有理函数和可化为有理函数的不定积分解读

可求！
( 2) n 1,
2
Mx N ( x 2 px q )n dx
2 2
p p x px q x q , 2 4
p 令 x t 2
p2 2 令 q a 4
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
2 2
Mx N Mt b,
其中 M i , N i 都是待定的常数( i 1,2,, k ) .
Mx N 特殊地：k 1, 部分分式为 2 ; x px q
真分式
P( x) Q( x )
A1, 1 1 A1,1 { b0 x 1 ( x 1 ) 1
Ak , k Ak ,1 x k ( x k ) k
1 1 1 1 . 2 2 x x 1 ( x 1) x ( x 1)

1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx.
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
A （A）多项式； ( B ) n; ( x a)
Mx N (C ) 2 n; ( x px q )
（其中各系数待定）；
例1
x3 x2 5x 6

分母因式分解

x3 ( x 2)( x 3)
部分分式之和
A B , x2 x3
通分后分子相等

x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
一、有理函数的积分法 二、三角函数有理式的积分法
三、简单无理函数的积分法
一、有理函数的积分法
1、有理函数的定义；
由两个多项式函数的商所表示的函数称为有理函数。
2、有理函数的分类：
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
M 1 b 2 dt . 2 2 n1 2 n 2( n 1)(t a ) (t a )
dt 其中 I n 2 及 I1 推出。 2 n 可由递推公式 (t a )
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.
1 A Bx C , 例3 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
A B 1, A 5 比较系数 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
（ 比 较 系 数 法 ）

或
由 x 3 A( x 3) B( x 2),
其中 A1 , A2 , , Ak 都是待定的常数.
A ; 特殊地：k 1, 部分分式为 xa
k （3）分母中因式 ( x 2 px q ) ，对应的部分 分式为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中a0 0 ，b0 0 .
(1) n m , ——真分式； ( 2) n m ,——假分式；
3、有理函数积分法
(1) 假分式
3
多项式除法

多项式 真分式 ;
x x 1 1 如 x 2 2 x 1 x 1
( 2) 真分式
待定系数法

部分分式之和 ：
P( x ) 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x )
Mx N dx , 前两类易求，现讨论第三类积分 2 n ( x px q ) Mx N (1) n 1, x 2 px q dx
M ( 2 x p) p 2 N / M dx 2 2 x px q
M ( 2 x p) M p 2N / M dx dx 2 2 2 2 x px q 2 ( x p / 2) q p / 4
B1, 1 x D1, 1 B1,1 x D1,1 2 x p1 x q1 ( x 2 p1 x q1 ) 1
Bh, 1 x Dh, h Bh,1 x Dh,1 2 2 h } x ph x qh ( x ph x qh )
（1）对分母Q( x )在实数系作标准分解： b0 ( x 1 )1 ( x k ) k ( x 2 p1 x q1 )1 ( x 2 ph x qh ) h
（其中 x 2 pi x qi , i 1,, h 为不可约因式 )
k ( x a ) （2）分母中因式 ，对应的部分分式为 A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
p Mp 则 a q , b N , 4 2 Mx N 2 dx n ( x px q )
Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
M 1 1 2 2 2 2 n d (t a ) b 2 2 n dt 2 (t a ) (t a )
（ 赋 值 法 ）
令 x 3, 得 3 3 B(3 2), B 6;
令 x 2, A 5.
.
A B C 1 , 例2 2 2 x x 1 ( x 1) x ( x 1 )
（ 综 令 x 0, A 1; 令 x 1, C 1; 合 法 比较二次项的系数， 得 0 A B, B A 1. ）