【高考数学经典题型】线面角最大值的探究与推广(一题多解)

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2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题卷(含答案与解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。

专题8：线面角高考真题赏析(理数)(原卷版)

专题8：线面角高考真题赏析（理数）（原卷版） 1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．3．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．4．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'=. （Ⅰ）证明:D'H⊥平面ABCD ．（Ⅱ）求二面角B-D'A-C 的正弦值.8．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（Ⅰ）证明：; （Ⅱ）若1AC AB ，,,求二面角的余弦值.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．10．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.12．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．。

6-2 微专题-线面角(对口招生、高职考(单考单招)数学总复习)

【解析】斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形. 如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角.
因为 AB＝2BO，所以 cos∠ABO＝BAOB＝21，
所以∠ABO＝60°. 【答案】：A
微专题——线面角
【跟踪练习4】.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为（）
【课堂自测】 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面 ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为（）
【知识要点】
求斜线和平面所成的角的步骤 (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算. (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角. (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
微专题——线面角
【真题+三年模拟】
1.（2023年浙江省职教高考研究联合体第一次调研考试）在正方体 ABCD ABCD
中，AC与平面ABCD 所成角的余弦值为
【解析】连接AC，易得 ACA 就是 AC与平面ABCD 所成的线面角。
设 AB a,则AC 2a, AC AA2 AC2 3a
所以 cos ACA AC 2a 6 【答案】 6
【解析】因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC和平面ABC所成的角. 在 Rt△PAC 中，因为 AC＝12AB＝12PA，所以 tan∠PCA＝APAC＝2. 【答案】：2
微专题——线面角
【跟踪练习3】若斜线段AB的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是（）A.60° B.45° C.30° D.120°

2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷 (554)

一、单选题1. 在三棱锥中，所有棱的长均为，点在棱上，满足，点在棱上运动，设直线与平面所成角为，则的最小值为（）A．B．C．D．2. 已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3. 在中，是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4. 如图，的一内角，,,边上的中垂线交、分别于、两点，则值为A．B．C．D．5.已知是虚数单位，若且，则（）A．B．C．D．6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7. 已知是虚数单位，且复数，且是实数，则实数的值为A．6B．C．0D．8. 已知椭圆C：的左､右焦点分别是､，过的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，则四边形面积的最大值为（）A．1B．C．D．9. 一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（）A．B．C．D．10. 已知命题：，，命题：，，则下列判断正确的是A．是真命题B．是真命题C．是真命题D．是真命题11. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题12. 已知函数，设，，，则A．B．C．D．13. 已知，则的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．714.已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（）A．B．C．D．15. 已知函数，则（）A ．1B．C ．2D ．416. 设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①，，则； ②，，，则；③，，，则；④，，，则．A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④17. 已知函数，则下列结论正确的是（）A．的图象关于点对称B．在上的值域为C ．若，则，D ．将的图象向右平移个单位长度得的图象18. 函数的部分图象如图所示，则（）A．B．的图象的对称轴方程为C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象D．的单调递减区间为19. 已知，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．20.已知函数，且对任意都有，则以下正确的有（）A．的最小正周期为B ．在上单调递减三、填空题C ．是的一个零点D．21. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A ．事件与事件互斥B．事件发生的概率为C ．事件与事件相互独立D．事件发生的概率为122. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C ．点是的对称中心D．23. 已知为椭圆的左、右焦点,为平面上一点,若,则（）A．当为上一点时,的面积为9B．当为上一点时,的值可以为C ．当满足条件的点均在内部时,则的离心率小于D ．当点在的外部时,在上必存在点,使得24. 下列化简正确的是（）A．B．C．D．25. 某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________.26. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， ACB ＝90 ，D 为AA 1的中点.设四面体C 1—B 1CD 的体积为V 1，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V 2，则的值为_______.27. 从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则________．四、解答题五、解答题28.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.29.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.30.设，.（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；（3）求证：.31. 化简：．32. ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%.(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT 的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i ）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；（ii ）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.33. 化简（I）（Ⅱ）．34. 鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x (单位：箱)在的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数x客户数10105205(1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元()销售量可增加1000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值.35. 为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．理科：79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据的方差：，其中为样本平均数)36. 某班5名学生的数学和物理成绩如下：数学x（分）9386837266物理y（分）8865726560(1)画出散点图，判断y与x之间是否具有相关关系；(2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程（结果保留两位小数）；(3)平均地看，该班某名同学的数学成绩是60分，那么物理成绩大约是多少分？（参考公式：）37. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点．（1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求点到该平面的距离．38. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00六、解答题水深/米4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.54.5（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？参考数据：39. 2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.附：临界值表2.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式：，.40.如图，在正方体中，E 是的中点.(1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．41. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点.七、解答题(1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面.(2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.42. 已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.43. 已知数列是公比的等比数列，且，，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，，记，求证：.44. 已知函数，其中.（1）若不等式的解集为，求实数，的值；（2）在（1）的条件下，若，，且，求证：.45.如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，连接，作于点于点.(1)求证：是二面角的平面角；(2)若，求二面角的正弦值.46. 2023年3月11日，丁俊晖在泰国巴吞他尼府举行的2023斯诺克6红球世锦赛决赛中以8:6战胜泰国球员塔猜亚·乌努，第二次夺得这项赛事冠军．丁俊晖认为“中式台球更易在职业和业余之间找到平衡，更容易让台球运动在全中国乃至全世界流行起来．”为了促进中国台球运动的发展，某体育公司面向社会推出“台球培训”活动，由以往培训经验测算这项“台球培训”成本为800元/人，为了确定其培训价格，调查了对这项“台球培训”有意向培训的人员预期价位，并将收集的100名有意向培训的人员预期价位整理如下：有意向培训人员预期价位（元/人）900100011001200人数10205020假设当且仅当这项“台球培训”的培训价格小于或等于某位有意向培训人员的预期价位时，该有意向培训的人员就会参加培训．设这项“台球培训”价格为x （单位：元/人），，且每位有意向培训的人员报名参加培训活动相互独立．用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率．(1)若，已知某阶段有4名有意向培训的人员询价，为这一时段该项“台球培训”的参加人数，试求的分布列和数学期望；(2)假设共有名有意向培训的人员，设该公司组织“台球培训”活动所得总利润为（单位：元），当这项培训活动的销售价格x 定为多少时，的数学期望达到最大值？47. 北京时间2021年7月25日，2020东京奥运会射箭女子团体决赛在梦之岛公园射箭场结束．决赛规则为每局比赛双方各派一名队员射击6次，6次总分高的一方获得2分，若总分持平，双方各得1分，先得6分的一方获得比赛的胜利．韩国队提前一局结束比赛，以6-0完胜俄罗斯奥委会队，自该项目1988年进入奥运会大家庭以来，韩国队包揽了全部9枚金牌．在本届赛事中，韩国代表团迄今收获的两金均来于射箭项目，其中20岁的安山有望在东京奥运会上成为三冠王，俄罗斯奥委会队连续两届摘得该项目银牌，德国队获得季军，决赛的成绩（单位：环）统计数据如图所示．(1)分别求韩国队、俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数；(2)比较韩国队、俄罗斯奥委会队第2局比赛的平均水平和发挥的稳定性；(3)从韩国队三局比赛成绩（每一局的总得分）中随机抽取一个，记为x，从俄罗斯奥委会队三局比赛成绩（每一局的总得分）中随机抽取一个，记为y，设Z＝x-y，求Z的数学期望．48. 某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：x102030406080y(1)根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）(2)某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为，，，，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）附：，，在线性回归直线方程中，．49. 某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A投资金额x（百万元）23456所获利润y（百万元）0.20.20.40.80.9(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，求出回归方程，并用样本相关系数加以说明y与x相关性的强弱（一般地，样本相关系数，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；(2)该公司计划用7百万元对A，B两个项目进行投资，若公司利用（1）中线性回归模型对项目A投资所获得的利润进行预测，对项目B投资百万元所获得的利润y近似满足：，求A，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大.参考公式：，.样本相关系数.参考数据：统计数据表中，，.50. 甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4．记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，(1)写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；(2)写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．51. 魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？。

高考题--线面角

高考题-----线面角1、三棱锥S ABC -，ABC ∆是等边三角形边长为2，,SA ABC ⊥面3,SA =则S 到BC 的距离是，直线AB 与面SBC 所成角的正弦值。

2、四棱锥,P ABCD - ,PD ABCD AD CD ⊥⊥面，DB 平分,DAC ∠ E 为PC的中点，1,AD CD DB === （1）求证：//PA BDE 面（2）求证：AC PDB ⊥面（3）求直线BC 与面PDB 所成角的正切值13⎛⎫ ⎪⎝⎭ACBSO E DCA BP3、,//,DC ABC EB DC ⊥面 22,AC BC EB DC ====0120,ACB ∠=P 、Q 分别为AE 、AB 的中点。

（1）求证：//PQ ACD 面（2）求AD 与面ABE所成角的正弦值⎝⎭4、四棱锥,P ABCD -ABCD 为矩形，,1,AD PD BC ⊥= 0120,PDC ∠= 2,PD CD ==（提示：01cos1202=-）（1）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值。

（2）求证：面PDC ⊥面ABCD（3）求直线PB 与面ABCD 所成角的正弦值D C ABPQP C BDEA5、四棱锥,S ABCD -//,,AB CD BC CD ⊥侧面SAB 是等边三角形，2,1,AB BC CD SD ====（1）求证：SD SAB ⊥面（2）求AD 与面SDB6、四棱锥,P ABCD -ABCD 是平行四边形，045,1,ADC AD AC ∠=== O 是AC 中点，PO=2PO ABCD M PD ⊥面，，为中点，（1）求证：//PB ACM 面（2）求证：AD PAC ⊥面（3）求AM 与面ABCD7、 PO 垂直于圆O所在平面，PO AB 为直径，AB=2，点C 在圆上，030,CAB D AC ∠=为中点，（1）求证：AC POD ⊥面（2）求直线OC 与面PAC所成角的正弦值3DC ABS MO DCABP AP。

李胜红一道立体几何题探究线面角的多种解法

一道立体几何题探究线面角的多种解法河北省大城县第一中学李胜红【摘要】在高中数学的教学过程中，对于同一问题，由于思考的角度不同，解题的思路和方法多种多样。

在课堂上为解答同一个问题往往需要罗列多种方法，如果每一种方法借助一道例题，浪费了许多读题、理解题意的时间，增加了学生的负担。

我认为要教好数学，还是要从有限的例题和习题上下工夫，采取一题多解的形式进行教学。

本文以2011年全国高考卷立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法，通过一题多解，吸引学生学习数学的兴趣，即解决了线面角的求法，又提高了学生的数学思维能力。

【关键词】立体几何；线面角；一题多解；法向量。

【正文】在高中数学的教学过程中，我认为要教好数学，还是要从有限的例题和习题上下工夫，采取一题多解的形式进行教学。

对一道题采用不同的方法、对一类问题的多种解法采用同一道例题，这样不仅节省了时间、减轻了学生负担、教授了解题技巧，更重要的是通过不同的思路去引导学生讲述各自解题思路及算法，沟通解与解之间的联系，促进思维发展，提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣。

在高中数学中，立体几何部分一直都占有很高的位置，尤其是线面平行、线面垂直的证明，线线角、线面角、面面角的计算都是历年高考的重点。

作为一位高中数学一线教师，我对2011年全国高考卷立体几何题大加赞赏，简简单单的一个四棱锥，却能在解题中变幻出多种方法，多角度的考查学生对立体几何知识的掌握，及空间向量在解决立体几何问题中的应用，有助于克服学生的定势思维,发展学生的多向思维,拓宽学生的解题思路。

在讲授如何求解线面角的时候，我以此题为例，从三个方面探究线面角的求法。

线面角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

(19)如图1，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形。

AB=BC=2，CD=SD=1。

（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的大小。

2012届高考数学一轮精品10.8线面角与线线角(考点疏理+典型例题+练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品：10.8线面角与线线角（考点疏理+典型例题+练习题和解析）10.8线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。

【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1B C 成60角答案：D 。

解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为2。

（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为（）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个答案：B 。

解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。

（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。

解析将BC 1平移到E 1F 即可。

（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。

答案：AC ⊥BD 。

解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.答案：16或64。

解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。

专题7：线面角高考真题赏析(理数)(原卷版)

专题7:线面角高考真题赏析（理科）（原卷版）1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.2．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.3．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．4．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）如图，四棱锥P−ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明MN ∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -中, =16AB ， =10BC ， 18AA =，点 E ， F 分别在 11A B ， 11C D 上， 114A E D F ==．过点 E ， F 的平面 α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF 与平面 α所成角的正弦值．6．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．7．江苏省考试数学如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AP AD ==.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点,M N 分别在,AB PC 上，且MN 平面PCD ，试确定点,M N 的位置8．2020年浙江省高考数学试卷如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．。

2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)

专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。

其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。

方法介绍一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ，则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值（2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ．（1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1）求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模）（1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．（广东省二模T19）题型五转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、题型六投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

高中数学黄金解题模板专题空间中线线角线面角的求法(解析版)

【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一空间中线线角的求法方法一平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步得出结论.例1 在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（）C 1D 1B 1A 1N MD CB AA ．30°B ．60°C ．90°D ．45° 【答案】B.考点：异面直线所成角. 点评：异面直线所成角的【变式演练1】如图，四边形ABCD 是矩形，沿直线BD 将ABD ∆翻折成'A BD ∆，异面直线CD 与'A D 所成的角为α, 则（）A ．'A CA α<∠B ．'A CA α>∠ C.'A CD α<∠ D ．'A CD α>∠【答案】B 【解析】试题分析：将DC 平移到AB ,则由异面直线所成角的定义可知AB A /∠就是异面直线所成角,则CA A AB A //∠>∠,即'A CA α>∠,故应选B. 考点：异面直线所成角的定义及运用.【变式演练2】在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BC 与1CD 所成角的余弦值为 A ．21-B ．22C ．23D ．21【答案】D考点：异面直线所成角【变式演练3】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（） A ．23- B ．23C ．5D ．53【答案】B 【解析】考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.方法二空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步再利用cos a ba bθ→→→→⋅=即可得出结论.例2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM ；（2）当2BM =11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值【答案】（1）详见解析（2）63【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.（II ）1,AC BC CC ABC ⊥⊥Q 平面,故如图建立空间直角坐标系1(033),(300),(030),(000)B A B C ，，，，，，，，,32BA =13BM BA u u u u r u u u r =1(1,1,0),(0,3,0)(1,1,0)(1,2,0)3BM BA CM CB BM u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r==-=+=+-=，令平面1B MC 的法向量为(,,)n x y z =r ，由10n CB n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r ，得020y z x y +=⎧⎨+=⎩ 设1z =所以(2,1,1)n r=-,11(3,0,0)C A CA ==u u u u r u u u r ，设直线11C A 与平面1B MC 所成角为q1111||66sin 3||||3411C A n C A n u u u u r r u u u u u r r q ×===++故当2BM =时，直线11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值为63. 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.例3、如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．【答案】（1）详见解析（2）6π【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得//AB DE ，从而有//AB 平面PDE ．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.则00n AB n AF ⎧=⎨=⎩u u u v g u u u v g ，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1z =，则1y =-，所以()0,1,1n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin cos ,2n BC n BC n BCα===u u u vu u u v g u u u v ，因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π．考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练4】已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为______． 3考点：异面直线及其所成的角【变式演练5】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．3 B 2 C 3 D 2 【答案】D 【解析】考点：线面角.类型二空间中线面角的求法方法一垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步得出结论.例3如图，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .GFEDCBA（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；15【解析】试题分析：（Ⅰ）要证AF 与平面BEG 垂直，只要证AF 与平面内两条相交直线垂直，由已知GF 垂直于底面ABCD ，有GF 垂直AF ，另外可以在矩形BACD 中证明BE 垂直于AC （可用相似三角形证明角相等）；（Ⅱ）求直线EG 与平面所成角的正弦，可用体积法求出E 到平面ABG 的距离d ，则d EG 就是所求正弦值，而求棱锥E ABG -的体积可通过13G ABE ABE V S GF -∆=⋅来求得．证法2：（坐标法）证明1-=⋅BE AC K K ，得BE AC ⊥，往下同证法1．证法3：（向量法）以AB AD ,为基底， ∵AB AD BE AB AD AC -=+=1,，0=⋅ ∴)1()(AD -⋅+=⋅2221AB AD -=01221=-⨯= ∴BE AC ⊥，往下同证法1．考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角．【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角. 【变式演练6】已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC V 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（）A ．13B 2C 3D ．23【答案】B考点:直线与平面所成的角．【变式演练7】在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（）A ．22B ．33C ．32D ．63【答案】D考点：1．平面与平面垂直；2．直线与平面所成的角．方法二空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步再利用a b sin a b θ→→→→⋅=即可得出结论. 例4 正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，12AA =AB ，则CD 与平面1DC B 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A考点：直线与平面所成的角.点评：空间向量法解直线与平面所成的角的关键是正确的写出各点的空间直角坐标和平面的法向量的坐标形式.【变式演练8】已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，M 为PC 上一点，且BP ⊥平面ADM .（1）求PM 的长度；（2）求MD 与平面ABP 所成角的余弦值.【答案】（1）56（2）35cos =θ 【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度（2）求线面角，也可利用空间向量，即首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，根据向量数量积求直线与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求线面角的正弦值，再根据诱导公式求余弦值。

第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】

线面角的求解【方法总结】1、线面角的范围：[0°,90°]2、线面角求法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；找线在面外的一点B，过点B向平面α做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：1）线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线；2）题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；3）过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面α（这两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B且与α垂直的平面）。

3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。

【巩固练习】1、已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2 B.3 C.12D.13【答案】A【解析】易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠== .2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．B．C．D．[来源网ZXXK]【答案】C【解析】如图所示，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C.3、如图，在三棱锥P-ABC中，,PA AB⊥PC BC⊥，,AB BC⊥22,AB BC==5PC=，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.【答案】45︒【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形．由BC CD⊥，BC PC⊥，PC CD C=，∴BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴BC PD⊥，同理可得AB PD⊥，又AB BC B⋂=，∴PD⊥平面11ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,5CD AB PC ===得1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（）A ．23B ．13C ．33D ．23【答案】A【解析】作1A H ⊥面ABC 于点H ,延长11B A 到D ,延长BA 到E 使得111B A A D =，,BA AE =如图则有11A EAB ，又因为1A O ⊥面ABC ，故1A EO ∠为所求角，且111sin AO A EO A E∠=已知底面为正三角形，且O为底面中点，解三角形可知：111336,333AO AB AA A O AA==∴=又在AEO∆中运用余弦定理，150EAO∠=︒则()()22212cos3EO EA AO EA AO EAO AB=+-⋅∠=故由勾股定理可得22113A E AO EO AB=+=则1623sin33A EO∠==故选A5、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且13AD DB=，点C为圆O上一点，且3BC AC=.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角．【答案】（1）见解析；（2）301旗开得胜1【解析】(1)证明：连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB. 由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO. 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面PAB 所成的角，又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝3. 在Rt △PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3，所以3tan 3CD CPD PD ∠==，∠CPD ＝30°，即直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.16、如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.1又,AB BC⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）高一学生可以用等体积法求解。

2023_年全国乙卷(理科)第19_题的多解探究

２０２３年全国乙卷(理科)第１９题的多解探究雷㊀誉(湖北省咸宁市青龙山高级中学ꎬ湖北咸宁４３７０００)摘㊀要:２０２３年全国乙卷的立体几何解答题考查得非常全面ꎬ文章从三个思路对该题作了多种解答ꎬ帮助学生加深对立体几何中的位置关系的证明㊁空间角的计算问题的理解和认识ꎬ进一步体会几何法㊁坐标法和基底法在立体几何中的应用.关键词:几何法ꎻ坐标法ꎻ基底法ꎻ向量运算中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－００９１－０４收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:雷誉(１９９１.１２－)ꎬ女ꎬ湖北省咸宁人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀立体几何中的证明和计算问题是高中数学的热点和重点内容ꎬ具有一定的难度.本文以２０２３年全国乙卷的立体几何大题为例ꎬ从不同解题思路出发ꎬ拓展求解策略和思维角度ꎬ帮助学生掌握常见的解决立体几何问题的三大方法:几何法㊁坐标向量法和基底向量法ꎬ使其加深认识和提高效率.１真题再现题目㊀(２０２３年全国乙卷理科第１９题)如图１ꎬ在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ꎬＡＢʅＢＣꎬＡＢ＝２ꎬＢＣ＝２２ꎬＰＢ＝ＰＣ＝６ꎬＢＰꎬＡＰꎬＢＣ的中点分别为ＤꎬＥꎬＯꎬＡＤ＝５ＤＯꎬ点Ｆ在ＡＣ上ꎬＢＦʅＡＯ.图１㊀三棱锥Ｐ－ＡＢＣ(１)证明:ＥＦʊ平面ＡＤＯꎻ(２)证明:平面ＡＤＯʅ平面ＢＥＦꎻ(３)求二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的正弦值.２试题解析思路１㊀证明立体几何中的平行和垂直关系的问题时ꎬ需要借助平面几何图形分析出线线平行或垂直关系.计算立体几何空间角的问题ꎬ需要运用几何性质作图找到所求的夹角ꎬ然后利用解三角形知识求解问题.解法１㊀(几何法)(１)如图２ꎬ过点Ａ作ＡＢ的垂线ＡＱꎬ延长ＢＦ交ＡＱ于点Ｑꎬ易得øＢＯＡ＝øＡＢＱ.㊀图２㊀平面ＡＢＣ的几何法又ｔａｎøＢＯＡ＝２ꎬｔａｎøＡＢＱ＝ＡＱ２＝２ꎬ所以ＡＱ＝２２.所以ＡＱＢＣ.所以Ｆ为ＡＣ的中点.由ＤꎬＥꎬＯꎬＦ分别为ＰＢꎬＰＡꎬＢＣꎬＡＣ的中点ꎬ于是ＥＦʊ１２ＰＣʊＤＯ.又ＥＦ⊄平面ＡＤＯꎬＤＯ⊂平面ＡＤＯꎬ所以ＥＦʊ平面ＡＤＯ.(２)易得ＡＯ＝６ꎬＤＯ＝６２ꎬＡＤ＝５ＤＯ＝３０２.所以ＯＤ２＋ＡＯ２＝ＡＤ２.则ＯＤʅＡＯ.即ＥＦʅＡＯ.又ＡＯʅＢＦꎬＢＦɘＥＦ＝ＦꎬＢＦꎬＥＦ⊂平面ＢＥＦꎬ则有ＡＯʅ平面ＢＥＦ.又ＡＯ⊂平面ＡＤＯꎬ所以平面ＡＤＯʅ平面ＢＥＦ. (３)记ＡＯꎬＢＦ交点为ＧꎬＡＤꎬＢＥ交点为Ｈꎬ易得Ｇ为әＡＢＣ的重心ꎬＨ为әＰＡＢ的重心.所以ＡＧ＝２３ＡＯꎬＡＨ＝２３ＡＤ.则ＧＨʊＯＤ.又ＯＤʅＡＯꎬ则ＧＨʅＡＯ.又ＧＦʅＡＯꎬ所以øＨＧＦ即为二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的平面角或øＥＦＢ为二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的平面角的补角.由ｃｏｓøＡＢＤ＝４＋３/２－１５/２２ˑ２ˑ６/２＝４＋６－ＰＡ２２ˑ２ˑ６ꎬ解得ＰＡ＝１４.同理得ＢＥ＝６２.在әＢＧＨ中ꎬＢＧ＝２３ＢＦ＝２３３ꎬＢＨ＝２３ＢＥ＝６３ꎬＧＨ＝２３ＤＯ＝６３ꎬ所以ｃｏｓøＢＧＨ＝４/３２ˑ(２３/３)ˑ(６/３)＝２２.则øＢＧＨ＝π４ꎬøＨＧＦ＝３π４ꎬｓｉｎøＨＧＦ＝２２.所以二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的正弦值为２２.点评㊀几何法的难点是抓住已知条件找出几何关系ꎬ前两问是为了第三问作出二面角的平面角做准备.在破解立体几何问题的过程中ꎬ需要关注空间模型的几何特性ꎬ包括点线关系㊁线线关系㊁线面关系等.从平面视角可确定两线的特殊关系ꎬ为空间关系的探索做好基础[１].思路２㊀首先根据题目条件分析出三条两两互相垂直的直线ꎬ建立合适的空间直角坐标系ꎬ运用坐标法解决立体几何的证明和计算问题.解法２㊀(１)同解法１.(２)易得ＯＦʅＢＣꎬＯＰʅＢＣꎬＯＦɘＯＰ＝Ｏꎬ则ＢＣʅ面ＰＯＦ.同解法１知ＰＡ＝１４.在әＰＡＣ中ꎬｃｏｓøＰＡＣ＝１４＋１２－６２ˑ１４ˑ２３＝１４＋３－ＰＦ２２ˑ１４ˑ３ꎬ解得ＰＦ＝７.在әＰＯＦ中ꎬｃｏｓøＰＯＦ＝４＋１－７２ˑ２＝－１２ꎬ则øＰＯＦ＝２π３.如图３ꎬ以Ｏ为坐标原点ꎬＯＦꎬＯＣ所在的直线为ｘꎬｙ轴ꎬ在面ＰＯＦ中过点Ｏ作ＯＦ的垂线为ｚ轴ꎬＡ(２ꎬ－２ꎬ０)ꎬＦ(１ꎬ０ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ－２ꎬ０)ꎬＰ(－１ꎬ０ꎬ３)ꎬＤ(－１２ꎬ－２２ꎬ３２)ꎬＥ(１２ꎬ－２２ꎬ３２)ꎬ则ＯＡң＝(２ꎬ－２ꎬ０)ꎬＯＤң＝(－１２ꎬ－２２ꎬ３２)ꎬＢＦң＝(１ꎬ２ꎬ０)ꎬＥＦң＝(１２ꎬ２２ꎬ－３２).设面ＡＤＯ的法向量ｎ＝(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬ则２ｘ１－２ｙ１＝０ꎬ－ｘ１－２ｙ１＋３ｚ１＝０.{所以ｎ＝(１ꎬ２ꎬ３).设面ＢＥＦ的法向量ｍ＝(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)ꎬ则ｘ２＋２ｙ２＝０ꎬｘ２＋２ｙ２－３ｚ１＝０.{所以ｎ＝(２ꎬ－１ꎬ０).则ｍｎ＝２－２＝０.所以平面ＡＤＯʅ平面ＢＥＦ.图３㊀以Ｏ为坐标原点建系㊀图４㊀以Ｂ为坐标原点建系(３)易得面ＡＯＣ的法向量ｎᶄ＝(０ꎬ０ꎬ１)ꎬ则ｃｏｓ(ｎꎬｎᶄ)＝３６＝２２.所以ｓｉｎ(ｎꎬｎᶄ)＝１－１２＝２２.即二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的正弦值为２２.解法３㊀(１)如图４ꎬ以Ｂ为坐标原点ꎬＢＡꎬＢＣ所在的直线为ｘꎬｙ轴ꎬ过点Ｂ作面ＡＢＣ的垂线为ｚ轴ꎬＡ(２ꎬ０ꎬ０)ꎬＣ(０ꎬ２２ꎬ０)ꎬＯ(０ꎬ２ꎬ０)ꎬ设Ｆ(２－ａꎬ２ａꎬ０)ꎬ则ＯＡң＝(２ꎬ－２ꎬ０)ꎬＢＦң＝(２－ａꎬ２ａꎬ０).则ＯＡң ＢＦң＝４－４ａ＝０ꎬ得ａ＝１.所以Ｆ为ＡＣ的中点.于是ＥＦʊ１２ＰＣʊＯＤ.所以ＥＦʊ平面ＡＤＯ.(２)设Ｄ(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ则ＢＤ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝３２ꎬＯＤ２＝ｘ２＋(ｙ－２)２＋ｚ２＝３２ꎬＡＤ２＝(ｘ－２)２＋ｙ２＋ｚ２＝１５２ꎬìîíïïïïïïï解得ｘ＝－１２ꎬｙ＝２２ꎬｚ＝３２.所以Ｄ(－１２ꎬ２２ꎬ３２)ꎬＰ(－１ꎬ２ꎬ３)ꎬＥ(１２ꎬ２２ꎬ３２)ꎬＦ(１ꎬ２ꎬ０)ꎬＯＡң＝(２ꎬ－２ꎬ０)ꎬＯＤң＝(－１２ꎬ－２２ꎬ３２)ꎬ设面ＡＤＯ的法向量ｎ＝(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬ则２ｘ１－２ｙ１＝０ꎬ－ｘ１－２ｙ１＋３ｚ１＝０ꎬ{得ｎ＝(１ꎬ２ꎬ３).设面ＢＥＦ的法向量ｍ＝(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)ꎬ则ｘ２＋２ｙ２＝０ꎬｘ２＋２ｙ２－３ｚ１＝０.{所以ｍ＝(２ꎬ－１ꎬ０).则ｍｎ＝２－２＝０.所以平面ＡＤＯʅ平面ＢＥＦ.(３)同解法２.点评㊀解法２是以Ｏ为坐标原点ꎬ理由是ＯＣʅ面ＰＯＦꎬ且øＰＯＦ＝２π３ꎬ各点坐标均可表示出来ꎻ解法３是以Ｂ为坐标原点ꎬ理由是ＢＡʅＢＣꎬ而点Ｄ坐标是通过三条线段长列方程组求出的.思路３㊀若三条两两互相垂直的直线不容易找到时ꎬ可以选取长度和夹角已知的三个基向量为一组基底ꎬ运用向量运算解决立体几何的证明和计算问题.解法４㊀(１)连接ＤＥꎬＯＦꎬ设ＡＦ＝ｔＡＣꎬ则ＢＦң＝(１－ｔ)ＢＡң＋ｔＢＣңꎬＡＯң＝－ＢＡң＋１２ＢＣң.则ＢＦң ＡＯң＝(ｔ－１)｜ＢＡң｜２＋１２ｔ｜ＢＣң｜２＝４(ｔ－１)＋４ｔ＝０ꎬ解得ｔ＝１２.则Ｆ为ＡＣ的中点.于是ＥＦʊ１２ＰＣʊＯＤ.所以ＥＦʊ平面ＡＤＯ.(２)易得ＡＯ＝６ꎬＤＯ＝６２ꎬＡＤ＝５ＤＯ＝３０２.所以ＯＤ２＋ＡＯ２＝ＡＤ２.则ＯＤʅＡＯꎬ即ＥＦʅＡＯ.又ＡＯʅＢＦꎬＢＦɘＥＦ＝ＦꎬＢＦꎬＥＦ⊂平面ＢＥＦꎬ则有ＡＯʅ平面ＢＥＦ.又ＡＯ⊂平面ＡＤＯꎬ所以平面ＡＤＯʅ平面ＢＥＦ.(３)因为ＯＤʅＡＯꎬＢＦʅＡＯꎬ所以二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的平面角即为ＯＤң和ＢＦң的夹角ꎬ而ＯＤң ＢＦң＝１２ＯＤң (ＯＡң－３ＯＢң)＝－３２ＯＤң ＯＢң＝－３２ꎬ则ｃｏｓ<ＯＤң ＢＦң>＝－３/２６ˑ３/２＝－２２.所以ｓｉｎ<ＯＤң ＢＦң>＝２２.所以二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的正弦值为２２.解法５㊀(２)以ＢＡңꎬＢＣңꎬＢＰң{}为空间中的一组基底ꎬＢＡң ＢＣң＝０ꎬＢＡң ＢＰң＝－２ꎬＢＣң ＢＰң＝４ꎬＯＤң＝１２(ＢＰң－ＢＣң)ꎬＯＡң＝ＢＡң－１２ＢＣңꎬ设面ＡＤＯ的法向量ｎ＝ｘ１ＢＡң＋ｙ１ＢＣң＋ｚ１ＢＰңꎬ则－ｘ１－２ｙ１＋ｚ１＝０ꎬｘ１－ｙ１－ｚ１＝０ꎬ{解得ｘ１＝１ꎬｙ１＝０ꎬｚ１＝１.即面ＡＤＯ的法向量ｎ＝ＢＡң＋ＢＰңꎬＦＥң＝１２(ＢＰң－ＢＣң)ꎬＢＦң＝１２(ＢＡң＋ＢＣң).设面ＢＥＦ的法向量ｍ＝ｘ２ＢＡң＋ｙ２ＢＣң＋ｚ２ＢＰңꎬ则－ｘ２－２ｙ２＋ｚ２＝０ꎬｘ２＋２ｙ２＋ｚ２＝０ꎬ{解得ｘ２＝２ꎬｙ２＝－１ꎬｚ２＝０.即面ＢＥＦ的法向量ｍ＝２ＢＡң－ＢＣң.则ｎｍ＝(ＢＡң＋ＢＰң) (２ＢＡң－ＢＣң)＝０.所以平面ＡＤＯʅ平面ＢＥＦ.(３)设面ＡＯＣ的法向量ｎᶄ＝ｘ３ＢＡң＋ｙ３ＢＣң＋ｚ３ＢＰңꎬ则ｎᶄ ＢＡң＝０ꎬｎᶄ ＢＣң＝０ꎬ{即４ｘ３－２ｚ３＝０ꎬ８ｙ３＋４ｚ３＝０.{解得ｘ３＝１ꎬｙ３＝－１ꎬｚ３＝２.即面ＡＯＣ的法向量ｎᶄ＝ＢＡң－ＢＣң＋２ＢＰң.则ｎｎᶄ＝６ꎬ｜ｎ｜＝４＋６－４＝６ꎬ｜ｎᶄ｜＝４＋８＋２４－８－１６＝２３.所以ｃｏｓ(ｎꎬｎᶄ)＝６６ˑ２３＝２２.所以ｓｉｎ(ｎꎬｎᶄ)＝１－１２＝２２.即二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的正弦值为２２.点评㊀解法４利用共线向量定理确定Ｆ为ＡＣ的中点ꎬ将二面角Ｄ－ＡＯ－Ｃ的平面角表示为ＯＤң和ＢＦң的夹角ꎻ解法５是以ＢＡңꎬＢＣңꎬＢＰң{}为空间中的一组基底ꎬ分别表示出所求平面的法向量ꎬ再进行向量运算.在平时立体几何问题的训练中ꎬ要多从图形的几何特性去分析线线关系和线面关系ꎬ还要能利用好空间向量这个法宝ꎬ既可以建立合适的空间直角坐标系ꎬ还可以选取模长和夹角已知的向量为一组基底ꎬ将问题转化为向量运算.在解题过程中需要不断积累和总结ꎬ以帮助学生掌握数学思想方法和提高数学素养.参考文献:[１]张健.关于空间向量法破解立体几何线面角问题的探究:以２０２２年高考的立体几何线面角问题为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２３(０３):８０－８２.[责任编辑:李㊀璟]。

几何法求线面角、二面角及探索性问题-高考数学复习课件

∴∠ AEC 是二面角 A － PB － C 的平面角.
3
1
由[例2]可知， PM ＝， MB ＝， S △ PAB ＝
3
2
2
2
3
1
又∵ PB ＝ 2 ＋2 ＝
＋
＝
3
2
S △ PAB ＝
2×
2 7
7
2×
2
3
1
2 7
＝ PB ·AE ，∴ AE ＝
，
6
2
7
−1
∴ cos
3
.
6
21
，
6
2 2 − 2
∠ BAC ＝90°，点 M ， N 分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证： MN ∥平面AA'C'C；
证明：如图，取 A ' B '的中点 E ，连接 ME ， NE .
因为 M ， N ， E 分别为A'B，B'C'和A'B'的中点，
所以 NE ∥A'C'， ME ∥AA'.
又A'C'⊂平面AA'C'C，AA'⊂平面AA'C'C， NE ⊄平面
如图所示，在正四棱锥 P － ABCD 中，取 AB 的中点为 H ，底面正方形的
中心为 O ，连接 OH ， PH .
因为 PH ⊥ AB ， OH ⊥ AB ，所以∠ PHO 为侧面与底面所成的角.
因为 PO 为高，所以 PO ⊥平面 ABCD ，所以 PO ⊥ OH ，

所以在Rt△ POH 中，又 OH ＝， PO ＝ a ，
∠ AEC ＝

一道线面角最大值问题的探究与推广

一道线面角最大值问题的探究与推广
陈佳乐
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2015(0)5
【摘要】一、问题提出(2014·浙江卷)如图1,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°。

【总页数】2页(P37-38)
【关键词】射击训练;水平地面;已知点;目标点;瞄准目标;空间直角坐标系;线面;向量法;概念运用;原数据
【作者】陈佳乐
【作者单位】浙江省绍兴市柯桥区豫才中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.抛物线焦点弦问题——一道几何高考试题解法探究及推广 [J], 丁创
2.一道抛物线问题的解法探究与推广 [J], 陈承衡;刘开明
3.一道四边形面积最大值问题的探究 [J], 谢吉
4.椭圆中心三角形面积最大值问题探究--以一道2021年联考题为例 [J], 朱少卿
5.莫为浮云遮望眼,吹尽狂沙始见金——对一道函数最大值问题的反思与推广 [J], 龚谨
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2021年高考数学专题34空间中线线角线面角的求法黄金解题模板

2021年高考数学专题34空间中线线角线面角的求法黄金解题模板2021年高考数学专题34空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板主题34空间中心线角和线面角的计算【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，而空间中心线角和线面角的考查是最重要的。

解决立体几何的方法有两种：一种是一般方法，即按“做证明解”的顺序；一种是空间矢量法，即建立直角坐标系求解高考中经常出现的答题，而试题的难度属于中高分题[method comments]类型一空间中线线角的求法方法一翻译法使用情景：空间中线线角的求法问题解决模板：第一步是将两个不同的平面转换为同一平面；第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步得出结论.例1在四面体ABCD中，e和F分别是边AD和BC的中点，那么直线EF和CD之间的角度是a????b.c.d.6432【答案】b翻译使用特殊点（线段的端点或中点）进行平行线平移；补充翻译。

计算一条直线在不同平面上形成的角度通常转化为解三1在处理角形问题时，我们应该注意不同平面的直线所形成的角的范围？0 2? [variant drill 1]如图所示，四边形ABCD是一个矩形，沿直线BD？Abd进入？A'bd，直线CD和A'd之间的角度是？，然后（）a．???a'cab．???a'cac.???a'cdd．???a'cd[答：]B考点：异面直线所成角的定义及运用.【变型练习2】【2022衡水联考】在立方体ABCD中，边长为1？A点E和F分别是边AA1DC11D1和底ABCD的中心，那么以下命题中的错误数为（）①df//平面d1eb1；②异面直线df与b1c所成角为60?；③ed1与平面b1dc垂直；④vf?cdb1?a.0b.1c.2d.3【答案】a[分析]①, ∵ DF//b1d1，DF？d1eb1，b1d1飞机？平面d1eb1，DF//平面d1eb1，正确；对于②, ∵ DF//b1d1，∵ 不同平面直线DF和B1C之间的角度，即不同平面直线b1d1和B1C之间的角度，△ b1d1c是一个等边三角形，因此不同平面直线DF和B1C之间的夹角为60°？，对的对于③，∵ed1⊥a正确；1⊥cd，且a1d?cd=d，∴ed1⊥平面a1b1dc，即ed1⊥平面b1dc，1d，ed1．122。

2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷 (82)

一、单选题1. 正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体（如图2），设分别为的中点，则下列说法正确的是（）A．与为异面直线B．经过的平面截此正八面体所得的截面为正五边形C．平面平面D．平面平面2. 已知，若，则x的取值范围为（）A．B．C．D．3. “”是“函数在区间上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 已知集合,，则（）A．B．C．M D．5. 已知，，，则的最小值是A．2B．C．4D．36. 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．7. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数为“t函数”.下列函数中为“2函数”的是（）①，②，③，④A．①②B．③④C．①③D．②④8. 在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是上底面内一点，若平面，则二、多选题线段长度的取值范围是（）A．B．C．D．9. 下列函数中，为奇函数的是（）A．B．C．D．10. 把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．B．C．D．11.已知命题数列的通项公式为为实数，，且恒为等差数列；命题数列的通项公式为时，数列为递增数列.若为真，则实数的取值范围为A．B．C．D．12. 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．13. 如图所示，在中，，.若平面外的点P 和线段上的点D 满足，，则四面体的体积的最大值为（）A．B．C．D ．114.．、为两个确定的相交平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件中能使a 、b 所成的角为定值的有( ▲ )（1）a∥，b （2）a⊥，b∥ （3）a ⊥，b⊥（4）a∥，b∥，且a 与的距离等于b 与的距离A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个15.已知函数是偶函数或是奇函数，当时，，则a =（）A ．1或B ．1或2C ．或D ．或216. 已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）A．B．C ．2D．17. 将平面向量称为二维向量，由此可推广至维向量.对于维向量，，其运算与平面向量类似，如数量积（为向量，的夹角），其向量的模，则下列说法正确的有（）A．不等式可能成立B．不等式一定成立C．不等式可能成立D．若，则不等式一定成立18. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A．54周岁以上参保人数最少B．18～29周岁人群参保总费用最少C．丁险种更受参保人青睐D．30周岁以上的人群约占参保人群20%19. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（）A．是奇函数B．是周期函数C．D．20. 已知是函数的零点，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．21. 设，是复数，则（）A．B．若，则C．若，则D．若，则22. 设函数，则下列结论正确的是（）A．的一个周期为B ．的图象关于直线对称C ．函数向左平移后所得函数为奇函数D．在区间上单调递增23. 某校举行劳动技能大赛，统计了名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于分的视为优秀，低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（）三、填空题四、解答题A．B．优秀学生人数比不及格学生人数少人C．该次比赛成绩的平均分约为D．这次比赛成绩的分位数为24.已知函数的图象关于直线对称，则（）A．B ．若，则的最小值为C．将图象向左平移个单位得到的图象D ．若函数在单调递增，则的最大值为25. 的展开式中的常数项为___________（用数字作答）.26. 定义：若有穷数列，，…，，满足，，…，，即（，且），则称该数列为“对称数列”．若数列是项数为的对称数列，且，，…，构成首项为，公差为的等差数列，记数列的前项的和为，则取得最大值时的值为__________．27. 已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，则的最小值为___．28.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.29. 已知函数．(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；(2)若关于x 的不等式在上能成立，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．30.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.31.设，.（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；五、解答题（3）求证：.32. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.33. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.34. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.012.7063.8416.63535. 1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号（x）1（金星）2（地球）3（火星）4（）5（木星）6（土星）离太阳的距离（y）0.7 1.0 1.6 5.210.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；①；②；③.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.36. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：行驶里程/万km0.000.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15轮胎凹槽深度/mm10.028.377.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.(1)根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；2.57 6.20115.1029.46附：相关系数(2)通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.六、解答题附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.37. 某公司响应国家“节能减排，低碳经济”号召，鼓励员工节约用电，制定奖励政策，若公司一个月的总用电量低于30万，将对员工们发放节能奖励，该公司为了了解9月份日最高气温对当天用电量的影响，随机抽取了去年9月份7天的日最高气温x （℃）和用电量y（万）数据，并计算得，，，气温方差，用电量方差.（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据天气预测，今年9月份的日最高气温频率分布直方图如图，以（1）中的回归方程为依据，试估计该公司员工为了获得奖励，是否需要作出节能努力？（注：9月份共30天，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.38. 保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?39. 我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S 型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y （单位：mm ）关于滚道径向方位角x （单位：rad ）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.(1)求函数的解析式；(2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm 且不高于0.02mm 的钢筋，若这批钢筋由题中这种S 型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S 型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.40.已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．41. 如图，等腰直角△ACD 的斜边AC 为直角△ABC 的直角边，E 是AC 的中点，F 在BC 上．将三角形ACD 沿AC 翻折，分别连接DE ，DF ，EF ，使得平面平面ABC ．已知，，(1)证明：平面ABD；(2)若，求二面角的余弦值．42. 如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.(1)若为的中点，求证：；(2)求二面角的正弦值.43. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点.(1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面.(2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.44.如图，四棱锥中，，，，，，，点为中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.45. 如图，矩形与梯形所在的平面垂直，，为的中点．(1)求证：平面平面；七、解答题(2)求二面角的余弦值．46. “黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q 镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm 的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q 镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由降雨量亩产量50070060040047. 甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)求甲、乙两人最终平局的概率；(3)记甲、乙一共进行了Y 轮比赛，求Y 的分布列及期望．48. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（万元）24536（单位：）2.544.536（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.参考数据：，.49. 2023年5月31日，习近平主席在学校考察时指出：“体育锻炼是增强少年儿童体质的最有效手段”．为提升学生身体素质，某班组织投篮比赛，比赛分为，两个项目．（i ）选手在每个项目中投篮5次，每个项目中投中3次及以上为合格；（ii ）第一个项目投完5次并且合格后可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；（iii ）选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛．若选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是．(1)求选手甲参加项目合格的概率；(2)已知选手甲参加项目合格的概率为．比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？并说明理由．50. 为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时总计A型B型总计根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为台，求的分布列和数学期望；（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.参考公式：，.参考数据：0.0500.0100.0013.841 6.63510.82851. 随着科技的发展，移动互联已进入全新的时代，远程实时遥控已成为现实.某无人机生产厂家计划在年将新技术应用到生产中去，经过市场调研分析，生产某种型号的无人机全年需投入固定成本万元，每生产千台无人机，需投入成本万元，且由市场调研知，每台无人机售价为万元，且全年内生产的无人机当年能全部售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式（利润销售额成本）；(2)年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润为多少？。