数值分析关冶版第一章教案

授课题目: 第一章引论§1数值分析的研究对象（1学时）教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点教学难点: 数值分析的研究对象教学过程:一、数值分析的研究对象、作用数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果二、数值分析的作用：重点研究数学问题的数值方法及其理论。

作用领域广，形成许多交叉学科。

科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段最重要作用——计算模型数值解三、数值分析的特点面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。

有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。

要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。

要有数值实验。

证明其有效性。

练习：思考：作业:教学反思:授课题目: §2 数值计算的误差（1学时）教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计教学难点: 误差估计教学过程:误差来源与分类截断误差例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式则数值方法的截断误差是舍入误差例如，用3.14159代替π，产生的误差●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。

●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。

误差与有效数字定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。

通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。

若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成把近似值的误差e *与准确值x 的比值称为近似值x *的相对误差，记作e r ∗它的绝对值上界叫做相对误差限,记作εr ∗,定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字.其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，且定理1设近似数x *表示为x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x .**ε±=x x x xx x e -=*******x xx x e e r-==.***x r εε=其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，若x *具有n 位有效数字，则其相对误差限为反之，若x *的相对误差限则x *具有n 位有效数字。

数值运算的误差估计两个近似数x 1∗,x 2∗其误差限分别为ε(x 1∗),ε(x 2∗)，它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为：练习：思考：作业: P32 1, 2(1-3)教学反思:;1021)1(1*--⨯≤n r a ε)1(1*10)1(21--⨯+≤n r a ε);()()(*2*1*2*1x x x x εεε+=±);()()(*1*2*2*1*2*1x x x x x x εεε+≈).0()()()/(*22*2*1*2*2*1*2*1≠+≈x xx x x x x x εεε授课题目:§3 病态问题，数值稳定性与避免误差危害（2学时）教学目标:使学生了解病态问题和数值稳定性，掌握避免误差危害的方法教学重点：病态问题、数值稳定性、避免误差危害教学难点: 避免误差危害的方法教学过程:3.1 病态问题与条件数对于计算函数值f(x)的问题, 如果自变量有轻微的扰动（即误差），引起较大的函数值相对误差，这就是病态问题.令，x A=x+ℎ|f(x+ℎ)−f(x)f(x)|≈|ℎf′(x)f(x)|=|xf′(x)f(x)||ℎx| (3.1)记C=xf′(x)f(x)，为计算函数值问题的条件数。

比较大的C可产生病态问题。

例3.1 设f(x)=x n，则C=n. 即函数值的相对误差大约是自变量相对误差的n倍。

令n=8,x=1,ℎ=0.02，可得C=8，函数值相对误差0.16，可认为是病态问题。

令n=1/2,x=1,ℎ=0.02，可得C=1/2，函数值相对误差0.01，可称为良态问题。

3.2 数值方法的稳定性一种数值方法，如果初始数据或计算过程某一步的中间结果有微小的改变，而引起最后结果的改变也是微小的，这个方法就是数值稳定的，否则就是数值不稳定的（1）如果|εn|≈Cnε0，称误差的增长是线性型的。

（2）如果|εn|≈C nε0，称误差的增长是指数型的例3.2 设x n=13n，生成序列{x n}，可以采用多种递推计算方法方法1：令x0=1，x n=13x n−1，n=1,2,…,；方法2：令x0=1，x1=13，x n=43x n−1−13x n−2，n=1,2,…,；方法3：令x0=1，x1=13，x n=103x n−1−x n−2，n=1,2,…,；设三种方法的初始误差为(1) r0=0.99996 (2)p0=1,p1=0.33332 (3)q0=1,q1=0.33332方法1和方法2稳定，方法3不稳定。

3.3 避免误差危害使用数值不稳定的方法，会由于误差的增长出现误差危害现象3.3.1 避免有效数字的损失相近数相减的结果会损失有效数字，措施：改减法为加法。

例3.3 求二次方程的根，如求x 2−16x +1=0的根。

解：x 1=8+√63, x 2=8−√63若取√63≈7.94，则x 1=15.9, x 2=0.06可改为x 2=1x 1≈115.9=0.0629又如计算f (x )=√1+x 2−1, |x|≪1，改写为f (x )=2√1+x 2+1类似的还有f (x )=x −sinx, |x|很小，可用展开式解决。

f (x )=x 33!−x 55!+x 77!−⋯避免“大数”减“小数” 例3.4 用3位十进制数计算x =101+δ1+δ2+⋯+δ100,δi ∈[0.1,0.4]直接计算，小数被舍掉，最后结果就是x ≈101 但是，如果先把所有δi 加起来，再加101，就有101+100×0.1≤x ≤101+100×0.4 即x ∈[111,114]3.3.2 减少运算次数过多的运算次数意味着过多的误差累积例3.5 求五次多项式P 5=a 5x 5+a 4x 4+⋯+a 1x 1+a 0，需要15次乘法和15次加法。

如果改为P 5=((((a 5x +a 4)x +a 3)x +a 2)x +a 1)+a 0，只要5次加法和5次乘法。

例3.6 利用公式ln (1+x )=∑(−1)nx n n∞n=1计算ln (1+x)的近似值，若令x =1，计算ln2，若精确到10−5需要十万次求和。

计算量大，而且舎入误差累积严重。

可改为级数ln 1+x1−x =2[x +x 33!+x 55!+⋯+x 2n+1(2n+1)!+⋯]取x =13，只要计算前9项，截断误差就小于10−10 练习：思考：作业: P33 4，5，6教学反思:授课题目: §4 线性代数的一些基本概念 (4学时)教学目标: 使学生了解线性代数中的基本概念，包括：特征值、特征向量、向量空间、内积空间等，掌握向量范数、函数范数、矩阵范数的概念和相关定理教学重点 ：向量空间、内积空间、向量范数、函数范数、矩阵范数 教学难点 : 连续函数空间及范数、矩阵的从属范数 教学过程:4.1 矩阵的特征值问题、相似变换化标准型若存在复数λ及非零向量x ，使得Ax =λx ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，x 是属于特征值λ的特征向量。

det (λI −A )=0称为A 的特征方程，所以A 有n 个复数特征值λ1,λ2,…λn （有重根） 矩阵A 的全体特征值的集合称为A 的谱，记作δ(A)。

ρ(A )=max λ∈δ(A)|λ|称为A 的谱半径。

A 的对角线元素之和称为A 的迹，trA =∑a ii n i=1 A 的特征值的性质：trA =∑λi n i=1 det (A )=λ1λ2…λn设A, B 都为n 阶方阵，若存在n 阶可逆矩阵P ，使P −1AP =B ，可称A 与B 相似。

• 相似矩阵有相同的特征多项式和相同的谱； • A 的转置矩阵A T 与A 也有相同的谱；• A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn )相似，称A 可对角化。

定理4.1 A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关特征向量。

定理4.2 属于A 的不同特征值的特征向量是线性无关的。

如果A 有n 个不同特征值λ1,λ2,…,λn ，即A 的特征方程的根都是单根，则A 可对角化。

定理4.3 设A 有相重的特征值，则A 可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数与代数重数相等。

定理4.4（Jordan 标准型）设n ×n 的方阵A 有s 个不同特征值λ1,λ2,…,λs ，则A 可通过相似变换化为Jordan 标准型矩阵J ，它是含有s 个对角块的块对角矩阵。

4.2 线性空间和内积空间 4.2.1 线性空间定义4.1 设P 是一个数域，V 是一个非空集合。

在V 上定义两种运算：（1）加法，对任意的元素u,v ∈V ，在V 中有唯一的元素（记作u +v ）与之对应。

且具有加法交换率，结合律，零元素(θ)，负元素。

（2）数乘，对任意的α∈P 和u ∈V ，在V 中有唯一的元素（αu ）与之对应，满足乘法交换率，结合律，一元素乘法。

称V 为一个数域P 上的线性空间（或数域P 上的向量空间）。

例如：R n ,R n×n ，可构成实数域上的线性空间；C[a,b]是定义在区间[a,b]上连续实值函数的全体， P[a,b]是定义在区间[a,b]上不超过n 次的多项式函数的全体，都构成实数域上的线性空间。

掌握概念线性相关、线性无关、基、维数、子空间、张成(span)等。

4.2.2 内积空间定义4.2 设V 是P 上的线性空间，内积是V ×V 到数域P 的一个映射，即对于V 中任意的元素对u 和v ，有P 中唯一的一个数（记作(u,v)）与之对应，满足：结合律，数乘，对称性，非负性。

则称(u,v)为u 和v 的内积，定义了内积空间的线性空间V 称为内积空间。

R n 上的内积，一般定义为(x,y )=∑x i y i n i=1=y Tx (4.1)若给定实数ωi >0, i =1, 2, …n （权系数），可以定义带权内积 (x,y)ω=∑ωi x i y i n i=1 (4.2) 以及复向量带权内积(x,y)ω=∑ωi x i y i ̅n i=1 (4.3) 定义4.3 如果定义在[a,b]上的可积函数ρ满足： （1）ρ(x )≥0, ∀ x ∈[a,b]；（2）在[a,b]任意的一个子区间上，ρ(x )不恒为零； 称函数ρ为[a,b]上的一个权函数。