k 2>k 1>k 38.已知点M (5,3)和点N (-3,2),若直线PM 和PN 的斜率分别为2和-74,则P 的坐标为________.解析 设P (x ,y ),则y -3x -5=2,y -2x +3=-74.∴x =1,y =-5,故P (1,-5). 答案 (1,-5)能 力 提 升9.已知直线l 经过两点(3,3)和(-1,-17),求直线l 的方程(把方程写成一次函数的形式).解析 k =3-(-17)3-(-1)=5,设直线l 的方程为y =5x +b ,∵l 过(3,3),∴3×5+b =3,∴b =-12, ∴直线l 的方程为y =5x -12.10.已知A (3,2),B (-4,1),C (0,-1),求直线AB ,BC ,CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解析 直线倾斜角是锐角还是钝角与斜率的正负有关系. 直线AB 的斜率k AB =1-2-4-3=17;直线BC 的斜率k BC =-1-10-(-4)=-24=-12;直线CA 的斜率k CA =-1-20-3=-3-3=1.由k AB >0,k AC >0知,直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角;由k BC <0知,直线BC 的倾斜角为钝角.。
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练一. 教学内容:直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式[知识点]1. 直线的方程和方程的直线: 定义:(1)以一个方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在直线l 上。
(2)直线l 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解。
满足(1)(2)的方程f (x ,y )=0是直线l 的方程,同时称直线l 为方程f (x ,y )=0的直线。
2. 直线的倾斜角:定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时,所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定:当直线与x 轴平行或重合时,倾斜角为0°。
范围:0°≤α<180° 注意:(1)定义分两部分:一部分是与x 轴相交,另一部分与x 轴平行。
(2)与x 轴相交的定义中,应理解三个地方:①x 轴绕交点旋转;②逆时针方向;③最小正角。
(3)应特别注意倾斜角的范围[0,π)。
(4)任何一条直线有唯一倾斜角,表示直线的倾斜程度,但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率:定义:倾斜角不是90°的直线,其倾斜角的正切,叫做这条直线的斜率。
符号:常用k 表示,即k =tan α。
注意:(1)所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率。
()由正切的单调性可知,单增,,时单增,两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
(3)当倾斜角为90°时斜率不存在,但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式:公式推导:如图,已知直线l 过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),倾斜角为α,求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或,则,OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即:k y y x x y y x x =--=--12122121注意:(1)斜率公式与点的顺序无关。
经典直线方程练习题及答案
第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时,所转过的最小正角叫倾斜角;倾斜角的取值范围是[00,1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时, k 与α的关系是αtan =k ;α090=时,直线斜率不存在;经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=;三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00;不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=;不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--;不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ;不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 :已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α,且o o 13545<<α,试求实数m 的取值范围。
专题04 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题04直线的倾斜角与斜率、直线方程问题【知识梳理】1、倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的概念:当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时,规定0a =°.(2)倾斜角α的取值范围: 0180a 埃<.当直线l 与x 轴垂直时, 90a =°.(3)直线的斜率:一条直线的倾斜角9(0)a a 拱的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k tan a=①当直线l 与x 轴平行或重合时,0a =°,00k tan =°=;②当直线l 与x 轴垂直时, 90a =°,k 不存在.由此可知,一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.(4)直线的斜率公式:给定两点()()11122212,,,,P x y P x y x x ¹,用两点的坐标来表示直线12P P 的斜率:21122112=y y y y k x x x x --=--2、两条直线的平行与垂直(1)两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即1212//l l k k Û=注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果12k k =,那么一定有12//l l (2)两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即1212=1l l k k Û×^-3、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表:名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11y y k x x -=-11(,)x y 是直线上一定点,k 是斜率不垂直于x 轴斜截式y kx b =+k 是斜率,b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点112121y y x x y y x x --=--11(,)x y ,22(,)x y 是直线上两定不垂直于x 轴和y考点2:直线与线段的相交问题考点3:两直线平行问题考点4:两直线垂直问题考点5:五种直线方程考点6:直线与坐标轴围成三角形问题考点7:直线过定点问题【典型例题】考点1:倾斜角与斜率1.(2021·福建宁德·高二期中)已知点()20A ,,(3B ,则直线AB 的倾斜角为()A .30︒B .60︒C .120︒D .150︒【答案】B【解析】由题得直线AB 的斜率k =设直线的倾斜角为tan [0,180)ααα∴=∈,,所以=60α.故选:B2.(2020·北京十五中高二期中)如图,直线1234,,,l l l l 的斜率分别为1234,,,k k k k ,则()A .4321k k k k <<<B .3421k k k k <<<C .4312k k k k <<<D .3412k k k k <<<【解析】由斜率的定义知,21430k k k k >>>>.故选:D.3.(2022·全国·高二期中)已知直线斜率为k,且1k -≤≤α的取值范围是().A .ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B .π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C .ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D .π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【解析】由题意,直线l 的倾斜角为α,则[)0,πα∈,因为1k -≤≤,即1tan α-≤≤结合正切函数的性质,可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选:B .4.(2021·湖北宜昌·高二期中)若倾斜角为3π的直线过(A ,()2,B a 两点,则实数=a ()A 32BC.D.【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为3π,所以直线的斜率为tan3π=12a=-a =;故选:C5.(2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中)若(2,3)A -,(3,2)B -,1(,)2C m 三点共线,则m =()A .12B .12-C .2-D .2【答案】A【解析】由于()2,3A -、()3,2B -、1(,)2C m 三点共线,则ABAC k k =,即32312322m +-=--+,解得12m =.6.(多选题)(2021·湖南·怀化五中高二期中)在下列四个命题中,错误的有()A .坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B .直线的倾斜角的取值范围是[0,π]C .若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45度D .若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα【答案】ABD 【解析】对于A ,倾斜角为90的直线斜率不存在所以A 错误对于B直线的倾斜角的取值范围为[)0,p 所以B 错误对于C因为tan 1α=且[)0,απ∈,所以4πα=所以C 正确对于D倾斜角为90的直线斜率不存在所以D 错误故选:ABD7.(多选题)(2021·江苏南通·高二期中)若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的值不可能为()A .2-B .0C .1D .2【答案】BCD【解析】据题意可知110132AB a a k a a+-==<----,即20a +>,所以2a >-.故选:BCD .8.(2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中)已知直线l 0y -=,则直线l 的倾斜角为_________.【答案】60°0y -=60°.故答案为:60°.9.(2022·上海市大同中学高二期中)已知直线l 经过原点,且与直线y =x +1的夹角为45°,则直线l 的方程为______.【答案】0x =或0y =【解析】直线1y x =+的斜率为1,倾斜角为45︒,直线l 与直线1y x =+的夹角为45︒,所以直线l 的倾斜角为0︒或90︒,所以直线l 的方程为0x =或0y =.故答案为:0x =或0y =10.(2022·上海市控江中学高二期中)设a ∈R ,若直线l 经过点(,2)A a 、(1,3)B a +,则直线l 的斜率是___________.【答案】1【解析】因为直线l 经过点(,2)A a 、(1,3)B a +,所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-,故答案为:111.(2021·新疆·八一中学高二期中)已知点A (2,-1),B (3,m ),若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,则直线AB 的倾斜角的取值范围为__________.【答案】50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】设直线AB 的倾斜角为α,∵点A (2,-1),B (3,m ),∴直线AB 的斜率1132m k m +==+-,又∵13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,∴13m ⎡+∈-⎢⎣,即k 的取值范围为⎡⎢⎣,即t an α⎡∈⎢⎣,又∵α∈[0,π),∴50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,故答案为:50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.考点2:直线与线段的相交问题12.(2021·福建三明·高二期中)已知A (3,-1),B (1,2),P (x ,y )是线段AB 上的动点,则yx的取值范围是_______.【答案】[13-,2]【解析】因为A (3,-1),B (1,2),P (x ,y )是线段AB 上的动点,所以yx表示直线OP 的斜率.如下图.因为直线OA 的斜率为101303--=--,直线OB 的斜率为20210-=-.所以y x 的取值范围是1[,2]3-.故答案为:1[,2]3-13.(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中)已知两点()1,2A -,()2,1B ,直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点,则直线l 的倾斜角的取值范围为()A .π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C .π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D .πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示,直线PA 的斜率21110PA k -+==--,直线PB 的斜率11120PB k +==-.由图可知,当直线l 与线段AB 有交点时,直线l 的斜率[]1,1k ∈-,因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选:C14.(2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中)设点()2,3A -,()3,2B ,若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点,则a 的取值范围是()A .54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B .45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C .54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -,且52AC k =-,43BC k =,由图可知直线与线段AB 有交点时,斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-,解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎭,故选:D15.(2021·山东济宁·高二期中)设点()4,3A -,()2,2B --,直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是()A .1k ³或4k ≤-B .1k ³或43k ≤-C .41k -≤≤D .413k -≤≤-【答案】B【解析】如图所示:因为1(3)41(2),11431(2)PA PB k k ----==-==---,所以当直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交时,l 的斜率k 的取值范围是1k ³或43k ≤-,故选:B16.(2021·天津市嘉诚中学高二期中)已知两点(2,3)M -,(3,2)N --,直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是()A .34k ≥或4k ≤-B .344k -≤≤C .344k ≤≤D .344k -≤≤【答案】A【解析】如图,要使直线l 与线段MN 相交,则应满足PM k k ≤或PN k k ≥,因为13412PM k +==--,123134PN k +==+,所以4k ≤-或34k ≥.故选:A.17.(2021·广西·防城港市防城中学高二期中)经过点()0,1P -作直线l ,若直线l 与连接()1,2A -,()2,1B 的线段总有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为()A .[]1,1-B .(][),11,-∞-⋃+∞C .[)1,1-D .()[),11,∞∞--⋃+【答案】A【解析】根据题意画图如下:2(1)1(1)1,11020PA PB k k -----==-==--,在射线PA 逆时针旋转至射线PB 时斜率逐渐变大,直线l 与线段AB 总有公共点,所以11k -≤≤.故选:A.18.(2021·北京·景山学校高二期中)已知直线l :20ax y --=和点(2,1)P ,(3,2)Q -,若l 与线段PQ 相交,则实数a 的取值范围是()A .3243a -≤≤B .34a ≤-或23a ≥C .4332a -≤≤D .43a ≤-或32a ≥【答案】D【解析】由直线l :20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-,且直线l 的斜率为a ,如下图所示:由斜率公式可知,直线AP 的斜率为213022AP k --==-,直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---,若l 与线段PQ 相交,只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-,故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选:D.19.(2021·陕西安康·高二期中(理))已知点2)A ,(4,3)B -,直线l 过点(0,1)P 且与线段AB 相交,则直线l 的倾斜角的取值范围是()A .π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B .π3π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D .π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦【答案】A【解析】如图,斜率33PA k ==,1(3)104PB k --==--,结合图象可知当直线l 与线段AB 相交时,其倾斜角的取值范围是π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭.故选:A20.(2021·广东·广州六中高二期中)已知点(1,1)A -,(3,1)B ,直线l 过点(1,3)C ,且,A B 两点在直线l 的同侧,则直线l 斜率的取值范围是()A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞C .(,1)(0,1)-∞-D .(1,0)(1,)-È+¥【答案】A【解析】由题意,点(1,1)A -,(3,1)B ,(1,3)C ,根据斜率公式,可得1AC k =,1EC k =-,如图所示,要使得直线l 过点(1,3)C ,且,A B 两点在直线l 的同侧,则直线l 斜率的取值范围是(1,1)-.故选:A.考点3:两直线平行问题21.(2022·四川·泸县五中高二期中(文))已知直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行,则 m 的值为__________.【答案】23-【解析】因为直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行,所以当0m =时,两条直线不平行,不符合题意;当0m ≠时,23m -=,解得23m =-.故答案为:23-.22.(2020·四川巴中·高二期中(文))若直线1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行,则实数a 的值为______.【答案】3【解析】因为1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行,所以()13201330a a a ⎧⨯--=⎨-⨯-≠⎩,解得3a =,故答案为:3.23.(2022·上海市宝山中学高二期中)“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的()条件A .充分非必要B .必要非充分C .充要D .既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性:直线1l 与2l 平行,但是1l 和2l 都没有斜率,即当1l 和2l 都垂直于x 轴时,1l 与2l 仍然平行,但是,此时不满足直线1l 与2l 的斜率相等,故充分性不成立;必要性:直线1l 与2l 的斜率相等,则直线1l 与2l 平行或重合,故必要性不成立;综上,“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选:D24.(2021·浙江台州·高二期中)直线()1:110l a x y -++=,()2:4210l x a y ++-=,则“2a =”是“12l l //”的()条件A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】①充分性:当2a =时,1:10l x y ++=,2:4410l x y +-=,所以1l 与2l 斜率相等,且截距不相等,故12l l //,所以充分;②必要性:()1:110l a x y -++=,()2:4210l x a y ++-=,当12l l //时,则()()1240a a -+-=,解得:2a =或3a =-,当3a =-时,两直线重合,所以3a =-舍去,当2a =时,两直线斜率相等且截距不相等,符合题意,所以必要.所以“2a =”是“12l l //”的充要条件故选:C.25.(2021·河北·石家庄市第二十二中学高二期中)下列说法正确的是()A .平行的两条直线的斜率一定存在且相等B .平行的两条直线的倾斜角一定相等C .垂直的两条直线的斜率之积为1-D .只有斜率相等的两条直线才一定平行【答案】B【解析】因为两条直线倾斜角为90︒时,两条直线平行,但是没有斜率,故A 不正确;平行的两条直线的倾斜角一定相等,故B 正确;垂直的两条直线的斜率存在时,斜率之积为1-;当一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时两直线也垂直,故C 不正确;斜率不存在的两条直线也能够平行,故D 不正确;故选:B .26.(2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中)已知A (-1,2),B (1,3),C (0,-2),点D 使AD ⊥BC ,AB ∥CD ,则点D 的坐标为()A .94(,)77-B .5413(,)77C .3813(,)33D .385(,)77【答案】D【解析】设D (x ,y ),∵AD ⊥BC ,∴21y x -+·3(2)10---=-1,∴x +5y -9=0,∵AB ∥CD ,∴2y x +=321(1)---,∴x -2y -4=0,由得590240x y x y +-=⎧⎨--=⎩,38757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故选:D.考点4:两直线垂直问题27.(2021·吉林油田高级中学高二期中)下列方程所表示的直线中,一定相互垂直的一对是()A .210ax y +-=与220x ay ++=B .6430x y --=与10150x y c ++=C .2370x y +-=与4650x y -+=D .340x y b -+=与340x y +=【答案】B【解析】A :a =0时,两直线分别为:1,12y x ==-,此时它们垂直;当a ≠0时,它们斜率之积为212a a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭,则它们不垂直;故两条直线不一定垂直;B :两直线斜率之积为:6101415⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,故两直线垂直;C :两直线斜率之积为:2441369-⨯=-≠-,故两直线不垂直;D :两直线斜率之积为:33914416⎛⎫⨯-=-≠- ⎪⎝⎭,故两条直线不垂直;故选:B.28.(2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中(理))已知直线1l :10mx y -+=,2l :()210mx m y ++-=,若12l l ⊥,则m =_________.【答案】2或1-【解析】由题意2(2)0m m -+=,解得1m =-或2m =.故答案为:2或1-.29.(2022·上海市行知中学高二期中)若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直,则=a ______.【答案】2-【解析】因为直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直,所以()()1210a a ⨯+-⨯+=,解得2a =-,故答案为:2-.30.(2022·全国·高二期中)已知直线1:20l ax y +=,直线()2:10l a x y --=,若12l l ⊥,则实数a 的值为______.【答案】2a =或1a =-【解析】因为12l l ⊥,所以(1)2(1)0a a -+⨯-=,解得2a =或1a =-,故答案为:2a =或1a =-31.(2021·广东·珠海市第二中学高二期中)已知直线150l y --=,若直线21l l ⊥,则直线2l 的倾斜角大小为_____________.【答案】56π【解析】直线方程150l y --=1l k ∴=21l l ⊥121l l k k ∴=-233l k ∴=-∴直线2l 的倾斜角大小为56π故答案为:56π32.(多选题)(2021·河北·石家庄市第六中学高二期中)已知直线1l 的倾斜角为30°,2l 经过点M ,(2,0)N ,则1l 与2l 的位置关系为()A .平行B .垂直C .相交D .不确定【答案】BC【解析】因为直线1l 的倾斜角为30°,所以直线1l 的斜率130tan k =︒又2l 经过点M ,(2,0)N ,所以直线2l 的斜率212k ==-,故(1213k k ==-,所以1l ⊥2l 故选:BC考点5:五种直线方程33.(2018·江西·南昌市第八中学高二期中(理))直线l 过点()1,2-,且在两坐标轴上截距相等,则直线l 的一般式方程为___________.【答案】10x y +-=,20x y +=【解析】显然直线l 的斜率存在且不为0,设l :()21y k x -=+令0x =,则2y k =+;令0y =,则2kx k+=-依题意,22kk k+-=+解之得1k =-或2k =-当1k =-时,l :10x y +-=当2k =-时,l :20x y +=故答案为:10x y +-=,20x y +=34.(2021·广东·新会陈经纶中学高二期中)过点(1,2)P 且与直线20x y --=平行的直线方程为___________________.【答案】10x y -+=【解析】因为过点(1,2)P 的直线与直线20x y --=平行,所以设直线方程为:0x y m -+=,因为直线过点(1,2)P ,120m ∴-+=所以1m =,故直线方程为:10x y -+=,故答案为:10x y -+=35.(2021·浙江省杭州学军中学高二期中)经过点(3,2)A -,且在x 轴上的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________.【答案】230x y +=或210x y +-=.【解析】若直线在x 轴上的截距为0,设直线方程为y kx =,因为直线经过点(3,2)A -,所以23k =-,即23k =-,所以直线方程为23y x =-,即230x y +=;若直线在x 轴上的截距不为0,设直线方程为12x yb b+=,因为直线经过点(3,2)A -,所以3212b b -+=,解得12b =,所以直线方程为210x y +-=.所以所求直线方程方程为230x y +=或210x y +-=.故答案为:230x y +=或210x y +-=.36.(2021·湖南·怀化五中高二期中)求符合下列条件的直线l 的方程:(1)过点A (﹣1,﹣3),且斜率为14-;(2)A (1,3),B (2,1))求直线AB 的方程;(3)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等.【解析】(1)所求直线过点()1,3A --,且斜率为14-,()1314y x ∴+=-+,即4130x y ++=.(2)所求直线过()()1,32,1A B ,,31212AB k -∴==--,()321y x ∴-=--,即250x y +-=.(3)当直线过原点时,设直线方程为y kx =,直线过P 点()3,2,23k ∴=,直线方程为23y x =,即2x -3y =0;当直线不过原点时,设直线方程为1x ya a+=,将点()3,2P 代入上式得,321a a+=,解得5a =,故直线的方程为50x y +-=,综上,直线方程为230x y -=或50x y +-=.37.(2021·福建·福州三中高二期中)已知△ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0(1)求直线AC 的方程,(2)求直线BC 的方程【解析】(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=,知2AC k =-,又()5,1A ,AC ∴边所在直线方程为()125,y x -=--即2110x y +-=(2)设点B 的坐标为()00,x y ,则线段AB 的中点为0051(,22x y M ++在直线250x y --=上,.即001(5)50,2y x ++--=整理得00210,x y --=又点B 在直线BH 上,00250,x y ∴--=两者联立可解得0013x y =-⎧⎨=-⎩,即()1,3B --3(3)64(1)5BC k --==--∴∴直线BC 的方程63(4),5y x -=-即6590x y --=38.(2021·河北·唐山市第十一中学高二期中)求满足下列条件的直线方程:(1)过点()4,2P -,倾斜角为45°;(2)过两点()()1,3,2,5A B .【解析】(1)所求直线方程为()2tan 454y x +=︒⨯-,即6y x =-.(2)所求直线方程为315321y x --=--,即21y x =+.39.(2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高二期中)经过点()1,2,且倾斜角为45°的直线方程是()A .3y x =-B .21y x -=-C .(3)y x =--D .(3)y x =-+【答案】B【解析】因为所求直线的倾斜角为45°,所以所求直线的斜率tan 451k =︒=,所以直线方程为21y x -=-.故A ,C ,D 错误.故选:B.40.(2022·全国·高二期中)已知直线l 过()2,1A -,并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l 的方程是().A .10x y --=或30x y +-=B .10x y --=或30x y -+=C .10x y ++=或30x y -+=D .10x y ++=或30x y +-=【答案】C【解析】由题意可知,所求直线的倾斜角为45︒或135︒,即直线的斜率为1或-1,故直线方程为12y x -=+或1(2)y x -=-+,即30x y -+=或10x y ++=.故选:C.41.(2022·江苏南通·高二期中)已知直线l 经过点()2,3-,且与直线250x y --=垂直,则直线l 的方程为()A .240x y ++=B .240x y +-=C .280x y --=D .280x y -+=【答案】A【解析】直线250x y --=的斜率为2,直线l 与之垂直,则12l k =-,又l 过点(2,3)P -,所以直线方程为13(2)2y x +=--,即240x y ++=.故选:A .42.(2021·江苏苏州·高二期中)已知三角形的顶点()4,1A ,()6,3B -,()3,0C .(1)求AC 边上的高BH 所在的直线方程;(2)求AB 边上的中线CD 所在的直线方程.【解析】(1)由于()4,1A ,()3,0C ,所以01134AC k -==-,因为BH 为AC 边上的高,有1AC BH k k ⋅=-,所以1BH k =-,又BH 过点()6,3B -,所以有()316y x ⎡⎤-=-⨯--⎣⎦,所以BH 所在直线的方程为30x y ++=.(2)由于()4,1A ,()6,3B -,所以AB 的中点()4613,22⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭,即()1,2-,又()3,0C ,所以201132CD k -==---,又因为过点()3,0C ,所以有()1032y x -=-⨯-,所以CD 所在直线的方程为230x y +-=.考点6:直线与坐标轴围成三角形问题43.(2020·上海·格致中学高二期中)过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点,则AOB (O 为坐标原点)面积取得最小值时直线方程为____________.【答案】360x y +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零,设直线AB 的方程为()13y k x -=-,即13y kx k =+-.在直线AB 的方程中,令0x =,可得13=-y k ;令0y =,可得31k x k-=.所以,点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -.由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩,解得0k <.OAB 的面积为()1311111369626222k S k k k k⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎝⎭⎢⎣.当且仅当()190k k k-=-<时,即当13k =-时,等号成立,所以,直线AB 的方程为123y x =-+,即360x y +-=.故答案为:360x y +-=.44.(2021·江苏扬州·高二期中)已知直线l 的斜率为16,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l 的方程为___________.【答案】660x y -+=或660x y --=【解析】设直线l 的方程为1x y a b +=,则132ab =,且16b a -=,解得61a b =⎧⎨=-⎩或者61a b =-⎧⎨=⎩,∴直线l 的方程为161x y+=-或161x y +=-,即660x y -+=或660x y --=.故答案为:660x y -+=或660x y --=.45.(2021·湖北荆州·高二期中)(1)求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程;(2)设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ,若1a >-,直线l 与x ,y 轴分别交于M ,N 两点,O 为坐标原点,求OMN 面积取最小值时,直线l 的方程.【解析】(1)当直线不过原点时,设l 的方程为xa +y a=1,∵点()4,3-在直线上,∴4a+3a-=1,解得1a =,所以直线方程为x +y -1=0;当直线过原点时,直线斜率34k =-,∴直线的方程为34y x =-,即3x +4y =0.综上知,所求直线方程为x +y -1=0或3x +4y =0.(2)∵1a >-,∴M 2(,0)1a a ++,()0,2N a +,∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++=()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+=121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2,当且仅当a +1=11a +,即a =0时等号成立.故所求直线l 的方程为x +y -2=0.46.(2021·福建福州·高二期中)已知直线l 过点()3,2M .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ,与y 轴正半轴的交点为B ,求AOB (O 为坐标原点)面积的最小值.【解析】(1)当直线经过原点时,直线的斜率为23k =,所以直线的方程为23y x=,即230x y -=;当直线不过原点时,设直线的方程为x y a +=,代入点()3,2M 可得5a =,所以所求直线方程为5x y +=,即50x y +-=.综上可得,所求直线方程为:230x y -=或50x y +-=.(2)依题意,设点(),0A a ,()0,B b (0a >,0b >),直线AB 的方程为1x ya b+=,又点()3,2M 在直线AB 上,于是有321a b+=,利用基本不等式321a b =+≥24ab ≥,当且仅当6a =,4b =时等号成立,1122AOB S ab ∴=≥V ,即AOB 的面积的最小值为12.47.(2021·河北省盐山中学高二期中)已知直线l 过点()1,2P -.(1)若直线l 在两坐标轴上截距和为零,求l 方程;(2)设直线l 的斜率0k >,直线l 与两坐标轴交点别为A B 、,求AOB 面积最小值.【解析】(1)因为直线l 在两坐标轴上截距和为零,所以直线l 斜率存在且不为0,故不妨设斜率为k ,则直线l 方程为()21y k x -=+,所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--,2k +,所以2120k k--++=,整理得220k k +-=,解得2k =-或1k =所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=.(2)由(1)知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,因为0k >,所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当且仅当4k k=,即2k =时等号成立,所以AOB 面积最小值448.(2020·安徽·合肥市庐阳高级中学高二期中(文))直线l 经过点()1,2A ,(1)直线l 与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.(2)直线l 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【解析】设直线方程为1x y a b +=,由直线l 经过点()1,2A 可得121a b+=,(1)由题可得121142a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得24a b =⎧⎨=⎩,24a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩24a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩则直线方程为1,124x y +=;(2)()10,02S ab a b =>>,121+=≥a b 8ab ≥,4S ≥当且仅当2a =,4b =时面积取最小值,则直线方程为124x y +=.考点7:直线过定点问题49.(2021·广东·揭阳华侨高中高二期中)直线10mx y m +--=恒过定点__________.【答案】(1,1)【解析】将直线方程10mx y m +--=等价于()()110m x y -+-=,令1010x y -=⎧⎨-=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以直线10mx y m +--=恒过定点(1,1).故答案为:(1,1).50.(2021·四川·泸州老窖天府中学高二期中(理))直线(1)y k x =-过定点_________________.【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-,令10x -=,得1,0x y ==,所以直线(1)y k x =-过定点()1,0,故答案为:()1,0.51.(2021·福建泉州·高二期中)已知点()10P -,在直线l ()20ax y a a R +-+=∈:上的射影为M ,点N (0,3),则线段MN 长度的最小值为______________【答案】4【解析】直线l ()20ax y a a R +-+=∈:,即(1)20x a y -++=,令10x -=,且20y +=,得出x 1,y 2==-,所以直线l 恒过定点(1,2)Q -,由于点()10P -,在直线l 上的射影为M ,即90PMQ ∠=,所以点M 在以PQ 为直径的圆上,该圆的圆心为PQ 的中点()0,1C -,且半径N 到圆心C 的距离为4NC ==,所以线段MN 的最小值为4NC r -=故答案为:452.(2021·湖南·益阳平高学校高二期中)设m R ∈,过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ,则PA PB +的最大值()A .B .C .3D .6【答案】D【解析】由题意,动直线10x my ++=过定点(1,0)A -,直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=,令2030x y -=⎧⎨-=⎩,可得()2,3B ,又1(1)0m m ⨯+⨯-=,所以两动直线互相垂直,且交点为P ,所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=,因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,所以6P A PB +=,当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选:D.53.(2021·四川·遂宁中学高二期中(理))过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=交于点P ,则·PM PN 的最大值为()A .1B .3C .4D .2【答案】C 【解析】由题意可知,动直线20ax y +-=经过定点()0,2M ,动直线420x ay a -+-=即()240x y a -+-+=,经过定点()2,4N ,∵过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=始终垂直,P 又是两条直线的交点,∴PM PN ⊥,∴2228PM PN MN +==.故2242PM PN PM PN +⋅≤=(当且仅当2PM PN ==时取“=”).故选:C .。
直线倾斜角斜率直线方程基础练习题
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题一、选择题1.直线013=++y x 的倾斜角为( )A .150°B .120°C .60°D .30°2.关于直线的倾斜角与斜率,下列说法正确的是( )A .所有的直线都有倾斜角和斜率B .所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C .直线的倾斜角和斜率有时都不存在D .所有的直线都有斜率,但不一定有倾斜角3.若直线经过(0,1),4)A B 两点,则直线AB 的倾斜角为( ) A .30o B .45o C .60o D .120o 4.直线0334=-+y x 的斜率为( )5.在直角坐标系中,已知(1, 2)A -,(3, 0)B ,那么线段AB 中点的坐标为( ). A.(2,2) B.(1,1) C.(-2,-2) D.(-1,-1) 6.若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点,则直线AB 的倾斜角为 A .30o B . 45o C .60o D .120o 7.在直角坐标系中,直线033=-+y x 的倾斜角是( )A .6π B .3π C .65π D .32π 8.一条直线经过点1(2,3)P -,倾斜角为45α=o,则这条直线的方程为( )A. 50x y ++=B.50x y --=C. 50x y -+=D. 50x y +-= 9.若直线l 经过原点和点A (2,2),则它的倾斜角为 A .-45° B .45° C .135° D .不存在 10.若直线的倾斜角为︒120,则直线的斜率为( ) A. 3 B. 3- C. 33 D. 33-11.直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 灿上的截距相等,则a 的值是 A.1B .-1C .-2或-1D. -2或112.倾斜角为135︒,在y 轴上的截距为1-的直线方程是( )A .01=+-y xB .01=--y xC .01=-+y xD .01=++y x13A .30︒B .60︒C .120︒D .150︒14.过点(3,0),(2,3)的直线的倾斜角为( )A 、0120B 、030C 、060D 、0150 15.若直线1=x 的倾斜角为α,则α等于 A.︒0 B. ︒45 C. ︒90 D.不存在16.如右图所示,直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则 (A )123k k k << (B )312k k k << (C )132k k k << (D )321k k k <<17. 经过两点 (4,0)(0,3)A B -、的直线方程是( ). A .34120x y --= B. 34120x y +-= C .43120x y -+= D .43120x y ++=18.将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度,再向右平移1个单位,所得的直线方程为则( ) A. 3131+-=x yB. 131+-=x y C. 33-=x y D. 131+=x y 19.直线=-1的倾斜角为 ( ▲ )(A )135︒ (B )90︒ (C )45︒ (D )0︒ 20. 直线经过点(2,0)A -,(5,3)B -,则直线的斜率为 A. -1 B. 1 C . 0 D . 221.已知直线l 经过)2,3(-A ,)3,2(-B 两点,那么直线l 的倾斜角为( ) A.3π B.6π C.4π D.43π22.直线(2m 2-5m +2)x -(m 2-4)y +5m =0的倾斜角是4π,则m 的值为 A.2 B.3 C.-2D.-323.直线31y x =+的倾斜角是A .6π B .3πC .23πD .56π24.下列四种说法中正确的是( )A .一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角叫做这条直线的倾斜角B .直线l 的倾斜角取值范围是第一象限角或第二象限角C .已知直线l 经过),(),,(222111y x P y x P 两点,则直线l 的斜率1212x x y y k --=D .与x 轴垂直的直线斜率为0 25.直线l 的倾斜角为45°,且过(0,1),则直线l 的方程是A x+y+1=0B x-y+1=0C x-y-1=0D x+y-1=0 26.直线l 过P (1,0)、Q (12,2+-),则直线l 的倾角α=A 、ο135B 、ο45C 、ο60D 、ο225 27.直线3410x y +-=的倾斜角为α,则cos α的值为( ) A .45-B.45C.35D. 34- 28.过点P (-2,0),斜率为3的直线方程是( )A.y =3x -2B.y =3x +2C.y =3(x -2)D.y =3(x +2)29.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1,则m 的取值范围是( ) A.(5,8) B.(8,+∞) C.(,8)D.(5,)30.已知点(2,3),(3,2)A B --,若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ).A .34k ≥B .324k ≤≤C .324k k ≥≤或 D .2k ≤ 31.已知直线l 的倾斜角为120o,则直线l 的斜率是( ). A .3 B .3- C .33- D . 3332.直线x tan7π+y =0的倾斜角是( ) A.-7π B.7π C.7π5 D .7π633.直线1x =的倾斜角和斜率分别是( )A .045,1B .0135,1- C .090,不存在D .0180,不存在34. )A B C D 35.直线30x y -+=的倾斜角是( )A 、300B 、450C 、600D 、90036.已知直线l 过点()1,2P ,()5,7Q ,则直线l 的斜率为( )A B C D 37.直线0cos 40sin 4010x y -++=的倾斜角是( ) A .040 B .050 C .0130 D .0140 二、填空题38.已知直线l 与直线01=--y x 垂直,则直线l 的倾斜角 39.已知点(3,8),(2,4)A B -,若y 轴上的点P 满足PA 的斜率是PB 斜率的2倍,则P 点的坐标为_________.40.经过两点A(-3,5),B(1,1 )的直线倾斜角为________. 41的倾斜角是 .42.给定三点A(0,1),B(a ,0),C(3,2),直线l 经过B 、C 两点,且l 垂直AB ,则a 的值为________.43.直线5x-2y-10=0在y 轴上的截距为 。
直线的倾斜角.斜率知识点例题
直线的倾斜角.斜率知识点例题(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除直线的倾斜角和斜率(一)一、知识点:1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线在平面直角坐标系中研究直线时,就是利用直线与方程的这种关系,建立直线的方程的概念,并通过方程来研究直线的有关问题.为此,我们先研究直线的倾斜角和斜率2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为_____ 因此,根据定义,我们可以得到倾斜角的取值范围是___________倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率,常用k 表示. 倾斜角是_____的直线没有斜率二、范例:例1 如图,直线1l 的倾斜角1α=30°,直线1l ⊥2l ,求1l 、2l 的斜率.例2 已知直线的倾斜角,求直线的斜率:(1) α=0°;(2)α=60°;(3) α=90°;(4)α=43π例3、判断正误:①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为αtan ( ) ②直线的斜率值为βtan ,则它的倾斜角为β( ) ③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率( )④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在,所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在 ( )四、课堂练习:1.直线l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( )A.4πB. 45πC.4π或45πD.-4π2.过点P (-2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( )或3 或43.已知A (2,3)、B (-1,4),则直线AB 的斜率是 .4.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .5.已知O (0,0)、P (a,b )(a ≠0),直线OP 的斜率是 .6.已知),(),,(222111y x P y x P ,当21x x ≠时,直线21P P 的斜率k = ;当21x x ≠且21y y =时,直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 .思考:如图中的直线123,,l l l 的斜率的大小关系为_____________直线的倾斜角和斜率(二)一、知识点1.斜率公式:经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式: )(211212x x x x y y k ≠--=推导:设直线21P P 的倾斜角是α,斜率是k ,向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是),(1212y y x x --.过原点作向量21P P OP =,则点P 的坐标是),(1212y y x x --,而且直线OP 的倾斜角也是α,根据正切函数的定义,1212tan x x y y --=α)(21x x ≠ 即)(211212x x x x y y k ≠--=同样,当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.当2121,y y x x ≠=(即直线和x 轴垂直)时,直线的倾斜角α=︒90,没有斜率二、范例:例1求经过A (-2,0)、B (-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.例2求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α ①)3,2(1-P 、)8,2(2-P ; ②)2,5(1-P 、)2,2(2--P ; ③)2,1(1-P 、2(3,4)P --例3 若三点)3,2(A ,)2,3(-B ,),21(m C 共线,求m 的值例4 已知三角形的顶点)5,0(A ,)2,1(-B ,),6(m C -,BC 中点为D ,当AD 的斜率为1时,求m 的值及AD 的长例5 若直线l 的倾斜角(,)43ππα∈,则其斜率k 的范围为___________变式:直线l 过(4,1)A 2,(3,)()B a a R ∈两点,则直线l 的倾斜角的取值范围为 。
直线方程经典练习题
直线方程经典练习题直线方程是解析几何中的基础知识之一,它在很多数学问题中都起到了重要的作用。
本文将为您介绍几个经典的直线方程练习题,通过解题过程,帮助您更好地理解直线方程的概念和应用。
1. 题目一:通过两点求直线方程已知直线上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂),求直线的方程。
解析:设直线的方程为y = kx + b,其中k为斜率,b为截距。
首先我们需要求解斜率k。
根据两点的坐标计算斜率公式:k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
其次,我们可通过其中一个点的坐标和斜率求解直线的截距b。
将点A的坐标代入直线方程,得到y₁ = kx₁ + b,将斜率k代入,得到b = y₁ - kx₁。
综上,我们求得直线的方程为y = kx + b,其中k和b的值可根据两点的坐标得出。
2. 题目二:通过斜率截距求直线方程已知直线的斜率k和截距b,求直线的方程。
解析:直线的方程为y = kx + b,其中k为斜率,b为截距。
已知斜率k和截距b后,直接代入方程即可求得直线的方程。
3. 题目三:通过点斜式求直线方程已知直线上一点A(x₁,y₁)和斜率k,求直线的方程。
解析:点斜式表示直线的方程为y - y₁ = k(x - x₁)。
已知点A的坐标和斜率k后,直接代入方程即可求得直线的方程。
4. 题目四:通过截距式求直线方程已知直线的x截距a和y截距b,求直线的方程。
解析:直线的方程为x / a + y / b = 1。
已知x截距a和y截距b后,直接代入方程即可求得直线的方程。
通过以上四个经典练习题的解析,我们对直线方程的计算和求解有了更深入的理解。
在实际应用中,直线方程经常被用于解决各种几何问题,如求两条直线的交点、判断点是否在直线上等等。
因此,掌握直线方程的概念和求解方法对于数学学习和应用都具有重要意义。
总结:本文通过经典直线方程练习题的解析,详细介绍了通过两点求直线方程、通过斜率截距求直线方程、通过点斜式求直线方程以及通过截距式求直线方程的方法。
直线的倾斜角与斜率练习题
直线的倾斜角与斜率练习题一.选择题(共16小题)1.直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根,则l1与l2的位置关系是()A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直2.直线x+y﹣1=0的倾斜角为()A.B.C.D.3.若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为α,则α的值是()A.B.C.D.4.直线l:x+y+3=0的倾斜角α为()A.30°B.60°C.120°D.150°5.若三点A(3,1),B(﹣2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于()A.2 B.3 C.9 D.﹣96.直线的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.120°7.若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的范围是()A.[0°,90°)B.[0°,180°)C.[90°,180°)D.(90°,180°)8.若直线l过点A(﹣1,1),B(2,﹣1),则l的斜率为()A.﹣B.﹣C.D.9.若直线过点M(1,2),N(4,2+),则此直线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.90°10.若直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为()A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.11.若直线l1:ax+2y+a+3=0与l2::x+(a+1)y+4=0平行,则实数a的值为()A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.﹣1或212.直线L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若L1∥L2,则a的值为()A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣213.若直线2mx+y+6=0与直线(m﹣3)x﹣y+7=0平行,则m的值为()A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.314.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a﹣1)y+a2﹣1=0垂直,则a=()A.2 B.C.1 D.﹣215.以下四个命题:①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直;②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线必平行于该平面;③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线;④两个互相垂直的平面,一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线.其中正确的命题是()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④16.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.斜交D.与a,b,θ的值有关二.填空题(共1小题)17.已知直线l1:ax﹣y+2a=0,l2:(2a﹣1)x+ay+a=0互相垂直,则实数a的值是.三.解答题(共1小题)18.已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0.(1)若直线l2与l1平行,且过点(﹣1,3),求直线l2的方程;(2)若直线l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l2的方程.直线的倾斜角与斜率练习题参考答案与试题解析一.选择题(共16小题)1.直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根,则l1与l2的位置关系是()A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直【解答】解:设直线l1、l2的斜率分别为k1,k2,∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根,∴k1k2=﹣1.∴l1⊥l2.故选:D.2.直线x+y﹣1=0的倾斜角为()A.B.C.D.【解答】解:设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ.由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1,∴tanθ=﹣,∵θ∈[0,π),∴θ=.故选:C.3.若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为α,则α的值是()A.B.C.D.【解答】解:由题意,直线的斜率为k=直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°,故直线的倾斜角α为°故选:A.4.直线l:x+y+3=0的倾斜角α为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解答】解:由于直线l:x+y+3=0的倾斜角为α,则直线的斜率tanα=﹣,再由0°≤α<180°,可得α=120°,故选:C.5.若三点A(3,1),B(﹣2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于()A.2 B.3 C.9 D.﹣9【解答】解:∵三点A(3,1),B(﹣2,b),C(8,11)在同一直线上,∴kAC =kAB,即,解得b=﹣9.故选:D.6.直线的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.120°【解答】解:设直线y=x+2的倾斜角是α,则tanα=,又0°≤α<180°,∴α=60°.故选:C.7.若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的范围是()A.[0°,90°)B.[0°,180°)C.[90°,180°)D.(90°,180°)【解答】解:若直线l经过第二、四象限,则直线l的斜率小于零,故直线的倾斜角为钝角,故选:D.8.若直线l过点A(﹣1,1),B(2,﹣1),则l的斜率为()A.﹣B.﹣C.D.【解答】解:根据题意,直线l过点A(﹣1,1),B(2,﹣1),则其斜率kAB==﹣;故选:A.9.若直线过点M(1,2),N(4,2+),则此直线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解答】解:∵直线过点M(1,2),N(4,2+),∴该直线的斜率为k==,即tanα=,α∈[0°,180°);∴该直线的倾斜角为α=30°.故选:A.10.若直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为()A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.【解答】解:直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,可得,得:m=1,故选:A.11.若直线l1:ax+2y+a+3=0与l2::x+(a+1)y+4=0平行,则实数a的值为()A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.﹣1或2【解答】解:∵直线l1:ax+2y+a+3=0,l2:x+(a+1)y+4=0,l1∥l2,∴=≠,解得a=1或a=﹣2.∵当a=1时,两直线重合,∴a≠1.∴a=﹣2.故选:B.12.直线L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若L1∥L2,则a的值为()A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣2【解答】解:直线L1:ax+3y+1=0的斜率为:,直线L1∥L2,所以L2:2x+(a+1)y+1=0的斜率为:所以=;解得a=﹣3,a=2(舍去)故选:A.13.若直线2mx+y+6=0与直线(m﹣3)x﹣y+7=0平行,则m的值为()A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.3【解答】解:因为两条直线平行,所以:解得 m=1故选:B.14.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a﹣1)y+a2﹣1=0垂直,则a=()A.2 B.C.1 D.﹣2【解答】解:直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a﹣1)y+a2﹣1=0,且l1⊥l2,∴a•1+2(a﹣1)=0;解得:a=.故选:B.15.以下四个命题:①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直;②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线必平行于该平面;③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线;④两个互相垂直的平面,一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线.其中正确的命题是()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④【解答】解:①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直,满足直线与平面垂直的条件,成立;②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线必平行于该平面,如果两点在平面两侧,不成立;③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线,如果两条相交直线所在平面与已知平面垂直,射影则是一条直线,不正确;④两个互相垂直的平面,一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线.正确.故选:D.16.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.斜交D.与a,b,θ的值有关【解答】解:当cosθ=0或sinθ=0时,这两条直线中,有一条斜率为0,另一条斜率不存在,两条直线垂直.当cosθ和sinθ都不等于0时,这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ,显然,斜率之积等于﹣1,故两直线垂直.综上,两条直线一定是垂直的关系,故选:B.二.填空题(共1小题)17.已知直线l1:ax﹣y+2a=0,l2:(2a﹣1)x+ay+a=0互相垂直,则实数a的值是0或1 .【解答】解:∵直线l1:ax﹣y+2a=0与直线l2:(2a﹣1)x+ay+a=0互相垂直,∴a×(2a﹣1)+(﹣1)×a=0,解之得a=0或1故答案为:0或1三.解答题(共1小题)18.已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0.(1)若直线l2与l1平行,且过点(﹣1,3),求直线l2的方程;(2)若直线l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l2的方程.【解答】解:(1)由直线l2与l1平行,可设l2的方程为3x+4y+m=0,以x=﹣1,y=3代入,得﹣3+12+m=0,即得m=﹣9,∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0.(2)由直线l2与l1垂直,可设l2的方程为4x﹣3y+n=0,令y=0,得x=﹣,令x=0,得y=,故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96,即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0.。
必修二-直线的方程典型题目
1.直线10x y -+=的倾斜角为 . 【答案】45︒ 【解析】试题分析:方程10x y -+=可化为斜截式1+=x y ,所以斜率1=k ,所以倾斜角 45 考点:直线方程、直线的倾斜角与斜率2.已知ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ,(0,1)B ,()4,3C ,点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上,则实数m =________. 【答案】52【解析】试题分析:因为,ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ,(0,1)B ,()4,3C ,点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上,所以,高线的斜率为12122AD BC k m k -==-=--,故m=52. 考点:直线斜率的坐标计算公式,直线垂直的条件。
点评:简单题,两直线垂直,斜率乘积等于-1,或一条直线的斜率为0,另一直线的斜率不存在。
3.。
经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 。
【答案】()()+∞-∞-,11, 【解析】略4.已知点P(0,-1),点Q 在直线01=+-y x 上,若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ,则点Q 的坐标是 . 【答案】(2,3) 【解析】试题分析:根据点Q 在直线x —y+1=0上设Q(x ,x+1),由已知的直线方程求出斜率,再利用两直线垂直斜率之积为—1,以及两点间的斜率公式求出x 的值,再求出点Q 的坐标.解:由于点Q 在直线x —y+1=0上,故设Q(x,x+1),∵直线x+2y —5=0的斜率为—12,且与直线PQ 垂直,∴k PQ =2=1(1)x x +--- ,解得x=2,即Q(2,3).故答案为(2,3)考点:两条直线垂直垂直,斜率之积等于—1,求出点的坐标 5.已知直线ax -y +2a =0与(2a -1)x +ay +a =0互相垂直 ,则a 的值= 【答案】1,0 【解析】略6.已知直线2x+my+1=0与直线y=3x —1平行,则m= _______. 【答案】23-【解析】因为已知直线2x+my+1=0与直线y=3x —1平行,则斜率相等,即3=—2m,m=23-,故答案为23-。
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4.已知A(a,2),B(3,b+1),且直பைடு நூலகம்AB的倾斜角为90°,则a,b的值为()
A.a=3,b=1 B.a=2,b=2
C.a=2,b=3 D.a=3,b∈R且b≠1
解析:∵A(a,2),B(3,b+1)且直线AB的倾斜角为90°,∴ 即 即a=3,b∈R且b≠1.
答案:D
5.已知两点A(x,-2)、B(3,0),并且直线AB的斜率为 ,则x的值是()
CD边所在直线的斜率为kCD= =4;
DA边所在直线的斜率为kDA= = .
10.已知一条光线从点A(-1,3)出发,照在x轴上又反射回去,反射光线经过点B(2,7).求x轴上光照点的坐标.
解析:如图,设x轴上光照点的坐标为P(a,0),则直线BP的倾斜角与直线AP的倾斜角互补,
∴kAP=-kBP.
答案:A
7.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b),(ab≠0)共线,则 + 的值等于________.
解析:由三点共线,则kAB=kAC,即 = ,化简得2a+2b=ab,同除以ab,有 + =1.∴ + = .
答案:
8.已知过点A(1,2)和点B(a,3)的直线分别与x轴的负半轴和y轴的正半轴相交,则a的取值范围是__________.
A.12 B.9
C.-12 D.9或12
解析:∵点(2,-3),(4,3)及 在同一条直线上且不与x轴垂直,∴ = ,解得k=12.
答案:A
3.如图,若图中直线l1、l2、l3的斜率分别是k1,k2,k3,则()
A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3
C.k3<k1<k2D.k1<k3<k2
解析:由图可知直线l3的倾斜角为钝角,所以k3<0.直线l1与l2的倾斜角为锐角,且直线l2的倾斜角较大,所以k2>k1,所以k3<k1<k2,故选C.
答案:30°
5.已知直线l过P(-2,-1),且与以A(-4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.
解:根据题中的条件可画出图形,如图所示,
又可得直线PA的斜率kPA=- ,直线PB的斜率kPB= ,
结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为 ;
课时作业17直线方程的概念与直线的斜率
(限时:10分钟)
1.对于以下命题:
①若α是直线的倾斜角,则0°≤α<180°;②若k是直线的斜率,则k∈R;③任一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率;④任一条直线都有斜率,但不一定都有倾斜角.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
解析:①②③正确.
答案:C
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角.故斜率的变化范围是 .
综上可知,直线l的斜率的取值范围是
∪ .
(限时:30分钟)
1.过点P(-2,m)、Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为()
A.1B.4
C.1或3 D.1或4
答案:A
2.已知三点(2,-3),(4,3)及 ,且此三点在同一条直线上,则k的值为()
2.已知直线l经过A(18,8),B(4,-4),则l的斜率为()
A.- B.
C. D.-
解析:由斜率公式得k= = .
答案:C
3.已知直线l的倾斜角为α,则l关于x轴对称的直线l′的倾斜角为()
A.αB.90°-α
C.180°-αD.90°+α
答案:C
4.在直角坐标系中直线AB的位置如图所示,则直线AB的倾斜角为________.
∴ =- ,得a=- .
∴x轴上光照点的坐标为 .
A.1 B.-1
C.±1 D.0
解析:由斜率公式 = ,得x=-1.
答案:B
6.设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是()
A.k≥ 或k≤-4 B.-4≤k≤
C.- ≤k≤4 D.以上都不对
解析:由题意可得kPA= =-4,kPB= = ,直线与x轴垂直时,斜率不存在,当直线绕着P点从B点按逆时针方向转动到A点时,这时斜率从 增大到+∞,又从-∞增大到-4,故选A.
解析:由题意知,直线AB的倾斜角为锐角,且斜率2>k>0,如图.
∴2> >0.解得a> .
答案:
9.已知四边形ABCD的四个顶点为A(-2,2)、B(-1,-2)、C(1,-1)、D(2,3),求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率.
解:根据斜率公式得,
AB边所在直线的斜率为kAB= =-4;
BC边所在直线的斜率为kBC= = ;