第二章 自动控制原理(傅里叶变换到拉普拉斯变换)

fT ( )ein d
f ( )ei d F ()
T
由定积分定义 f (t) 1 F ()eitd（注：积分限对称）.
2
即 f (t) 1
2
f
(
)ei
d
eit
d
f t 付氏积分公式
➢Fourier变换的定义
已知：f (t) 1
2
f
( )ei d eit d，
F (s) L[ f (t)] 1 t 2est dt 1
02
s3
1 2
t2
1 s3
构成一变换对
6）正弦函数
f
(t)
s in t
0
t 0 t 0
F ( s ) L[ f ( t )] s2 2
sin t
s2
2
构成一变换对
t n t 0 7）t的幂函数 f (t)
0 t 0
数学基础：傅里叶变换与拉普拉斯变换
数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
“三域”模型及其相互关系
微分方程 t
（时域）
L
1
L
传递函数
s
（复域）
系统
F F 1
s j j s
频率特性
（频域）
建立数学模型的基础
微分方程
（连续系统）
y(t),
eat 1
构成一变换对
sa
2）单位脉冲函数
f
(t)
(t)
lim 0
1
0t
0 t 0 t
F(s) L (t) lim (t)est dt lim 1est dt 1
0 0
0 0
(t) 1 构成一变换对
3）单位阶跃函数
1 f (t) 1(t) 0
t 0 t0
fT (t) cneint
n
1 T
n
T2 T 2
fT
(
)ein
d
eint
cn F n fT t 的离散频谱； cn fT t 的离散振幅频谱； arg cn fT t 的离散相位频谱； n .
若以fT t 描述某种信号，则cn可以刻画 fT t 的频率特征。
2.1.2 傅里叶积分与傅里叶变换
Fourier变换的条件：若f (t)在任何有限区间上满足Dirichlet条件，
且在， 绝对可积即
|
f (t) | dt 存在。
在频谱分析中， 傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函数， 而它的模|F()|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱)。由于
是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数f (t) 作傅氏变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱。
f
(t)
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e
jnt
lim 1
2 n 0
n
T 2 T 2
fT
(
)e
jn
d
e jnt n
令
FT
(n )
T 2 T 2
fT
(
)e
jn
d
f
(t )
lim
n 0
1
2
FT (n )e jnt n
n
FT (n )
T2 T 2
0
j
一般函数有：
F ( j) f (t)e jt dt
f (t) 1 F ( j )e j t d
2
引入衰减因子 e t 得
F1( j)
[ f (t)e t ]e j t d t
f (t)e( j) t d t
令s j
F (s) L[ f (t)] f (t)es t d t ——f (t)的双边拉普拉斯变换
t0
s
7）终值定理 若F
( s)
L
li m t
f
f (t
(t ) ，则有
)
li m s 0
sF ( s )
若F (s) L f (t)，则有
dt
1 T
T2 T 2
f
(t )T
e int dt
dn
1 T
T2 T 2
fT (t)
cos nt isin nt
dt 1 T
T2 T 2
f
(t )T
eint dt
cn
n 1,2, (cn cn )
合并为：cn
1 T
T 2
T 2
fT
(t)eint dt
n 0, 1, 2,
级数化为(指数形式)：
F f t 的频谱密度函数； F f t 的振幅频谱； arg F f t 的相位频谱。
例 矩形脉冲函数为
f (t)
1
f
(t)
1 0
| t | 1 | t | 1
解：
1 o 1
t
F ( ) f (t)eit dt
1 eit dt eit 1
1
i
1
1 ei ei 2 sin
设fT
(t)为T
周期函数，在
T 2
,T 2
上满足Dirichlet条件,
则 fT (t)可展开为Fourier级数:
fT (t) cneint cneint ,
n
n
n n 2n T ,
1 cn T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
即
fT
(t)
1 T
n
T 2 T 2
2）fT (t)仅有有限个极值点；
3）积分
T/2 -T/2
fT (t)dt存在；
则 fT (t)可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT (t)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
其中 2 T ,
an
2 T
T2 T 2
fT
(t)cos ntdt
n
0,1, 2,
bn
➢拉普拉斯变换的定义
设函数 f (t) 满足: ① t 0 时 f (t) 0 ，
②t 0时
f
(t) 分段连续，且
0 |
f
(t )e st
|
dt
则拉普
拉斯变换的定义为：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
t 0
拉普拉斯反变换：f (t) L1[F (s)] 1 j F (s)estds
F(s) L[ f (t)] L1(t) est dt 1
0
s
1(t) 1 构成一变换对 s
4）单位速度函数
t t 0 f (t) 0 t 0
F(s) L[ f (t)]
test dt
0
1 s2
1 t
s2
构成一变换对
5）单位加速度函数
f
(t)
1 2
t
2
t0
0 t 0
0
0
显然无法计算出来，因 f (t) dt不存在。
因此引入函数et1(t)代替1(t)，因当 0时，et1(t) 1(t)。则
e
t1(t)=
e t，t
0，
t
> <
0( 0
> 0)
其他傅里叶变换为：
F ( ) F [et1(t)] et1(t)e jtdt e( j )tdt 1
2）微分定理
若F (s) L f (t)，则有
L
d dt
f (t) sF (s)
f (0)
d2
L
dt
2
f
(t)
s
2
F
(s)
sf
(0)
f ' (0)
L
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dn dt n
f
(t)
sn
F
(s)
s n 1
f
(0)
sn2
f
'
(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
式中f (0)、f ' (0)、 f (n1) (0)为f (t)及其各阶导数在
dy dt
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理
电学：
欧姆定理、基尔霍夫定律
热学：
传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换
2.1.1 傅里叶级数
fT
(t)为T
周期函数，在
T 2
,
T 2
上满足狄氏(Dirichlet)条件：
1）fT (t)连续或仅有有限个第一类间断点；
2 T
T2 T 2
fT
(t ) sin
ntdt
n
1, 2,
在间断点t处成立：
fT (t
0) 2
fT (t
0)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
cos nt eint eint , sin nt eint eint
2
2i
级数化为：
fT (t)
a0 2
an
n1
2 j j
f (t) —— 是原函数（时间函数）
F(s) —— 是象函数，s是复变数
s j
2.1.4 典型函数（常用信号）的拉普拉斯变换
1）指数函数 f (t) eat
F (s) L[ f (t)] L[eat ] eat est dt e(sa)t dt 1
0
0
sa
t = 0时的值。
如f (0) f ' (0) f (n1) (0) 0，则有
dn
L
dt
n
f
(t )
sn
F
(s)
3）积分定理
若F (s) L f (t)，则有
L
f
(t
)dt
F (s) s
f
1 (0) s
L
f (t)dt2
F (s) s2
f
1 (0) s2
f 2 (0) s
F () f (t)eitdt (实自变量的复值函数)
称为f (t)的Fourier变换，记为F[ f (t)]。
f (t) 1 F ()eitd
2 称为F ( )的Fourier逆变换，记为F 1[F ()] .
f (t) F () 称为一组Fourier变换对。 f (t)称为原像函数，F ()称为像函数。
F(s) L[ f (t)]
t nest dt
0
n! s n1
t n n! s n1
构成一变换对
2.1.5 拉普拉斯变换定理（性质）
1）线性定理
若F1(s) L f1(t)，F2 (s) L f2 (t)，a和b为常数，则有 Laf1(t) bf2 (t) aL f1(t) bL f2 (t) aF1(s) bF2 (s)
i
2.1.3 拉普拉斯变换
拉氏变换的优点：
1）求解简化； 2）把微分、积分方程转化为代数方程； 3）将复杂函数转化为简单的初等函数； 4）将卷积转化为乘法运算。
➢从傅里叶变换到拉普拉斯变换
例：求单位阶跃函数
f
(t)
1(t)
0，t 1，t
0的傅里叶变换。 0
F () F[f (t)] f (t)e jtdt e jtdt 1 (sint cont)
fT
( )e jn
d
e
jnt
.
由 lim T
fT (t)
f
(t)
可知
f
(t)
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e
jnt
当n取一切整数时,n所对应的点便均匀分
布在整个数轴上:
2
2
T
T
{ {
O 1 2 3
n-1n
令 n n1 2 T (与n无关)，T 2 0 T ,此时视n为(连续变量)
n
F (s) sn
4）位移定理（第一平移定理）
若F (s) L f (t)，则有
L eat f (t) F (s a)
5）延时定理（第二平移定理）
若F (s) L f (t)，则有 L f (t a) 1(t a) easF (s)
6）初值定理
若F (s) L f (t)，则有
lim f (t) lim sF (s)
工程控制中常用的数学模型形式： 时域描述——微分方程、差分方程、状态方程 复域描述——传递函数、方块图（结构图）、信号流程图 频域描述——频率特性 模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动
态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构 情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比 较合理。
f (t)dt
F (s) f 1(0) f 2 (0)
L
n个
sn
sn
s(n1)
f n (0)
s
式中f 1(0)、f 2 (0)、 f n (0)为函数f (t)的各次重积分在 t=0时的值。
如果f 1(0) f 2 (0) f n (0) 0，则
L
n个
f
(t
)dt
第二章 控制系统的数学模型
主要内容：
1）控制系统的时域数学模型的建立； 2）复习傅里叶变换拉普拉斯变换； 3）控制系统的传递函数，典型元部件的传递函数； 4）控制系统的结构图及等效变换； 5）信号流图（梅逊公式）及控制系统的传递函数。
基本要求：
1）掌握系统微分方程建立的方法； 2）熟练掌握传递函数的概念、定义、性质及局限性； 3）熟悉常用元部件（典型环节）的传递函数及常用的传递函数形式； 4）学会由系统微分方程建立系统结构图，熟练掌握用拉氏变换方法求 解线性常微分方程的方法； 5）熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法。
本章概述 2.1拉氏变换和反变换 2.2 控制系统的时域数学模型 2.3 控制系统的复数域数学模型 2.4 典型环节的传递函数 2.5 系统方框图 2.6系统信号流图 2.7闭环系统传递函数的求取
数学模型：
描述系统内部物理量（变量）之间关系的数学表达式。
建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法)； (2) 实验辩识法。
eint
eint 2
bn
eint
eint 2i
a0 2
n1
an
ibn 2
eint
an
ibn 2
eint
令 c0
a0 2
, cn
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则
c0
1 T
T2
T 2 fT (t)dt
cn
1 T
T2 T 2
fT (t)
cos nt i sin nt