双曲线的简单几何性质总结归纳(人教版)
数学人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质
3 2
x y
横坐标 xM 以及它到直线 0 的距离 d .沿曲线向
3 2
右上方拖动点 M ，视察 xM 与 d 的大小关系，你发现
了什么？
4．渐近线
经过1 , 2 作轴的平行线 = ± ，经过1 , 2 作 轴的平
3.2.2 双曲线的简单几何性质
双曲线定义
图
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹．
形
焦点坐标
标准方程
a、b、c 的关系
F1 c ，0，F2 c ，0．F1 0 ，
c ，F2 0 ，c ．
x2
y2
2 1
2
a
b
y2
例4 双曲线冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲
面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m，试
建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的
平面直角坐标系Oxy,使小圆的直径AA’在x轴上，圆心与原点重合.
x2
2 1
2
a
b
c2＝a2＋b2
思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
范围、对称性、顶点、离心率…
利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质
2
2
x
y
以 2 2 1 (a＞0，b＞0)为例
a
b
1．范围
2
由双曲线的标准方程可知， 2
选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
2. 求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,e 5；
4 (2) 焦点在y轴上,焦距是16,e 4 .
3 解：(2)由题意知,2c 16,e 4 ,∴c 8,a 6,b 2 7.
3 又双曲线的焦点在y轴上，
∴所求双曲线的标准方程为 y2 x2 1. 36 28
线段A1A2叫实轴, 长度为2a
线段A1A2叫实轴 , 长度为2a
线段B1B2叫虚轴, 长度为2b
线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b
e c (e 1)
a
x y 0,即y b x
ab
a
y x 0,即y a x
ab
b
例3 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐
有相同的渐近线的双曲线方程
可设为
x2 a2
y2 b2
(
0).
练习1 求以椭圆 x2 y2 1的焦点为焦点,以直线 y 1 x 为渐近线的双曲线方程.
13 3
2
解： 由题意知,所求双曲线的渐近线方程为 x y 0.
2
故可设所求双曲线方程为 x2 y2 ,即 x2 y2 1( 0).
(2) 9x2 y2 81;
(3) x2 y2 4;
x2 y2 (4) 1.
49 25
解：(2)原方程变形为 x2 y2 1. ∴a 3,b 9,c a2 b2 9 81 3 10. 9 81
∴实轴长为 2a 6，虚轴长为 2b 18 .
顶点坐标为( 3, 0),焦点坐标为(3 10 ，0).
(3) x2 y2 4;
x2 y2 (4) 1.
49 25
解：(4)原方程变形为 y2 x2 1. ∴a 5,b 7,c a2 b2 25 49 74. 25 49
人教版高中数学选修课件：双曲线的简单几何性质
y
几何意义
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
B2
c2 b2 a2
cb
A1
A2
0a
x
B1
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
8.等轴双曲线
①定义：实轴与虚轴等长的双曲线
探究新知
4.对于双曲线
y2 a2
x2 b2
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
4.双曲线的渐近线 人教版高中数学选修2-1课件：2.3.2双曲线的简单几何性质(共54张PPT)
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
形成结论
(1)线段A1A2叫做双曲线的实轴；
(2)由于点B1(0，－b)，B2(0，b)不在双曲线上，线
段B1B2叫做双曲线的虚轴；
(3)实轴长和虚轴的长.
双曲线的简单几何性质总结归纳人教
一．基本概念1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠= ⑺离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中222b a c +=a PF PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x 渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x a b y ±=0=±bya x 双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e 两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
2.2.2双曲线的简单几何性质
b y=±－ ax
a y=±－ bx
半轴长
离心率 a,b,c的关系
半实轴长为a, 半虚轴长为b. c e a c2=b2+a2
例3 求双曲线9y2–16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率及渐进线方程.
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线 的方程。
4.渐近线:
b 0 ，即y=±－ ax
y
B2 A1
O
当a=b时，双曲线叫做等轴双曲线。 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
c 用e表示，即 e a
a
B1
A2
b
x
[1]离心率的取值范围：e>1
[2]离心率对双曲线形状的影响：
渐近线与双曲 线永不相交
e越大，c就越大，从而b就越大，双曲线就开口越阔。
(3)焦点为(0, 6)，(0, -6)，且过点(0, 4)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
x y - 2 =1 2 a b
1.范围： 两直线x=±a的外侧 2.对称性：
A1
O
2
2
y
B2
a
B1
A2
b
x
双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。坐 标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: A1(-a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，ห้องสมุดไป่ตู้B1B2 叫做双曲线 的虚轴。它们的长分别为2a和2b。
F(±c，0)
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的简单几何性质》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学双曲线的几何性质1.双曲线的范围、对称性及顶点（1）双曲线在不等式x≥a 与x≤-a 所表示的区域内. 如果双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的范围是y≥a 与y≤-a.（2）双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.判断曲线关于原点，关于x 轴、关于y 轴对称的依据：若把方程中的x 换成-x ，y 换成-y ，方程不变，则曲线关于原点对称；若把方程中的y 换成-x ，方程不变，则曲线关于x 轴对称；若把方程中的x 换成-y ，方程不变，则曲线关于y 轴对称.（3）双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(-a,0)、A 2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.疑点突破 如果双曲线的中心不在原点，是不是还是对称图形？答案是肯定的，椭圆的对称性与选择的坐标系没有关系. 2.双曲线的渐近线及离心率（1）把两条直线y=±x ab 叫做双曲线的渐近线.与双曲线2222b y a x -=1共渐近线的双曲线系方程可表示为2222by a x -=λ(λ≠0且λ为待定常数)；与椭圆2222by a x +(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λλ---2222b y a x =1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线）.（2）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. （3）双曲线的焦距与实轴长的比e=ac，叫双曲线的离心率. 深化升华 ①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.③焦半经:已知F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线2222by a x -=1的右支上时，|PF 1|=ex 0+a,|PF 2|=ex 0-a;P 在左支上时，则|PF 1|=-（ex 0+a ）,|PF 2|=-（ex 0-a ）.问题·探究问题1 学习双曲线的简单几何性质时应注意什么？探究:（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意： ①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； ②已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2-a 2y 2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上.（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.问题2 给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，是不是可以直接求出双曲线方程？探究:给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是bya x ±=0，则可把双曲线方程表示为2222b y a x -=λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程. 典题·热题例1 求以曲线2x 2+y 2-4x-10=0和y 2=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．思路分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解：∵⎪⎩⎪⎨⎧==+2,-2x y 0,10-4x -y 2x 222∴⎩⎨⎧==2y 3,x 或⎩⎨⎧==-2.y 3,x∴渐近线方程为y=±x 32. 当焦点在x 轴上时，由32=a b 且a=6，得b=4． ∴所求双曲线方程为163622y y -=1. 当焦点在y 轴上时，由32=b a ，且a=6,得b=9． ∴所求双曲线方程为813622x y -=1. 方法归纳 （1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握. （2）为避免上述的“定位”讨论，可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解．例2 求证:双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值.思路分析：可以在双曲线上任意找一点，把这点到两条渐近线的距离表示出来，化简即可看出.证明:设双曲线上任一点P(asecθ,btanθ),∵双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0, ∴点P 到直线bx+ay=0的距离d 1=2222|tan sec ||tan sec |ba ab ba ab ab ++=++θθθθ;点P 到直线bx-ay=0的距离d 2=2222|tan sec |tan sec ba ab ba ab ab +-=+-θθθθ.∴d 1·d 2=22222222222222|tan sec ||tan sec |tan sec |ba b a b a b a b a ab ba ab +=+-=+-=++θθθθθθ. ∴双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为定值.方法归纳 (1)所谓定值,是与P 点在曲线上的位置无关的,为了达到目标明确,可先通过特殊的情况,求出一个常数,猜想其定值.(2)双曲线2222b y a x -=1(a>0,b>0)的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan ,sec b y a x (θ为参数),不作过高要求,在解题中灵活应用,类似于换元法解题,将可达到一元化的目的.例3 在双曲线131222x y -=1的一支上有三个点A （x 1，y 1）、B （x 2,6）、C(x 3,y 3)与焦点F （0,5）的距离成等差数列． (1)求y 1+y 3；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．思路分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)． (1)解：依题意，得B 在双曲线上支上，故A 、B 、C 三点都在双曲线的上支，且上准线的方程为y=512． |AF|，|BF|，|CF|成等差数列，根据双曲线的第二定义，得)512(1)512(1)5126(231-+-=-y e y e e .故y 1+y 3=12． (2)证明:由点A 、C 在双曲线上，故113122121=-x y ,13122323x y -=1． 两式相减，得13))((12))((31313131x x x x y y y y -+--+=0．∴13)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--． ∴AC 的垂直平分线的斜率为3113x x +-．又AC 的中点坐标为（231x x +,6），故AC 的垂直平分线方程为 y-6=)2(133131x x x x x +-+-.当x=0时，y=225，故AC 的垂直平分线过定点（0,225）． 误区警示 本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．方法归纳 关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．例4 已知双曲线b y a x 222-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°思路分析：可以利用△OAF 的面积为22a ，求出a 点的坐标，判断a 、b 的关系可以求出两条渐近线的夹角.2222b y a x -=1（a>0,b>0）的焦点F （c,0）,右准线方程x=c a 2,渐近线y=x a b ，则A(c ab c a ,2),所以S △OAF =21×c×22a c ab =.求得a=b,所以双曲线为等轴双曲线,则两条渐近线夹角为90°.答案：D。
高中数学选择性必修一(人教版)《3.2.2双曲线的简单几何性质》课件
(1)求直线 AB 的方程； (2)求弦 AB 的长．
[解] (1)法一：由题意知直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－2)， 联立双曲线方程 3x2－y2＝3，得 (3－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－4＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k32－k－k2 1＝4，解得 k＝6. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝6(x－2)， 即 6x－y－11＝0.
[方法技巧] 求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定 系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择 方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为xa22－by22＝1(a>0， b>0)； ②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为ay22－xb22＝1(a>0， b>0)；
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( )
(2)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．
()
(3)
双
曲
线
x2 b2
－
y2 a2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
离
心
率
e
＝
c a
(其
中
c＝
a2＋b2)．
()
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．双曲线1x62－y2＝1 的顶点坐标是
2.3.2双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系2)
2
①
6m 2 3(m2 2) AB (1 k ) ( x1 x2 ) - 4 x1 x2 （ 2 ） 1 （ ) 4 6 10 5
B
F2 x
变式:
双曲线中的弦长问题
x2 y2 1 截得的弦长 直线l：y=2x+m被双曲线 3 2 为 ,求m。
A 解：设两交点为： ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 2 2 由 2 x 3 y 6 得 10 x 2 12mx 3(m2 2) 0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离
3
x2 y2 1 的右焦点F2,倾斜角为 例6：如图所示，过双曲线 3 6
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为
y 3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 ( 3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
1
1.图象法 :
根据交点个数判定
Y
相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点 相交:一个交点
第三章3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
A.12
√B.
2 2
C.1
D. 2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0) 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则双曲线 C 的渐近线方
∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－41，故选 C.
12345
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲
线的方程是
√A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
解析 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝21c2＝21×16＝8，故选 A.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程为 y＝±bax＝±23x.
延伸探究 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为xm2－yn2＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长 a＝ m，
所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√A.实轴长为 8 2
√B.虚轴长为 4
C.焦距为 6
√D.离心率为3 4 2
解析 双曲线方程 x2－8y2＝32 化为标准方程为3x22 －y42＝1， 可得 a＝4 2，b＝2，c＝6，
高中数学人教A版选修2-1课件：2-3-2 双曲线的简单几何性质
������2 故所求双曲线的标准方程为 4
������2 综上可知所求双曲线的标准方程为 9
������2 − 9
= 1.
������2 − 4
=1
������2 或 4
������2 − 9
= 1.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
反思双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标 准方程,利用条件列出独立的关于a,b,c的等式,解方程组求出待定 系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关 于参数λ的关系式并确定λ,但应注意λ的符号与双曲线焦点位置的 对应.
2
= 1(������ > 0, ������ > 0).
∵c =a +b ,∴a +b =13.
������ 2
2
2
2
2
2
∵渐近线的斜率为 ������ = 3 或 ������ = 3,
������
������2 + ������ 2 = 13. ������2 + ������ 2 = 13 ������2 = 4, ������2 = 9, ∴ 2 或 2 ������ = 9. ������ = 4 2 ������ ������2 ������2 ������2 故所求双曲线的标准方程为 − = 1 或 − = 1.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条 件的双曲线方程: (1)双曲线过点(3,9 2), 离心率������ = (2)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y=±3x.
双曲线简单几何性质知识点总结说课讲解
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的简单几何性质》知识导引(第2课时)
第二课时问题探究双曲线离心率对其渐近线有何影响?对双曲线有何影响?思路分析:双曲线22a x -22by =1的离心率越大,则由a b =e 2-1知,渐近线y=±a b x 的斜率绝对值越大,进而双曲线的开口越开阔.自学导引1.双曲线的第二定义：动点M 与定点F(c,0)的距离和它到定直线l: x=ca 2的距离的比为常数ac (c ＞a ＞0)，则动点M 的轨迹是 ______.定直线l 叫做 __________ . 2.双曲线的焦半径公式为|PF|=______________ (或________________).答案:1.双曲线 双曲线的准线2.|a±ex 0| |ex 0±a|疑难剖析1.双曲线第二定义的应用利用第二定义计算焦半径或过焦点的弦长应注意向“到准线距离”转化.【例1】 已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0，b ＞0)的焦点坐标是F 1(-c,0)和F 2(c,0),P （x 0,y 0）是双曲线上的任一点，求证:｜PF 1｜=｜a+ex 0｜,｜PF 2｜=｜a-ex 0｜，其中e 是双曲线的离心率.证明:双曲线22a x -22by =1的两焦点为F 1(-c,0)、F 2(c,0)，相应的准线方程分别是x=-c a 2和x=ca 2. ∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率， ∴||||201c a x PF +=e ，||||202ca x PF -=e. 化简得｜PF 1｜=｜a+ex 0｜,｜PF 2｜=｜a-ex 0｜.温馨提示:｜PF 1｜、｜PF 2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，通常称作焦半径.｜PF 1｜=｜a+ex 0｜,｜PF 2｜=｜a-ex 0｜称作焦半径公式.【例2】 在双曲线162x -92y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 解析:设P 点的坐标为(x,y)，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x=±165,∴|516|||1+x PF =|516|||2-x PF . ∵｜PF 1｜=2｜PF 2｜,∴P 在双曲线的右支上. ∴516||22+x PF =516||2-x PF .∴x=548. 把x=548代入方程162x -92y =1得 y=±53119. 所以，P 点的坐标为(548，±53119). 温馨提示:此题也可设P(x 0,y 0),列方程进行解答.【类题演练1】(1)双曲线92x -72y =1的焦点到准线的距离是( ) A.47 B.425 C. 47或425 D. 423或49 (2)如果双曲线642x -362y =1上一点P 到它的右焦点的距离为8，求P 到它的右准线的距离.2.双曲线几何性质的综合应用【例3】 求证:双曲线22a x -22by =1(a>0,b>0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值. 证法一:设P(x 0,y 0)是双曲线上任意一点,由双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,可得P 到bx+ay=0的距离d 1=2200||b a ay bx ++;P 到bx-ay=0的距离d 2=2200||b a ay bx +-.∴d 1d 2=2200||b a ay bx ++·2200||ba ay bx +-=22202202||b a y a x b +-. 又P 在双曲线上,∴220a x +220by =1,即b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2. ∴d 1·d 2=2222b a b a +,即P 到两条渐近线的距离之积为定值. 证法二:设双曲线上任一点P(asec θ,btanθ),∵双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,∴点P 到直线bx+ay=0的距离d 1=22|tan sec |b a ab ab ++θθ =22|tan sec |b a ab ++θθ,点P 到直线bx-ay=0的距离d 2= 22|tan sec |b a ab ab +-θθ=22|tan sec |b a ab +-θθ.∴d 1·d 2=22|tan sec |b a ab ++θθ·22|tan sec |b a ab +-θθ =222222|tan sec |b a b a +-θθ=2222ba b a +. ∴双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为 定值 .温馨提示:(1)所谓定值,是与P 点在曲线上的位置无关,为了达到目标明确,可先通过特殊的情况,求出一个常数,猜想其定值.(2)双曲线22a x -22b y =1(a>0,b>0)的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ为参数),不作过高要求.在解题中灵活应用即可,类似于换元法解题,将可达到一元化的目的.【例4】 过双曲线22a x -22by =1(a>0,b>0)的一个焦点F 作x 轴的垂线,交双曲线的一支于P 、Q 两点,又过F 作一直线平行于双曲线的一条渐近线,交双曲线于R,求证:|PQ|=4|FR|.证明:设F 点的坐标为(c,0),将x=c 代入双曲线方程22a x -22by =1, 得y 2=24a b , ∴|PQ|=ab 22. 过点F(c,0)且与双曲线的渐近线bx+ay=0平行的直线为y=-ab (x-c), 代入双曲线方程,得22a x -22)]([bc x ab -- =1. 解之得x=cc a 222+,代入y=-a b (x-c), 得y=-a b (c c a 222+-c),即y=-acc a b 2)(22-. ∴|FR|2=(x-c)2+y 2=(c c a 222+-c)2+22224)(c a c a b - =22224)(c c a - +22224)(c a c a b -=22224)(c c a -·(1+22ab ) =244c b ·22a c =244a b . 故|FR|=ab 22,∴|PQ|=4|FR|. 温馨提示:证|PQ|等于4|FR|,需用双曲线的基本量a 、b 表示它们.【类题演练2】(1)双曲线2mx 2-my 2=2的一条准线是y=1,求m 的值.(2)双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，求此双曲线的离心率.1.(1)解析:∵a 2=9,b 2=7,∴c=4.∴双曲线的焦点坐标是(±4，0)，准线方程是x=±49. ∴双曲线的焦点到准线的距离为4-49=47 和4+49=425 答案: C (2)解析:双曲线的离心率e=a c =810=45,设所求距离为d,则d 8=45,∴d=532. 2.(1)解析:可知双曲线的焦点在y 轴上,∴m ＜0. 双曲线方程可化为m y 22--mx 12- =1,因此 a 2=-m 2, b 2=-m 1, c 2=-m3. ∵准线是y=1,∴a 2=c,即-m 2=m3-. 解得m=-34. (2)解析:∵2c=4×ca 22,∴c 2=4a 2. ∴e 2=22a c =4,e=2. 拓展迁移【拓展点】 已知双曲线22a x -22by =1的离心率e>1+2,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项? 解析:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d.由双曲线的第二定义,知d PF ||1=||||12PF PF =e,即|PF 2|=e|PF 1|.① 再由双曲线的第一定义,得|PF 2|-|PF 1|=2a.②由①②解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ac . 在△PF 1F 2中,有|PF 1|+|PF 2|≥2c,即12-e a +12-e ac ≥2c.③ 利用e=a c ,由③式得e 2-2e-1≤0. 解得1-2≤e≤1+2.又由e>1,得1<e≤1+2.与已知e>1+2矛盾. 因此符合条件的点P 不存在.。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(4)
设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y-55).
因为直径AA′是实轴，∴a=12. 又B，C两点都在双曲线上，所以 252 ( y 55)2
解方程，得b≈25(负值舍去)
因此所求双曲线的方程为 x 2 y 2 1 144 625
3
2
，
消去y得，3x2-24x+36+λ=0，
d 1 12
242 12(36 ) 8 3
3
3
双曲线方程为 x2 y2 1 4
随堂练习
5、双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则
直线PF的斜率的变化范围是_(_-_∞_，___0_)∪___(1__，__＋_ ∞)
双曲线 y2 a2
x2 b2
1中：
上焦点F2 (0，c)，对应的上准线方程是y
a2 c
下焦点F1 (0，
c)，对应的下准线方程是y
a2 c
y
F1 o F2
a2 y
cx
a2 y
c
2、直线与双曲线的位置关系 1、复习：椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
⇕ ∆<0 判断方法： (1)联立方程组 (2)消去一个未知数
3、两条；
4、D(0，0).
4、零条.
答案又是怎样的?
例题解析
直线与双曲线问题：
3、过双曲线 ，求|AB|。
x2 3
y2 6
1的右焦点F2倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点
分析：求弦长问题有两种方法：
法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长；
高二数学双曲线的几何性质人教版知识精讲
高二数学双曲线的几何性质人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线的几何性质二.1. 2.三.[例1] N （1）18021=∠+∠N MA N MA （2）N A MA 21⊥，N A MA 12⊥又x NA x NA 21,∠∠均为锐角 ∴ x NA x NA 2190∠-=∠即9021=∠+∠x NA x NA根据对称性，∴18021=∠+∠M NA M NA （2）仿（1）可求得),(22a b b M --∴ 1222221-=--⋅+--=⋅ab a b a b a b k k N A MA ∴ N A MA 21⊥，同理可证N A MA 12⊥[例2] 已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的焦点坐标是)0,(1c F -和)0,(2c F ，),(00y x P 是双曲线上的任一点，求证：||||01ex a PF +=，||||02ex a PF -=，其中e 是双曲线的离心率。
证明：双曲线12222=-by a x 的两焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，相应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=。
∵ 双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率∴ e c a x PF =+||||201，e ca x PF =-||||202 化简得||||01ex a PF +=，||||02ex a PF -=[例3] 在双曲线191622=-y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
解：设P 点的坐标为),(y x ，1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点。
∵ 双曲线的准线方程为516±=x ∴ |516||||516|||21-=+x PF x PF ∵ ||2||21PF PF = ∴ P 在双曲线的右支上∴ 516||516||222-=+x PF x PF ∴ 548=x 把548=x 代入方程191622=-y x 得 11953±=y 所以P 点的坐标为)11953,548(±[例4] 已知双曲线方程为122=-y x ，双曲线左支上一点),(b a P 到直线x y =的距离是2，求b a +。
人教版高中数学选修2-12双曲线的简单几何性质(共54张PPT)教育课件
O
x
A1
F1
3. 焦半径公式
※双曲线
x2 y2 a2 b2
1
(a0,b0)，
y
F1 , F 2 是其左右焦点, 则 重在理解， F1 A1 O A2 F2 x
MF1 MF2
aex0 aex0
关键用第 二定义。
※ 双曲线
y2 a2
x2 b2
1(a>0,b>0)，
F
1
,
F
是其下上焦点,
2
则
y
F2 A2
双曲线的第二定义
1. 第二定义：当点M到一个定点的距离和它到定直
线的距离的比是常数 e c (e 1) 时，这个点的轨
迹是双曲线。
a
定点为双曲线的焦点，定直线为双曲线相对应
于此焦点的准线，常数e为双曲线的离心率。
2. 准线方程：
两准线间的距离是 2 a 2
c
y
a2
x
c
y
F2
a2 yA2cF1 A1 O A2 F2 x
复习回顾
1.双曲线的定义是怎样的？ 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x2 y2 1 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1
3. 椭圆的简单几何性质有哪些？
①范围; ②对称性; ③顶点;④离心率 等。
l双曲线是否具有类似的性质呢?
探究新知
1.范围：
横坐标：x≤－a或x≥a；
x＝±a
y
纵坐标：y∈R.
F1 o
的距离的比是常数 c (c a o) ，求点M的轨迹。
c
yl
a
.F1
o
.M
解：设d是点P到直线的距离．根 据题意得
数学人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质
1.
49 25
y2 x2
1. ∴a 5,b 7,c a2 b2 25 49 74.
解：(4)原方程变形为
25 49
2
2
2
2
2
∴实轴长为 2a 10 ，虚轴长为 2b 14 .
顶点坐标为(0, 5),焦点坐标为(0, 74).
c
74
离心率为 e
b
A1
追问2 渐近线对双曲线的开口有什么影响?
渐近线与实轴的夹角越大，双曲线的开口也就越大
B2
A2
o
x
a
B1
b
y x
a
y
b
a
5.渐近线
追问3 渐近线对画出双曲线简图有什么指导意义？
y
b
y x.
a
bHale Waihona Puke y x.a这个矩形的对角线，也就
是渐近线，可以比较快捷、较
为准确地画出双曲线的图形。
y2 x2
∴所求双曲线的标准方程为
1.
36 28
3. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是F1 ( 6,0),求双曲线的
标准方程和渐近线方程.
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2 2 1(a 0, b 0).
a
b
由题意可知a b,c 6.
∴a 2 a 2 36,a 2 18.
(a,0)
b
y x
a
c
e
a
关于坐标
轴和原点
都对称
(0,-a)
(0, a)
双曲线
y
x2 y 2
2 1
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双曲线的简单几何性质一．基本概念1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c =⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122122PF F F PF S b ∆∠=⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中22b a c +=a PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22by =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ）4、双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a b y ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短， 当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x 轴的弦长）为22ab 。
⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。
⑿注意两类特殊的双曲线一类是等轴双曲线：其主要性质有：a b =，离心率e =一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。
二．例题选讲【例1】若00(,)M x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右支上时，证明：10||MF ex a =+，20||MF ex a =-变式1：若00(,)M x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左支上时，证明：10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--变式2：（2010江西理）点00()A x y ，在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = 解：a==6,re d=3r d ⇒=,200023()2a x x x c =-⇒=变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3， 则M 到双曲线右焦点的距离是__________ 解：422MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。
变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 的直线交C于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) A ．65 B. 75C. 58D. 95 解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB ,知直线AB 的倾斜角16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+. 又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= .【例2】双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，求证：（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co θ∆=.变式：（2010全国1文）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8解1：由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()()2222121212121212222221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =4解2：由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot 1cot 3sin 6022222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====，12||||PF PF =4 变式2：（2010全国1理）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则P 到x 轴的距离为 (A)32 (B)62(C) 3 (D) 6【例3】设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，证明：sin (sin sin )ce aαγβ==±-.【例4】证明：与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ变式1：证明：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x变式2：根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）分析：设双曲线方程为22a x －22by =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22b y =1，由题意得243(3)19b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得a 2=49，b 2=4 所以双曲线的方程为492x －42y =1（2）设双曲线方程为22a x －22b y =1，由题意易求c32，2），∴22)23(a －24b=1 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8，故所求双曲线的方程为122x －82y =1解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y 41（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系， 并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）【例5】在等轴双曲线中，证明：（1）其离心率e =（2）两条渐近线互相垂直；（3）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
变式：双曲线12222=-by a x 与双曲线12222=-a x b y 互为共轭双曲线，证明：（1）共轭双曲线有共同的渐近线； （2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.。