浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题
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最新浙教版初中九年级《数学》上册全册期末总复习知识点考点整理复习汇总完整完美精品打印版最新浙教版初中九年级《数学》上册全册期末总复知识点考点重难点要点整理复汇总，是一份完整、完美、必备的复资料。
1.二次函数1.1 二次函数二次函数是形如y=ax²+bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0)的函数。
a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
1.2 二次函数的图像二次函数y=ax²(a≠0)的图像是一条抛物线，关于y轴对称，顶点在坐标原点。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a0时）或向左（当m0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点为(m,k)，对称轴为直线x=m。
1.3 二次函数的性质二次函数y=ax² (a≠0)的图像具有如下性质：1）对称轴为x=-b/2a；2）最值点为顶点，最大值为k (当a0时)；3）图像开口方向由a的符号确定。
1.4 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量必须在自变量的取值范围内。
2.简单事件的概率2.1 事件的可能性根据事件是否发生的可能性，可以将事件分为三类：必然事件、不可能事件、不确定事件或随机事件。
2.2 简单事件的概率将事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P 表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
使用公式P(A)=m/n来计算简单事件发生的概率，需要先确定所有结果的可能性相等，然后确定所有可能的结果总数n和事件A包含的结果数m。
浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
九年级数学上1.1二次函数(浙教版)全面版
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节
浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节第1章 二次函数第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；①当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；①k ax y +=2；①()2h x a y -=；①()k h x a y +-=2；①c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
①平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，①顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a bx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；①0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；①0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，①抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ①0>c ,与y 轴交于正半轴；①0<c ,与y 轴交于负半轴. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；①有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ①没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y nkx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ①方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；①方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第2章 简单事件的概率知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
浙教版初中数学九年级《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴 顶点坐标 当时开口向上 当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习： 357019 (1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0． 由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限．同时满足ayx=和()y b c x=+图象的只有B．【点评】由图1得到a、b、c的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③【思路点拨】①二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．②根据图象的特点及与直线MN比较，可知当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在直线MN的下方．③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA•OB的值，当x=0时，可得到OC的值．通过c建立等量关系求证．【答案】C；【解析】①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴直线MN的解析式为y﹣2=，即y=﹣2x，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( ) A．B．C．D．【答案】二次函数的图象与x轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x，销售量=500+100x，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x）•（500+100x）=﹣100x2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x2+500x+5000=﹣100（x﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x2+500x+5000=5000，解得x1=0，x2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。
浙教版 九年级上册 第一章 二次函数考点分类(有答案)
二次函数考点分类一、典型例题类型一、二次函数的定义1.一个二次函数y=（k-1）x k2−3k+4+2x-1．（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？2.已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？类型二、二次函数图像的位置关系3.在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是（）A. B. C. D.4.已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是（）A. B. C. D.5. 已知函数y=ax 2+bx+c ，当y ＞0时，−21＜x ＜31．则函数y=cx 2-bx+a 的图象可能是下图中的（ ） A. B. C. D.类型三、二次函数图像与系数的关系6. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b 2-4ac ＜0；③4a+c ＞2b ；④（a+c ）2＞b 2；⑤x （ax+b ）≤a-b ，其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①③⑤D ．③④⑤（6） （7） 7. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③4ac-b 2＜-4a ；④31＜a ＜32；⑤b ＞c ．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）． 8. 设二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0，c ＞1），当x=c 时，y=0；当0＜x ＜c 时，y ＞0．请比较ac 和1的大小，并说明理由．类型四、二次函数点的坐标9. 点A （m ，y 1），B （m+4，y 2），C （1，y 3）在二次函数y=ax 2-2ax+4的图象上，且y 1≤y 2≤y 3，则m 的取值范围是 .10. 设实数a 、b 、c 满足222111c b a ++=|a 1+b 1+c1|，则函数y=ax 2+bx+c 的图象一定经过一个定点，那么这 个定点的坐标是 .11. 如图，二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （2，4）与B （6，0）．点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值及C 的坐标．类型五、二次函数平移、折叠12. 将抛物线y=x 2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y=x 2-2B ．y=x 2+2x-1C ．y=x 2-2x-1D ．y=x 2+213. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2），将抛物线y=21x 2-3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ） A.21 B ．1 C ．5 D.25 14. 直线y=m 是平行于x 轴的直线，将抛物线y=-21x 2-4x 在直线y=m 上侧的部分沿直线y=m 翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图象，若新的函数图象刚好与直线y=-x 有3个交点，则满足条件的m 的值为 .二、课堂小测1. 若y=（a 2+a ）x 2a −2a −1是二次函数，那么（ ）A ．a=-1或a=3B ．a ≠-1且a ≠0C ．a=-1D ．a=32. 二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位3. 函数y=ax 2与y=ax+a （a ＜0）在同一平面直角坐标系内图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数y=-（x-m ）（x-n ）（其中m ＜n ）的图象与一次函数y=mx+n 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=-1，且过点（21，0），有下列结论： ①abc ＞0； ②a-2b+4c ＞0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c ＞0；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④（5） （6）6. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b-2a ＜0，③a-b+c ＞0，④a+b ＞n （an+b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（ ）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤7. 已知点A （a-m ，y 1），B （a-n ，y 2），C （a+b ，y 3）都在二次函数y=x 2-2ax+1的图象上，若0＜m ＜b ＜n ，则y 1、y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 18. 如图在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n 与x 轴交于点A ，与二次函数交于点B 、点C ，点A 、B 、C 三点的横坐标分别是a 、b 、c ，则下面四个等式中不一定成立的是（ ）A ．a 2+bc=c 2-abB ．a b b c b b c --=-222C ．b 2（c-a ）=c 2（b-a ）D ．cb a 111+= （8） （9）（10）9. 已知四个二次函数的图象如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是 .10. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=31x 2与y=-31x 2的图象，则阴影部分的面积是 .11. 抛物线y=x 2+x+2的图象上有三个点（-3，a ）、（-2，b ）、（3，c ），则a 、b 、c 的大小关系是（用“＜”连接）．12. 已知二次函数y=x 2-4x+m （m 为常数）的图象上的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），若x 1＜2＜x 2，且x 1+x 2＞4，则y 1与y 2的大小关系为y 1 y 2．（填“＞”或“＜”或“=”）13. 若二次函数y=-（x+1）2+h 的图象与线段y=x+2（-3≤x ≤1）没有交点，则h 的取值范围是 .14. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2ax-3（a ≠0）与y 轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点P （4，0），Q(−a 1，0)．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．15. 已知抛物线y=（m+1）x 2+（21m-2）x-3． （1）当m=0时，不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点P （2，a ），求直线l 1的解析式；（2）在（1）的条件下，将直线l 1向上平移，与抛物线交于M ，N 两点（M 在N 的右侧），过P 作PQ ∥y 轴交MN 于点Q ．求证：S △PQM =S △PQN ．三、课后作业1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2-bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 .2.点P1（-1，y1），P2（2，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .3.已知二次函数y1=x2+2x-3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 .4.已知函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象经过点A（-1，0）、B（0，2）．（1）b= （用含有a的代数式表示），c= ；（2）点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，若△AOC的面积为1，则a= ；（3）若x＞1时，y＜5．结合图象，直接写出a的取值范围．5. 如果x=0，1，2时，函数y=ax 2+bx+c 的值都是整数．求证：（1）2a ，2b 是整数．（2）对任何整数x ，函数y=ax 2+bx+c 的值都是整数．答案一、典型例题类型一、二次函数的定义1. （1）由题意得：k 2-3k+4=2，且k-1≠0，解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k-1）x k 2−3k+4+2x-1得：y=x 2+2x-1，当x=0.5时，y=41． 2. （1）函数y=（m 2-m ）x 2+（m-1）x+2-2m ，若这个函数是二次函数，则m 2-m ≠0，解得：m ≠0且m ≠1；（2）若这个函数是一次函数，则m 2-m=0，m-1≠0，解得m=0；（3）这个函数不可能是正比例函数，∵当此函数是一次函数时，m=0，而此时2-2m ≠0．类型二、二次函数图像的位置关系3. C4. D5. A类型三、二次函数图像与系数的关系6. C7. ①③④⑤8. 解：当x=c 时，y=0，即ac 2+bc+c=0，c （ac+b+1）=0，又c ＞1，所以ac+b+1=0，设一元二次方程ax 2+bx+c=0两个实根为x 1，x 2（x 1≤x 2）由x 1•x 2＝ac ＞0，及x=c ＞1，得x 1＞0，x 2＞0又因为当0＜x ＜c 时，y ＞0，所以x 1=c ，于是二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴：x ＝−a b 2≥c 即b ≤-2ac 所以b=-ac-1≤-2ac 即ac ≤1．类型四、点的坐标9. m ≤-110. （1，0）．11. ∴S 关于x 的函数表达式为S=-x 2+8x （2＜x ＜6），∵S=-x 2+8x=-（x-4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16．类型五、二次函数平移、折叠12. A13. B 可能水平平移或者竖直平移14. m=6或425 二、课堂小测1. D2. C3. B4. C5. C6. D7. B8. A解：一次函数y=mx+n 与x 轴的轴交于点A ，故点（a ，0），将点A （a ，0）坐标代入一次函数表达式得：0=am+n ， 解得：n=-am ，故一次函数的表达式为y=mx-am ，∵点B 、C 在一次函数上，故点B 、C 的坐标分别为（b ，mb-ma ）、（c ，mc-ma ），设二次函数的表达式为y=Ax 2，点B 、C 在该二次函数上，则bm −ma ＝Ab 2①，mc −ma ＝Ac 2②（1）②-①得：A （b 2-c 2）=m （c-b ），等式两边同除以Ab 2得，，故B 正确（2）①÷② ，故C 正确（3）化简③得，故D 正确（4）化简A 得：a 2-c 2=-bc-ab ，化简得：a+b=c ，而从上述各式看，该式不一定成立9. a 1＞a 2＞a 3＞a 410. 811. b<a<c12. <13. 解：x=1时，y=x+2=3，将（1，3）代入y=-（x+1）2+h 并解得：h=7， 联立y=-（x+1）2+h 和y=x+2并整理得：x 2+3x+（3-h ）=0，∵△=3-4（3-h ）＜0，∴h ＜43， 故答案为h ＞7或h ＜43． 14. （1）A 的坐标为（0，-3）；（2）B （2，-3）（3）83≤a ≤1或a ＜-315. 解：（1）当m=0时，y=x 2-2x-3．∵点P （2，a ）为抛物线y=x 2-2x-3上的点，∴a=22-2×2-3=-3，∴点P 的坐标为（2，-3）．设直线l 1的解析式为y=kx+b （k ≠0），∵点P （2，-3）为直线l 1上的点，∴2k+b=-3，∴b=-2k-3，∴直线l 1的解析式为y=kx-2k-3．将y=kx-2k-3代入y=x 2-2x-3，得：x 2-2x-3=kx-2k-3，整理，得：x 2-（2+k ）x+2k=0．∵直线l 1与抛物线有且只有一个交点，∴△=[-（2+k]2-4×1×2k=0，解得：k 1=k 2=2，11 ∴直线l 1的解析式为y=2x-7（2）如图，过点Q 作直线l ∥x 轴，过点M 作ME ⊥直线l 于点E ，过点N 作NF ⊥直线l 于点F ．∴MQ=NQS △PQM =21PQ •MQ ，S △PQN =21PQ •NQ ，∴S △PQM =S △PQN 三、课后作业1. ①③⑤2. y 2＞y 1＞y 33. 84. a+2，2；a=-2或6-42或6+42；a ＜-8+2155. （1）由题意知，c ，a+b+c ，4a+2b+c 均为整数，∴a+b=（a+b+c ）-c 为整数，4a+2b=（4a+2b+c ）-c为整数，∴2a=（4a+2b ）-2（a+b ）为整数，2b=（4a+2b ）-2（2a ）为整数；（2）当x 为偶数时，不妨设x=2k （k 不整数），则y=ax 2+bx+c=4ak 2+2bk+c=2（2ak 2）+2bk+c ， ∵2a ，2b ，c ，k 均为整数，∴y=4ak 2+2bk+c 为整数；当a 为奇数时，设x=2k+1（k 为整数），则y=a （2k+1）2+b （2k+1）+c=4ak 2++4ak+2bk+（a+b+c ），∵4a ，2b ，k ，（a+b+c ）均为整数， ∴y=a （2k+1）2+b （2k+1）+c 为整数．故对任何整数x ，函数y=ax 2+bx+c 的值都是整数．。
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数学浙教版九上-二次函数的图象知识技能解答二次函数的图象知识技能一、填空题:21(抛物线经过两点，则这条抛物线的解析式为 A(,1,0),B(3,0)y,x，bx，c 2?答案: y,x,2x,321,b，c,0:?解,把代入得 y,0,x,,1y,x，bx，c29，3b，c,0把代入得 y,0,x,3y,x，bx，cb,,2,？1,b，c,0,,,2解方程组得抛物线解析式为 y,x,2x,3.,,c,,3.9，3b，c,0.,,22(函数是函数，它的图象是，对称轴是，顶点坐标是。
y,ax(a,0), 时，开口向，时，开口向 ,a,0,a,0?答案:二次;抛物线;y轴;(0，o);上;下2(抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得新抛物线的解析式为3y,2x,4x,52?答案: y,2x，4x,222?解析:把配方，得平移后的抛物线解析式为: y,2x,4x,5y,2(x,1),7,222，3.整理，得化成一般式为: y,2(x,1，2)y,2(x，1),4,y,2x，4x,2.12y,,(x，3)，2x,,4(抛物线的顶点坐标是，对称轴是当x, ， 2有最值是 ( y?答案:;大;2 (,3,2);,3;,32((2004?锦州市)若点A(2，优)在函数5的图象上，则点A关于2轴的对称点的坐标是 y,x,1?答案, (2,,3)22？A?解析:((‘点A(2，m)在图象上点关于x轴的对称点 y,x,1,？m,2,1,3,？A(2,3).坐标为(2,,3).2b,c,6(抛物线的顶点是(1，5)，则 y,,2x，bx，c?答案:4;3bb,,,,,1,,a22，(,2),b,4?解析:根据题意，得解得 {,？b,4,c,3.,c,322acbcb4,4，(,2),,,,5,,4a4，(,2),27(已知抛物线的顶点在X轴上，则k的值是 ( y,x,2(k，1)x，16,5?答案,3或224ac,b4，1，16,[,2(k，1)]rE，,,,0,?解析:根据题意 4a4，1解得 k,3,k,,5.128(抛物线的顶点坐标为在Y轴上的截距是 ( y,2(x,1)(x,2)31?答案, (,,);422?解析:令时，抛物线与X轴的 2(x,1)(x,2),0,x,1,x,2,？y,01233313x,x,,交点为(1，0)，(2，0)，(‘(对称轴是当时，y,2，(,1)，(,2),,,？ 2222231(,,),顶点坐标为抛物线在Y轴上的截距是4( y,2，(0,1)，(0,2),4,？22 9(若二次函数的对称轴是并且在z轴上截得的线段长为10，则y,(x,x)(x,x)x,x,2,121函数的解析式为 ( ,x,22?答案, ,3;7;y,x,4x,21x,2.?解析:’(。
浙教版九年级数学上册知识点及典型例题
九年级上册第一章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质向上 ()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质0a > 向上y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上 X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴 性质0a > 向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 ；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时， ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 ，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑵ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 ，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.∆>⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：练习1、函数a ax y -=2与xay =在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D2、反比例函数y =k -1x与一次函数y = k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是（ ）3、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件． （1）请写出每月销售该商品的利润y 元与单价上涨x 元的函数关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？第二章 圆的基本性质【本章知识框架】∆= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0∆< 抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.O C B A圆 基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距的 垂径定理 认 对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强）识 圆心角、弧、弦、弦心距的关系 与圆有关的角：圆心角，圆周角弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形 圆中的有关计算：圆锥的侧面积、全面积一、圆的概念1、圆的定义：线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆．点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径。
专题1.2二次函数的图象与性质(一)-知识点梳理+练习-(含解析)浙教版九年级数学上册
专题两位同学做法正确的是（ ）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【变式1-3】（2023·广东·九年级专题练习）4．用配方法把二次函数2231y x x =-+写成()2y a x h k =-+的形式为(1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；…1-0123………(2)根据图象，完成下列填空：①当1x >时，y 随x 的增大而___________②当0y <时，x 的取值范围是____________【变式3-1】．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）10．已知函数图象如图所示，根据图象可得：(1)抛物线顶点坐标___________．(2)对称轴为___________．(3)当x =___________时，y 有最大值是___________．(4)当___________时，y 随着 x 的增大而增大．(5)当___________时，0y >．【变式3-2】（2023春·河南安阳·九年级校考阶段练习）11．已知抛物线2246y x x =-++．(1)请用配方法将2246y x x =-++化为()2y a x h k =-+的形式，并直接写出对称轴；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出2246y x x =-++的图象；(3)该抛物线沿x 轴向左或向右平移m （0m >）个单位长度后经过原点，求m 的值．【变式3-3】（2023·上海松江·统考一模）12．已知二次函数2241y x x =--．(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；(2)在所给的平面直角坐标系xOy 中（如图），画出这个二次函数的图像；(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．【知识点2 二次函数解析式的表示方法】（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)；（2）顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是（h ，k ）；（3）交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】【例4】（2023春·北京海淀·九年级期末）13．已知二次函数2y ax bx c =++经过()0,5A ，()5,0B 两点，它的对称轴为直线3x =，求这个二次函数解析式．【变式4-1】（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）14．已知一条抛物线的对称轴是直线1x =，函数的最大值是2y =，且该抛物线经过坐标原点()0,0．求此抛物线的函数关系．【变式4-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）15．在二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：方法二：（1）y=ax2+bx+c沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，y=ax2+（或y=ax2+bx+c-m）．（2）y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c．【题型5二次函数图象的平移变换】【例5】（2023·陕西榆林·统考一模）A ．224y x x =--B ．y =-D ．y =-【变式5-3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）20．在平面直角坐标系中，如果抛物线【题型7利用二次函数的对称轴、最值求参数】【例7】新的二次函数1y 的图像，使得当13x -<<时，1y 随x 增大而增大；当45x <<时，1y 随x 增大而减小．则实数k 的取值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7参考答案：故答案为：0，3-，4-，3-，0；（2）观察图象，当1x >时，y 随x 的增大而增大，故答案为：①增大；②13x -<<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，函数与方程及不等式的关系．10．(1)()32-，(2)直线3x =-（3）∵2246y x x =-++经过点()()1,0,3,0-，∴抛物线沿x 轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点，∴1m =或3．【点睛】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是根据掌握二次函数平移的规律．12．(1)顶点坐标()1,3-(2)见解析(3)这个二次函数图像在对称轴直线1x =左侧部分是下降的，右侧部分是上升的【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．【详解】（1）解：（1）()()222241221213y x x x x x =--=--=--∴二次函数的顶点坐标()1,3-；（2）解：当0x =时，1y =-，当1y =-时，2x =，经过点()0,1-，()2,1-，顶点坐标为：()1,3-（3）解：这个二次函数图像在对称轴直线【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，题关键．13．265y x x =-+【分析】根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：由题意得：322550b a a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨，∴顶点坐标为()1,2，设抛物线解析式为()212y a x =-+，将点()0,0代入，得20a +=解得：2a =-，∴抛物线解析式为()2212y x =--+．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．A【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．【详解】解：把点()()1,2,0,1--代入2y x bx c =++，得：121b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：12c b =-⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为221y x x =--，当2x =时，42211y =-⨯-=-．故选：A【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．16．D【分析】设函数解析式为(3)(2)y a x x =+-，将点(1,8)-代入即可求得a 的值，可得结果．【详解】解：设抛物线函数解析式为：(3)(2)y a x x =+-，∵抛物线经过点(1,8)-，∴8(13)(12)a -=+-，解得：2a =，∴抛物线解析式为：2(3)(2)y x x =+-，整理得：22212y x x =+-，故选：D ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．【分析】将抛物线243y x x =-+化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线2y x bx c =++的解析式．【详解】解：将抛物线243y xx =-+化成顶点式为()221y x =--，将抛物线243y xx =-+向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为()22413y x =-+-+，即246y x x =++，∴抛物线2y x bx c =++的解析式为246y x x =++，4b ∴=，6c =，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．18．2y x =【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．【详解】解：将二次函数222=++y x x 化为顶点式为：()211y x =++，将二次函数()211y x =++的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为22(11)11y x x =+-+-=，故答案为：2y x =．【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键．19．B【分析】由平移的性质可得二次项的系数为2-，再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案．【详解】解：∵抛物线212y x bx c =-++经过平移后得到抛物线2y ，而2y 的顶点坐标为：()1,3-，∴()222213241y x x x =-++=--+，即2241y x x =--+；【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，知识进行求解．。
浙教版9年级上册数学第1章《二次函数》-分节知识点
y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把 y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象。 2、画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点。 3、二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的性质 1、二次函数 y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
（1）
沿 轴平移:向上（下）平移 个单位，
变成
（或
）
（2）
沿 x 轴平移：向左（右）平移 个单位，
变成
（或
）
三、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
要点一、二次函数
与
之间的相互关系
1、顶点式化成一般式
1、从函数解析式
我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称
函数 y=ax2 a>0
图象
开口方向 顶点坐标 对称轴
函数变化
最大（小）值
向上
（0，0）
x>0 时，
y 随 x 增大而增大； 当 x=0 时，
y轴
x<0 时，
y 随 x 增大而减小
y 最小=0
y=ax2 a<0
向下
（0，0）
x>0 时，
y 随 x 增大而减小； 当 x=0 时，
y轴
x<0 时，
y 随 x 增大而增大.
其顶点横坐标 x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即 a 的值不变，只是位置发生变化而已。
数学(浙教版)九年级上册第1章 二次函数(解析版)
1．二次函数定义：形如y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．2．待定系数法求二次函数的解析式．重要提示：1．形如y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数不一定是二次函数，要添上条件“a≠0”才是二次函数．2．有些函数右边本身不是二次多项式的形式，通过变形可以转化为二次多项式，因此也是二次函数，如y ＝2(x ＋1)2－1，y ＝2(x －1)(x ＋2)等函数．3．二次函数是用自变量的二次多项式来表示的，因为二次多项式是整式，所以自变量的取值范围是全体实数，但当自变量具有实际意义时，自变量的取值范围就不一定是全体实数了．例1：已知函数y ＝(m 2＋m)222+-m m x .(1)当函数是二次函数时，求m 的值．(2)当函数是一次函数时，求m 的值．【解析】 (1)由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋2＝2，m 2＋m ≠0，解得m ＝2. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋2＝1，m 2＋m ≠0，解得m ＝1.例2：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与坐标轴的交点分别为A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，求抛物线的函数表达式．【解析】 把点A (－1，0)，B (3，0)，C (0，2)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝43，c ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2＋43x ＋2. 典型例题知识讲解二次函数一、填空题1. 下列函数中，是二次函数的有( C )①y ＝1－2x 2； ②y ＝1x 2； ③y ＝x (1－x ); ④y ＝(1－2x )(1＋2x )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2. 二次函数y ＝12(x －2)2－3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( B ) A.12，－2，－3 B.12，－2，－1 C.12，4，－3 D.12，－4，1 3. 已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( A )A ．4B ．－4C ．3D ．－34. 二次函数y ＝2x (x －3)的二次项系数与一次项系数的和为( D )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4【解析】 y ＝2x (x －3)＝2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和为2＋(－6)＝－4. 故选D.5. 若关于x 的函数y ＝(2－a )x 2－x 是二次函数，则a 的取值范围是( B )A. a ≠0B. a ≠2C. a ＜2D. a ＞26. 若关于x 的函数1222)(--+=a a x a a y 是二次函数，则( D )A. a ＝－1或a ＝3B. a ≠－1且a ≠0C. a ＝－1D. a ＝3 【解】 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －1＝2，a 2＋a ≠0，解得a ＝3. 7.下列函数中，一定是二次函数的是( D )A. y ＝2(x －1)B. y ＝(x －1)2－x 2C. y ＝a (x －1)2D. y ＝2x 2－18. 函数y ＝(m －n )x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是( B )A. m ，n 为常数，且m ≠0B. m ，n 为常数，且m ≠nC. m ，n 为常数，且n ≠0D. m ，n 可以为任何常数9. 下列函数关系中，可以看做是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的模型的是( D )A ．圆的周长与圆的半径之间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C ．在一定距离内汽车行驶速度与行驶时间的关系D ．正方体的表面积与棱长的关系【解析】 A ．圆的周长C 与圆的半径r 之间的函数关系是一次函数C ＝2πr ；B.若我国原有人口数为a ，x 年后人口数为y ，则y ＝a (1＋1%)x ，不是二次函数；C.距离一定，速度与时间之间的函数关系为反比例函数；D.正方体的表面积S 与棱长a 的关系为S ＝6a 2，符合二次函数关系．故选D.10. 若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2（x≤2），2x （x≥2），则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( D ) 同步练习A ．±6B ．±6或4C ．4D ．－6或4二、填空题1．若函数y ＝(m ＋1)x |m |＋1＋4x －5是二次函数，则m ＝__1__．【解】 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≠0，|m |＋1＝2，解得m ＝1. 2．[2018·聊城二模]某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x (x ＞0)，十二月份的快递件数为y 万件，那么y 关于x 的函数表达式是__y ＝10(x ＋1)2__．3．如图，在一幅长50 cm ，宽30 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y (cm 2)，金色纸边的宽为x (cm)，则y 与x 的关系式是__y ＝4x 2＋160x ＋1__500__．【解析】 由题意，得y ＝(50＋2x )(30＋2x )＝4x 2＋160x ＋1 500.三、解答题1. 已知函数y ＝(m 2－m )x 2＋(m －1)x ＋2－2m .(1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围．(2)若这个函数是一次函数，求m 的值．(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？【解】 (1)∵这个函数是二次函数，∴m 2－m ≠0，∴m (m －1)≠0，∴m ≠0且m ≠1.(2)∵这个函数是一次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m －1≠0，∴m ＝0. (3)不可能．∵当m ＝0时，y ＝－x ＋2，∴不可能是正比例函数．2．若函数y ＝(a －1)x b ＋1＋x 2＋1是二次函数，试讨论a ，b 的取值范围．【解】 分三种情况讨论：①a －1＋1≠0且b ＋1＝2，解得a ≠0，b ＝1.②a －1＝0且b 为任意实数，解得a ＝1，b 为任意实数．③a 为任意实数且b ＋1＝1或0，解得a 为任意实数，b ＝0或－1.综上所述，当a ≠0，b ＝1或a ＝1，b 为任意实数或a 为任意实数，b ＝0或－1时，y ＝(a －1)x b ＋1＋x 2＋1是二次函数．3．如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20 cm ，AC 与MN 在同一条直线上．开始时点A 与点N 重合，正方形MNPQ 不动，△ABC 以2 cm/s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合．(1)求重叠部分的面积y (cm 2)与时间t (s)之间的函数表达式和自变量的取值范围．(2)分别求当t ＝1，2时，重叠部分的面积．【解】 (1)设运动过程中AB 与MQ 相交于点H .易知重叠部分是等腰直角三角形，AN ＝2t (cm)，∴AM ＝MN －AN ＝(20－2t )cm ，∴MH ＝AM ＝(20－2t )cm ，∴重叠部分的面积y ＝12(20－2t )2＝2t 2－40t ＋200，自变量的取值范围是0≤t ≤10. (2)当t ＝1时，重叠部分的面积y ＝2－40＋200＝162(cm 2)；当t ＝2时，重叠部分的面积y ＝8－80＋200＝128(cm 2)．4.如图111，有一堵墙长10 m ，且有一篱笆长24 m ．现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的一边长AB 为x (m)，面积为S (m 2)．(1)求S 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围．(2)当围成的花圃面积为45 m 2时，求AB 的长．【解析】 (1)篱笆长24 m ，即BC ＋3AB ＝24 m ，由此可用含有x 的式子表示BC 的长，再根据矩形的面积计算公式即可列出函数表达式．求自变量的取值范围时，要注意隐含的条件为0＜BC ≤10.∵AB ＝x (m)，∴BC ＝(24－3x )m ，∴S ＝x (24－3x )＝－3x 2＋24x .∵0＜BC ≤10，即0＜24－3x ≤10，∴143≤x ＜8， ∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－3x 2＋24x ，自变量x 的取值范围是143≤x ＜8. (2)若S ＝45 m 2，则－3x 2＋24x ＝45，解得x 1＝3，x 2＝5.∵143≤x ＜8，∴x ＝5，即AB 的长为5 m.5. 如图，用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并解答下列问题：(1)在第n 个图形中，每一横行共有(n ＋3)块瓷砖，每一竖列共有(n ＋2)块瓷砖(均用含n 的代数式表示)．(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与(1)中的n 之间的函数表达式(不要求写出自变量n 的取值范围)．(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值． (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？(5)是否存在黑、白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明．【解】 (2)y ＝(n ＋3)(n ＋2)，即y ＝n 2＋5n ＋6.(3)当y ＝506时，n 2＋5n ＋6＝506，解得n 1＝20，n 2＝－25(不合题意，舍去)，∴n ＝20.(4)白瓷砖的块数是n (n ＋1)＝20×21＝420，黑瓷砖的块数是506－420＝86，∴共需花86×4＋420×3＝1604(元)．(5)令n (n ＋1)＝(n 2＋5n ＋6)－n (n ＋1)，即n 2－3n －6＝0，解得n 1＝3＋332，n 2＝3－332. ∵n 的值不是正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．。
浙教版九年级上册数学 第一章 二次函数 单元全套课后习题重点练习课件
当k＝－2时，函数表达式为y＝－3x2＋1，二次项 系数为－3，一次项系数为0，常数项为1.
12．某商店以每双42元的价格购进一种皮鞋，根据试 销得知这种皮鞋每天的销售量t(双)与每双的售价 x(元)之间可以看成一次函数关系t＝－4x＋204.请 写出每天的销售利润y(元)与每双的售价x(元)之间 的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
∴x＝1.当 x＝1 时，y＝x2＋x＋1＝1＋1＋1＝3.故选 C.
5．二次函数y＝2x2－bx＋c满足：当x＝1时，y＝0；
当x＝－2时，y＝－3，则b，c的值分别是( A )
A．－3，－5
B．－3，－4
C．3，4
D．3，－5
6．已知函数y＝x2＋2x＋m，当x＝1时，y的值为 －12，那么当x＝2时，y的值为( C ) A．－15 B．－11 C．－7 D．12
【解析】本题最终要求的是y与x之间的函数关系式， 即式子中不应该含有t，于是在运算过程中，应利 用t与x之间的关系式将t代换掉．
372x－8 568.因为每双进价为42元，所以x≥42. 而销售量t≥0，故－4x＋204≥0，即x≤51. 所以自变量x的取值范围为42≤x≤51.
A．y是关于x的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
3．下列说法中，正确的是( B ) A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式 S＝πr2 中，S 是关于 r 的二 次函数 C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质(3种题型)九年级知识点(浙教版)(解析版)
二次函数y=ax^2+bx+c(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释：加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．2(0)y ax bx c a =++≠=−+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++−+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a −⎛⎫=++⎪⎝⎭2()y a x h k =−+2b h a =−244ac b k a−=2y ax bx c =++2b x a =−24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质向上 向下直线 直线2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠20()y ax bx c a =++≠2b x a=−b x =−2.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当值的情况．20()y ax bx c a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2bx a=−244ac b y a−=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值【考点剖析】题型一、二次函数的图象与性质例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】解法1（配方法）：． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法2（公式法）：∵，，，∴ 11122()2bx a=−=−=⨯−，．∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法3（代入法）：∵，，，∴．将代入解析式中得，．2(0)y ax bx c a =++≠2142y x x =−+−2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =−+−=−−−=−−+−−211(1)422x =−−+−217(1)22x =−−−71,2⎛⎫− ⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯−⨯−− ⎪−⎝⎭==−⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭71,2⎛⎫− ⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−111222b x a=−=−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭1x =21711422y =−⨯+−=−∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).（2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.例2．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax2+bx+c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．71,2⎛⎫− ⎪⎝⎭1x =24,24b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭2286y x x =−+−【解析】解：∵y=ax2+bx+c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，三象限． 故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可 以判断a 、b 的取值范围．例3. 抛物线与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 【答案与解析】(1)由抛物线与y 轴交于(0，3)可得m ＝3．∴ 抛物线解析式为，如图所示．(2)由得，．∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)．∵，∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．2(1)y x m x m =−+−+2(1)y x m x m =−+−+223y x x =−++2230x x −++=11x =−23x =2223(1)4y x x x =−++=−−+【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁． (1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，【变式】某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．题型二、二次函数的最值例4．求二次函数的最小值.【答案与解析】解法1(配方法)：∵，∴ 当x ＝-3时，．解法2(公式法)：∵，b ＝3，2(0)y ax bx c a =++≠211322y x x =++2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++−+21(3)42x =+−4y =−最小102a =>12c =∴ 当时，．解法3(判别式法)：∵，∴ ．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度 灵活去选择．【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？【答案】（0<L <30）．（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．例5. 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3． 【答案与解析】∵ ， ∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．331222b x a =−=−=−⨯22114341922414242ac b y a ⨯⨯−−−====−⨯最小211322y x x =++26(12)0x x y ++−=2690x x ++=(30)S L L =−2(30)L L =−−2(15)225L =−−+15L ∴=223y x x =−−2223(1)4y x x x =−−=−−4y =−最小值(2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x ≤3)的图象是 抛物线的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，；当x ＝2时，．【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取 值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x ≤3为图中实线 部分，易看出x ＝3时，；x ＝2时，．题型三、二次函数性质的综合应用例6．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：； （2）求bc 的最大值． 【答案与解析】（1）∵ 的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）．∴ 当时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解．【变式】如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．223y x x =−−223y x x =−−232330y =−⨯−=最大值222233y =−⨯−=−最小值223y x x =−−0y =最大值3y =−最小值2(0)y ax bx c a =++≠21y x bx c =+++24c b =−−21y x bx c =+++22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =−−=−+=−++1b =−其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．例7.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【答案】D．【解析】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，，∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a ＞；故④正确 ⑤∵a ＞0，∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；故⑤正确； 故选：D ．【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 例8. 一条抛物线经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1．（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则 解得∴ 所求抛物线的解析式为． 列表：描点、连线，如图所示：2y ax bx c =++x 2y =4x =420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1,42,3.a b c ⎧=−⎪⎪=⎨⎪=−⎪⎩21234y x x =−+−（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10，观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点． (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得． 【变式】已知二次函数（其中a >0，b >0，c <0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个 在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C.【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江温州·统考二模）将二次函数282y ax ax =−+的图象向左平移m 个单位后过点()5,2，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，再代入坐标求解即可． 【详解】解：将二次函数()22824216y ax ax a x a=−+=−+−的图象向左平移m 个单位后的函数解析式为()24216y a x m a=−++−，∵平移后的图象经过点()5,2，0a ≠，0m >，∴()2542162am a −++−=，解得3m =或5m =−（舍去），故选：B ．2y ax bx c =++【点睛】本题考查二次函数的图象平移，解一元二次方程，熟练掌握图象平移规则是解答的关键． 2．（2023春·浙江·九年级阶段练习）在同一坐标系中，一次函数2y ax b =+与二次函数2y x a =−的图象可能是（ ）A． B ．C ．D ．【答案】C【分析】对a b 、的符号分类讨论即可确定正确的选项．【详解】当0a >时，一次函数2y ax b =+经过一、二、三象限，二次函数2y x a =−开口向上，顶点在y 轴的负半轴，B 不符合，C 符合要求；当a<0时，一次函数2y ax b =+经过一、二、四象限，二次函数2y x a =−开口向上，顶点在y 轴的正半轴，A 、D 选项均不符合； 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小．3．（2023·浙江温州·统考二模）若把二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是（ ） A ．直线 2.5x =− B ．直线 2.5x = C ．直线 1.5x =− D ．直线 1.5x =【答案】D【分析】先将一般式化成顶点式222424b ac b y ax bx c a x a a −⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，然后分别求出平移后的函数解析式为224424b ac b y a x a a −⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，224124b ac by a x a a −⎛⎫=+−+⎪⎝⎭，将()00，代入整理得1640a b c ++=①，0a b c −+=②，−①②得1550a b +=，解得3b a =−，进而可得对称轴．【详解】解：222424b ac b y ax bx c a x a a −⎛⎫=++=++⎪⎝⎭， 向左平移4个单位的函数解析式为224424b ac by a x a a −⎛⎫=+++⎪⎝⎭，将()00，代入整理得1640a b c ++=①，向右平移１个单位的函数解析式为224124b ac by a x a a −⎛⎫=+−+⎪⎝⎭， 将()00，代入整理得0a b c −+=②，−①②得1550a b +=，解得3b a =−，∴ 1.52ba −=， ∴二次函数图象的对称轴为直线 1.5x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的对称轴．解题的关键在于写出二次函数图象平移后的函数解析式．【答案】C【分析】根据二次函数的性质即可得到正确的选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，且0a ≠），当1x ≥时，则6y m ≤−，当1x <时，则y m ≤，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x ≥时，y 随x 的增大而减小， ∴0a <，∵当1x <时，则y m ≤， ∴二次函数的最大值为：m ，∵抛物线2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，且0a ≠）过点(2,)P m −，∴抛物线的解析式为：()22y a x m=++，∵当1x ≥时，则6y m ≤−，∴抛物线2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，且0a ≠）过点()16m −，，∴69m a m −=+， ∴23a =−，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，明确题意是解题的关键． 5．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc >；②b a c >+；③420a b c ++>；④23c b >；⑤()a b m am b +>+ （1m ≠的实数）其中正确结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与y 轴的交点位置判断①；根据图象判断=1x −时，函数值的符号，判断②；根据对称性，判断2x =时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线1x =，与y 轴交于正半轴，∴a<0，12ba −=，0c >，∴20b a =−>， ∴<0abc ；故①错误；由图象可知：当=1x −时，对应的函数值小于0，即：<0a b c −+， ∴a c b +<；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴2x =和0x =的函数值相同，即：42a b c c ++=， ∵0c >，∴420a b c ++>；故③正确； ∵2b a =−，<0a b c −+， ∴102b b c −−+<，∴32c b<，即：23c b <；故④错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线1x =， ∴当1x =时，函数取得最大值为a b c ++， ∴()21a b c am bm c m ++>++≠，∴()()1a b m am b m +>+≠；故⑤正确；综上：正确的有3个； 故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，利用数形【答案】A【分析】求出当1m =−时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数()2211y m x x x =−−+−，当2210x x −−=时，y 的值与m 无关，求出x 的值，即可得到定点，即可判断②；求出1211313122222x x m m ⎛⎫−=−−−=+> ⎪⎝⎭，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于32；即可判断③；当0m <时，抛物线的对称轴为104m x m −=>，则抛物线开口向下，当14x >时，只有当对称轴在14x =右侧时，y 才随x 的增大而减小，即21210y y x x −<−成立，即可判断④．【详解】解：当1m =−时，二次函数221122222y x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭，此时函数图象的顶点坐标为12,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故①正确；当m≠0时，二次函数()()22221121211y mx m x m mx x mx m m x x x =+−−−=+−−−=−−+−，当2210x x −−=时，y 的值与m 无关，此时，1211,2x x ==−，当11x =时，0y =，当212x =−时，32y =−， ∴函数图象总过定点()1,0，13,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭：故②正确；当0y =时，()22110mxm x m +−−−=，∵0m >， ∵()()()222Δ1421961310m m m m m m =−−⨯−−=++=+>，∴12131131111,4422m m m m x x m m m −++−−−====−−，∴当0m >时，∴1211313122222x x m m ⎛⎫−=−−−=+> ⎪⎝⎭， ∴函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于32；故③正确；函数图象上任取不同的两点()111,P x y 、()222,P x y ，则当0m <时，抛物线()2211y mx m x m=+−−−的对称轴为11044m m x m m −−=−=>，∴抛物线开口向下，当14x >时，只有当对称轴在14x =右侧时，y 才随x 的增大而减小，即21210y y x x −<−成立，故④错误，综上可知，正确的是①②③， 故选：A【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．二、填空题7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在同一坐标系中画出函数242y x x =−+−和24y x x =−+的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______． 【答案】对称轴都为2x =（答案不唯一）【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可． 【详解】如图所示，由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为2x =， 故答案为：对称轴都为2x =（答案不唯一）．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．8．（2019秋·浙江·九年级统考阶段练习）抛物线的图象如图，当x____________时，y ≤0．【答案】1x 3≤≤【分析】由图观察得出y=0时所对的x 的值，再根据开口方向，从而确定y ≤0时，x 的取值范围. 【详解】由图观察得出y=0时，x=1或x=3，又知开口向上，则 y ≤0时，1x 3≤≤.【点睛】本题是对二次函数图像的考查，准确找到而从函数零点位置是解决本题的关键，难度较小. 9．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）若将二次函数2(2)1y x =+−的图象向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，所得图象的函数表达式为2(3)4y x =+−，则h=______；k=______． 【答案】 1 3【分析】根据函数图象的平移规则：左加右减、上加下减，即可得到答案．【详解】解：二次函数2(2)1y x =+−的图象向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，所得图象的函数表达式为2(3)4y x =+−，13h k ∴==，，故答案为：1，3．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规则：左加右减、上加下减是解题的关键．10．（2023秋·浙江·九年级期末）二次函数221y x x =−+−，当x 满足2m x m ≤≤+时，函数的最大值为4−，则m 的值为__________.【答案】3−或3【分析】分x 在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可．【详解】由二次函数221y x x =−+−得：0a <，∴抛物线开口向下，对称轴是1x =，如下图所示，当4y =−时，有2214x x −+−=−，解得=1x −或3，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大，21x m ∴=+=−时，y 有最大值4−，3m ∴=−，当1x >时，y 随x 的增大而减小，3x m ==时，y 有最大值4−，3m ∴=−或3m =．故答案为3−或3．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题关键．【答案】41x −≤≤【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于()()1241A y B y −，，，，∴不等式2ax c kx m +≥+的解集是41x −≤≤．故答案为41x −≤≤．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图像的理解，谁大谁的图象在上面． 12．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数241y x x =−+，当14x −<<时，y 的取值范围是_______． 【答案】36y −≤<【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．【详解】解：2241(2)3y x x x =−+=−−，∴抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,3)−，将=1x −代入241y x x =−+得1416y =++=，∴当14x −<<时，y 的取值范围是36y −≤<，故答案为：36y −≤<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不等式的关系．【答案】 5 1【分析】先把解析式配成顶点式得到()221y x =++，由于30x −≤≤，根据二次函数的性质得0x =时，y 的值最大；当2x =−时，y 有最小值，然后分别计算对应的函数值．【详解】解：()224521y x x x =++=++，当2x =−时，y 有最小值1，∵30x −≤≤，∴0x =时，y 的值最大，最大值为5；当2x =−时，y 有最小值1，故答案为：5；1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最小值． 14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()20A −，， 顶点坐标为()2n ，， 与y 轴的交点在()()0304，，，之间 （包含端点）， 则a 的取值范围为___________．【答案】1134a −≤≤−/1143a −≥≥− 【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到12ca =−，利用c 的取值范围可以求得a 的取值范围．【详解】∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()20A −，，对称轴2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标分别是()60，，∴2612−⨯−＝，∴12c a =−，则12c a =−． ∵y 轴的交点在()()0304，，，之间 （包含端点），∴34c ≤≤， ∴113124c −≤−≤−，即1134a −≤≤−． 故答案为：1134a −≤≤−． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x 轴交点坐标与系数的关系．二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）抛物线()21y x m x m =−+−+与y 轴交点坐标是()0,3．(1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求抛物线与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3)当x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？【答案】(1)3m =，见解析(2)抛物线与x 轴的交点为()()1,03,0−,，顶点坐标为()1,4(3)当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小【分析】（1）把()0,3代入解析式，可求出m 的值，再画出抛物线解析式，即可求解；（2（3）直接观察抛物线图象，即可求解．【详解】（1）解：∵()21y x m x m =−+−+与y 轴交点坐标是()0,3，∴3m =，∴抛物线的解析式为223y x x =−++． 列表如下：函数图象如图∶（2）解：由函数图象得，抛物线与x 轴的交点为()()1,03,0−,，顶点坐标为()1,4；（3）解：由函数图象可知，当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1)2−，，(213)−，． (1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在0x m ≤<的取值范围内，有最小值3−，有最大值1，求m 的取值范围．【答案】(1)抛物线解析式为241y x x =−+，对称轴为2x =；(2)24m <≤【分析】（1）把点(1)2−，，(213)−，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．【详解】（1）解：将点(1)2−，，(213)−，代入抛物线2y x bx c =++，得 211342b c b c −=++⎧⎨=−+⎩，得41b c =−⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为241y x x =−+， 对称轴为：4222b x a −=−=−=；（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，由图象可知：当24m <≤时，y 的最小值为3−，最小值为1，∴当0x m ≤<时，对应的函数的的最小值为3−，最小值为1，m 的取值范围为24m <≤．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． (1)用配方法将此函数化为2()y a x h =−+(2)画出此函数的图象，并结合图象直接写出【答案】(1)()2222y x =−−，顶点坐标为()22−，(2)图象见解析，13x <<【分析】（1）根据题意，化为顶点式即可求解；（2）根据顶点以及,x y 轴的交点，利用函数对称性画出函数图象，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：2286y x x =−+()2222x =−−即()2222y x =−−∴顶点坐标为()22−， （2）令0y =，22860x x −+=，解得：121,3x x ==令0x =，解得：6y =如图所示，根据函数图象可知，当13x <<时，0y <．【点睛】本题考查了画二次函数图象，顶点式，根据图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键．【答案】(1)23y x x =−+； (2)3n =或2n =；(3)54m >．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用平移的性质得到平移后的函数解析式为2111124y x n ⎛⎫=−++− ⎪⎝⎭，再代入()22B −，，解方程即可求解； （3）把点154P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入，求得a 的值，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数23y x bx =++的图象经过点()13A ，， ∴313b =++，解得1b =-，∴该函数解析式为23y x x =−+；（2）解：22111324y x x x ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭， 将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n 个单位后， 函数解析式为2111124y x n ⎛⎫=−++− ⎪⎝⎭，把点()22B −，代入得211122124n ⎛⎫=−−++− ⎪⎝⎭， 整理得25124n ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 解得3n =或2n =；（3）解：对于211124y x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，对称轴为12x =，当12x =时，函数的最小值为114， ∵点154P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在该函数图象上， ∴211115244a ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，解得32a =或12a =−， 当32a =，即32x ≤时，函数的最小值为114， 此时1144m −<，解得54m >； 当12a =−，即12x ≤−时，函数的最小值为21111152244⎛⎫−−+= ⎪⎝⎭， 此时1544m −<，解得14m >； 综上，54m >． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移变换，待定系数法求函数解析式，能结合题意确定m 的取值范围是解题的关键．【答案】(1)2a b =−(2)①4b >；②见解析【分析】（1）将()1,1−−，()0,1两点代入抛物线2(0)y ax bx c a =++≠中，进而得出答案；（2）①根据2x =−时，1y >，可得4211a b −+>，结合（1）中的结论可得答案；②表示二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）解：将()1,1−−和()0,1代入2y ax bx c =++，得1c b a −=−+①，1c =②，将②代入①得，2a b =−；（2）①解：∵2x =−，1y >，∴4211a b −+>，∵2a b =−，∴()42211b b −−+>，解得，4b >；②证明：∵2y ax bx c =++， ∴抛物线的对称轴142242b b x a b b =−=−=−−，∵4b >， ∴401b <<， ∴111422b −<<−−，∵20a b =−>，∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大， ∵12n m >≥−，∴Q 点在P 点的右侧，∴21y y >．【点睛】二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键． 20．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，二次函数2y x ax b =++的图像与直线3y x =−+的图像交于A ，B 两点，点A 的坐标为()4,7−，点B 的坐标为()1,2.(1)求二次函数2y x ax b =++的表达式.(2)点M 是线段AB 上的动点，将点M 向下平移()0h h >个单位得到点N .①若点N 在二次函数的图像上，求h 的最大值.②若4h =，线段MN 与二次函数的图像有公共点，请求出点M 的横坐标m 的取值范围.【答案】(1)221y x x =+−； (2)①max 254=h ，②43m −≤≤−或01m ≤≤【分析】（1）待定系数法计算即可．（2）①设点M 的坐标为()(),341−+−<<m m m ，则点N 的坐标为(),3−+−m m h ，把(),3−+−m m h 代入221y x x =+−构造h 为函数的二次函数计算即可． ②当4h =，点N 的坐标为(),1m m −−代入解析式，确定m 的值，结合图像计算即可． 【详解】（1）把()4,7−，()1,2代入2y x ax b =++得：491a b a b −+=−⎧⎨+=⎩，解得2a =，1b =-，∴221y x x =+−． （2）①设点M 的坐标为()(),341−+−<<m m m ，则点N 的坐标为(),3−+−m m h ．把(),3−+−m m h 代入221y x x =+−，得： 234=−−+h m m ， 232524⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭h m ， ∵10a =−<，当32m =−时，且满足41m −<<，∴max 254=h ． ②设点M 的坐标为()(),341−+−<<m m m ，则点N 的坐标为(),3−+−m m h .当4h =，点N 的坐标为(),1m m −−，把(),1m m −−代入得：230m m +=， ∴0m =或3m =−．∴43m −≤≤−或01m ≤≤．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．。
最新二次函数知识点总结及典型例题
浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y二ax2・bx c（a,b,c是常数，a 0），特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数。
2y = ax bx c（a,b,c是常数，a = 0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x二—对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法----- 五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线y =ax2• bx - c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
_ 2【例1】、已知函数y=x -2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说出x取哪些值时，①y=0 :②y<0 :③y>0知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般两根三顶点（1）—般一般式：y = ax2• bx • c（a, b, c是常数，a = 0）（2）两根当抛物线y = ax2• bx • c与x轴有交点时，即对应的一元二次方程ax2 bx 0有实根乂勺和2 2x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax ■ bx ■ c =a（x - xj（x - x2），二次函数y = ax bx c可转化为两根式y =a（x -x j（x -X2）。
浙教版九年级上册 第2讲 二次函数性质和应用
二次函数性质与应用a>0 a<0(1)当a>0时，抛物线开口向，并向无限延伸，顶点是它的最点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右，在对称轴的右侧，抛物线自左右 . (1)当a<0时，抛物线开口向，并向无限延伸，顶点是它的最点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右；在对称轴右侧，抛物线自左向右 .总结：抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 的作用．1、抛物线y=（x ﹣1）2+3的对称轴是（ ） A ． 直线x=1 B ． 直线x=3 C ． 直线x=﹣1 D ． 直线x=﹣32、抛物线y=﹣2x 2﹣x+1的顶点在（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限D ． 第四象限3、如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b 2﹣4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（ ）A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 1个4、如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为（ ）a ，b ，c 的代数式 作用字母的符号a1. 决定抛物线的开口方向；2. 决定增减性a>0 a<0 c决定抛物线与y 轴交点的位置，交点 坐标为(0，c)c>0 c=0 c<0决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 ab<0b 2-4ac决定抛物线与x 轴公共点的个数 b 2-4ac>0b 2-4ac=0 b 2-4ac<0A．1B．2C．3D．45、根据下列表格的对应值：x89101112ax2+bx+c﹣4.56﹣2.01﹣0.38 1.2 3.4判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．8＜x＜9B．9＜x＜10C．10＜x＜11D．11＜x＜126、抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为．7、将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．8、将抛物线y=2（x﹣1）2+3绕着原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为．9、如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为．10、如图，Rt△AOB中，AB△OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．11、如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为（）A．6B．4C．3D．112、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0）．点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）抛物线的解析式为；（2）△MCB的面积为．13、抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3），（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．14、在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长．15、如图所示，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上．（1）求抛物线y=ax2的函数关系式；（2）正方形OABC继续按顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线y=ax2的图象上并求这个点的坐标．（参考数据：sin30°=，cos30°=，tan30°=．）16、已知一个二次函数的图象经过如图所示的三个点．（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线l的解析式为y=，抛物线与x轴交于A、B两点，在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线l与x轴间的距离．求点P的坐标．17、如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？18、某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？19、已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．20、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（，m）是抛物线y=ax2+bx+c上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．21、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（3，6）三点，且与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F的坐标为（0，﹣），直线BF交抛物线于另一点P，试比较△AFO与△PEF的周长的大小，并说明理由．22、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线时的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？23、某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次出发的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）00.160.20.40.60.640.86X（米）00.40.51 1.5 1.62…y（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25…（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．①y用含α的代数式表示k；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求α的值．24、某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y=．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？25、如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？26、如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，△PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①t为何值时△MAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．。
二次函数的图象与性质(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
二次函数y=ax^2＋c(a ≠0)与y=a （x-h)^2＋k(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象（1）（2）2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：>a 0<a 0=+≠y ax c a (0)2jjjj向上 向下 (0，c) (0，c) 3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到的图象. 要点诠释：函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已． 二、函数2()(0)y a x h a =−≠与函数2()(0)y a x h k a =−+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =−≠的图象与性质()20y ax a =≠()20y ax c a =+≠()20y ax a =≠()20y ax c a =+≠2(0)y ax c a =+≠2(0)y ax a =≠||c2.函数2()(0)y a x h k a =−+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 三、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2()+(0y a x h k a =−≠）()2y a x h k =−+()h k ，2y ax =()h k，h k要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【考点剖析】题型一、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质例1．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线． 【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为， 又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ ，解得．∴ 所求抛物线为．【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式． 例2．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．2=++y ax bx c y m 2=++y ax bx c 2=+++y ax bx c m 2=++−y ax bx c m 2=++y ax bx c m 2=++y ax bx c 2()()=++++y a x m b x m c 2()()=−+−+y a x m b x m c =−+y x 2312=−+y x 231221=−k 5=−y x 2512=+y ax 12+=−a 912=−a 31=−+y x 3112a ||a k =+y ax k 2=−y x 2=−+y x 12(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．(1)抛物线向 下 平移 1__个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是 向下 ，对称轴为___ y 轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；(3)抛物线，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小； 当x ＝0__时，函数y 有最 大 值，其最 大__值是 1 ．【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．例3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．21y x =−+2y x =−21y x =−+21y x =−+21y x =−+2y x =−21y x =−+21y x =−+21y x =−+2y x =−2(0)y ax k a =+≠2(0)y ax a =≠2(0)y ax k a =+≠2(0)y ax a =≠(0)k >(0)k <||k【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a ＜0）， ∵点A （-4，0）或B （4，0）在抛物线上， ∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6，．故抛物线的函数关系式为.（2）过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，连接PB ，则PQ=4.5m ．将y=4.5代入，得x=±2．∴P （-2，4.5），Q （-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，从而所以照明灯与点B 的距离为7.5m ．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A （-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m ，即y=4.5时，求x 的值，再根据P 点坐标，勾股定理求PB 的值.38a =−2368y x =−+2368y x =−+7.5m =【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． (2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． (3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线. 【答案】(1)下；y 轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10.例4. 根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a -2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a -2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线．【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a ＜2．(2)由题意得，3a-2＜0，解得．(3)由题意得，，解得，． (4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a ＞0，∴ a ＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）．【答案】B.225y x =−−2y ax c =+23y x =2172y x =−+2132y x =−−212y x =−2a ay ax +=23a <1|2|2a +=−152a =−232a =−220a a a ⎧+=⎨>⎩y ax c =+2y ax c =+例5.在同一坐标系中，一次函数y=ax +b 与二次函数y=ax 2﹣b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【总结升华】先由一次函数y=ax+b 图象得到字母a 、b 的正负，再与二次函数y=ax2﹣b 的图象相比较看是否一致． 【答案】D. 【解析】解：A 、由直线y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限可知：a ＜0，b ＜0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，A 不正确；B 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向下， ∴a ＜0，B 不正确；C 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，C 不正确；D 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上，顶点在y 轴负半轴， ∴a ＞0，b ＞0，D 正确． 故选D ．【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a 、b 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．题型二、二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠图象及性质例6．二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ． 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可． 【答案】（3，2），直线x=3．【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2；顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3． 故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．【答案】. 例7．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.例8.已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；23y x =−23127y x x =−+−21(3)42y x =−+212y x =2()y a x h k =−+212y x =−2()y a x h k =−+212y x =−2()y a x h k =−+(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，∴，1h =，．(2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2． (4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2．【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．2()y a x h k =−+212y x =−21(1)22y x =−−+12a =−2k =21(1)22y x =−−+212y x =−21(1)22y x =−−+1x <1x >212y x =−2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+21(1)12y x =−+−2()y a x h k =−+【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.例9.二次函数y=（x ﹣1）2+1，当2≤y ＜5时，相应x 的取值范围为 ．【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x 的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x 的取值范围．【答案】﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3． 【解析】解：当y=2时，（x ﹣1）2+1=2， 解得x=0或x=2，当y=5时，（x ﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1， 又抛物线对称轴为x=1， ∴﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3．【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x 的值，再结合图象确定x 的取值范围．题型三、二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠性质的综合应用例10．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣， ∴二次函数解析式为y1=﹣（x ﹣2）2=﹣a2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ，1,1,52a h k =−==−把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y1＜y2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．例11.在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案与解析】 （1）列表：描点、连线，可得抛物线．将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．抛物线，与开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．212y x =2132y x =+2132y x =−212y x c =+212y x =212y x=2132y x =+2132y x =−212y x =2132y x =+2132y x =−（2）抛物线的开口向上，对称轴是y 轴（或直线），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：．例12.已知：二次函数y=x 2﹣4x+3．（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3， ∴y=（x ﹣2）2﹣1， ∴对称轴为：直线x=2， ∴顶点（2，﹣1）； （2）令y=0， 则，x2﹣4x+3=0， ∴（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴x1=1，x2=3，∴与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 【变式】已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ； （2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1； 故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．212y x c =+0x =212y x=2y ax k =+k ←⎯⎯⎯⎯⎯向上平移个单位2y ax =k ⎯⎯⎯⎯→向下平移个单位2(0)y ax k k =−>例13. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得， ∴ ．由待定系数法可求出，∴．(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知． ∴ ．(3)根据图象知或时，有．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A 、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．【过关检测】一、单选题1．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）二次函数22y x =−的顶点坐标是（ ） A ．（0，0）B ．（0，﹣2）C ．（0，2）D ．（，0）211)y x =+2y kx b =+12y y >211)y x =+y =A b =k =2y =+211)y x =+(B −122ABC S =⨯=△0x >1x <−12y y >【分析】直接2y ax k =+根据的性质求解即可．【详解】解：二次函数22y x =−的顶点坐标是（0，﹣2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数2y ax k =+ (a ，h ，k 为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数2y ax k =+的性质是解答本题的关键．2y ax k =+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(0，k)，对称轴是y 轴．2．（2023·浙江宁波·统考二模）已知点()11,A x y ，()22,B x y 是二次函数()233y x =−+上的两点，若123x x <<，126x x +>，则下列关系正确的是（ ）A ．123y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<【答案】B【分析】根据二次函数的性质，进行分析即可得出结论． 【详解】解：∵()233y x =−+，对称轴为3x =，10a =>，∴抛物线的开口向上，当3x =时，函数取得最小值，3y =，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵123x x <<，126x x +>，∴点,A B 在对称轴的两侧，且1233x x −<−，∴123y y <<；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）对于二次函数()223y x =−+的图象，下列说法不正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是直线3x =−C ．顶点坐标为()30−，D ．当3x <−时，y 随x 的增大而减小【分析】根据二次函数的图象和性质，即可进行解答． 【详解】解：A 、∵20a =−<，∴函数图象开口向下，故A 正确，不符合题意； B 、对称轴是直线3x =−，故B 正确，不符合题意； C 、顶点坐标为()30−，，故C 正确，不符合题意；D 、∵函数图象开口向下，对称轴是直线3x =−，∴当3x <−时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数()2y a x h =−的顶点坐标为()0h ，，对称轴为x h =，当0a >时，函数图象开口向上，当a<0时，函数图象开口向下．4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知()14.4,A y −，()23.3,B y −为抛物线()21y x =−+上的两点，则下列结论一定成立的是（ ） A ．210y y << B ．120y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】C【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴位置，再根据增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线()21y x =−+的对称轴为直线=1x −，开口向下，顶点坐标为：()10−，，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大， 又∵ 4.4 3.31−<−<−， ∴120y y <<，故选 C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）设函数()112y x a =−，()222y x a =−，()323y x a =−．直线x b =的图象与函数1y ，2y ，3y 的图象分别交于点()1,A b c ，()2,B b c ，()3,C b c ，（ ） A ．若123b a a a <<<，则312c c c << B ．若123a b a a <<<，则123c c c << C ．若123a a b a <<<，则321c c c << D ．若123a a a b <<<，则321c c c << 【答案】D【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x b =与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示，A ．由图象可知，若123b a a a <<<，当x b =时，123c c c <<，故选项错误，不符合题意；B ．由图象可知，若123a b a a <<<，，当x b =时，123c c c <<不一定成立，故选项错误，不符合题意；C ．由图象可知，若123a a b a <<<，当x b =时，321c c c <<不一定成立，故选项错误，不符合题意；D ．由图象可知，若123a a a b<<<，当x b =时，321c c c <<，故选项正确，符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．6．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）若二次函数2y 2(x 1)1=−−的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【分析】根据顶点坐标，进行判断即可．【详解】解：∵2y 2(x 1)1=−−，∴顶点坐标为：()1,1-，∴顶点坐标在第四象限， ∴原点在函数顶点的左上方， 由图可知，坐标原点只可能是点A ； 故选A ．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．【答案】C【分析】根据题意分别画出12,y y 的图象，继而根据图象即可求解．【详解】解：∵直线1x =的图象与函数1y ，2y 的图象分别交于点()11,A c ，()21,B c ，A. 若121a a <<，如图所示，则12c c >B. 若121a a <<，如图所示，则12c c >则12c c <，故B 选项不合题意，C. 若121a a <<，如图所示，∴12c c <，故C 选项正确，D 选项不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．【答案】C【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．【详解】解：A 、2(0)y x x =−>中，20k =−<，则当0x >时，y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立；B 、∵2(2)5(0)y x x =−+≥的对称轴为直线2x =，∴当02x <<时，y 随x 的增大而减小，当2x >时y 随x 的增大而增大， ∴当2x >时，当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立；C 、∵2(3)4(0)y x x =−−<的对称轴为直线3x =，∴当3x <时，y 随x 的增大而减小， ∴当0x <时，当12x x >时，必有12y y <，此时21210y y x x −<−，故本选项成立；D 、∵37y x =+中，30k =>， ∴y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键．二、填空题【答案】a ＞2【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a ＜0． 【详解】∵抛物线y=（2-a ）x2+2开口向下， ∴2-a ＜0，即a ＞2， 故答案为：a ＞2．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）来说，当a ＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）开口向上；当a ＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）开口向下．10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）二次函数()()232y x h t x t =−++≤≤+的图象上任意二点连线不与x 轴平行，则t 的取值范围为______．【答案】5t ≤−或3t ≥−【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答． 【详解】解：∵二次函数表达式为()()232y x h t x t =−++≤≤+，∴该函数的对称轴为直线3x =−， ∵图象上任意二点连线不与x 轴平行， ∴3x ≤−或3x ≥−， ∵2t x t ≤≤+，∴233t t +≤−⎧⎨≥−⎩，解得：5t ≤−或3t ≥−． 故答案为：5t ≤−或3t ≥−．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．【答案】()2213y x =−−或()2213y x =−−−【分析】根据二次函数的顶点坐标为()1,3−，可得可设这个二次函数的解析式为()213y a x =−−，再根据图象的形状和与抛物线22y x =相同，可得2a =±，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为()1,3−，∴可设这个二次函数的解析式为()213y a x =−−，∵二次函数图象的形状与抛物线22y x =相同，， ∴2=a ，∴2a =±，∴这个二次函数的解析式为()2213y x =−−或()2213y x =−−−．故答案为：()2213y x =−−或()2213y x =−−−．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．12．（2022·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________ 【答案】（-1,3）【分析】根据抛物线的对称性即可得到点B 的坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为1x =，点A （3,3）， ∴点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为（-1,3）【点睛】本题主要考查二次函数图形的性质和特征，应用对称性性是解题的关键．13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知点()11,A x y 、()22,B x y 为抛物线()22y x =−上的两点，如果122x x <<，那么1y ______2.(y 填“>”“<”或“=”)【答案】>【分析】根据函数的表达式即可得出该函数的对称轴和开口方向，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性即可解答．【详解】解：抛物线表达式为：()22y x =−，∴函数开口向上，对称轴为2x =，∴当2x <时，y 随x 的增加而减小，2x >时，y 随x 的增大而增大， ∵122x x <<，∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．【答案】23(2)32y x =++【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】抛物线的顶点为(2,3)−∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =−+相同32a ∴=则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++故答案为：23(2)32y x =++．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线22(3)4y x =−++的开口方向是______． 【答案】向下【分析】由函数解析式可得20a =−<，结合抛物线的性质即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，∵22(3)4y x =−++，∴20a =−<， 故答案为：向下．【点睛】本题考查抛物线的性质：a<0开口向下，正确理解二次函数的性质是解题的关键．16．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数()2y x a =−+，当4x ≤−时，y 随x 的增大而增大；当4x ≥−时，y 随x 的增大而减小，当0x =时，y 的值是______． 【答案】16−【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为4x =−，从而确定a 值，得到二次函数解析式为()24y x =−+，将0x =代入即可得到结论．【详解】解：二次函数()2y x a =−+，当4x ≤−时，y 随x 的增大而增大；当4x ≥−时，y 随x 的增大而减小，4x a ∴=−=−，即4a =，∴二次函数解析式为()24y x =−+，当0x =时，()20416y =−+=−，故答案为：16−．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．17．（2020·浙江·模拟预测）无论a 取什么实数，点()21,241P a a a −−+都在二次函数y 上，(,)Q m n 是二次函数y 上的点，则2421m n −+=_____________． 【答案】3【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q （m ，n ）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m ，n 的等式进一步整理得出答案即可．【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1， ∴可得：y=2x2-1，∵Q （m ，n ）是二次函数y=2x2-1上的点， ∴2m2-1=n ， ∴2m2-n=1，所以4m2-2n+1=2（2m2-n ）+1=3 故答案为：3．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二次函数．18．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数2(1)10y x =−−+，当m x n ≤≤，且0mn <时，y 的最小值为2m ，y 的最大值2n ，则m n +的值为___________． 【答案】2【分析】由题意可得0m <，0n >，则y 的最小值为2m 为负数，最大值为2n 为正数．分两种情况讨论：①当1n <时，x m =时，y 取最小值，求出m 的值，当x n =时，y 取最大值，可求得n 的值，即可得到m n +的值；②当1n ≥时，当x m =时，y 取最小值，求出m 的值，当1x =时，y 取最大值，求出n 的值，或x n =时，y 取最小值，1x =时，y 取最大值，分别求出m ，n 的值，故可求解．【详解】解：二次函数2(1)10y x =−−+的大致图象如下：0mn <时，y 的最小值为2m ，y 的最大值为2n ，0m ∴<，0n >，①当1n <时，x m =时，y 取最小值，即()22110m m =−−+， 解得：3m =−．当x n =时，y 取最大值，即()22110n n =−−+， 解得：3n =或3(n =−均不合题意，舍去)；②当1n ≥时，当x m =时，y ()22110m m =−−+， 解得：3m =−．当1x =时，y 取最大值，即()221110n =−−+， 解得：5n =，或x n =时，y 取最小值，1x =时，y 取最大值，()22110m n =−−+，5n =，3m ∴=−，所以352m n +=−+=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键．三、解答题19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图像以点()1,4A −为顶点，且过点()2,5B −． （1）求该函数的解析式；（2）直接写出y 随x 的增大而增大时自变量x 的取值范围．【答案】（1）223y x x =−−+；（2）1x <−【分析】（1）根据顶点坐标直接设解析式为顶点式，然后代入B 点坐标求解即可； （2）结合解析式，根据开口方向以及对称轴即可确定范围． 【详解】（1）设二次函数的解析式为()2y a x h k=−+．由题知：1h =−，4k =，则()214y a x =++，又∵二次函数图像过点()2,5B −∴()25214a −=++，∴1a =−．∴二次函数的解析式为：()221423y x x x =−++=−−+．（2）由（1）知当1x <−时，y 随x 的增大而增大．【点睛】灵活从二次函数三种形式中选择合适的表达式求解是解题关键．20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知经过原点的抛物线22y x mx =+与x 轴交于另一点A (2，0)．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标； （2）求直线AM 的解析式．【答案】（1）4m =−，M (1，-2)；（2）24y x =−【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m 的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM 的解析式．【详解】解 （1）∵抛物线22y x mx =+过点A(2，0)，22220m ∴⨯+=，解得4m =−，224y x x ∴=−，22(1)2x =−−,∴顶点M 的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM 的解析式为()0y kx b k =+≠，∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，202k b k b +=⎧∴⎨+=−⎩，解得24k b =⎧⎨=−⎩， ∴直线AM 的解析式为24y x =−．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【答案】(1)285S t t =++(2)25(3)S 有最小值-11【分析】（1）将x 和y 的表达式代入S 的表达式即可； （2）将2t =代入（1）中得到的函数表达式求解即可； （3）将（1）中的函数表达式化为顶点式即可解答．【详解】（1）解：将231x t y t −==+，代入8S x y =+得：()()2238185S t t t t =−++=++，∴S 与t 的函数关系式为：285S t t =++．（2）将2t =代入285S t t =++得：2282525S =+⨯+=，∴当2t =时25S =． （3）()2285411S t t t =++=+−，∴当4t =−时，函数S 有最小值-11．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将函数表达式化为顶点式，得出函数的最值．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可； （2）从开口大小和增减性两个方面作答即可. 【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=−−y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴，2113=+y x 与2113=−−y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=−−y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=−−y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键. 23．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点是(2,3)P −，且过C 点(0,5)． （1）求此二次函数的解析式；（2）已知直线1y x =+与该二次函数图像相交于点,A B ，求,A B 两点的坐标． （3）写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）()2223y x =−−；（2）A （12，32），B （4，5）；（3）12＜x ＜4【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点C 坐标代入，即可求出解析式； （2）令()22231x x −−=+，解方程即可得到A 、B 的横坐标，从而计算出纵坐标；（3）根据图象可得出当一次函数图像在二次函数图像上方时的x 取值范围． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象顶点是(2,3)P −， 设二次函数表达式为()223y a x =−−，∵过C 点(0,5)，代入，()20235a −−=，解得：a=2，∴二次函数表达式为：()2223y x =−−； （2）由题意可得：()22231x x −−=+，解得：x=12或4，。
数学浙教版九年级上册第1章二次函数图象与系数的关系(解析版)
20212021数学浙教版九年级上册第1章二次函数图象与系数的关系一、选择题1.二次函数的图象一定不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限．2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（）A. a＞0B. b＜0C. c＜0D. b+2a＞03.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b24ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象大致是（）A. B. C. D.5.二次函数y=x2+4x5的图象的对称轴为（）A. x=4B. x=4C. x=2D. x=26.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c>0；（4）（a+c）2<b2其中不正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A. a＞0B. b＜0C. ac＜0D. bc＜0．8.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中2＜h＜1，1＜x B＜0，下列结论①abc ＜0；②（4ab）（2a+b）＜0；③4ac＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ①②③9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：① a ＜0，b＞0，c＜0；② 当x＝2时，y的值等于1；③ 当x＞3时，y的值小于0．正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③10.如图，抛物线（a≠0）的对称轴为直x＝1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），其部分图象如图所示.下列结论：① ；②方程＝0的两个根是③ ；④当时，x的取值范围是；⑤当x1＜x2＜0时，y1＜y2.其中结论正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题11.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为________．12.如图所示的抛物线y=x2+bx+b24的图象，那么b的值是________．13.抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第________象限．14.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=3③a+b+c＞0④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有________．15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0,⑤b+2a=0⑥ b24ac>0其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）16.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠1）；⑤设A（100，y），B（100，y2）在该抛物线上，则y＞y2．其中正确的结论有________ ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17.已知抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，试确定a，b，c，b24ac及a+b+c的符号．18.已知二次函数y＝x22x3．（1）用配方法将表达式化为y＝(xh)2＋k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．19.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b2c|，Q＝|2ab||3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．20.已知抛物线的解析式为（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x3m+4的一个交点在y轴上，求m的值.．21.如图，抛物线y=ax2+bx1（a≠0）经过A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；（3）若点M为抛物线第四象限内一点，连接BC、CM、BM，求当△BCM的面积最大时点M的坐标.答案解析部分一、选择题1.【答案】A【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】∵二次函数y=ax22x3（a＜0）的对称轴为直线x ,∴其顶点坐标在第二或三象限或x轴的负半轴上，∵当x=0时，y=3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图象一定不经过第一象限．故答案为：A．【分析】由a＜0知抛物线的开口向下，由对称轴直线公式可知.故对称轴在y轴的左侧，即又当x=0时，y=3，故抛物线一定经过第四象限，从而得出答案。
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浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零,那么ｙ叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向；②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法－－-－--－-五点作图法:(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点Ｃ,再找到点C 的对称点Ｄ。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由Ｃ、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点Ａ、Ｂ，然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
【例１】、已知函数y=x ２－２x-３，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积:(3)根据第(1)题的图象草图，说 出 ｘ 取哪些值时，① y=０;② ｙ<0；③ ｙ>０知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根三顶点(１）一般 一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点,则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
(３）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式,这样最简洁。
【例1】、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于Ａ(１，0),Ｂ（3,0）两点,且过(-1,１6)，求抛物线的解析式。
【例2】、如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点Ａ在点(－2，０）和（-1,0)之间（包括这两点），顶点C 是矩形DE ＦG 上(包括边界和内部）的一个动点,则(１)a ｂc0 (＞或＜或＝) (2）ａ的取值范围是【例3】、下列二次函数中,图象以直线x ＝ 2为对称轴,且经过点(０，1)的是 ( ）A.y = (x − 2)２+ １ B.y = (ｘ ＋ ２)2+ 1 C ．y ＝ (x − 2）2− 3 D ．y = (ｘ + ２)２− 3 知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内,若在此范围内,则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值;若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时,c bx ax y ++=222最大,当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内,y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
【例１】、已知二次函数的图像（0≤ｘ≤３）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ）A ．有最小值0，有最大值３ﻩﻩﻩB ．有最小值-1,有最大值0C ．有最小值-1,有最大值3ﻩﻩ Ｄ.有最小值-１,无最大值 【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80元时,.当每个房间每天的房价每增加1０元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为１0的正整数倍)． （1）设一天订住的房间数为ｙ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w 元,求w 与x 的函数关系式;(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元? 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质O -1xy 1 3 2 32、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义:a 表示开口方向：a ＞0时,抛物线开口向上 a <0时,抛物线开口向下b 与对称轴有关:对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:（0，c )３、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆,在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>０时,图像与x 轴有两个交点; 当∆=0时,图像与x 轴有一个交点； 当∆<０时,图像与x 轴没有交点。
【例１】、抛物线ｙ=x 2－2x -3的顶点坐标是 . 【例２】、二次函数522-+=x x y 有( ) A ． 最大值5-B. 最小值5-ﻩC. 最大值6-D ． 最小值6-【例3】、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知( )A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线3-=x Ｃ．其最小值为1 D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大【例4】、已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则ｋ的取值范围是( ) A.4<k ﻩＢ.4≤k ﻩﻩC.4<k 且3≠k ﻩﻩD.4≤k 且3≠k【例５】、下列函数中，当x ＞０时y 值随x 值增大而减小的是（ )． A.y = x 2ﻩB ．ｙ = x －１ ﻩC. ｙ = 错误! ｘＤ.y = 错误!【例６】、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是( )A.m =l Ｂ.m >l C.m ≥l Ｄ．m ≤l 知识点五、二次函数图象的平移① 对于抛物线y=ax 2+bx ＋c 的平移通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则化为顶点式有两种方法:配方法，顶点坐标公式法。
在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标。
② c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下)平移m (m>0）个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2）③ 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式c bx ax y ++=2:向左（右）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2)【例1】、将抛物线2y x =-向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是( )A ．2(2)y x =-+ B.22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．22y x =--【例2】、将抛物线ｙ＝x 2-2ｘ向上平移３个单位,再向右平移４个单位等到的抛物线是_______. 【例3】、抛物线2y x =可以由抛物线()223y x =+-平移得到,则下列平移过程正确的是( )Ａ.先向左平移2个单位，再向上平移３个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移３个单位 C ．先向右平移2个单位，再向下平移３个单位 Ｄ．先向右平移2个单位,再向上平移3个单位知识点六、抛物线c bx ax y ++=2中, a 、b 、c 的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧;③0<ab(即a 、b 异号)时，对称轴在y 轴右侧．口诀－--左同,右异(a 、b 同号,对称轴在y 轴左侧)（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(０,c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴; ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时，仍成立．如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab． 【例1】、如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1,则下列关系中正确的是（ )A.ａ+b=-１B.a －ｂ=-１C.ｂ＜2a Ｄ.ａc ＜0【例2】、已知抛物线y=a ｘ２+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )Ａ.a>０ B.b<0 C.c<0 D.a+b ＋c>０【例3】、如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息:(１)240b ac ->;(2)c >1;(3）２a -b <0;(4）a +b ＋ｃ<0。
你认为其中错误．．的有( ） Ａ．２个ﻩＢ．3个ﻩ C .4个D.１个【例4】、如图,二次函数ｙ=ax 2+b ｘ+c 的图象与ｙ轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论:①ac ＜0；②a ＋b=0；③４ａc －ｂ２=4ａ；④a+b+c<0．其中正确的个数是( ） A. 1 B ． 2 Ｃ． ３ D. 4【例５】、如图,是二次函数 ｙ=ａx ２+bx+ｃ（a ≠0)的图象的一部分,给出下列命题 ：①ａ+ｂ+c ＝0；②b ＞２a ；③ａx ２+ｂx+c=0的两根分别为-3和１;④a-2b ＋c>0．其中正确的命题是 .(只要求填写正确命题的序号)xy-1 1O1【例6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ）A ．ｍ＝ｎ，k ＞h B.m ＝ｎ ，k ＜ｈ C.m >ｎ，k ＝h D ．m ＜ｎ,k =h知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式(浙教版教材上没讲过,但是非常有用，一定要理解性地记忆)１、两点间距离公式：如图：点Ａ坐标为(x １，ｙ1)，点B 坐标为(x 2,y ２），则AB 间的距离,即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+- (这实际上是根据勾股定理得出来的）2、中点坐标公式:如图，在平面直角坐标系中,A 、B 两点的坐标分别为11()A x y ，,22()B x y ， ,AB 中点P 的坐标为()p p x y ，.由12p p x x x x -=-,得122p x x x +=, 同理122p y y y +=，所以AB 的中点坐标为1212()22x x y y ++，. 3、两平行直线的解析式分别为：ｙ=k 1x+b １，y=k 2x+b ２，那么k １=ｋ2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。