工程数学线性代数第五版答案
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线性代数重点
第一章 行列式
8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a
a D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素
都是0; 解 a
a a a a D n 0
1
0 000 00 00
0 00
10 00⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )
1()1(1
0 000 0
0 00
0 001
0 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a
a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a
n n n n
n a a a
+⋅
⋅⋅-⋅-=--+)
2)(2(1
)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).
(2)x
a a
a x a a a x
D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
a
x x a a
x x a a x x a a
a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0
, 再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1
1
1 1 )( )1()( )1(1
1
11⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n
n n ; 解 根据第6题结果, 有
n
n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅
-⋅-=1
12
1
)1(2
)1()()1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i .
(4)n n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112; 解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112(按第1行展开) n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111
----⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=Λ
0)1(111
1111
1
12c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2.
于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 2
22)(.
而 1
111111
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 1
2)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 0
4
321
4 0123
3 10122 2101
1 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 1111
1 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 1
5
242321
0 22210 02210 0021
0 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111
1
12
1, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n
≠0.