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考研数学二-高等数学(三)1_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二-高等数学(三)1(总分180, 做题时间90分钟)一、填空题1.函数的单调减少区间是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析] 由f(x)的分段表示知，f(x)分别在(-1，0)和[0，+∞)连续，又因，即f(x)在x=0也是左连续的，故f(x)在(-1，+∞)上连续．计算f(x)的导函数，得引入函数g(x)=x-(1+x)ln(1+x)，不难发现g(0)=0，且g'(x)=-ln(1+x)＞0，当-1＜x＜0时成立，这表明当-1＜x＜0时g(x)＜g(0)=0成立，由此可得当-1＜x＜0时f'(x)＜0也成立．由f(x)在(-1，0]连续，且f'(x)＜0在(-1，0)成立知f(x)在(-1，0]单调减少；同理，由f(x)在[0，+∞)连续，且f'(x)=-1＜0在(0，+∞)成立知f(x)在[0，+∞)也单调减少．综合即得 f(x)的单调减少区间为(-1，+∞)．2.函数在区间(0，+∞)上的最大值为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:[解析] 因为故函数f(x)在点处取得它在(0，+∞)上的最大值，且最大值为3.若方程x3-6x2-15x+a=0恰有三个实根，则a的取值范围是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:-8＜a＜100[解析] 把方程改写成f(x)=a的形式，其中函数f(x)=15x+6x2-x3．由于f'(x)=15+12x-3x2=3(5-x)(1+x)，于是列表讨论可得且从而，当-8＜a＜100时直线y=a与曲线y=f(x)恰有三个交点，即原方程恰有三个实根．二、选择题1.下列四个命题中正确的是(A) 设x0∈(a，b)，函数f'(x)满足f'(x)＞0(0＜x＜x)和f'(x)＜0(x＜x＜b)，则f(x)在点x=x处取得它在(a，b)上的最大值．(B) 设f(x)在点x=x取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数f(x)在(x0-δ，x)中单调增加，在(x，x+δ)中单调减少．(C) 设f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则x=0必是f(x)的一个极值点．(D) 设f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则f'(0)=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 因为f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数，故f'(x)在(-a，a)内必为奇函数，即∈(-a，a)有f'(-x)=-f'(x)．特别对x=0有f'(0)=-f'(0)f'(0)=0．故应选(D)．其他三个命题均不正确．(A)不正确：条件中缺f(x)在x=x处连续．例如：尽管f'(x)=1当-1＜x＜0成立，f'(x)=-1当0＜x＜1成立，但当0＜|x|＜1时都有f(0)=-1＜f(x)．这表明f(0)并不是f(x)在(-1，1)上的最大值．(B)不正确：函数f(x)在x=x0取极值与它在x=x两侧附近单调并无必然联系．例如：因，故f(0)是f(x)的极大值，但由此可见，无论取正数δ多么小，在(-δ，0)与(0，δ)中导函数f'(x)总要无穷多次变号，即f(x)不可能在这样的区间中单调．(C)也不正确：考察函数尽管f(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，但无论δ是多么小的正数，在区间(-δ，δ)中f(x)总要变号，即f(0)不是f(x)的极值，亦即点x=0不是f(x)的极值点．2.已知函数f(x)当x＞0时满足f"(x)+3[f'(x)]2=xlnx，且f'(1)=0，则(A) f(1)是函数f(x)的极大值．(B) f(1)是函数f(x)的极小值．(C) (1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点．(D) f(1)不是函数f(x)的极值，(1，f(1))也不是曲线y=f(x)的拐点．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由题设知f"(x)=xlnx-3[f'(x)]2(x＞0)，这表明f"(x)在x＞0时存在，于是f'(x)在x＞0连续．由上式即知f"(x)在x＞0时连续．利用洛必达法则，可得由极限的保号性质知，f"(x)在x=1的某空心邻域中与x-1同号，即在此邻域中当x＜1与x＞1时f"(x)反号．从而(1，f(1))是连续曲线y=f(x)的拐点．故应选(C)．3.设函数f(x)在(-∞，+∞)连续，其导函数f'(x)的图形如图(1)所示，则(A) 函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y=f(x)有一个拐点．(B) 函数f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y=f(x)有一个拐点．(C) 函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y=f(x)有两个拐点．(D) 函数f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y=f(x)有两个拐点．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由图(1)知函数f(x)有三个驻点a，b，d，其导函数f'(x)有一个驻点c，如图(2)．列表讨论函数f(x)的单调性与极值，可得x (-∞，a) a (a，0) 0 (0，b) b (b，d) d (d，+∞) f' + 0 - * - 0 + 0 -f ↑极大值↓↓极小值↑极大值↓由此可见，函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，于是可排除(B)与(D)．又由导函数f'(x)的图形知，在区间(-∞，0)内f'(x)单调减少，在区间(0，c]上f'(x)单调增加，在区间[c，+∞)上f'(x)单调减少．由于曲线y=f(x)是连续曲线，故曲线y=f(x)在(-∞，0]是凸弧，在[0，c]是凹弧，在[c，+∞)又是凸弧，这表明曲线y=f(x)有两个拐点．综合可知，应选(C)．三、解答题1.设，求y'．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 因为．又因为，于是所以2.设函数y=y(x)由方程组确定，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将两式分别求微分，得从而再求导即得3.设y=y(x)是由确定的隐函数，求y'(0)和y"(0)的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 在方程中令x=0可得将方程两边对x求导数，得 (*)将x=0,y(0)=e2代入，有将(*)式两边再对x求导数，得将x=0，y(0)=e2和y'(0)=e-e4代入，有4.设函数f具有二阶导数，且f'≠1．求由方程x2e y=e f(y)确定的隐函数y=y(x)的一、二阶导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将原方程两边取对数，可得与原方程等价的方程2ln|x|+y=f(y) 将新方程两边对x求导数，得(*)可解出将(*)式两边再对x求导数，又得于是，可解出5.设y=y(x)是由方程确定的隐函数，求y'．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将方程两边对x求导数，利用变上限定积分求导公式得可解出6.设证明：f(x)在(-∞，+∞)上可导，并求f'(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 由初等函数的连续性及f(x)的定义知，f(x)分别在(-∞，1]和(1，+∞)连续，且于是f(x)在点x=1还是右连续的，故f(x)在(-∞，+∞)上连续．由于函数2x-2+π在x=1连续，从而f(x)也可以写成于是f(x)在(-∞，1)内可导，在x=1左导数存在，且同样，f(x)在(1，+∞)内可导，在x=1右导数存在，且(1)=f'+(1)=2，故f(x)在x=1可导，且 f'(1)=2．因为f'-综合得设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：SSS_TEXT_QUSTI7.当f(x0)≠0时，F(x)在点x=x处必可导；该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当f(x0)≠0时，由f(x)的连续性知：存在δ＞0，使得当|x-x|＜δ时f(x)与f(x0)同号．若f(x)＞0，则当|x-x|＜6时有F(x)=g(x)|f(x)|=g(x)f(x)，从而F(x)在x=x处可导，且F'(x)=g(x)f'(x)+g'(x)f(x)．类似可证当f(x0)＜0时F(x)也在x=x处可导．SSS_TEXT_QUSTI8.当f(x0)=0时，F(x)在点x=x处可导的充分必要条件是f'(x)g(x)=0．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当(x0)=0时，F(x)7=g(x)|f(x)|=0，从而F(x)在点x=x处的左导数与右导数分别是故当f(x0)=0时，|F(x)|在点x=x处可导的充分必要条件为此外，不难发现，此时F(x)=g(x)|f(x)|在点x=x0处的导数F'(x)=0．9.设讨论f(x)在点x=0处的可导性；如果可导，求出f'(0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 根据定义，计算极限利用当y→0时的等价无穷小关系ln(1+y)～y和e y-1～y以及洛必达法则可得由于上述极限存在，故f(x)在x=0处可导，且．10.求摆线的曲率半径．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 因为故摆线的曲率半径11.求下列函数的n阶导数：(Ⅰ) y=in(6x2+7x-3)，(n≥1)；(Ⅱ)y=sin2(2x)，(n≥1)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:因为 6x2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以故其中0!=1．(Ⅱ) 因为，所以12.如图7-1，设曲线段L是抛物线y=6-2x2在第一象限内的部分．在L上求一点M，使过M点L的切线AB与两坐标轴和L所围图形的面积为最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 设曲线L上点M的坐标为(x，6-2x2)，则L在该点的切线方程为Y=6-2x2-4x(X-x)，令y=0，可得点A的横坐标为，令X=0可得点B的纵坐标为b=2(3+x2)，从而所求图形的面积为由于为一常数，可见S与ab将在同一点处取得最小值．记，不难得出故当x=1时面积S最小，即所求点M为(1，4)．13.设函数f(x)满足f(0)=0，f"(x)＜0在(0，+∞)成立，求证：对任何x1＞x2＞0有x 1f(x2)＞x2(x1)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析]可见只需证g'(x)＜0在(0，+∞)成立．[证明]当x＞0时g'(x)与同号．由拉格朗日中值定理知，，使再用一次拉格朗日中值定理，可得(其中ξ＜η＜x)，即g'(x)＜0当x＞0时成立．从而有g(x2)＞g(x1)，故原不等式成立．14.求证：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 令，只需证明当x＞0时f(x)＞0成立．由于f(0)=0，且在f'(x)的分子中5x2+3x(e2x-1)＞0当x＞0时成立，而分母e2x+x＞0当x ＞0时也成立，故若g(x)=1+2xe2x-e2x＞0当x＞0时还成立，即得f'(x)＞0当x ＞0时成立，于是f(x)当x≥0时单调增加当x＞0时f(x)＞f(0)=0成立，即不等式成立得证．由于g(0)=0，g'(x)=4xe2x＞0()成立，故g(x)在x≥0单调增加，即g(x)＞g(0)=0当x＞0时成立．综合即得原不等式在x＞0成立．15.证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥2(x-1)2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 注意到当x=1时原不等式两端相等，而当x＞l时原不等式，当0＜x＜1时原不等式，故作辅助函数有F(1)=0，求导数可得从而，当0＜x＜1时由F(x)单调增加得F(x)＜F(1)=0，当x＞1时由F(x)单调增加得F(x)＞F(1)=0，即要证的不等式成立．16.证明不等式(a+b)e a+b<ae2a+be2b当b＞a＞0时成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证法一] 不等式可改写为ae a(e b-e a)＜be b(e b-e a)，因b＞a＞0时e b＞e a，从而又可改写为等价形式ae a＜be b．把b改写为x，引入函数f(x)=xe x，即需证f(x)＞f(a)当x＞a＞0时成立．因为f'(x)=(x+1)e x＞0当x＞0时成立，从而f(x)在区间[a，+∞)(a＞0)上单调增加，故当x＞a时f(x)＞f(a)成立，即原不等式成立．[证法二] 引入函数g(x)=xe2x，则原不等式可改写成当y=g(x)在区间[a，b]上是凹弧时，显然上式成立(如图8-1)．注意g"(x)=4(1+x)e2x＞0(x＞0)，这表明当b＞a＞0时曲线y=g(x)在[a，b]上确为凹弧，故原不等式成立．17.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，0＜f'(x)＜1(0＜x ＜1)．求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析一] 为利用函数的单调性来证明本题，可引入辅助函数，于是本题结论与F(1)＞0等价．注意F(0)=0，故只需证明F(x)在[0，1]单调增加．[证明一] 引入辅助函数，则F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，[分析二]由题设知当x∈(0，1]时f(x)＞0，从而若引入辅助函数，则F(0)=G(0)=0，从而进一步有[证明二]令，由柯西中值定理即得存在ξ∈(0，1)使得再令，于是再用柯西中值定理可知存在η∈(0，ξ)使得设函数f(x)在[0，+∞)有连续的一阶导数，在(0，+∞)二阶可导，且f(0)=f'(0)=0，又当x＞0时满足不等式求证：当x＞0时f(x)＜x2成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析与证明] 由题设知，当x＞0时其中ln(1+x)＜x(x＞0)，这是因为：记g(x)=x-ln(1+x)(x≥0)，则(x＞0)，故g(x)在[0，+∞)单调增加，从而g(x)＞g(0)=0(x＞0)．方法1°由麦克劳林公式可得方法2°令F(x)=x2-f(x)，19.设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，．求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=-k．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 这是讨论导函数在某点取定值的问题，可化归导函数零点的存在性问题．g这启示我们检验函数F(x)=f(x)+kx是否在区间[0，1]或它的某一子区间[α，β]上满足罗尔定理的全部条件．注意F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且从而即F(0)是和F(1)的一个中间值，由F(x)的连续性和有界闭区间上连续函数的性质知，c∈(，1)，使F(c)=F(0)，由此可见在闭区间[0，c]上对F(x)应用罗尔定理即可得出要证明的结论．[证明] 令F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F'(x)=f'(x)+k，F(0)=1，，F(1)=1+k，即．由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在使F(c)=F(0)，从而F(x)在区间[0，c]上满足罗尔定理的条件，故存在使F'(ξ)=f'(ξ)+k=0，即f'(ξ)=-k 成立．20.设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间，上f(x)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点f，使f"(ξ)＜0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 由题设知，可在[a，c]上和[c，b]上分别对f(x)用罗尔定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使f'(α)=f'(β)=0，但f(x)在[α，β]上不恒等于常数，从而f'(x)≠0．这表明g(x)=f'(x)在[α，β]上可导，不恒等于常数且g(α)=g(β)=0．为证明本题的结论，只需证明在(α，β)内至少存在一点ξ，使g'(ξ)＜0即可．[证明]由题设知f(x)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使f'(α)=f'(β)=0．令g(x)=f'(x)，由题设及上面所得结果知g(x)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)=g(β)=0．若使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(x)可得：使否则，必上把拉格朗日定理用于g(x)也可得：使综合即得，在(α，β)内即在(a，b)内至少存在一点f，使g'(ξ)=f"(ξ)＜0．21.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 因ξ∈(0，1)，故其中p(x)＞0，若函数p(x)还满足时成立，则要证的结论[p(x)f(x)]'在(0，1)内有零点．这启发我们考虑辅助函数F(x)=p(x)f(x)，其中p(x)满足可取lnp(x)=2x+lnx，即 p(x)=xe2x．由题设知F(x)=xe2x f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=e2f(1)=0，即F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F'(ξ)=(e2ξ+2(e2ξ)f(ξ)+ξe2ξf'(ξ)=e2ξ[(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)]=0，从而(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)=0．22.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 由于题设条件中出现了函数，可首先研究的性质．显然，在[0，1]上可导，且与本题要证的结果对比，只需证明．为此，还需知道在[0，1]上某两点处的函数值相等．注意，由题设和积分中值定理知其中．从而，是合适的辅助函数．[证明] 令上可导，且，．又由题设和积分中值定理知，存在，使得从而函数上满足罗尔定理的全部条件，所以，使得23.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0．求证，，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 把要证的结论改写成，并分别把两端看成对适当函数应用柯西中值定理与拉格朗日中值定理的结果．[证明] 记g(x)=lnx，由柯西中值定理知，，使得由拉格朗日中值定理知，，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，代入即得设函数f(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f'(a)f'(b)＞0．求证：SSS_TEXT_QUSTI24.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:要证引入辅助函数F(x)=e-x(x)，由题设知F(x)在[a，b]上可导，且F(a)=e-a(a)=0，F(b)=e-b(b)=0，由罗尔定理即知使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=f(ξ)成立．SSS_TEXT_QUSTI25.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:要证为证明上述结论，引入辅助函数G(x)=e x[f'(x)-f(x)]，由题设可知G(a)=ea[f'(a)-f(a)]=e a f'(a)，G(b)=e b[f'(b)-f(b)]=e b f'(b)，于是G(a)G(b)=e a+b f'(a)f'(b)＞0，即G(a)与G(b)必同时为正，或同时为负，而由(Ⅰ)知∈(a，b)使G(ξ)=eξ[f'(ξ)-f(ξ)]=0．这样一来，当G(a)与G(b)同为负数时，G(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点处取得，记G(x)在(a，b)内的最大值点为x=η，则必有G'(η)=0f"(η)=f(η)成立．反之，当G(a)与G(b)同为正数时，G(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内某点处取得，记G(x)在(a，b)内的最小值点为x=η，则必有G'(η)=0成立．26.求ln(1+x-x2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到x4项．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 把ln(1+x)的麦克劳林公式中的x换为x-x2，可得注意代入即得27.求极限．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 得用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可得把它们与代入要求的极限即有28.确定常数a和b的值，使当x→0时是x的5阶无穷小量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 利用，可得不难看出应当设1-a-b=0与同时成立，由此可解得，并且得到29.设函数f(x)在x=0的某邻域中二次可导，，求f(0)，f'(0)与f"(0)的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 利用sinx和f(x)的麦克劳林公式代入可得移项即得 (*)由此可得因为若2+f(0)≠0，对任何f'(0)，(*)式左端都是无穷大量，从而导致矛盾，这表明必有2+f(0)=0，即f(0)=-2．从而(*)式又可改写同理，若f'(0)≠0，则上式左端是无穷大量，同样导致矛盾，这表明必有f'(0)=0．故上面的式子其实就是综合得30.设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f'(0)=f'(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得在公式中取，利用题设可得把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式，得在公式中取，利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得从而，在ξ1和ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数值不小于4，把该点取为2，就有ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．31.设f(x)在(-∞，+∞)上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b是两个正的常数，求证：有SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 与h＞0有两式相减可得在上式两端取绝对值并放大右端即知，有令，则g(h)在(-∞，+∞)上可导，且这表明函数时取得它在h＞0的最小值即成立．32.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，对成立．求证：f'(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析与证明] 将f(x+1)与f(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得①②为估计|f'(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即|f'(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由①+②就有于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．33.设函数f(x)在[a，b]上具有三阶连续导数，求证：存在ξ∈(a，b)使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 在带拉格朗日余项的泰勒公式中分别取x=b与x=a，并取，可得将两式相减就有当时取ξ=ξ1(或ξ=ξ2)，否则由f…(z)的连续性知存在ξ∈(ξ2，ξ1)使得=，代入即得存在使得1。

数学考研试题大全及答案

数学考研试题大全及答案# 数学考研试题大全及答案## 一、高等数学### 1.1 函数、极限与连续例题：设函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，求 $ \lim_{x \to 0^+} f(x) $。

解答：函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处不连续，因此$ \lim_{x \to 0^+} f(x) $ 不存在。

### 1.2 导数与微分例题：求函数 $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x $ 的导数。

解答：$ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 $。

### 1.3 微分中值定理例题：设 $ f(x) $ 在闭区间 [1, 2] 上连续，在开区间 (1, 2) 内可导，且 $ f(1) = f(2) $，证明存在 $ c \in (1, 2) $ 使得 $ f'(c) = 0 $。

解答：由罗尔定理可知，由于 $ f(1) = f(2) $，故存在 $ c \in (1, 2) $ 使得 $ f'(c) = 0 $。

## 二、线性代数### 2.1 矩阵与向量例题：设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} $，求 $ A $ 的逆矩阵。

解答：$ A $ 的逆矩阵为 $ A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} $。

### 2.2 线性方程组例题：解线性方程组：\[\begin{cases}x + y = 1 \\2x + 3y = 5\end{cases}\]解答：解得 $ x = 1 $，$ y = 0 $。

### 2.3 特征值与特征向量例题：求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。

2020考研高数(一)真题及答案解析

2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。

（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。

（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（）（A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ）【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。

考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编33(题后含答案及解析)

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编33(题后含答案及解析) 题型有：1.jpg />∫0xf(t)dt=0。

1．求导数f’(x)；正确答案：为了求f’(x)，将f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0两边同乘(x+1)，得(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)=∫0xf(t)dt=0，两边对x求导，得f’(x)+(x+1)f”(x)+f(x)+(x+1)f’(x)－f(x)=0，即(x+1)f”(x)+(x+2)f’(x)=0。

上述方程为二阶可降阶微分方程，令u=f’(x)，化为(x+1)u’+(x+2)u=0，即即ln|u|=－(x+ln(x+1))+C1，所以再以x=0代入原方程f’(0)+f(0)－∫00f(t)dt=f’(0)+f(0)=0，由f(0)=1，有f’(0)=－1，于是C=－1，f’(x)=－涉及知识点：常微分方程2．证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。

正确答案：方法一：用积分证。

f(x)=f(0)+∫0xf’(t)dt=1－∫0xdt。

而0≤∫0xdt≤∫0xe－tdt=－e－t|0x=1－e－x，两边同乘以(－1)，得：e－x－1≤－∫0xdt ≤0，即e－t≤f(x)=1－∫0xdt≤1。

方法二：用微分学方法证。

因f(0)=1，f’(x)＜0，即f(x)单调递减，所以当x≥0时f(x)≤1。

要证f(x)≥e－x，可转化为证明f(x)－e－x≥0，令φ(x)=f(x)－e－x，则φ(0)=1－1=0，且φ’(x)=f’(x)+e－x≥f’(x)+=0(x≥0)，所以，当x≥0时φ(x)≥0，即f(x)≥e－x。

结合两个不等式，推知当x≥0时，e－x≤f(x)≤1。

证毕。

涉及知识点：常微分方程3．利用代换y=u／cosx将方程y”cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。

正确答案：方法一：由y=u／cosx=usecx，有y’=u’secx+usecxtanx，y”=u”secx+2u’secxtanx+u(secxtan2x+sec3x)，代入原方程y”cosx－2y’sinx+3ycosx=ex，得u”+4u=ex。

考研高数真题详细解析答案

考研高数真题详细解析答案【】在考研学习过程中，高数是一个非常重要的科目，也是很多考生头疼的问题。

高数涉及的知识点繁多，题目难度较大，因此对于考生来说，熟练掌握高数知识点以及解题技巧显得尤为重要。

本文将针对一道高数真题进行详细解析，帮助考生更好地巩固和理解高数知识。

首先，我们来看一下这道高数真题。

1. 给定函数$f(x)={e^x}{\sin x}$，则$f'(x)=$？（A）${e^x}\sin x + e^x\cos x$ （B）${e^x}\sin x - e^x\cos x$ （C）${e^x}\cos x - e^x\sin x$ （D）${e^x}\cos x + e^x\sin x$对于这道题目，我们需要运用导数的定义和相关公式进行解答。

首先我们来看一下函数$f(x)={e^x}{\sin x}$，这是一个由两个函数的乘积所组成的复合函数。

在计算导数时，我们可以利用乘积的求导规则，即$(uv)'=u'v+uv'$。

根据乘积的求导规则，我们可以将函数$f(x)={e^x}{\sin x}$拆分为两个函数的乘积，即：$u(x)={e^x}$$v(x)={\sin x}$然后分别求出$u(x)$和$v(x)$的导数。

根据指数函数的导数公式，我们知道${(e^x)}'=e^x$。

因此，$u'(x)=e^x$。

而对于三角函数$\sin x$，我们知道它的导数是$\cos x$。

因此，$v'(x)=\cos x$。

接下来，我们将$u'(x)$和$v'(x)$与乘积的求导规则结合起来，得到函数$f(x)$的导数$f'(x)$。

即：$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$将$u'(x)$，$v(x)$和$v'(x)$代入上式，我们可以得到：$f'(x)={e^x}{\sin x}+{e^x}{\cos x}$通过简化，我们可以得到最终的答案：$f'(x)={e^x}\sin x+{e^x}\cos x$因此，答案选项为（A）${e^x}\sin x+{e^x}\cos x$。

考研数学一高等数学-试卷11_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（高等数学）-试卷11(总分62, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设，则g[f(x)]为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2.当x→0时，变量是SSS_SINGLE_SELA 无穷小．B 无穷大．C 有界的，但不是无穷小．D 无界的，但不是无穷大．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D3.设数列xn 与yn满足，则下列断言正确的是SSS_SINGLE_SELA若xn 发散，则yn必发散．B若xn 无界，则yn必无界．C若xn 有界，则yn必为无穷小．D若为无穷小，则yn必为无穷小．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D4.设f(x)=2 x +3 x一2，则当x→0时SSS_SINGLE_SELA f(x)与x是等价无穷小．B f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C f(x)是比x较高阶的无穷小．D f(x)是比x较低阶的无穷小．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B5.设x→0时，e tanx一e x是与x n同阶的无穷小，则n为SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C6.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)一φ(x)]=0，则SSS_SINGLE_SELA 存在且一定等于零．B 存在但不一定为零．C 一定不存在．D 不一定存在．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D7.设函数在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足SSS_SINGLE_SELA a＜0，b＜0．B a＞0，b＞0．C a≤0，b＞0．D a≥0，b＜0．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D8.设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则SSS_SINGLE_SELA φ[f(x)]必有间断点．B[φ(x)] 2必有间断点．C f[φ(x)]必有间断点．D 必有间断点．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D9.设函数f(x)=，讨论函数f(x)的间断点，其结论为SSS_SINGLE_SELA 不存在间断点．B 存在间断点x=1．C 存在间断点x=0．D 存在间断点x=一1．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B2. 填空题1.已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x 2，则φ(x)=___________的定义域为_____________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：arcsin(1一x 2 )，2.=__________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.设函数f(x)=a x (a＞0，a≠1)，则=_____________.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：26.若f(x)=____________在(一∞，+∞)上连续，则a=___________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：一23. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研高等数学真题及答案解析

考研高等数学真题及答案解析高等数学作为考研数学科目中的一部分，是一门相对较难的学科。

在考前复习过程中，做真题是非常重要的一步。

通过做真题，可以了解考点，熟悉考试形式，并锻炼解题能力。

本文将对考研高等数学真题及答案进行解析，帮助考生加深对高等数学知识的理解。

第一道题目是关于向量的问题。

题目如下：已知向量a = (1,2), b = (3,4)，求向量a + b的模长。

答案是√52。

解析：首先，根据向量的定义，向量a + b等于向量a的横纵坐标分别加上向量b的横纵坐标，即(1+3, 2+4)，得到向量c = (4, 6)。

接下来，根据向量的模长公式，向量c的模长等于√(4^2+6^2)，即√52。

这道题目主要考察了向量的加法和模长的相关知识。

通过计算过程可以看出，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

而向量的模长就是向量各个分量的平方和的平方根。

掌握了这些基本知识，就可以解答这类题目。

第二道题目是极限问题。

题目如下：求lim(x→0) ((sinx)/x)的值。

答案是1。

解析：这道题目是一个常见的极限问题。

根据极限的定义，当x趋向于0时，((sinx)/x)的极限等于1。

这是因为当x趋向于0时，函数sinx也趋向于0，而分子分母同时趋向于0，所以极限等于1。

这道题目涉及到极限的概念和性质。

在解答这类题目时，可以先观察函数的特点，然后运用极限的定义和基本性质进行推导。

熟练掌握这些概念和方法，可以迅速解决类似的问题。

第三道题目是微分问题。

题目如下：设函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果它在点x = 1处的切线斜率为3，求常数a和b的值。

答案是a=4，b=-3。

解析：根据微分的定义，函数在某点的导数等于该点切线的斜率。

对函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b求导，即求得一阶导数dy/dx = 6x^2 - 6x + 2a。

将x=1代入得到导数的值，即3 = 6 - 6 + 2a，解得a=4。

[全]高等数学-考研真题详解

高等数学-考研真题详解1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述的P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f ‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x －1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、证明题1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an －1x＋an的根，证明：q∣a0，p∣an[华中科技大学研]证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（bn－1xn－1＋…＋b0，bi∈z比较两边系数，得a0＝qbn－1，an＝－pb0⇒q∣a0，p∣an2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件是fk（x）∣gk（x）[浙江大学研]证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h（x）∈P（x），两边k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk （x）（2）再证充分性．设fk（x）∣gk（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以fk（x）＝dk（x）f1k（x），gk（x）＝dk（x）g1k（x）因为fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h （x）所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），两边消去dk（x），得g1k （x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k －1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。

考研数学一高等数学-试卷53_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（高等数学）-试卷53(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.函数f(x)=xsinx( )SSS_SINGLE_SELA 当x→∞时为无穷大。

B 在(-∞，+∞)内有界。

C 在(-∞，+∞)内无界。

D 当x→∞时极限存在。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：令xn =2nπ+ ，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+ ，f(yn)=0。

因为，所以f(x)在(-∞，+∞)内无界，故选C。

2.设，则( )SSS_SINGLE_SELAf(x)在x=x0处必可导且f"(x)=a。

Bf(x)在x=x处连续，但未必可导。

Cf(x)在x=x处有极限但未必连续。

D 以上结论都不对。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：本题需将f(x)在x=x0处的左、右导数f"-(x2)和f"+(x)与在x=x0处的左、右极限区分开。

，但不能保证f(x)在x处可导，以及在x=x处连续和极限存在。

例如f(x)= 但是不存在，所以f(x)在x=0处不连续，不可导。

故选D。

3.曲线y=(x-1) 2 (x-3) 2的拐点个数为( )SSS_SINGLE_SELA 0。

B 1。

C 2。

D 3。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对于曲线y，有 y"=2(x-1)(x-3) 2 +2(x-1) 2 (x-3) =4(x-1)(x-2)(x-3)， y""=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)] =4(3x 2 -12x+11)．令y""=0，得x1 = 又由y""=24(x-2)，可得 y"""(x1)≠0，y"""(x2)≠0，因此曲线有两个拐点，故选C。

高数考研真题及答案

高数考研真题及答案高数考研真题及答案高等数学是考研数学的重要组成部分，也是许多考生最为头疼的一门科目。

为了提高自己的数学水平，很多考生会通过做真题来进行复习。

本文将介绍一些高数考研真题及其答案，希望对考生们有所帮助。

一、函数与极限1. 某函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，求极限lim(x→0)⁡〖f(2x-1)〗。

解析：根据函数的连续性和极限的性质，可以得出lim(x→0)⁡〖f(2x-1)〗=f(0)=1。

2. 已知函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，有f'(x)=f(x)，求f(x)的表达式。

解析：根据题目中给出的条件，可以得出f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。

二、导数与微分1. 求函数y=ln(1+x^2)的导数。

解析：根据链式法则和对数函数的导数公式，可以得出y'=(2x)/(1+x^2)。

2. 某物体的运动方程为s(t)=t^3-2t^2+3t，求物体在t=2时的速度。

解析：速度的定义是位移对时间的导数，即v(t)=s'(t)=3t^2-4t+3。

代入t=2，可以得到v(2)=7。

三、定积分与不定积分1. 求∫(0 to π/2)⁡〖sin^2(x) dx〗。

解析：根据三角恒等式sin^2(x)=1/2-1/2cos(2x)，可以将原式转化为∫(0 toπ/2)⁡〖(1/2-1/2cos(2x)) dx〗。

根据不定积分的性质和基本积分公式，可以得到结果为π/4。

2. 求∫(0 to 1)⁡〖x^2e^x dx〗。

解析：根据不定积分的性质和积分公式，可以得到结果为2。

四、级数1. 求级数∑(n=1 to ∞)⁡〖(1/2)^n〗的和。

解析：根据级数的求和公式，可以得到结果为1。

2. 求级数∑(n=1 to ∞)⁡〖(n^2)/(2^n)〗的和。

解析：根据级数的求和公式和幂级数的性质，可以得到结果为6。

通过以上的高数考研真题及答案的介绍，我们可以看到，在高等数学考研中，函数与极限、导数与微分、定积分与不定积分、级数等内容都是考生们需要重点掌握的知识点。

高数考研真题及答案

高数考研真题及答案考研是很多学子们为了继续深造而迈出的大步，而高数作为考研数学科目中的重点，是许多考生们的难点和挑战。

为了帮助考生更好地备战高数考试，本文将提供一些高数考研真题及答案，供考生们参考和复习。

一、选择题1. 已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x + 4，求其在 x = 2 处的导数。

A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 3x² - 6x + 2，将 x = 2 代入f'(x)，得到 f'(2) = 3(2)² - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2，故选 C。

2. 设数列 {an} 的通项公式为 an = 1/(2^n)，则该数列的收敛性为：A. 收敛B. 发散C. 无法判断答案：A解析：当 n 趋向于无穷大时，2^n 无穷大，所以 an = 1/(2^n) 趋向于0，故该数列收敛，选 A。

二、填空题1. 设 f(x) = 2x^2 - kx + 5，若 f(x) 恰有一个实根，则 k 的取值范围为______。

答案：[-5, 5]解析：对于 f(x) 恰有一个实根的情况，根据韦达定理可知Δ = k^2 -4ac = 0，即 k^2 - 4(2)(5) = 0，解得k = ±√40，故 k 的取值范围为 [-√40, √40]，约化后得到 [-5, 5]。

2. 设二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中 D 为x^2 + y^2 ≤ 4 的区域，求该二重积分的值为______。

答案：16π解析：将二重积分转换为极坐标形式，即∬D (x^2 + y^2) dxdy = ∫[0,2π] ∫[0, 2] (r^2)rdrdθ，计算积分得 16π。

三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的驻点和拐点。

高等数学考研试题及答案

高等数学考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，下列说法正确的是：A. 函数f(x)的图像是开口向上的抛物线B. 函数f(x)的图像是开口向下的抛物线C. 函数f(x)的图像与x轴有两个交点D. 函数f(x)的图像与x轴无交点答案：D2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，n∈N*，则a3=：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：C3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3x^2D. x^3-3答案：A4. 已知函数f(x)=x^2+2x-3，求f(-1)的值：A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=______。

答案：3x^2-6x2. 设数列{an}满足a1=2，an+1=an+n，n∈N*，则a5=______。

答案：103. 设函数f(x)=e^x+lnx，求f'(x)=______。

答案：e^x+1/x4. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=______。

答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=1处的导数。

答案：将x=1代入f'(x)=3x^2-12x+11，得到f'(1)=3*1^2-12*1+11=2。

2. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。

答案：首先求导f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

计算f(0)=2，f(2)=2，f(1)=0。

因此，f(x)在区间[0,2]上的最大值为2，最小值为0。

四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若x>0，则e^x>1+x。

考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学历年考研真题十二套含答案

考研真题一
1. 求 lim
x ® 0
10. 设 f ( x ) = lim
n ® ¥
( n - 1 ) x , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 2 nx + 1 cos x 是等价无
05数二考研题
[
2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/ x
5. 设 f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 : (A) lim
0 h ®
15. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 - xe y 确定 , 则 dy dx
1
h 2
1
1 f ( - cos h ) 存在 ;
x ) g ( x ) - f ( x ) g ¢( x ) < 0 , 3. 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ¢(
则当 a < x < b 时有 ( ).
00数二考研题
a , b 的值 .
2 ln b - ln a 1 a < < 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 . a + b 2 b - a ab
01数二考研题
(A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 13. lim

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1—y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2一y3线性无关．事实上，若令A(y1一y3)+B(y2—y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1—y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解。

知识模块：高等数学2．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=In2．故f(x)=e2xln2 知识模块：高等数学3．设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：高等数学4．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．D．正确答案：D解析：知识模块：高等数学5．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y’’’+y”-4y’一4y=0．B．y’’’+y”+4y’+4y=0．C．y’’’一y”一4y’+4y=0．D．y’’’一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y’’’一y”+4y’一4y=0故应选(D)．知识模块：高等数学6．设是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ—1)(ρ一2)=0即p2—3ρ+2=0则a=-3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故应选(A)．知识模块：高等数学填空题7．微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=__________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：高等数学8．y”一4y=e2x的通解为y=_____________．正确答案：解析：特征方程为λ2一4=0，则λ1=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为知识模块：高等数学9．微分方程xy”+3y’=0的通解为___________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：高等数学10．设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________．正确答案：y”一2y’+2y=0．解析：所求方程的特征根为λ1，2=1±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：高等数学11．微分方程yy”+y’2=0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：令y’=P，则，代入原方程得知识模块：高等数学12．欧拉方程的通解为____________．正确答案：解析：令x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为．知识模块：高等数学13．微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为___________．正确答案：解析：方程xy’+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以x得：，则通解为知识模块：高等数学14．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=___________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学15．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学16．若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．正确答案：y=一xex+x+2解析：由于y=(C1+C2z)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y*=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学17．微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________．正确答案：e-xsinx解析：由一阶线性方程的通解公式得由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学18．若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________正确答案：ex解析：知识模块：高等数学19．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=____________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x．解析：由题设知y1—y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x—xe2x 知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一高等数学-试卷146_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（高等数学）-试卷146(总分52, 做题时间90分钟)3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.设z＝f(x，y)满足＝2x，f(x．1)＝0，＝sinx，求f(x，y)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：＝2xy＋φ(x)，(x)为x的任意函数f(x，y)＝xy 2＋φ(x)y ＋ψ(x)，ψ(x)也是x的任意函数．由＝sinx，得[2xy＋＝sinx，则φ(x)＝sinx．由f(x，1)＝0，得[xy 2＋φ(x)y＋φ(x)]｜y＝0＝x＋sinx＋ψ(x)＝0，则ψ(x)＝一x一sinx．因此，f(x，y)ψ(x)]｜y＝1＝xy 2＋ysinx一x一sinx．2.设，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.设u＝u(x，y)由方程u＝φ(u)＋P(t)dt确定，其中φ可微，P连续，且φ'(u)≠1，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将原方程对x求导将原方程对y求导考由①×P(y)＋②×P(x)得由于φ'(u)≠14.设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足，又满足下列条件：u(x，2x)＝x，u'x (x，2x)＝x 2 (即u'x(x，y)｜y＝2x＝x 2 )，求u''xx(x，2x)，u''xy (x，2x)，u''yy(x，2x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将u(x，2x)＝x两边对x求导，由复合函数求导法及ux'(x，2x)＝x 2得 ux '(x，2x)＋2uy'(x，2x)＝1，uy'(x，2x)＝(1一x2 )．现将ux '(x，2x)＝x 2，uy'2＝1(1一x 2 )分别对x求导得 uxx ''(x，2x)＋2uxy''(x，2x)＝2x， uyx''(x，2x)＋2uyy''(x，2x)＝一x．① ①式×2一②式，利用条件uxx ''(x，2x)一uyy''(x，2x)＝0及uxy''(x，2x)＝uyx ''(x，2x)得② 3uxy''(x，2x)＝5x，uxy''(x，2x)＝．代入①式得uxx ''(x，2x)＝uyy''(x，2x)＝．5.设z＝f(xy)＋yφ(x＋y)，且f，φ具有二阶连续偏导数，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先求．由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u＝xy的复合，u 是中间变量，φ(x＋y)是一元函数φ(v)与二元函数v＝x＋y的复合，v是中间变量．由题设知方便，由复合函数求导法则得6.设，求du及．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：u是u＝f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得进一步由已知函数f(x，y，z)＝x 3 y 2 z及方程x＋y＋z—3＋e —3＝e —(x＋y＋z)， (*) (I)如果x＝x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足x(1，1)＝1，又u＝fx(y，z)，y，z)，求(Ⅱ)如果z＝z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足z(1，1)＝1，又w＝f(x，y，z(x，y))，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)依题意，为f[x(y，z)，y，z]对y的偏导数，故有① 因为题设方程(*)确定x为y，z的隐函数，所以在(*)两边对y求导数时应将z看成常量，从而有由此可得＝一1．代入①式，得(Ⅱ)同(I)一样，求得在题设方程(*)中将x看成常量，对y求导，可得＝一1，故有8.设z＝f(x，y，u)，其中f具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程u 5—5xy＋5u＝1确定．求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将方程u 5—5xy＋5u＝1两端对x求导数，得5u 4 ux'一5y＋5ux '＝0，解得，故在上式对x求导数时，应注意其中的f1'，f3'仍是x，y，u的函数，而u又是x，y的函数，于是9.设y＝f(x，t)，且方程F(x，y，t)＝0确定了函数t＝t(x，y)，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由y＝f(x，t)知② 由F(x，y，t)＝0知，将dt的表达式代入②式并整理可得若可微函数z＝f(x，y)在极坐标系下只是θ的函数，求证(r≠0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由z＝f(rcosθ，rsinθ)与r无关11.作自变量与因变量变换：u＝x＋y，v＝x—y，w＝xy—z，变换方程为w关于u，v的偏导数满足的方程，其中z对x，y有连续的二阶偏导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由于z＝xy—w，则12.设u＝u(x，y)，v＝v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)＝0，其中F有连续的偏导数且SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将方程F(u，v)＝0分别对x，y求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解，其系数行列式必为零，即13.设z＝f(x，y)，满足，又，由z＝f(x，y)可解出y＝y(z，x)．求：(I)；(Ⅱ)y＝(z，x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)以z，x为自变量，y为因变量y＝y(z，x)，它满足z＝f(x，y(z，x))．将z＝f(x，y)对x求偏导数，得．再对x求偏导数，得将代入上式，得利用条件得(Ⅱ)因y＝y(z，x)，y＝xφ(z)＋ψ(z)·14.设f(x，y)＝2(y一x 2 ) 2一x 7一y 2， (I)求f(x，y)的驻点；(Ⅱ)求f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)解即驻点为(0，0)与(一2，8)．在(一2，8)处，，AC一B 2＞0，A＞0 (—2，8)为极小值点. 在(0，0)处，AC 一B 2＝0，该方法失效·但令x＝0 f(0，y)＝y 2这说明原点邻域中y轴上的函数值比原点函数值大，又令y＝x 2，f(x，x 2 )＝，这说明原点邻域中抛物线y＝x 2上的函数值比原点函数值小，所以(0，0)不是极值点．15.求z＝2x＋y在区域D：≤1上的最大值与最小值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：令F(x，y，λ)＝2x＋y＋λ(x 2＋一1)，解方程组由①，②得y＝2x，代入③得相应地因为z在D存在最大、最小值z在D的最大值为，最小值为．16.设函数z＝(1＋e y )cosx一ye y，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)先计算(II)求出所有的驻点．由解得(x，y)＝(2nπ，0) 或 (x，y)＝((2n＋1)π，一2)，其中n＝0，±1，±2， (Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于＝(一2)×(一1)一＝2＞0，一2＜0，则(2nπ，0)是极大值点．在((2n＋1)π，—2)处，由于则((2n＋1)π，一2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n＝0，±1，±2，…)，而无极小值点．17.设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数g(y)连续可导，且g(y)在y＝1处取得极值g(1)＝2．求复合函数z＝f(xg(y)，x＋y)的二阶混合偏导数在点(1，1)处的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：计算可得将x＝1与y＝1代入并利用g(1)＝2，g'(1)＝0 即得18.设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f'y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)＝0在x＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(x)在x＝a处取得极值＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0， f'x(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，b＝φ(a)是极大值；当r(a，b)SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝φ(x)在x＝a处取得极值的必要条件是φ'(a)＝0．按隐函数求导法，φ'(x)满足 f'x (x，φ(x))＋f'y(x，φ(x))φ'(x)＝0． (*) 因b＝φ(a)，则有 f(a，b)＝0，φ'(a)＝于是fx'(a，b)＝0．将(*)式两边对x求导得 f''xx (x，φ(x))＋f''xy(x，φ(x))φ'(x)＋[f'y(x，φ(x))]φ'(x)＋f'y(x，φ(x))φ''(x)＝0，上式中令x＝a，φ(x)＝b，φ'(a)＝0，得因此当时，φ''(a)＜0，故b＝φ(a)是极大值；当时，φ''(a)＞0，故b＝φ(a)是极小值．19.建一容积为V的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：化为无条件最值问题．由条件解出，代入S表达式得S＝xy＋＝xy＋2V(x＞0，y＞0) 解得x＝y＝因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为时无盖长方体水池的表面积最小．20.已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设旋转边上的高为z，分该边长为x与y，见图8.2，于是该三角形的周长为l＝x＋y＋，该旋转体的体积V＝π(x＋y)z 2．问题化成求V在条件l一2p＝0下的最大值点求(x＋y)z 2在条件l一2p＝0下的最大值点求ln(x＋y)＋2lnz在条件x＋y＋—2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ)＝ln(x＋y)＋2lnz＋λ(x＋y＋)，解方程组由①，② x＝y，再由④ ⑤ 由实际问题知，最大体积一定存在，以上又是方程组的唯一解，因而三角形的三边长分别为，旋转边为时旋转体的体积最大．21.证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由所设条件，φ(x，y)＝0在x＝x的某邻域确定隐函数y＝y(x)满足y0＝y(x)，于是P(x，y)是z＝f(x，y)在条件φ(x，y)＝0下的极值点z＝f(x，y(x))在x＝x0取极值f'x(x，y)＋f'y (x，y)y'(x)＝0 ① 又由φ(x，y(x))＝0，两边求导得φ'x(x0，y)＋φ'y(x，y))＝0，解得y'(x2)＝一φ'x(x，y0 )／φ'y(x，y)．② 将②式代入①式得f'x(x，y)—f'y(x0，y)φ'(x，y)／φ'y(x，yn)＝0．因此在Oxy平面上看，φ(x，y)＝0是一条曲线，它在P0 (x，y)的法向量是(φ'x(P0 )，φ'y(P))，而f(x，y)＝f(x，y)是一条等高线，它在P的法向量是(f'x (P)，f'y(P))，(8．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(x，y)＝0与等高线f(x，y)＝f(P0 )在点P处相切．22.求函数u＝xy＋yz＋zx在M(2，l，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先求出所设方向的方向余弦．设所求方向与各坐标轴的夹角为α，由方向余弦的性质得 cos 2α＋cos 2α＋cos 2α＝1 cosα＝± ．均与各坐标轴成等角．23.求椭球面S：x 2＋y 2＋z 2一yz一1＝0上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与Oxy平面垂直．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：椭球面S上点x，y，z)处的法向量n＝{2x，2y一z，2z—y}．点(x，y，z)处切平面上Oxy平面，则n·k＝0，即2z—y＝0．又(x，y，z)在S上x 2＋y 2＋z 2一yz一1＝0．因此所求点的轨迹：．它是圆柱面x 2＋＝1与平面2x一y＝0的交线．24.过球面x 2＋y 2＋z 2＝169上点M(3，4，12)分别作垂直于x轴与y轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：过M点分别与x、y轴垂直的平面是z＝3与y＝4，与球面的截线它们的交点是M1 (3，4，12)， M2(3，4，一1 2)．г1在M1的切向量＝{0，24，一8}＝8{0，3，一1}，г2在M1的切向量＝{一24，0，6}＝6{一4，0，1}．г1，г2在M1点的切线方程分别为过这两条切线的平面方程是，即3(x一3)＋4(y一4)＋12(z—12)＝0．又г2在M2的切向量＝{0，一24，一8}＝8{0，一3，一1}，г2在M2的切向量＝{24，0，6}＝6{4，0，1}，г1，г2在M2点的切线方程分别为过两条切线的平面方程是，即3(x一3)＋4(y 一4)一12(z＋12)＝0．25.设a，b，c＞0，在椭球面的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先写出椭球面上点(x，y，z)处的切半面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式V(x，y，z)．问题化为求V(x，y，z)在条件下的最小值点．将椭球面方程改写成G(x，y，z) 椭球面第一卦限部分上点(x，y，z)处的切平面方程是其中（X．Y．Z)为切平面上任意点的坐标．分别令Y＝Z＝0，Z＝X＝0，X＝Y＝0，得该切平面与三条坐标轴的交点分别为四面体的体积为V(x，y，z)＝为了简化计算，问题转化成求V＝xyz(x＞0，y＞0，z＞0)在条件下的最大值点．令F(x，y，z，λ)＝xyz＋，求解方程组因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z)＝处相应的四面体的体积最小．1。

考研数学二高等数学-试卷1_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二（高等数学）-试卷1(总分56, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.当x→0时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小( )．SSS_SINGLE_SELAx 2B 1-cosxCD x-tanx该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：当x→0时，1-cosx～所以x-tanx是比其他三个无穷小阶数更高的无穷小，选(D)2.若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且=1，则下列正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA x=0是f(x)的零点B (0，f(0))是y=f(x)的拐点C x=0是f(x)的极大点D x=0是f(x)的极小点该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由=1得f"(0)=0，由1=得x=0为极小点，应选(D)3.曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成的图形面积可表示为( )．SSS_SINGLE_SELA-∫2 x(x-1)(2-x)dxB∫01 x(x-1)(2-x)dx=∫12 x(x-1)(2-x)dxC-∫01 x(x-1)(2-x)dx+∫12 x(x-1)(2-x)dxD∫2 x(x-1)(2-x)dx该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0<x<1时，y<0；当1<x0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)2. 填空题1.=_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：1解析：2.y=，则y"=_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：cotx．sec 2 x-解析：y=lntanx- ln(x 2 +1)，y"=cotx．sec 2 x-3.设f(x)=ln(2x 2 -x-1)，则f (n) (x)=_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：f(x)=ln[2x+1)(x-1]=ln(2x+1)+ln(x-1)，f"(x)=4.=_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：5.=_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：因为ln(x+ )为奇函数，所以x 2 ln(x+ )为奇函数，6.设y=y(x，z)是由方程e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2确定的隐函数，则=_______ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2两边对z求偏导得e x+y+z+2z，从而7.连续函数f(x)满足f(x)=3∫x (x-t)dt+2，f(x)=_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2e 3x解析：由∫2x f(x-t)dt ∫x0 f(u)(-du)=∫x f(u)du得f(x)=3∫xf(u)du+2，两边对x求导得f"(x)-3f(x)=0，解得f(x)=C -∫-3dx =Ce 3x，取x=0得f(0)=2，则C=2，故f(x)=2e 3x．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一高等数学-试卷8_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（高等数学）-试卷8(总分102, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.累次积分可以写成SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2.设S是平面x+y+z=4被圆柱面x 2 +y 2 =1截出的有限部分，则曲面积分的值是SSS_SINGLE_SELA 0BCD π该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A2. 填空题1.交换积分次序：=___________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.交换积分次序：=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：6.设曲线C为，则=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：7.设C为椭圆，则=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：πab8.设u=x 2 +y 2 +z 2，则div(gradu)=__________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：63. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.计算二重积分，其中D是直线y=2，y=x和双曲线xy=1所围成的平面区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2.计算SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.计算，其中区域D由y=x 2，y=4x 2，y=1所围成．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.计算，其中D由直线x=一2，y=0，y=2以及曲线所围成．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.计算，其中D：x 2 +y 2≤4．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：9π6.计算，其中D由不等式x 2 +y 2≤x+y所确定．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：7.计算，D是由(0≤t≤2π)与x轴所围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：8.求，其中D是由y=x 3，y=1，x=一1所围成的区域，f(u)是连续函数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：9.设f(x，y)是定义在区域0≤x≤1，x≤y≤1上的二元连续函数，f(0，0)=一1，求极限。