高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)
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排列组合(基本原理)PPT课件
问题1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车。一天 中，火车有3班，汽车有2班。那麽，一天中乘坐这些交 通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
火车1
火车2
甲 3+2=5 地
火车3
乙
汽车1
地
汽车2
原理1
问题2 从甲地去 乙地，要从甲地先承火车去丙地，再从
丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那
N= m1× m2 × m3 = 4×3×5 = 60 答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有60 种不同的取法。
思考：若任取三门学科中的两门呢？有多少种不同的取法？
例2 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位 上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5
第二类办法是带语文书，可以从3本书中任选一本，有3种选法。
第三类办法是带英语书，可以从5本书中任选一本，有5 种选法。
根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是： N = m1+ m2 + m3 = 4+3+5=12
答：从书架上任取一本书，有12种不同的取法。
例1 李平同Байду номын сангаас有若干本各不相同学习参考书，其中数学4本，
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n 步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完
火车1
火车2
甲 3+2=5 地
火车3
乙
汽车1
地
汽车2
原理1
问题2 从甲地去 乙地，要从甲地先承火车去丙地，再从
丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那
N= m1× m2 × m3 = 4×3×5 = 60 答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有60 种不同的取法。
思考：若任取三门学科中的两门呢？有多少种不同的取法？
例2 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位 上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5
第二类办法是带语文书，可以从3本书中任选一本，有3种选法。
第三类办法是带英语书，可以从5本书中任选一本，有5 种选法。
根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是： N = m1+ m2 + m3 = 4+3+5=12
答：从书架上任取一本书，有12种不同的取法。
例1 李平同Байду номын сангаас有若干本各不相同学习参考书，其中数学4本，
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n 步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 第1课时 组合及组合数公式
B.从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字可以组成多少个不同的三位
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析 对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法 解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析 对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法 解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
高中数学排列组合PPT课件
中去取 ,有2种方法 ; 根据分步乘法计,数 从1,原 2,3,理 4这4个不同的数
字中 ,每次取3个 出数字 ,按"百""十""个"位的顺序
排成一,共 列有43224种不同的排 ,因法而
共可得2到 4个不同的三,位 如数 图 .
1
2
3
4
23 4 1 34 1 24 1 23
342423 341413 241412 231312
即 有 Am n nn1n2321,
就 是 说 ,n个 不 同 元 素 全 部排取列出,数的 等 于 正 整1到 数n的 连 乘.正积整1数 到n的 连 乘,积 叫 做n的阶乘 ,用n!表 示.所 以n个 不 同 元 素 的 全 排式列可数以公写 成
Ann n!
另 外 ,我 们 规0!定 1.
事 , A m n n 实 n 1 n 2 上 n m 1
思考上述问 1,2的 题共同特点 ?你是 能什 将么 们推广到一?般情形吗 一 般,从 地 n个 不 同 的 元 素 m(m 中n取 )个出 元, 素 按 照 一 定 顺 序,叫 排做 成n从 个 一不 列同 元 素
出m个 元 素 的排一 列 (a个rrangetm ). en
思考 你能归纳一下排列的 征特 吗?
解 任意两队间进1行 次主场比赛1与 次 客场比赛 ,对应于从14个元素中任2取个 元素的一个排.因列此,比赛的总场次是 A124 1413182.
所有不同的排列有 abc , abd , acb , acd , adb , adc , bac , bad , bca , bcd , bda , bdc , cab , cad , cba , cbd , cda , cdb , dab , dac , dba , dbc , dca , dcb . 共有 4 3 2 24 种 .
高二数学排列组合概率PPT课件
轮船2
第1页/共64页
问题2 某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲 地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那 么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
B
a
甲
乙
A
丙
C
b
显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个 步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）
第2页/共64页
由问题1可得 分类计数原理： 若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种
N=3×2=6
第6页/共64页
单击鼠标继续
1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、 科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同 的选法？
2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1 人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好 学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？
第8页/共64页
扩展：快速调整魔方
问题1 北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的飞机票？
这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按 照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不 同排法的问题。
起点站 北京 上海 广州
终点站
上海 广州
北京 广州
北京 上海
飞机票
北京→上海 北京→广州
N k1 k2 ... kn 种不同的方法。
第3页/共64页
例题解析
例1 书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不 同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：
（1）从中任取1本，有多少种不同取法？ （2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种 不同的取法？
解 （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取
排列组合ppt课件高中
10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
排列组合+局部定序与相同元素消序、隔板法+课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
6.2.4组合的综合应用
----局部元素定序或相同元素消序问题
萌山高级中学---------数学教研组
-------Mr.Yao
排列组合方法：
①局部元素定序消序问题:
例1：三个球分别标号为1，2，3，其中1,2号为篮球，
3号为黑球，一共有____
A ___种方法？
例2：将这三个球排序，其中篮球按序号（2个元素定
所以方法数为：C = 种
练习巩固:
1.
若将10个相同的球随机放入编号为1，2，3，4
的盒子里，要求每个盒子至少有两个球则不同
的投放方法有________种方法？
C = 种
2.
将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四
个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，
则不同放法总数有多少种？
练习巩固：
1. x+y+z=10的正整数解有（B ）组
A.35
B36
C. 37
D 38
2. x+y+z=10的非负整数解有（ D ）组
A.63
B.64 C.65
D. 66
3.把16名选手名额分配到高三年级的1∽4班，每
班至少一个名额的方法数？
此题方法同上相当于把16个相同的小球分为4
堆，每堆至少1个。所以方法数为：
C =455
②进阶隔板法（增加球数隔板法）：
例1：8个相同的篮球分发给甲，乙，
丙，丁4人，共有多少种不同的方法？
解题分析：8个相同的篮球分发给不同的4人，这里每个人分的球不确
①
②
至少一个
至少两球
----局部元素定序或相同元素消序问题
萌山高级中学---------数学教研组
-------Mr.Yao
排列组合方法：
①局部元素定序消序问题:
例1：三个球分别标号为1，2，3，其中1,2号为篮球，
3号为黑球，一共有____
A ___种方法？
例2：将这三个球排序，其中篮球按序号（2个元素定
所以方法数为：C = 种
练习巩固:
1.
若将10个相同的球随机放入编号为1，2，3，4
的盒子里，要求每个盒子至少有两个球则不同
的投放方法有________种方法？
C = 种
2.
将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四
个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，
则不同放法总数有多少种？
练习巩固：
1. x+y+z=10的正整数解有（B ）组
A.35
B36
C. 37
D 38
2. x+y+z=10的非负整数解有（ D ）组
A.63
B.64 C.65
D. 66
3.把16名选手名额分配到高三年级的1∽4班，每
班至少一个名额的方法数？
此题方法同上相当于把16个相同的小球分为4
堆，每堆至少1个。所以方法数为：
C =455
②进阶隔板法（增加球数隔板法）：
例1：8个相同的篮球分发给甲，乙，
丙，丁4人，共有多少种不同的方法？
解题分析：8个相同的篮球分发给不同的4人，这里每个人分的球不确
①
②
至少一个
至少两球
专题课排列组合综合应用课件高二下学期数学人教A版选择性
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
多少种不同的选法？ 方法一 直接分类（从元素考虑）
由图可知既会英语又会日语的有
7+3-9=1人，记为甲，只会英语6人，只会日语2人。
Ⅰ类：甲去教英语，有 N1 C12 2种方法； Ⅱ类：甲去教日语，有 N2 C16 6 种方法； Ⅲ类：甲未被选中，有 N3 C16C12 12 种方法； 由分类加法计数原理得 N N1 N2 N3 20
专题课 排列组合综合应用
排列组合题 型
有条件的抽（选）取问题 多面手问题 分组分配问题
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选.
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (2)至多有两名女生当选； 解 直接法（分类加法原理，从元素角度考虑）
Ⅰ类：0名女生当选，有 N1 C85 56 种方法； Ⅱ类：1名女生当选，有 N2 C15C84 350 种方法； Ⅲ类：2名女生当选，有 N3 C52C83 560 种方法； 由分类加法原理得 N N1 N2 N3 966
英语 日语 7人 3人
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
排列组合(一)PPT课件
A.26 C.20 B.24 D.19 B 6
3
4 7
6
12 A 12
6
8 （ 12 ）从正方体的 6个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相 邻的选法共有( ) （A）8种（B）12种（C）16种（D）20种
小结:
1.对事件的结构特点的分析;
2.对事件中特殊元素/特殊位置的分析; 3.分类与分步的标准要一致,不遗漏,不 重复.
4.如图, 3种作物要在4块实 验田中试种,要求4块田都要 种,但相邻的实验田只能种 不同的作物,问有几种种法?
答案:18 答案:12
答案:(1)15
(2)20
能力拓展:
1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网 线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同 时传递,则单位时间内传递的最大信息量是 ( ) 5
巩固练习
1.将5封信投入3个信箱中,不同的投法共有( A.53种 B.35种 C.3种 D.15种
2.有数学书5本，语文书4本，英语书3本，现从 47 种不同 这些书中选2本不同科目的书，有_____ 选法。
48 3.由数字 0,1，2，3，4可以组成_________ 个无 重复数字三位数 .
)
例1.电视台在“欢乐今宵”节目中,拿 出两个信箱.其中存放着先后两次竞猜 中成绩优秀的观众来信.甲信箱中有30 封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖 确定幸运观众,若先确定一名“幸运之 星”,然后再从两信箱中各确定一名幸 运伙伴,有多少种不同的结果?
染色问题
练习.如图,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同 一种颜色.现有四种颜色可 供选择,则不同的着色方法 共有_________种.
3
4 7
6
12 A 12
6
8 （ 12 ）从正方体的 6个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相 邻的选法共有( ) （A）8种（B）12种（C）16种（D）20种
小结:
1.对事件的结构特点的分析;
2.对事件中特殊元素/特殊位置的分析; 3.分类与分步的标准要一致,不遗漏,不 重复.
4.如图, 3种作物要在4块实 验田中试种,要求4块田都要 种,但相邻的实验田只能种 不同的作物,问有几种种法?
答案:18 答案:12
答案:(1)15
(2)20
能力拓展:
1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网 线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同 时传递,则单位时间内传递的最大信息量是 ( ) 5
巩固练习
1.将5封信投入3个信箱中,不同的投法共有( A.53种 B.35种 C.3种 D.15种
2.有数学书5本，语文书4本，英语书3本，现从 47 种不同 这些书中选2本不同科目的书，有_____ 选法。
48 3.由数字 0,1，2，3，4可以组成_________ 个无 重复数字三位数 .
)
例1.电视台在“欢乐今宵”节目中,拿 出两个信箱.其中存放着先后两次竞猜 中成绩优秀的观众来信.甲信箱中有30 封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖 确定幸运观众,若先确定一名“幸运之 星”,然后再从两信箱中各确定一名幸 运伙伴,有多少种不同的结果?
染色问题
练习.如图,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同 一种颜色.现有四种颜色可 供选择,则不同的着色方法 共有_________种.
《排列组合公式》课件
便确定排列或组合的基数。
区分排列与组合
02 排列组合公式包括排列公式和组合公式，使用时应明
确所需的是排列还是组合，并选择相应的公式。
考虑顺序
03
排列公式需要考虑元素的顺序，而组合公式则不考虑
元素的顺序。
公式应用范围的限制
元素互异
排列组合公式的应用前提是所涉及的 元素必须互不相同，否则公式不适用 。
组合公式的推导过程
组合公式的基本形式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
推导过程
通过排列与组合的数学关系，利用阶乘的性质进行推 导，最终得到组合公式的形式。
组合公式的数学证明
可以通过数学归纳法或组合恒等式进行证明，确保公 式的正确性。
组合公式的应用实例
概率计算
在概率论中，组合公式常用于计 算事件发生的可能性，如组合概 率和条件概率。
无限制条件
对于某些特定问题，可能需要添加额 外的限制条件，如去除重复、特定顺 序等，此时公式应用范围需相应调整 。
避免常见的计算错误
基数不为零
01
排列组合公式的基数不能为零，否则会导致计算错误。
重复计算
02
在使用排列组合公式时，应避免重复计算相同的情况，确保每
种情况只计算一次。
正确使用括号
03
在应用排列组合公式时，应正确使用括号，以确保计算的准确
排列公式的扩展形式
排列组合混合公式
除了单纯的排列公式外，还有排列组合混合公式， 可以用来计算同时涉及排列和组合的问题。
有限制条件的排列公式
在一些特定的问题中，可能需要对元素进行限制， 此时需要使用有限制条件的排列公式。
高阶排列公式
对于较大规模的排列问题，需要使用高阶排列公式 来计算。
高考数学解排列组合问题的常用方法大纲人教版(1)[1]PPT课件
![高考数学解排列组合问题的常用方法大纲人教版(1)[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/081c6db9f18583d0496459d6.png)
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安
位题主置最,排先然需分常,排以后先析用末免排安法也位不首排和是共合位特元最有要共殊素基_求有元C _分本31_的_素C 析的_41 元_,法方再素是法处占解,理了若决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同足有C 个时31 _特AC 约还_4341_殊AC束要4位3 41 条兼=置2件顾8的8A，其4要3 往它求往条,是件再C 31
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和
英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候，共需握手多少次?
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
A
m n
C
m n
例： 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老 师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾， 共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
2）若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41种根，据1分位步的计排数法
位题主置最,排先然需分常,排以后先析用末免排安法也位不首排和是共合位特元最有要共殊素基_求有元C _分本31_的_素C 析的_41 元_,法方再素是法处占解,理了若决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同足有C 个时31 _特AC 约还_4341_殊AC束要4位3 41 条兼=置2件顾8的8A，其4要3 往它求往条,是件再C 31
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和
英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候，共需握手多少次?
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
A
m n
C
m n
例： 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老 师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾， 共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
2）若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41种根，据1分位步的计排数法
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
高中数学 1.4 第2课时 排列、组合的综合应用课件 北师大版选修23
第十四页，共46页。
从 52 张扑克牌(除大王、小王)中任取 5 张，计算： (1)有 4 张数值相同，另外 1 张不同，有多少种取法？ (2)有 3 张数值相同，另外 2 张数值也相同，有多少种取 法？ (3)5 张数值顺序连续，花色可以不同，有多少种取法？
第十五页，共46页。
【解】 (1)扑克牌中共有 13 种数值(1～13)，有 4 张数 值相同，则有 13 种可能，第 5 张则在余下的 48 张中选取．
所以符合条件的方法有 13·C418＝624 种． (2)3 张数值相同，有 C113·C34种；另外 2 张数值也相同，则 有 C112·C42种，所以共有 C113·C34·C112·C24＝3 744 种．
第十六页，共46页。
(3)5 张数值连续，只有下述 9 种可能： 1,2,3,4,5； 2,3,4,5,6； 3,4,5,6,7； … 9,10,11,12,13. 任何一种数值都有 4 种花色供选择，所以 5 种数值的花 色选配方法有 4×4×4×4×4＝45 种． 所以符合条件的取法共有 9×45＝9 216 种．
第二页，共46页。
2．在解决排列与组合应用题时，如何看待题设中的元素 与位置？
【提示】 在排列、组合问题中，元素与位置没有严格 的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随着解题者思维方 式的变化而变化，要视具体情况而定，有时元素选位置，问 题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．
第三页，共46页。
在解答排列组合综合问题时，要注意准确地应用两个基 本原理，要注意准确区分是排列问题还是 组合(z问ǔh题é)，要注 意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利 用 间接(jiàn ji解ē)法题．
第二十页，共46页。
从 52 张扑克牌(除大王、小王)中任取 5 张，计算： (1)有 4 张数值相同，另外 1 张不同，有多少种取法？ (2)有 3 张数值相同，另外 2 张数值也相同，有多少种取 法？ (3)5 张数值顺序连续，花色可以不同，有多少种取法？
第十五页，共46页。
【解】 (1)扑克牌中共有 13 种数值(1～13)，有 4 张数 值相同，则有 13 种可能，第 5 张则在余下的 48 张中选取．
所以符合条件的方法有 13·C418＝624 种． (2)3 张数值相同，有 C113·C34种；另外 2 张数值也相同，则 有 C112·C42种，所以共有 C113·C34·C112·C24＝3 744 种．
第十六页，共46页。
(3)5 张数值连续，只有下述 9 种可能： 1,2,3,4,5； 2,3,4,5,6； 3,4,5,6,7； … 9,10,11,12,13. 任何一种数值都有 4 种花色供选择，所以 5 种数值的花 色选配方法有 4×4×4×4×4＝45 种． 所以符合条件的取法共有 9×45＝9 216 种．
第二页，共46页。
2．在解决排列与组合应用题时，如何看待题设中的元素 与位置？
【提示】 在排列、组合问题中，元素与位置没有严格 的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随着解题者思维方 式的变化而变化，要视具体情况而定，有时元素选位置，问 题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．
第三页，共46页。
在解答排列组合综合问题时，要注意准确地应用两个基 本原理，要注意准确区分是排列问题还是 组合(z问ǔh题é)，要注 意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利 用 间接(jiàn ji解ē)法题．
第二十页，共46页。
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2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A33种方法，所以共有： A44 A33 144 （种）
排法。
学校课堂
16
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
学校课堂
4
例1：
（1）7位同学站成一排，共有多少种 不同的 排法？
分析：问题可以看作7个元素的全排列. A77 5040
（2）7位同学站成两排(前3后4)，共有多少 种不同的排法？
分析:根据分步计数原理
7654321 7! 5040
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间 的位置,共有多少种不同的排法？
3
组合定义：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m
(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合。
组合数公式：Cmn
=
n! m!(n- m)!
=
n(n-1)
(n- m+1) m!
组合数的两个性质:（1）Cm n
=
Cn-m n
（2）Cmn+1
=
Cnm
+
Cm-1 n
甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不 同的排法？
插空法
解：先把其余五人排成一排有A55种排法，在每一排 列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入
空排法档。中有A42种方法，所以学校共课堂有：
A55 A42 1440 （种） 17
插空法:
对于不相邻问题,先将其余元素全排 列,再将这些不相邻的元素插入空挡 中,这种方法就是插空法.
解法一:(特殊位置法) 第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,
有A52 种;
第二步:剩下的全排列,有 A55种;
共有A52 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
7
解法二:(特殊元素法)
第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个
位置中的两个位置上,有 A52 种;
第二步:其余同学全排列,有A55 种;
不同的排法有： A22 A33 A44 288 （种）
说一说 捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。
学校课堂
13
捆绑法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 捆绑在一起,视作为一个元素,与其余 元素全排列,再松绑后它们之间进行全 排列.这种方法就是捆绑法.
学校课堂
14
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
学校课堂
9
优限法:
对于“在”与“不在”等类似有限制 条件的排列问题,常常使用“直接 法”(主要为“特殊位置法”和“特殊 元素法”)或者“排除法”,即优先考 虑限制条件.这种方法就是优限法.
学校课堂
10
【总结归纳】
一般地，对于有限制条件的排列问题，有以下两种方法：
⑴直接计算法
排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”，对于这些特殊位置和元素， 实行优先考虑，即特殊元素预置法、特殊位置预置法.
学校课堂
1
一、掌握优先处理元素（位置）法 二、掌握捆绑法 三、掌握插空法 四、隔板法 五、分组分配问题：
1、是否均匀； 2、是否有组别。
学校课堂
2
复习引入：
1、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列.
共有A52 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
8
解法三:(排除法)
先全排列有 A77种,其中甲或乙站排头有 2A66种, 甲或乙站排尾的有 2A66种,甲乙分别站在排头和
排尾的有 A22 A55 种. 共有A77 4 A66 A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
18
例3.1、将四个不同的小球分成两组，每组
两个，有多少分法？3种
学校课堂
19
2、将四个不同的小球分给两人，每人两个，
有多少分法？ 6种
甲 乙甲 乙
学校课堂
20
3、将四个不同的小球分成两组，一组三个，
一组一个，有多少分法？4种
学校课堂
21
4、将四个小球分给两人，一人三个，
一人一个，有多少分法？ 8种
捆绑法
解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有A55种
排法，而三个女孩之间有A33种排法，所以不同的排
法共有： A55 A33 720 （学种校课）堂 。
12
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一 起，有多少种不同的排法？