空间轨迹问题的三种模式及破解策略

空间轨迹问题的三种模式及破解策略
空间轨迹问题是近年来高考命题的一个热点题型，这类问题中涉及到的点，线，面较多，产生于空间，但落实到平面，空间关系复杂，往往交汇多个知识点，解题方法灵活多变，总给人无“法”可依，无“章”可循之感，是同学们公认的难点与失分点。

本文将此类问题分为三种模式，各个击破，只要同学们能够准确识别模式就能正确解决，对空间轨迹问题我们的口号是“无需忍痛——分必得！”
【模式一】 定点+动点型——先定“大轨迹”，后寻“小轨迹”，特殊点定位
例1 在正方体1AC 中，点P 在侧面11BCC B 的内部及边界上运动，总有1AP BD ⊥,则点P 的轨迹是（ ）
A. 线段1B C
B. 线段1BC
C. 线段BC
D. 线段11B C
分析： 我们知道过直线外一点与该直线垂直的直线都在过该点与此直线垂直的平
面内，设过A 与1BD 垂直的平面为α，有11P B C CB α∈平面,所求轨迹就是α
与侧面11BCC B 的交线，此处应是线段，下面只需要取两个特殊点定位即可，易知只有线段1B C 符合题意，故选A.
例2 已知正方体1AC 棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为
3的点的集合曲线C ，则该曲线的长度为（ ）
A. B. C. D.
解：空间中与A 的点的集合是以A 为球心，曲线
C 就是该球面与正方体各面相交所得的截面。

2313<
<6个侧面均相交得到6段圆弧，可分为两种情况：ABCD,11AA D D , 11AA B B 为过球心的截面，截痕为大圆弧，易知三段圆弧圆心角均为6
π；1111A B C D ,11BCC B ,11CDD C 与球心距离为1的截面，截痕是小圆弧，三段小
3=，故各段圆弧圆心角均为2π，则曲线C 长度为 233533363236
ππ+= 方法点拨
此模式中我们可以先确定动点所在的“大轨迹”（某个平面或球面），而所求的“小轨迹”往往是“大轨迹”与一个指定平面的交线，我们熟知平面与平面或球面相交，交线是直线或圆，轨迹类型确定了，就可以取特殊点来确定即可，问题迎刃而解！
【模式二】 动点+多距离型，转化为一个平面内的轨迹问题
例3 如图，在正方体1AC 中，P 是侧面11BCC B 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是（ ）
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
解：连接1PC ,易知1PC 即P 到直线11C D 的距离，所以在平面11BCC B 内，
动点P 到点1C 的距离与其到定直线BC 的距离相等，故其轨迹所在曲线是以1
C 为焦点，直线BC 为准线的抛物线，选D
例4 正四面体S-ABC ，动点M 在侧面SBC 内部及边界上运动，且点M 到点
S 的距离与其到底面ABC 的距离相等，则动点M 的轨迹所在曲线是（ ）
A. 直线
B. 抛物线
C. 椭圆
D.双曲线
分析：过M 作MO ABC ⊥平面，过O 作ON BC ⊥,连接MN,易知
MNO ∠是二面角S B C A --的平面角，由SM=MO,
sin MO MN MNO =∠,可得sin (1SM MNO MN
=∠<定值），在平面SBC 内，动M 到定点S 的距离与其到定直线BC 的距离之比是大于0
小于1的常数，故M 的轨迹应该是椭圆的一部分，故选C
方法点拨
与模式一对比，我们无法确定“大轨迹”，因此需要转化。

即将已知的多个距离转化到一个平面内，此时已经脱离开原空间图形，是一个平面内的轨迹问题，利用我们熟知的判定方法来判断动点轨迹类型即可。

在解决这类问题时，条件的转化非常重要，比如“点到直线的距离，点到平面的距离，点到点的距离”这三者的相互转化，其中二面角对距离的转化作用不容忽视。

【模式三】与平面几何问题进行类比，求得空间轨迹
例5 已知正三角形ADP 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O 为正
方形的中心，M 为正方形ABCD 内一动点，且满足MC=MP,则点M 的轨迹是
（ ）
分析： 我们知道在平面内，到一条线段两个端点距离相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线，类比到空间，应有“在空间，到一条线段两端点距离相等的点在过线段中点且与其垂直的平面内”，不妨称这个平面为“中垂面”，这样问题已转化为模式一，所求“小轨迹”即中垂面与底面ABCD 相交
所得线段，轨迹类型确定只需取两个特殊点定位，由已知易得DP=DC,NP=NC ，故线段DN 即所求轨迹，选A.
需要指出的是，上述三种模式是空间轨迹问题的基本模式，无论哪种模式，要顺利解决都需要我们具备较强的空间想象能力，转化问题的能力，解析几何与立体几何知识的综合运用能力，并且有些复杂问题中可能多种模式并存，需要我们准确识别，灵活处理，举一反三。

【强化练习】
1、正方体1AC 中，在正方体表面上与点A 距离为1的点的集合是曲线C,求曲线C 的长度. 解：曲线C 是以A 为球心，半径为1的球与正方体各面相交所得截面，易知只有11AA D D ，11AA B B ，ABCD 三个面与球相交，所得均是大圆弧，圆心角均为2π，故曲线C 的长度为33122
ππ=
2、A,B 是平面α内两个定点，PA α⊥,点C 是α内不同于A 、B 的动点，若
PC BC ⊥,则动点C 的轨迹是（ ）
A. 去掉两点的圆
B. 去掉两点的半圆
C. 线段
D.去掉两端点的线段
选 A 提示 由PC BC ⊥可知，空间中C 点轨迹应为以B,P 为直径端点的球面
（不含B,P,且A 也在此球面上），所求轨迹是该球与平面α相交所得的截面，应
为圆（去掉A,B ）,故选A （此题也可由三垂线定理得AC CB ⊥,说明C 在以A,B
为直径端点的圆上)
3、三棱锥A-BCD 中，P 为CD 的中点，动点M 在ABD ∆内部及边界上运动，
且总保持//PM ABC 平面,球动点M 的轨迹。

解： M 所在“大轨迹”应为过P 点与平面ABC 平行的平面，设此平面为α，
则//ABC α平面，所求M 的“小轨迹”即为α与平面ABD 的交线，取特殊
点，易知BD 、AD 中点Q,R 符合，则线段QR 即为动点M 的轨迹。

4、正四棱锥S-ABCD 中，E 为BC 的中点，点P 在侧面SCD ∆内及边界上运动，且总保持PE AC ⊥,求动点P 的轨迹
解：设过点E 且与AC 垂直的平面为α，此为P 点所在“大轨迹”，所求“小轨
迹”是α与平面SDC 的交线，取DC 中点F,SC 中点G,验证平面EFG ⊥α，故
P 点轨迹为线段FG.
5、在平面几何中，有定理“正三角形ABC 中到两边AB,AC 距离之和等于到BC 边
的距离的点的轨迹是与BC 平行的中位线”，请类比到空间：在正四面体A-BCD
中， 。

应填 到侧面ABC,ACD,ABD 的距离等于其到底面BCD 的距离的点的轨迹是过
AB,AC,AD 中点的平面
提示 简证如下：设P 为轨迹上任意一点，设P 到三个侧面、底面的距离分别是1234,,,,h h h h 正四面体的高和侧面积分别是,h S ，则123411()33V S h h h h Sh =
+++=,1234,h h h h ++=得41,2h h =说明P 在与底面平行且与底面距离是12
h 的平面上
6、已知//αβ平面平面，平面αβ、之间的距离是6，点P 在平面α内，则在平
面β内到点P 的距离等于10的点的轨迹是（ ）
A.一个圆
B. 一条直线
C. 一个点
D.不存在
选 A 提示 动点所在“大轨迹”是以P 为球心，10为半径的球面，所求“小轨迹”
应该是该球面与平面β相交得到的截面圆，故选A
7、 长方体1AC 中，11AA =,点E 、F 分别在11,A D AB 上运动，且线段EF
的长度恒等于2，则线段EF 的中点P 的轨迹是（ ）
A.圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D.抛物线的一
部分
选A 提示 在平面解析几何中，有结论“线段AB 的端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹是圆”，利用了AB 的中点M 到原点O 的距离不变这一特性，此题中我们可以类比，中点P 到哪个点的距离不变呢？不难发现是A 点，连接AE,AP,有12
AP EF =,故空间中P 点在以A 为球心，半径为1的球面上，同时，E,F 分别在异面直线11,A D AB 上，故P 点还在线段1AA 的中垂面上，所求轨迹应为球面与中垂面的交线，故轨迹是圆的一部分。