2022版新高考数学一轮复习教师用书：第2章 第5节 幂函数与二次函数

幂函数与二次函数[考试要求] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a 对称(1)二次项系数a 的正负决定图象的开口方向． (2)－b2a 的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与y 轴的交点．(4)Δ＝b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数． [常用结论]1．幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的三个重要结论 (1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增． (2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(3)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小，当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．根与系数的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac ＞0时，其图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)，M 2(x 2,0)，这里的x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝ca ，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x是幂函数．()(2)当n＞0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)()A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D[设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，3)的坐标代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y＝x，故选D.]2．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()A BC DC[令f(x)＝xα，则4α＝2，解得α＝1 2，∴f(x)＝x，则f(x)的图象如选项C中所示．]3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()A．a≥3 B．a≤3C．a＜－3 D．a≤－3D[函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________．[－1,3][∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，∴g(x)max＝3，即g(x)的值域为[－1,3]．]考点一幂函数的图象及其性质与幂函数有关问题的解题思路(1)若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．1．(多选)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为()A．1B．－1C．3D．2AC[当α＝－1时，y＝x－1＝1x，为奇函数，但值域为{x|x≠0}，不满足条件．当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件．当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{x|x≥0}，不满足条件．当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件．故选AC.]2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52B [因为函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数， 所以⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3＜0，解得m ＝1.]3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [因为y ＝x 在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以b ＜a ＜c .]4．若(a ＋1)＜(3－2a )，则实数a 的取值范围是_____________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.]点评：比较大小时，若底数相同，可考虑指数函数的单调性．若指数相同，可考虑幂函数的单调性，有时需要通过化简，使底数(指数)相同．如本例T 3，也可化简为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，再通过y ＝x 的单调性比较大小．考点二 求二次函数的解析式求二次函数解析式的策略[典例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.点评：求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同．[跟进训练]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.19x 2＋49x －59 [法一：(一般式)设所求函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4ac －b24a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求函数的解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1， 即f (x )＝19x 2＋49x －59.]2．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝________.x 2－4x ＋3 [∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象经过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.]考点三二次函数的图象与性质二次函数图象的识别识别二次函数图象应学会“三看”[典例2－1](1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()A BC D(2)如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③(1)C(2)B[(1)若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而图中二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B.故选C.(2)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a ＝－1，即2a －b ＝0，②错误． 结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误．由对称轴为直线x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．]点评：对于判断两个函数的图象在同一坐标系中的题目，可假设一个图象正确，然后判断另一个图象是否正确．如本例T (1)．二次函数的单调性二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．[典例2－2] (1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0](2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的最小值为f (1)，则f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (3)的大小关系是( )A ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (3)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (2)＜f (3)C ．f (3)＜f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (2)＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32(1)D (2)D [(1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )图象的对称轴为x ＝3－a 2a ， 由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．(2)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的最小值为f (1)， ∴函数的图象开口方向朝上，对称轴为直线x ＝1. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32－1＞|3－1|＞|2－1|， ∴f (2)＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，故选D.][母题变迁]将本例(1)改为“若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)”，则实数a ＝________.－3 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a＝－1，解得a ＝－3.]二次函数的最值问题二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．[典例2－3] 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2.①当－a ＜－1，即a ＞1时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (－1)＝2－2a ，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5.②当－1≤－a ＜12，即－12＜a ≤1时，函数f (x )在区间[－1,2]上先减后增，∴f (x )min ＝f (－a )＝1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5.。