晶体的宏观对称性

31 32 33
—— 在坐标变换下
' AA1
原坐标系中：
新坐标系中：
D=
Dx Dy
xx yx
xy yy
xz yz
Ex Ey
D'
=
Dx' Dy'
' xx
' yx
' xy
' yy
'Leabharlann Baiduxz
' yz
Ex'
E
' y
Dz zx zy zz Ez
Dz'
av1
a 2
v i
3a 2
v j,
av2
a 2
v i
3a 2
v j,
av3
v ck
试求1.倒格子基矢；2. 晶面簇（210）的面间距。
4. 对于立方晶格，密勒指数为(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的两个平面 之间的夹角余弦为
cos
h1h2 k1k2 l1l2
h12 k12 l12 h22 k22 l22
以加法为运算法则。 注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，
其运算法则为连续操作。
一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群
1. 单位元素 —— 不动操作
2. 任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度，其逆操作为绕转 轴角度－ ；中心反演的逆操作仍是中心反演；
3.连续进行A和B操作 —— 相当于C操作
【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度
· 是2.167*103kg m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。
【解】固体密度ρ=Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，m为分 子的质量。 每个分子的质量m为
于是得到
m
58.46*10-3
kg/mol
1mol 6.02*1023
• n重旋转轴：一个物体绕某一个转轴2π/n以及它的倍数不变 时，这个轴称为n重旋转轴，记作n。
• n重旋转-反演轴：一个物体绕某一个转轴2π/n加上中心反 演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时，这个轴称为n
n 重旋转轴，记作 。
例1： 立方体
立方轴 ( , , 3 ) 为4重轴，计为4
22 同时也是4重旋转－反演轴，计为 4 面对角线 ( )为2重轴，计为2
关键词
• 立方体、正四面体和正六角柱的对称操作 • 群的概念
对称操作 ：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作 物体的对称操作越多，其对称性越高
例1： 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动
, , 3
22
—— 9个对称操作
2) 绕6条面对角线轴转动 —— 共有6个对称操作
3) 绕4个立方体对角线
轴转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
4) 不动操作
11 12 13 介电常数 21 22 23
31 32 33
A为对称变换 '
—— 在坐标变换下
Y’ ' AA1
X’ 绕z轴逆时针转90°
y
x
—— 对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转/2
cos
a11
A a12
a13
a12 a22 a13
a13 a23 a33
电位移
☆对于立方对称的晶体，其为对角张量
0 , 立方对称
因此，介电常数可看作一个简单的标量 D 0 E
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33
11 12 13 介电常数 21 22 23
' zx
' zy
' zz
Ez'
新坐标系中：
左边：D'
=
Dx' Dy'
AD
A
Dx Dy
A
xx yx
xy yy
xz yz
Ex Ey
A
Ex Ey
Dz'
Dz zx zy zz Ez
Ez
右边：D'
' xx
' yx
' xy
' yy
' xz
' yz
2. 镜面与反映操作：通过物体中心的一个假想面，将物体 平分成互为镜面反映的两个相等部分，称为反映操作； 反映操作凭借的平面称为反映面或镜面σ；晶体中可存 在一个或多个镜面。
3. 对称中心与反演操作：若物体中存在一点，使得物体中 任意一点向此点引连线并延长到反方向等距离处而能使
物体复原，则这种操作就是反演，这一点称为反演中心i。
A
G
H
C
B F
E
正四面体既无四 度轴也无对称心
4. 反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演
的乘积。反轴写为In。 5. 恒等元素E与恒等操作：即物体不动的操作。
点对称操作： (1)旋转对称操作：1，2，3，4，6 度旋转对称操作。
C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）
(2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。 S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
s
2
in
2 0
代入 A A1, 得
sin
2
cos
2 0
0
0
1
0 1
0
1 0 0 0 0 1
11 22 , 12 21
即：
11 12
12 11
0 0
0 0 33
13 23 0,31 32 0
进一步选取对称操作B为绕X轴旋转/2，可得
11 33, 12 0
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分， 前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的 对称性。本节我们主要学习晶体的宏观对称性。
主要内容：
1. 宏观对称元素
2.宏观对称性的数学描述
3.三种几何体的对称操作
4. 群/对称操作群
5.宏观对称性与物理性质
• 对称是指物体相同部分作有规律的重复。 • 不改变物体/图形中任何两点的距离而能使图形复
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
• 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
x" r cos( ) r cos cos r sin sin x 'cos y 'sin y " r sin( ) r sin cos r cos sin x 'sin y 'cos
—— 共有3个对称操作
1 0 0
3)
不动操作
0
1
0
0 0 1
—— 1个对称操作
注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的
4) 绕三个立方轴转动 , 3 加中心反演
22
—— 6个对称操作
5) 绕6条面对角线轴转动
加上中心反演 —— 6个对称操作
正四面体的对称操作共有24 个，包含在正方体中。
同时也是2重旋转－反演轴，计为 2
体对角线轴 ( 2 , 4 ) 为3重轴，计为3
33 同时也是3重旋转－反演轴，计为 3
例2： 正四面体
立方轴是4重旋转－反演轴 —— 不是4重轴
面对角线是2重旋转－反演轴 —— 不是2重轴 体对角线轴是3重轴 —— 不是3重旋转－反演轴
对称操作群
群：代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，并且满足下列 性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
晶体中最多可有一个对称中心。
i
4. 反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，
即旋转与反演的乘积。反轴写为In。
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1i
1 2
2m
1
1
2
3 3i
3
5
1 4
6 2
6=3+m
3 3
5 5
1
1
6
2' 2
6 4
4
A B
D C
H G
E
F
7
4
3 1 3
1
2
4
2 4
D
(3)中心反演：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
立方体对称性
(1)立方轴C4： (2)体对角线C3： (3)面对角线C2：
3个立方轴； 4个3度轴；
6个2度轴；
宏观对称性的数学描述
•各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作 •保持图形形状和大小不变的几何变换为正交变换。 •概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换下的不变性
A 操作 —— 绕OA轴转动/2 B 操作 —— 绕OC轴转动/2
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点
S’
—— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
表示为 C BA
—— 群的封闭性
可以证明
A(BC) ( AB)C
9.7*1026 kg
a3
Zm
4*9.7 *10 26 2.167 *103
17.9*10 29 (m3 )
a 5.63 *1010 (m) 0.563(nm)
宏观对称性与物理性质
晶体在几何外形上表现出明显的对称性， 对称性的性质也会在物理性质上得以体现。
介电常数表示为二阶张量 (, x, y, z)
—— 满足结合律
S’
1.已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是
· 2.167*103kg m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。
2. 硅、锗半导体材料具有金刚石结构，设其晶格常数为a。画出（110）面 二维格子的原胞，并给出它的基矢。
3. 对于六角密积结构的晶体，其原胞基矢为
1 0 0 0 1 0
0
0
1
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
例2 正四面体的对称操作
四个原子位于正四面 体的四个顶角上，正 四面体的对称操作包 含在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动
2) 绕4个立方体对角线轴
转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
原的操作叫对称操作。 • 对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素
1. 旋转轴与旋转操作：将物体绕通过其中心的轴旋转一定的角度 使物体复原的操作。能使物体复原的最小旋转角（0°除外）称 为基准角α；物体旋转一周复原的次数称为旋转轴的轴次n， n=360 °/ α； 旋转轴的符号为Cn； 晶体只存在C2,C3,C4,C6旋转轴；晶体中可存在一条或多条旋转轴。
例3 正六角柱的对称操作
1) 绕中心轴线转动 , 2 , , 4 , 5
33 3 3
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
—— 5个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 不变操作
—— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
对称素
• 对称素：是指一个物体的旋转轴或旋转-反演轴，其简洁明 了地概括了一个物体的对称性。
—— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
例1：正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合 以普通乘法为运算法则，1为单位元素，x的逆为1/x。 例2：整数群 —— 所有整数的集合
即：
11
0
0
11
0 0
0 0 11
最后得到 ij 0 ij
☆六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式
|| 0 0 0 0 0 0
平行轴（六角轴）的分量 D|| ||E|| 垂直于六角轴平面的分量 D E
—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 —— 立方晶体的光学性质则是各向同性的
—— 三维情况下，正交变换的表示
x x' a11 a12 a13 x
y y' a21 a22 a23 y
z
z'
a31
a32
a33 z
—— 其中矩阵是正交矩阵
• 绕z轴转角的正交矩阵 矩阵行列式等于＋1
• 中心反演的正交矩阵 矩阵行列式等于－1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Ex'
E
' y
=
'
Ex'
E
' y
'
A
Ex Ey
' zx
' zy
' zz
Ez'
Ez'
Ez
' A =A
可得 '=A A-1
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33