信号处理中FFT的应用

一、实验目的

1、理解用FFT 对周期序列进行频谱分析时所面临的问题并掌握其解决方法。

2、掌握用时域窗函数加权处理的技术。

3、理解用FFT 对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法。 二、实验原理与计算方法

１、对周期序列进行频谱分析应注意的问题

对时间序列作FFT 时，实际上要作周期延拓（如果取长序列的一段进行计算还要先

作截断）。周期序列是无限长时间序列，如果

截断区间刚好就是该序列周期的整数倍，那么在进行周期延拓后，将还原出原来的周期序列，由此可以较精确地计算出的该周期序列的频谱。反之，如果截断区间并不是该序列周期的整数倍，那么在进行周期延拓后，就不可能还原出原来的周期序列，由此计算出的频谱与该周期序列的频谱存在误差，而且误差的大小与截断区间的选取直接相关，如图1所示，其中幅度频谱的量值表示为)(log 20k X ，以dB(分贝)为单位。这种误差是由于周期序列与矩形截断序列相乘在频域产生

二者的频谱卷积形成的。矩形窗的频谱是抽样函数序列

f

N j e

f fN )1()

sin()sin(--πππ，如图2

所示。除了k = 0处主瓣内集中了大部分的能量外，两旁的较小峰值处的旁瓣也

分散了一部分能量，它与周期序列频谱卷积的结果使原来集中的频谱展宽，称为频率泄漏。

如果对已知周期的信号作频谱分析，在进行时域截断时，完全可以选取其周期的整数倍裁取，从而可以避免这种频率泄漏 的发生。不过，通常需要进行频谱分析的信号是周期未知的信号，或随机信号，无法判断它的周期值，为了尽量避免频率泄漏对结果的影响，在作时间截断时，就应选取其频谱的旁瓣较小的截断函数，以减轻泄漏问题。 2、时域窗函数的应用

作为截断函数，矩形窗在作时间截断时，对所截取区间内的信号不加以任何影响，而其它的窗函数都将对所截取区间内的信号作加权处理。除了在实验二中已经介绍过三角窗、Hanning 窗和Hamming 窗外，常用的窗函数还有很多，例如Parzen 窗、Kaiser 窗、Chebyshev 窗、Tukey 窗、Poisson 窗、Caushy 窗、Gaussian 窗和Blackman 窗等等。本次实验仍是采用实验二中的几种窗函数，但是利用窗函数作时域加权截断。

)(k X )(k X

k k

(a)时域周期整数倍截断 (b)时域非周期整数倍截断

图 1 周期函数t Ωsin 的幅频曲线

)(k X

k 图 2 矩形窗的频谱

图 3 中给出了采用Hanning 窗对正弦函数作非整周期的时域加权截断后的波形和频谱，与图4-1(b)比较，泄漏已明显减少。

应该指出，前面所给出的窗函数都是定义为以0点为中心、宽度为N +1的加权函数，在这里应用时，需要将其右移2

N ，成为N →0区间内的加权函数。

3、对非周期序列进行频谱分析应注意的问题 （１）混叠

一般非周期信号作FFT 之前要进行时域采样和周期延拓(无限长时间信号还应先截断再延拓)。根据Fourier 变换理论，经等周期s T 的冲激采样后，离散序

列)()()(~t t x nT x T s δ=的频谱∑∞

-∞

=-=

n s s

nf

f X T f X )

(1)(~是原信号频谱)(f X 以

s

s T f 1

=

为周

期的周期延拓。按照Nyquist 采样定理，由采样引起周期延拓后频谱之间不发生混叠的条件是：(1)原信号应该是有限带宽信号，设其频带宽度为f m ；(2)频谱的周期m s f f 2≥，即采样周期应满足Nyquist 条件m

s

f T 21

≤

。 由于实际上有限长时间信号)(t x 的FT )(f X 是频域的无限函数，因此采样所得的离散序列的频谱必定产生混叠，减小采样周期s T 只能减小而不能消除混叠。对于时间有限函数，当采样周期较大时，也会在FFT 得到的频域出现混叠，形成频谱失真，造成频谱分析结果与原信号的实际频谱的差异，也无法恢复出原信号。当然，实际工作中只要采样和截断产生的误差在许可的范围内就行了，但应该认 识到混叠是引起频谱分析误差的一个主要原因。

还应该注意的是，离散Fourier 变换的频域也是周期化的，区间

1,,12

-+N N

内的样点实际上是负频率区的量值，因此如果出现混叠，就将在一个周期内出现，并发生在

2

N

附近的区域，如图4所示。要减少混叠，就要尽量减小采样周期。

（２）泄漏

周期函数截断引起的频率泄漏问题，在非周期函数截断处理后同样存在，这种误差是由于采样后的离散序列与矩形截断序列

)()sin(n w n ω )

(k X

0 t

0 k (a) 正弦函数的加权的非周期时域截断 (b)减小了泄漏的频谱

图 3 采用Hanning 窗加权后的时域截断和频谱

)(n u e

anT

- )

(k X

0 n 0 N/2 N

(a)时域按周期T s 采样 (b)频域一个周期内在N /2附近出现混叠

图 4 非周期函数t

e -采样后的幅频曲线

相乘在频域造成二者的频谱卷积形成的。矩形窗的频谱是抽样函数序列

f

N j e

f fN )1()

sin()sin(--πππ，它与离散序列频谱卷积的结果使原来集中于每一个样点处的

频谱展宽，其影响在高频区(接近N /2的样点)特别明显，如图5所示。同样，为了尽量避免频率泄漏对结果的影响，在对非周期函数作时间截断时，除尽量增加截断序列的宽度外，也应选取其频谱的旁瓣较小的截断函数，以减轻泄漏问题。

在选取了适当的窗函数后，应当使窗函数的宽度与被处理的序列长度相同，如果作变换前还需要补零（例如为了作卷积运算或避免栅栏效应），则应将原序列与窗函数相乘后再补零，即补零的样点不用窗函数加权处理。 （３）栅栏效应

非周期信号)(t x 应具有连续的频谱，在对)(t x 作抽样后进行DFT ，得到的是离散的频谱。如果排除混叠和泄漏等误差的影响，所得的结果也只是)(t x 的连续频谱上的

12

+N

个样值。这就象通过栅栏上的等间距缝隙观看到的另一边的景象，故此称栅栏效应。被栅栏遮住的景象中有可能存在与显现出的频谱差异较大的变化，即显示信号特征的频谱分量。为了使被栅栏遮住的部分能尽可能地显现出来，可以采用增加频域样点密度的方法，即在不增加信号采样点的情况下，用时域补零加宽变换尺度N 来实现，称为补零重构。例如原来信号采样得到12个样点，在其后面再加上4个零，使序列的总长度为16个样点。这样处理的结果原来信号的采样间隔和频率都没有改变，设采样频率为s f ，经补零重构之后，采样频率仍然为s f ，但是原来频域样点间宽度为s f /12，经补零重构之后频域样点间宽度为s f /16。这就使补零重构之后频域样点密度增加，而且显示出原来没有显露的一些频率位置的频谱。 三、实验内容

（1）将余弦函数cos(2πt)以T s =1/53 s 抽样，对余弦序列做样点数为N =128的FFT ，画出频谱曲线，观察并记录频率泄漏现象，然后用Hamming 窗和三角窗作加权截断，观察并记录泄漏的衰减。 n=[0:1:127];N=128; Ts=1./53;t=n.*Ts Xn=cos(2.*pi.*t)

)(n w e anT - )

(k X

0 n 0 N/2 N

(a)时域截断 (b)频域一个周期内在N /2附近出现泄漏

图 5 函数t

e -采样后作截断的幅频曲线