坐标与函数
平面直角坐标系与函数的概念
专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。
3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。
说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。
⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。
5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。
6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。
(3)常量：在某变化过程中的量。
变量：在某变化过程中的量。
(4) 函数的表示方法:①；②；③。
能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。
二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。
讲平面直角坐标系与函数
奇偶性是指函数是否具有对称性的性质。如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该 函数为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。
03
一次函数
一次函数的定义
一次函数的定义
一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，自变量x的最 高次数为1。
解释定义
一次函数描述了一个直线上的点的变化规律，其中x表示横坐 标，y表示纵坐标。k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐 标。
值域是函数的重要组成部分，它们反映了函数与实际问题的联系和限制
。
函数的表示方法
函数的符号表示
通常用一个函数符号f(x)表示一个函数，其中x是自变量，f表示因变量。函数f(x)的值随x 的变化而变化。
表格法表示函数
表格法是一种直观地表示函数的方法，通过列出一些自变量x的值和对应的因变量y的值， 可以清晰地展示函数的变化情况。
当k<0时，函数在x<0和 x>0时都是单调递增的。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数被用来 描述电磁场、引力场等物理现象 。
在生物学中，反比例函数被用来 描述细胞分裂、神经传导等生物 过程。
反比例函数的应用广泛，如在物 理学、工程学、生物学、数学、 化学和经济学等领域都有广泛的 应用。
在工程学中，反比例函数被用来 描述电路阻抗、流体阻力等物理 量之间的关系。
在数学中，反比例函数被用来研 究函数的奇偶性、单调性和周期 性等性质。
05
对数函数
对数函数的定义
自然对数函数：以数 学常数e为底数的对 数函数，记作f(x) = ln(x)。
对数函数的值域： f(x) ∈ (-∞, +∞)。
点的坐标与函数图象的关系
七， Ａ … 矗 线 ， ， 腰 ． 白，＝
＋３ ＬＣ Ａ： ｏ ，Ｄ ＝ ． ， Ｄ ９ 。Ａ ６
求 双曲线 的解析式
Ｃ ／￣ Ｄ ／ 轴交 ｌ 于点 Ｄ，Ｅ／ ｙ ： Ｄ／ 轴 ， ｙ 于 交 ＝１
点 Ｅ ．
｜
Ｉ 口一 —
（ ） Ａ ：Ｂ ； １ 求 Ｂ Ｃ
３一（ Ｉｍ ２
２ ＋ ） ｍ ３
双曲线的解析式 为 Ｙ 旦 ：
．
＝
一
÷２ｍ ｍ２ ＋
（ 一 ） ２ ｍ ２ ＋ ． ’
例 ４ 如图 ， 平面直角坐标 系中 ， 抛物 线 Ｙ＝ １ 一 ２ ＋３交 ｙ 于点 Ａ， 轴 Ｐ为抛物线 上一 点， 与点 Ａ不重 且 合． 连接 Ｐ， Ａ ． Ｐ为边作￣ Ｏ Ｐ ． 以 ＯＡ ｙ Ａ Ｑ Ｊ
例 ： ， ÷ （ ｏ 图 与 段 曰 ｙ的 半 上顶 ｃ 双 线 ＝ （ ０ ２如 ≥） 象 线 在 轴 正 轴 ， 在 曲 ｙ÷ ２＝ 的 点 ＞
Ａ Ｃ的交点分别为 Ｂ、 其 中 Ａ（ ， ） ａ ／ Ｃ， ０ １ ，Ｃ／ｘ轴 ， Ｂ在 点
， ， ｃ在 ＝ ｌ 上 ：ｘ 上 点
｜
１
当 ：２时 ， ｙ：
．
Ｏ ：３ Ａ ．
！÷： — 。 ： ， 翠 ４ ×
‘ ．
’
四 边形 Ｏ Ｐ Ａ Ｑ为 平 行
Ｄ＼
‘ ． ．
线线 Ｐ的长最小值 为 １ ， ｍ： ２时 ， 线段 Ｑ 的长取 最大值 ， 大值 为 ３—１ 最
四边 形 ，
’ ． ．
‘ ．
．
Ｑ Ｐ＝Ｏ ３ Ａ＝ ．
．
’
．
解
过 Ａ 作 Ａ Ｄ上 轴
第9讲 平面直角坐标系与函数
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的
平面直角坐标系与函数的概念
考点聚焦
考点三 函数的有关概念及图象
2. 函数的三种表示法 (1)解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运 算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. (2)列表法： 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系， 这种表示法叫做列表法. (3)图象法： 用图象表示函数关系的方法叫做图象法.
相反数.
③特殊位置点的特点：P（a ，b）若在一、三象限角的平分线上，
则 a=b ，若在二、四象限角的平分线上，则 a=-b.
考点聚焦
考点一 平面直角坐标系的有关概念
④对坐标轴的距离：P（a ,b）到x轴的距离 |b| ，到y轴的距离 |a| ，到原
点的距离
.
⑤坐标平面内点的平移：将点P（a ,b）向左右平移h个单位，对应点坐标 为 (a-h,b) 或 (a+h,b).向上（下）平移k个点位，对应点坐标为
强化训练
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例1 （ •东营）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在
第二象限，则m的取值范围是（
A．m＜﹣1
B．m＞2
C） C．﹣1＜m＜2 D．m
＞﹣1
强化训练 (1)当函数表达式是整式时，自变量可取 ；
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数； 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
考点一：平面直角坐标系中点的特征
关于原点对称，横纵坐标都互为相反数.
使函数 的自变量的取值的全体，叫做自变量的 .
考使点函二 数：平面的考直自角点变坐量二标的系：取与值平其的知面全识体直，角叫做坐自标变量系的与其. 知识
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
点的坐标与函数图像的关系——复习函数知识(二)
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数学大世界 ． ◇ ＋＋＋＋ ＋＋．＋＋＋ ０。１ ０ 。 。 。。。。。
⑩
吉林
郭 奕 津
学 习 函数 知 识 时 ， 同学 们 注 意 一 个 十 分 简 单 的 关 请 系： 一个点如果 在某 函数 的图象上 ， 那么 这个点 的坐标 满足 函数 的解 析 式 ， 把 点 的 坐 标 代 入 解 析 式 中 ， 析 即 解 式左 右两 边 相 等 ． 之 ， 个 点 不 在 函数 的 图象 上 ， 一 反 一 这
０ 的 图象 上 ． ）
Ｃ — — Ｂ
Ｉ
ｄ ）＋ｂ ｄ— ） （ ｃ 的值 ． 分 析 由 点 Ｐ， 在 函数 Ｙ＝ Ｑ
ｆｏ ｊ
＋５的 图 象 上 ， 点 Ｐ Ｐ 的 坐 标 满 则 ，
足 ｙ＝ ＋ ５这 一 关 系． 贝 。＋ Ⅱ ５＝ｂｒ—ｂ 一 ； ， Ｉ ＝ ５
Ｙｏ÷ ： ：０． ２ ｏ ｌ 丁 — ０５ ４９２ ９ ０ １ ‘
：
如用待定系数法求函数的解 析式时 ， 是把点的坐 就 标代入解析式 中， 出函数解析式 中的系数． 求 因此， 当题中的条件中若含有“ 某某点在函数 图象上” 这样的条件 ， 往往要考虑把这点的坐标代入解析式中．
分析
・
‘ 尸 ， ２ … ｏ 纵 坐 标 依 次 为 １ ３ ５ ． 尸 ， ‘ 的 ，，，
这 样 的 ２ １ 奇数 ， ０ ０个
．
．
点 Ｐ 的 纵 坐 标 为 ４ １． ２ ０９
第11讲平面直角坐标系与函数课件
3．对称点的坐标
已知点 P(a，b)， (1)其关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为__(_a_，__－__b_)_． (2)其关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为__(_－__a_，__b_)_． (3)其关于原点对称的点 P3 的坐标为__(－__a_，__－__b_)_． 4．点与点、点与线之间的距离
5．常量、变量 在一个变化过程中，始终保持不变的量叫做__常__量__，可以 取不同数值的量叫做__变__量__． 6．函数 (1)概念： 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值， y 都有__唯__一__确__定__的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数．
(1)点 M(a，b)到 x 轴的距离为___|b_|_. (2)点 M(a，b)到 y 轴的距离为___|a_|_. (3)点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为__|_x_1－__x_2_| _. (4)点 M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为___|y_1_－__y_2|_.
⑥结合对函数关系的分析,能又对变量的变化情况进行初步讨论,了解分 段函数的意义
1.通过知识梳理，了解常量、变量的意义，函数的概念和三种表示方法, 能举出函数的实例 2.通过知识点例题训练，能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围, 并会求出函数值，并能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 3.通过能力提升，熟练解决有关取值范围与函数图像的问题。 4.通过聚焦中考，感受中考，体验中考，提高学生分析问题解决问题的能 力。
小结与反思：求自变量的取值范围时要全面考虑式子有意 义的条件，特别是根号在分母中时，要考虑分母不为零的情况.
方法指点：确定自变量的取值范围
【点评】代数式有意义的条件问题: (1)若解析式是整式,则自变量取全体实数; (2)若解析式是分式,则自变量取使分母不为0的全体实数; (3)若解析式是偶次根式,则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数: (4)若解析式含有零指数或负整数指数幂,则自变量应是使底数 不等于0的全体实数; (5)若解析式是由多个条件限制,必须第一求出式子中各部分 自变量的取值范围,然后再取其公共部分,此类问题要特别注意, 只能就已知的解析式进行求解,而不能进行化简变形,特别是 不能轻易地乘或除以含自变量的因式.
函数与坐标轴知识点
一．x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；
坐标轴上的点不属于任何象限；原点（0,0）
二．坐标轴共有4个象限，第一象限（+，+）第二象限（-，+）第三象限（-，-）第四象限（+，-）
三．平面直角坐标系中，一点P（a，b）表示其与x轴距离为|b|，与y轴距离为|a|
四．点p（a，b）关于x轴对称的点m（a，-b）；点p（a，b）关于y轴对称的点n（-a，b）；
点p（a，b）关于原点对称的点x（-a，-b）
一次函数
一，若y是x的函数，则在函数图象上对于每一个横坐标x，有且只有一个y坐标的取值。
二，一次函数基本表达式：y=kx+b（k 0）其中k和b是常量，x和y分别是自变量和因变量。
定义域：即x的取值范围。
值域：即y的
取值范围。
三，一次函数图像：描点法，已知函数解析式如y=2x+2，列出当x取-1,0,1时y的值，连接诸点的一条直线即是函数图像。
四，正比例函数，解析式y=kx（k 0），即一次函数b=0，图像是过原点的一条直线，当k＞0时，直线y=kx经过一，三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
b，0）五（重点）一次函数y=kx+b，必过2点，与x轴相交的点（-
k
与y轴相交的一点（0，b），通过确定k，b的正负可以画出一次函数的草图。
若b＞0则直线交y轴上方，若y＜0则直线交于y轴下方。
若当k＞0，直线从左向右上升，即y随x的增大也增大；当k<0时，直线从左向右下降，即y随x增大反而减小．
k越大函数越接近y轴反之越接近x轴。
函数-第1讲：平面直角坐标系与函数
1、点坐标的特征：x 轴上点坐标的特征：（m,0）y 轴上点坐标的特征：（0，m ）平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，平行y 轴的直线上的点的横坐标相同。
2、点坐标的几何意义：（1）点（a ，b ）表示到x轴的距离是b ，到y 轴的距离是a （2）根据点到坐标轴的距离可以写出点坐标，但是需要考虑符号，需要分类讨论。
例：点A 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，求点A 的坐标。
答：（3,2）或（-3,2）或（-3，-2）或（3，-2）3、确认函数自变量取值范围的方法：【方法技巧】第一节 函数-平面直角坐标系与函【知识梳理】4、函数图象问题的解题技巧：①解题关键步骤：第一步：识别变量（审题）：第二步：判断趋势第三步：找特殊值第四步：列解析式小贴士：以上四步没有绝对的向后顺序，若可以利用排除法求，则优先利用排除法，若实在判断不了函数图象，则可求出函数的关系式；注意出现动点时，要标出动点走过的路程和剩下的路程再去找关系，常用勾股定理和相似来求动点解析式②判别图象是曲还是直：要看变量的个数，若一个变量，则为直线；若变量是两个，则为曲线。
两个变量的增加性一样，则开口向上。
若不一样，开口向下。
③识别图象特点：若动点在直线、射线、线段、圆、圆弧上动，则函数图像为连续圆滑的图像，若在有尖点的折线上运动，则函数图像为出现明显的拐点为分段函数。
【考点突破】考点1：平面直角坐标系例1、在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣2m+3）在第三象限，则m的取值范围是（）A．B．C． D．变式1、已知点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a＞C．﹣＜a＜1 D．﹣1＜a＜例2、已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，﹣m+1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式1、在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例3、已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．变式1、画出平面直角坐标系，标出下列各点；（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；（4）点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度（5）点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．依次连接这些点，你能得到什么图形？例4、已知△ABC中，点A（﹣1，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣3）①在直角坐标系中，画出△ABC；②求△ABC的面积．变式1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，1），B（1，1）C（4，5），D（6，﹣3），E（﹣2，5）（1）在坐标系中描出各点，画出△AEC，△BCD．（2）求出△AEC的面积（简要写明简答过程）．变式2、已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．例5、已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．（1）CD= ，|DB﹣AC|= ；（用含a，b，c，d的代数式表示）（2）请猜想：A，B两点之间的距离；（3）利用猜想，若A（﹣2，5），B（4，﹣4），求AB两点之间的距离．变式1、先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．考点二：函数及其图象例1、在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≤C．x＞D．x≥变式1、函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞4B．x≥2C．x≥2且x≠﹣4D．x≠﹣4变式2、函数y=的自变量x的取值范围为（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≠2例2、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．变式1、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．例3、如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP=x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y=2x+1B．y=x﹣2x2C．y=2x﹣x2D．y=2x变式1、如图，A的坐标是（0，4），点C是x轴上的一个动点，点B与点O在直线AC两侧，∠BAC=∠OAC，BC⊥AC，点B的坐标为（x，y），y与x的函数关系式为（）A．y=8x B．y=C．y=D．y=例4、在五边形ABCDE中，∠B=90°，AB=BC=CD=1，AB∥CD，M是CD边的中点，点P由点A出发，按A→B→C→M的顺序运动．设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（）A．B．C．D．变式1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P 从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．例5、如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．变式1、如图，BC是⊙O直径，A是圆周上一点，把△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，连结BD，当BD∥AC时，记旋转角为x度，若∠ABC=y度，则y与x之间满足的函数关系式为（）A．y=180﹣2x B．y=x+90C．y=2x D．y=x例6、如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O变式1、一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为（）A．A→D→C→B B．A→B→C→D C．A→C→B→D D．A→C→D→B例7、如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE变式1、如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H 是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH例8、小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N变式1、如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（）A．点B B．点C C．点D D．点E例9、如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④变式1、如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A 运动结束．设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，那么如图乙图象中可能表示y 与x 的函数关系的是（ ）A ．①B ．④C ．①或③D ．②或④<A 组>1．已知点P （0，m ）在y 轴的负半轴上，则点M （﹣m ，﹣m+1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞4B ．x≥2C ．x≥2且x≠﹣4D ．x≠﹣43．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min 后回家，图中的折线段OA ﹣AB ﹣BC 是她出发后所在位置离家的距离s （km ）与行走时间t （min ）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）A ．B ．C ．D ．4．小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟【分层训练】返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是（）A．B．C．D．5．小颍今天发烧了．早晨她烧得很厉害，吃药后她感觉好多了，中午时小颖的体温基本正常，但是下午她的体温又开始上升，直到夜里小颖才感觉没那么发烫．下面四幅图能较好地刻画出小颖今天体温的变化情况的是（）A．B．C．D．6．已知点A（m，﹣2），点B（3，m﹣1），且直线AB∥x轴，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣3D．37．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）8．如图，直线m∥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O49．如图，在下列正方形网格中，标注了射阳县城四个大型超市的大致位置（小方格的边长为1个单位）．若用（0，﹣2）表示苏果超市的位置，用（4，1）表示文峰超市的位置，则大润发超市的位置可表示为．10．如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1）上，“相”位于点（4，﹣1）上，则“炮”所在的点的坐标是．<B组>1、如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（）A．（0，21008）B．（21008，21008）C．（21009，0）D．（21009，﹣21009）2、观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是．4．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=10，写出满足条件的所有点C的坐标．5、如图∥，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt∥ABC或Rt∥DEF的斜边长．下面：以求DE为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF=|5﹣（﹣3）|=8，EF=|4﹣（﹣7）|=11，所以由勾股定理可得：DE==．下面请你参与：（1）在图∥中：AC=，BC=，AB=．（2）在图∥中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC=，BC=，AB=．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得∥ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．6、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，∥APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7、如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），∥OEF 的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．参考答案【考点突破】考点1：平面直角坐标系例1、解：∵点在第三象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即﹣2m+3＜0，解得m＞．故选B．变式1、解：∵点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，∴，解得：a，故选：B．例2、解：由点P（0，m）在y轴的负半轴上，得m＜0．由不等式的性质，得﹣m＞0，﹣m+1＞1，则点M（﹣m，﹣m+1）在第一象限，故选：A．变式1、解：∵点A（a，﹣b）在第一象限内，∴a＞0，﹣b＞0，∴b＜0，∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．故选D．例3、解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．变式1、解：（1）∵点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度，∴点B的坐标为（1，0）；（3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度，∴点C的坐标为（2，2）；（4）∵点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度，∴点D的坐标为（3，0）；（5）∵点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度，∴点E的坐标为（4，2）．将A、B、C、D、E标在同一坐标系中，依次连接这些点，如图所示，得到的图形为W形．例4、解：（1）△ABC如图所示；（2）△ABC的面积=6×5﹣×2×4﹣×1×6﹣×5×4，=30﹣4﹣3﹣10，=30﹣17，=13．变式1、解：（1）如图所示：（2）△AEC取EC为底，则EC为6，EC边上高AC=4所以S△AEC=×6×4=12．变式2、解：（1）S△ABC=3×4﹣×2×3﹣×2×4﹣×1×2=4；（2）如图所示：P1（﹣6，0）、P2（10，0）、P3（0，5）、P4（0，﹣3）．例5、解：（1）CD=|c﹣a|，|DB﹣AC|=|b﹣d|；（2）AB=；（3）AB==3．故答案为|c﹣a|，|b﹣d|；．变式1、解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴|AB|==13，即A、B两点间的距离是13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，∴|AB|=|﹣1﹣5|=6，即A、B两点间的距离是6；（3）∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），∴AB=5，BC=6，AC=5，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．考点二、函数及其图象例1、解：在函数y=中，自变量x的取值范围是x≤，故选：B．变式1、解：由题意得，解得x≥2，x≠﹣4，∥自变量x的取值范围是x≥2，故选B．变式2、解：∥函数表达式y=的分母中含有自变量x，∥自变量x的取值范围为：x﹣2≠0，即x≠2．故选D．例2、快速解法：由题意可得P经过两个线段，BA,AC,当P在BA上运动时，BD是变化的（增大），PD也是变化的（增大），所以面积是曲线，不是直线，排除A、D当P在AC上运动时，BD是变化的（增大）,PD也是变化的（减少），所以面积是曲线，且是下降的。
平面直角坐标系与函数图像
平面直角坐标系与函数图像在数学中，平面直角坐标系是一种常用的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。
平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，以一个点作为原点，可以表示二维平面上的任意点。
一、平面直角坐标系的构成平面直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，通常称为x轴和y轴。
x轴水平放置，代表横轴，y轴竖直放置，代表纵轴。
这两条直线的交点被定义为原点O，即坐标(0,0)。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点都可以通过一个有序数对表示，这个有序数对通常写成(x, y)，x代表该点在横轴上的位置，y代表该点在纵轴上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示该点在横轴上位置为2，纵轴上位置为3。
三、函数图像在平面直角坐标系中的表示函数图像是平面直角坐标系中的一种重要应用。
我们可以通过函数的定义域和值域来绘制函数图像。
以一元函数为例，假设给定函数f(x)，x为定义域上的变量，y为函数的值域。
我们可以通过给不同的x值计算对应的y值，将这些点在平面直角坐标系上连线得到函数的图像。
四、函数图像的性质函数图像在平面直角坐标系中呈现出不同的特征和性质。
我们可以通过观察图像找到函数的最大值、最小值、零点、增减性、凹凸性等关键信息来研究函数的性质。
平面直角坐标系为我们提供了一个直观的展示方式，有助于我们更好地理解和分析函数。
五、利用平面直角坐标系解决实际问题平面直角坐标系不仅在数学理论中有重要应用，在实际问题中也发挥着重要作用。
例如，在物理学中，我们可以通过绘制运动曲线来描述物体在平面上的运动轨迹；在经济学中，我们可以通过绘制需求曲线和供给曲线来研究市场的供求关系。
六、小结平面直角坐标系是一种重要的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。
它由x轴和y轴组成，通过坐标的有序数对来表示点的位置。
函数图像在平面直角坐标系中可以展现出不同的性质和特征，有助于我们研究函数的性质和解决实际问题。
通过学习和理解平面直角坐标系，我们能更好地掌握数学知识，并应用于实际生活中。
第13课坐标系与函数
第13课坐标系与函数
坐标系是数学中用来表示点的位置的一种工具。
它由两条互相垂直的
线组成，分别称为x轴和y轴。
每个点都可以用一对数字(x,y)来表示，
其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
在坐标系中，原点是两条轴的交点，坐标轴上的单位长度称为单位长度。
坐标系可以用来表示平面上的几何图形、函数关系等。
函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在数学中，通常把函数表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数关系。
函数可以通过一个算式、图表或者一组数据来表示。
在坐标系中，函数可以用曲线来表示。
曲线上的每个点的坐标都满足
y=f(x)的关系。
通过观察曲线的形状和特点，我们可以了解函数的性质和
行为。
函数可以有各种形式，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指
数函数、对数函数等。
线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一
个抛物线，指数函数和对数函数的图像则具有特殊的形状。
函数还有一些特点和性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、极
值等。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函
数的奇偶性表示函数关系在对称轴上是否具有对称性，单调性表示函数在
整个定义域上的变化趋势，极值表示函数在一些点上的最大值或最小值。
平面直角坐标系与函数及图像
第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。
平面直角坐标系与函数方程的关系
平面直角坐标系与函数方程的关系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的工具，用于描述平面上的点的位置。
而函数方程则是用来描述数学关系的方程。
本文将探讨平面直角坐标系与函数方程之间的关系，以及如何利用函数方程在平面直角坐标系中进行图像的表示与分析。
一、平面直角坐标系与坐标表示平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y 轴。
这两条坐标轴的交点被称为原点，用O表示。
x轴和y轴将平面分成四个象限，依次为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在平面直角坐标系中，每个点的位置可以通过两个坐标值来表示，分别是水平方向的x坐标和垂直方向的y坐标。
对于任意一个点P(x, y)，x表示该点到y轴的水平距离，正值表示在y轴右侧，负值表示在y轴左侧；y表示该点到x轴的垂直距离，正值表示在x轴上方，负值表示在x轴下方。
二、函数方程的概念与表示函数方程是用来描述自变量和因变量之间关系的方程。
在平面直角坐标系中，函数方程一般表示为y = f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量。
函数方程可以通过不同的数学表达式来表示，如线性函数、二次函数、指数函数等。
对于线性函数y = kx + b，k表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b表示截距，决定了函数图像与y轴的交点位置。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，a、b和c分别表示二次项、一次项和常数项的系数，决定了函数图像的开口方向、顶点位置以及与x轴的交点位置。
对于指数函数y = a^x，a表示底数，决定了函数图像的增长速度和开口方向。
三、函数方程与平面直角坐标系的关系在平面直角坐标系中，函数方程的图像可以直观地表示出来，有助于我们对函数关系进行分析和理解。
通过对函数方程中的自变量赋予不同的取值，可以得到对应的因变量值。
将这些点在平面直角坐标系中绘制出来，就可以得到函数的图像。
例如，对于线性函数y = 2x + 1，在平面直角坐标系中选择几个x值（如-2、0和2），代入函数方程求得对应的y值，然后将这些点连接起来，就得到了一条直线。
三角函数与坐标系的关系
三角函数与坐标系的关系三角函数是数学中的重要概念，它们与坐标系之间存在着密切的关系。
在本文中，我们将探讨三角函数与坐标系之间的关系，包括在直角坐标系和极坐标系中的表示方法，以及三角函数图像在坐标系中的特点。
一、直角坐标系中的三角函数表示在直角坐标系中，我们可以用坐标轴上的点来表示三角函数的值。
首先，我们需要了解三角函数的定义：1. 正弦函数（sine function）表示一个角的正弦值，记作sin，可以用一个角度对应在单位圆上的纵坐标来表示。
2. 余弦函数（cosine function）表示一个角的余弦值，记作cos，可以用一个角度对应在单位圆上的横坐标来表示。
3. 正切函数（tangent function）表示一个角的正切值，记作tan，可以用一个角度对应在单位圆上的纵坐标除以横坐标来表示。
在直角坐标系中，我们可以将角度表示为一个有向线段与坐标轴的夹角。
以直角坐标系的原点为起点，有向线段的终点与x轴的夹角表示角度。
根据这个表示方法，我们可以得到三角函数在直角坐标系中的图像。
二、三角函数图像的特点1. 正弦函数（sin）的图像是一个周期为2π的波浪线。
当角度为0时，正弦函数的值为0，随着角度的增大，正弦函数的值在[-1, 1]之间变化。
2. 余弦函数（cos）的图像也是一个周期为2π的波浪线。
当角度为0时，余弦函数的值为1，随着角度的增大，余弦函数的值在[-1, 1]之间变化。
3. 正切函数（tan）的图像在某些点上会出现无穷大的值，比如在角度为90°和270°时，正切函数的值为正无穷和负无穷。
此外，正切函数的图像也具有周期性。
三、极坐标系中的三角函数表示除了直角坐标系，三角函数也可以在极坐标系中表示。
在极坐标系中，一个点的位置由极径（r）和极角（θ）决定。
1. 在极坐标系中，正弦函数（sin）的值可以表示为单位圆上对应角度的纵坐标。
2. 余弦函数（cos）的值可以表示为单位圆上对应角度的横坐标。
第11讲 平面直角坐标系与函数
一象限内，则m的取值范围是______．
【解析】因为第一象限内的点横坐标为正,纵坐标为正,所以
m 0, m 2 0,
解得
m 0, 所以m>2. m 2,
答案：m>2
求函数自变量的取值范围
◆中考指数:★★★★☆ 函数自变量取值范围的五种情形: 1.若函数解析式是整式，其取值范围是全体实数. 2.若函数解析式是分式，其取值范围应使分母不等于零. 3.若函数解析式是偶次根式，其取值范围应使被开方数为 非负数. 4.若函数解析式为零指数和负整数指数，其取值范围应使 底数不等于0. 5.与实际问题有关的函数解析式，其自变量的取值范围除 了满足上述条件外，还应使实际问题有意义.
平路、上坡、下坡的时间分别为8分钟、10分钟、2分钟，所以
总共需要20分钟.
【对点训练】 6.(2012·益阳中考)在一个标准大气压下，能反映水在均匀 加热过程中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大 致是( )
【解析】选B.选项A：由图象中发现，水温达到100 ℃时温度
保持了一段时间后又在上升，错误;选项C：由图象中发现，水
【例】(2011·长沙中考)如图，在平面直角坐标系中，
点P(-1，2)向右平移3个单位长度后的坐标是(
(A)(2，2) (C)(-1，5) (B)(-4，2) (D)(-1，-1)
)
【解题导引】根据“右加左减，上加下减”确定点P平移后的
坐标.
【规范解答】选A.借助网格，可以看出在平面直角坐标系中点
3 2 (D) x 3 2
(A)x＞ 3
2 (C)x 3 2
(B) x
【解析】选D.∵2x-3≥0,解得 x
3 . 2
第1部分 第3章 第1节 平面直角坐标系与函数
2．(2019·日照)如图，在单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，
△A5A6A7，…，都是斜边在 x 轴上，斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角
三角形，若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A规律，A2019 的坐标为( A )
函数(2018.10，2016.9，2014.9，2012.9) 1．函数及相关概念 (1)变量与常数：在一个变化过程中，可以变化的量，是变量；保持不 变的量，是常量． (2)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x，y，且对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有⑯ 唯一确定 的值与它对应，那么 就说 x 是自变量，y 是 x 的函数． (3)函数值：对于一个函数，取自变量 x 在允许范围内的一个确定值， 代入函数表达式求得的函数 y 的值，就叫做函数值．
【解析】由题意知，A1(21， 23)，A2(1，0)，A3(32， 23)， A4(2，0)，A5(25，－ 23)，A6(3，0)，A7(72， 23)，…综上可知，每个点的 横坐标为序号的一半，纵坐标每 6 个点依次为 23，0， 23，0，－ 23，0 这 样循环，∴A2019(20219， 23)．
【解析】∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，∴y 随 x 的增大而减小，符合一 次函数图象．
点的坐标特征(冷考) 1．(2013 安徽，18(2)，4 分)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作 如图(1)所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有 7 个特征点，将此基 本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图(2)， 图(3)，….
如图所示，三架飞机 P，Q，R 保持编队飞行，某时刻在坐标 系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30 秒后，飞机 P 飞到 P′(4， 3)位置，则飞机 Q，R 的位置 Q′，R′分别为( A )
函数与坐标系的理解与运用
函数与坐标系的理解与运用函数与坐标系是数学中非常重要的概念和工具。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
而坐标系则是一个二维或多维空间中的点的表示方式。
一、函数的基本概念和性质函数的定义：函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示，例如f(x)，其中x代表输入值，f(x)代表输出值。
函数的可变性：函数的输出值随着输入值的改变而改变。
函数可以是线性的、非线性的、周期性的等等。
函数的可变性可以通过函数图像来表示，函数图像是函数在坐标系中的表示。
函数的性质：函数具有定义域、值域和图像等性质。
定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合，而图像是函数在坐标系中的表示。
函数的运算法则：函数之间可以进行加减乘除等运算。
例如，两个函数可以进行加法运算得到一个新的函数。
函数的应用：函数在数学中有广泛的应用，例如在解方程、建模等方面起到重要作用。
二、坐标系的基本概念和性质直角坐标系：直角坐标系是一个由两条相互垂直的线组成的平面，其中一条线称为x轴，另一条线称为y轴。
通过坐标系，可以表示平面上的任意点。
极坐标系：极坐标系是一个由极轴和极径组成的平面。
极轴是一个固定的线，极径是从原点到点的距离。
通过极坐标系，可以表示点的位置和方向。
坐标系的转换：直角坐标系和极坐标系之间可以进行相互转换。
通过坐标系的转换，可以方便地描述复杂的图形和计算相关的量。
三、函数与坐标系的关系函数的图像在坐标系中可以表示为曲线或者直线。
通过函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
坐标系可以帮助我们理解函数的定义域、值域和图像。
通过函数在坐标系中的表示，可以更好地理解函数的变化趋势和特点。
函数图像可以通过坐标系的变换来表示。
例如，对于一条直线的方程，可以通过直角坐标系或者极坐标系来表示。
总结：函数与坐标系是数学中重要的概念和工具。
函数是一种关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
平面直角坐标系与函数
六边形,所以 OC=OA=1,∠COD=60°,所以 OM=12,CM= 23,因为点 C
在第四象限内,所以点 C 的坐标为
1 2
,-
3 2
.
答案:
1 2
,-
3 2
命题点2 平面直角坐标系内点的坐标特征
【例2】 已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限,则a的
取值范围是( )
A.a>-1 C.-1<a<12
P（x，y）
向上
平移
b个
向右平移a个单位
单位
P1（x+a，y）
点到坐标 轴及原点 的距离
点P（a，b)到x轴的距离为 b
点P（a，b)到y轴的距离为⑨ a 点P（a，b)到原点的距离为⑩ a2 b2
常量和变量：在某一变化过程中，保持不变的 量叫做常量，可以变化的量叫做变量
相 关 函数：在某一变化过程中，有两个变量x与y， 概 念 如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，
解：解法一：∵－1≤x＜3，∴2≥－2x＞－6，∴2＋4≥－2x＋4＞－6
＋4，即6≥－2x＋4＞－2.∵y＝－2x＋4，∴6≥y＞－2，即－2＜y≤6 解
法二：∵y＝－2x＋4，∴x＝
4－y 2
.∵－1≤x＜3，∴－1≤
4－y 2
＜3，∴－
2≤4－y＜6，∴－2－4≤－y＜6－4，－6≤－y＜2，∴－2＜y≤6
[对应训练]
1 在函数 y＝ x2－5中，自变量 x 的取值范围是( A ) A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5
2 在 函 数 y ＝ x＋4 ＋ x － 2 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 _______x_≥_－__4_且__x_≠_0_________．
坐标系和一次函数知识点
位置的确定一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。
它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x （2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
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x 例4 [2014· 济宁] 函数y＝ 中的自变量x的取值范 x＋1 围是( A ) A．x≥0 B．x≠－1 C．x>0 D．x≥0且x≠－1
考点聚焦
归类探究
回归教材
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
求函数自变量的取值范围，一般可按以下思路进行：①表 达式为整式的，自变量可取任意实数；②表达式是分式的，自 变量应取使分母不为 0 的实数；③表达式是二次根式或偶次根 式的，自变量取使被开方数不小于 0 的实数；④对于表达式复 杂的函数，应全面考虑，使其表达式中各式都有意义．
中考预测 图9－6中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在 那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家， 其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信 息，以下四个说法错误 的是( C ) ．．
图9－6
A．体育场离张强家2.5 km B．张强在体育场锻炼了15 min C．体育场离早餐店4 km D．张强从早餐店回家的平均速度是3 km/h
考点聚焦 归类探究 回归教材
第9课时┃ 平面直角坐标系与函数
解 析 (1)张强锻炼时时间增加，路程没有增加，表现在函数图象 上就出现第一次与x轴平行的图象； (2)由图中可以看出，体育场离张强家2.5 km，文具店离张 强家1.5 km，所以体育场离文具店(2.5－1.5)km； (3)张强在文具店逗留，第二次出现时间增加，路程没有增 加的图象，时间为(65－45)min； (4)平均速度＝总路程÷ 总时间．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
回 归 教 材
从图象中获取信息 教材母题——人教版八下P83T9
图9－5 图9－5的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那 里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表 示时间，y表示张强离家的距离．
考点聚焦 归类探究 回归教材
考点聚焦 归类探究 回归教材
归类探究
回归教材
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
例1 [2014· 威海] 已知点P(3－m，m－1)在第二象限，则 m的取值范围在数轴上表示正确的是( A )
图9－1
考点聚焦
归类探究
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
探究二
平面直角坐标系中的平移、旋转与对称
命题角度： 1．关于x轴、关于y轴、关于原点对称的点的坐标； 2．平面直角坐标系中图象的平移与旋转的坐标变化．
方法点析
平面直角坐标系中的质点运动，要注意观察横坐标与纵 坐标随时间的变化规律．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
探究四
函数的概念及函数自变量的取值范围
命题角度： 1．常量与变量，函数的概念； 2．函数自变量的取值范围．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
考点聚焦
归类探究
回归教材
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
归 类 探 究
探究一 坐标平面内点的坐标特征
命题角度： 1. 四个象限内点的坐标特征； 2. 坐标轴上的点的坐标特征； 3. 平行于x轴，平行于y轴的直线上的点的坐标特征； 4. 第一、三象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标特征．
考点聚焦
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
探究五
函数图象
命题角度： 1．画函数图象； 2．函数图象的实际应用．
考点聚焦
归类探究
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
例5 [2014· 台州] 如图9－3，把一个小球垂直向上抛 出，则下列描述该小球的运动速度v(单位：m/s)与运动时间 t(单位：s)之间关系的函数图象中，正确的是( C )
(x，y＋b)
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
考点4
用坐标表示地理位置
(1)平面直角坐标系法； (2)方位角＋距离．
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
考点5
函数的有关概念
1．常量与变量：在一个变化过程中，我们称数值发生 变化 的量为变量，数值始终________ 不变 的量为常量．如s＝ ________ vt，当v一定时，v是常量，s，t都是变量． 2．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值 与之对应，我们就说x是自变量，y是x的函数． 3．自变量的取值范围： (1)函数解析式有意义的条件； (2)实际问题有意义的条件．
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
例2 [2014· 宜宾] 在平面直角坐标系中，将点A(－1， 2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称 (2，－2)． 点C的坐标是________
方法点析 求一个图形旋转、平移后的图形对应点的坐标，一般要 把握三点：一是图形变换的性质；二是图形的全等关系； 三是点所在的象限．
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第9课时┃ 平面直角坐标系与函数
探究三
平面直角坐标系中点的规律探究
命题角度： 对平面直角坐标系中图象的平移、旋转与轴对称的坐 标变化规律的探究．
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
例3 [2014· 聊城] 如图9－2，在平面直角坐标系中，一动点 从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地 移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1， 0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自然数)的坐标为 ________ (2n，1) ．
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考点2
点到坐标轴的距离 纵坐标的绝对值 横坐标的绝对值
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
考点3 平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标
(x＋a，y) (x－a，y) (x，y－b) (x，－y) (－x，y) (－x，－y)
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第9课时┃ 平面直角坐标系与函数
根据图象回答下列问题： (1)体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？ (2)体育场离文具店多远？ (3)张强在文具店停留了多少时间？ (4)张强从文具店回家的平均速度是多少？
解：(1)体育场离张强家2.5km，张强从家到体育场用了 15 min. (2)体育场离文具店2.5－1.5＝1(km)． (3)张强在文具店停留了65－45＝20(min)． (4)张强从文具店回家的平均速度是 1.5－0 3 ＝ (km/min)． 100－65 70
第1课时 平面直角坐标系与函数
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
渝 考 解 读
考点梳理 常考题型 年份 2015 热度预测 平面上物体位置的 选择、填空 ☆☆ 确定、 平面直角坐标系 点的坐标的特征 选择、填空 ☆☆☆☆ 函数的概念和函数自 选择、填空 2014 ☆☆☆☆☆ 变量的取值范围 2013 函数图像 选择 ☆☆☆☆☆ 2014
图9－2
解 析
由图可知，当n＝1时，4×1＋1＝5，点A5的坐标为(2，1)； 当n＝2时，4×2＋1＝9，点A9的坐标为(4，1)； 当n＝3时，4×3＋1＝13，点A13的坐标为(6，1)． 所以点A4n＋1的坐标为(2n，1)．
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
解 析
由图可知，当n＝1时，4×1＋1＝5，点A5的坐标为(2，1)； 当n＝2时，4×2＋1＝9，点A9的坐标为(4，1)； 当n＝3时，4×3＋1＝13，点A13的坐标为(6，1)． 所以点A4n＋1的坐标为(2n，1)．
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第9课时┃ 平面直角坐标系与函数
[点析] 本题图中折线反映的是张强离家的距离y与时间x之 间的关系，根据横轴和纵轴上的数据不难解答有关问题．需 注意理解时间增多，路程没有变化的函数图象是与x轴平行的 一段线段．平均速度＝总路程÷总时间．
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第9课时┃ 平面直角坐标系与函数
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
4．函数值：对于一个函数，如果当自变量x＝a时，因变 量y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值． 解析式 法、________ 列表 法和 5．函数的三种表示法：________ ________ 图象 法． 列表 ； 6．描点法画函数图象的一般步骤：(1)________ (2)________ 描点 ；(3)________ 连线 ．
第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
考 点 聚 焦
考点1 平面直角坐标系及点的坐标特征
一一 x>0，y>0 x<0，y>0， x<0，y<0， x>0，y<0 y＝0，x探究
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
相等
互为相反数
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图9－3
图9－4
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第1课时┃ 平面直角坐标系与函数
解 析 一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越 小，到达最高点时为0，小球下落时速度越来越大.
方法点析 观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义．弄清 哪些是自变量，哪些是因变量，然后分析图象的变化趋势 ，结合实际问题的意义进行判断．