数值分析关冶版第一章教案

授课题目: 第一章引论

§1数值分析的研究对象（1学时）

教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法

教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点

教学难点: 数值分析的研究对象

教学过程:

一、数值分析的研究对象、作用

数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.

主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果

二、数值分析的作用：

重点研究数学问题的数值方法及其理论。

作用领域广，形成许多交叉学科。

科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段

最重要作用——计算模型数值解

三、数值分析的特点

面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。

有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。

要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。

要有数值实验。证明其有效性。

练习：

思考：

作业:

教学反思:

授课题目: §2 数值计算的误差（1学时）

教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计

教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计

教学难点: 误差估计

教学过程:

误差来源与分类

截断误差

例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式

则数值方法的截断误差是

舍入误差

例如，用3.14159代替π，产生的误差

●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。

●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。

误差与有效数字

定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称

为近似值的绝对误差，简称误差。

通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即

则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成

把近似值的误差e *与准确值x 的比值

称为近似值x *的相对误差，记作e r ∗

它的绝对值上界叫做相对误差限,

记作εr ∗

,

定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字.

其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，且

定理1设近似数x *表示为

x x e -=***

**ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x .**ε±=x x x x

x x e -=*******

x x

x x e e r

-=

=.

**

*

x r εε

=

其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，若x *具有n 位有效数字，则其相对误差限

为

反之，若x *的相对误差限

则x *具有n 位有效数字。 数值运算的误差估计

两个近似数x 1∗,x 2∗其误差限分别为ε(x 1∗),ε(x 2∗

)，它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为：

练习：

思考：

作业: P32 1, 2(1-3)

教学反思:

;1021

)1(1

*--⨯≤

n r a ε)

1(1*10)

1(21--⨯+≤

n r a ε);()()(*

2*1*2*1x x x x εεε+=±);

()()(*1*2*2*1*2*1x x x x x x εεε+≈).

0()

()()/(*22

*2

*

1*2*2*1*

2*1≠+≈

x x

x x x x x x εεε

授课题目:§3 病态问题，数值稳定性与避免误差危害（2学时）

教学目标:使学生了解病态问题和数值稳定性，掌握避免误差危害的方法

教学重点：病态问题、数值稳定性、避免误差危害

教学难点: 避免误差危害的方法

教学过程:

3.1 病态问题与条件数

对于计算函数值f(x)的问题, 如果自变量有轻微的扰动（即误差），引起较大的函数值相对误差，这就是病态问题.

令，x A=x+ℎ

|f(x+ℎ)−f(x)

f(x)|≈|ℎf′(x)

f(x)

|=|xf′(x)

f(x)

||ℎ

x

| (3.1)

记C=xf′(x)

f(x)

，为计算函数值问题的条件数。比较大的C可产生病态问题。

例3.1 设f(x)=x n，则C=n. 即函数值的相对误差大约是自变量相对误差的n倍。

令n=8,x=1,ℎ=0.02，可得C=8，

函数值相对误差0.16，可认为是病态问题。

令n=1/2,x=1,ℎ=0.02，可得C=1/2，

函数值相对误差0.01，可称为良态问题。

3.2 数值方法的稳定性

一种数值方法，如果初始数据或计算过程某一步的中间结果有微小的改变，而引起最后结果的改变也是微小的，这个方法就是数值稳定的，否则就是数值不稳定的

（1）如果|εn|≈Cnε0，称误差的增长是线性型的。

（2）如果|εn|≈C nε0，称误差的增长是指数型的

例3.2 设x n=1

3n

，生成序列{x n}，可以采用多种递推计算方法

方法1：令x0=1，x n=1

3

x n−1，n=1,2,…,；

方法2：令x0=1，x1=1

3，x n=4

3

x n−1−1

3

x n−2，n=1,2,…,；

方法3：令x0=1，x1=1

3，x n=10

3

x n−1−x n−2，n=1,2,…,；

设三种方法的初始误差为

(1) r0=0.99996 (2)p0=1,p1=0.33332 (3)q0=1,q1=0.33332方法1和方法2稳定，方法3不稳定。

3.3 避免误差危害

使用数值不稳定的方法，会由于误差的增长出现误差危害现象