等边三角形培优练习题精编版

双基训练

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等边三角形专项练习题

1.如图14-45 ，在等边ΔABC中，O 是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三

角形的个数是。

2.如图14-46 ，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，

ΔEFC的周长= 。

3.如图14-47 ，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。

纵向应用

1. 如图14-48 ，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F 分别在OB、OC

垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

2. 如图14-49 ，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E 在AB同旁，AE 交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。

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3. 如图14-50 ，已知ABC是等边三角形，E 是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔC M N是等边三角形。

4. 如图14-51 ，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，

N为DB的中点，求证：ΔC M N为等边三角形。

5. 如图14-52 ，在四边形ABCD中，∠ A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。

求证：ΔADE是等边三6. 如图14-53 ，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠ 1=∠2，BD=C，E

角形。

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7. 如图14-54 ，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P 分别是AC、BD、CD的中点。求证：ΔM N P是等边三角形。

8. 如图14-55 ，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC对, 角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F 分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。

9. 如图14-56 ，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。

P点在ΔABC外，且CP=C，A CD平分∠ PCB，10. 如图14-57 ，已知D为等边ΔABC内一点，DA=D，C

求∠ P。

横向拓展

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1. 如图 14-58 ，已知 P 是等边三角形 ABC 内一点， APB:CPA=5:6:7, 求以 P A 、P B 、PC 为边长的三角形

的三内角之比。

2.

如图 14-59 ，点 O 为等边 ΔABC 内一点，∠ AOB=110

0，∠ BOC=130

5，试问：

（1）

）以 O A 、O B 、OC 为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说

明理由；

（2）

）如果∠ AOB 大小保持不变，那么当∠

BOC 等于多少度时，以 O A 、O B 、OC

为边的三角形是一个直 角三角形？

3. 如图 14-60 ，已知ΔABC 是边长为 1 的等边三角形， ΔBDC 是顶角∠ BDC 为 1200

的等腰三角形，以

点 D 为顶点作一个 60 角的两边分别交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，连结 MN ，形成一个三角形。

求证： AMN 的周长等于 2。

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4. 如图 14-61 ，在ΔABC 中，∠ A=600

，BE ⊥ AC ，垂足为 E ，CF ⊥AB ，垂足为 F ，点 D 是 BC 的中点， BE 、 CF 交于点 M 。（1）如果 AB=AC ，求证： Δ DEF 是等边三角形；

（ 2）如果 AB ≠AC ，试猜想 ΔDEF 是不是等边三角形？如果 ΔDEF 是等边三角形，请加以证明；如果 Δ DEF 不是等边三角形，请说明理由； （3）如果 CM=4cm ，FM=5cm ，求 BE 的长度。

5. 如图 14-62 ，已知 AO=10， P 是射线 ON 上一动点（即 P 点可在射线 ON 上运动），∠ AON=60。 （ 1） OP 为多少时， ΔAOP 为等边三角形？（ 2）OP 为多少时， ΔAOP 为直角三角形？ （3） ） OP 为多少时， ΔAOP 为锐角三角形？ （4） ） OP 满足什么条件时， ΔAOP 为钝角三角形？

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6.（1）如图14-63 ，下列每个图形都是由若干个边长为 1 的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3, ，设边长为n 的等边三角形由s 个小等边三角形组成，按此规律推断s 与n 有怎样的关系；

（2）现有一个等角六边形ABCDE（F 六个内角都相等的六边形，如图14-64 ），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；

（3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这

种小等边三角形的个数。

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参考答案；等边三角形；双基训练 1.7 个 2.2 9 3.

提示：证 ΔABD ≌ ΔBCE ，证∠ BPG=60

纵向应用； 1.EF= 1

3

2. 提示：证 ΔGCH 为等边三角形

3. 提示： ΔECB ≌ΔDCA ，Δ ECN ≌ΔDCM

4. 略

5. 提示：证ΔADE ≌Δ BCE

6. 提示：证ΔABD ≌ ΔACE

7. 略

8. 略

9. 提示：证ΔADE ≌Δ

EBF 10.30 横向拓展

。提示：连结 BD ，易证 ΔABD ≌Δ CBD ，再证Δ CDP ≌ΔADB

1.2:3:4.

提示：将ΔAPC 绕顶点 C 逆时针方向转 600

，点 P 转到点 P ′的位置， 连结 PP ′ 2.(1)

能， 50 ，55 ，75

（2）150 或 100 3. 提示：延长 AC 至点 E ，使 CE=BM ，连结 DE 。证ΔMDB ≌

Δ EDC ， Δ MDN ≌ ΔEDN 4.(1) 略 (2) 提示：证∠ EDF=60 （ 3）12cm 5.(1)10 (2)5 或 20

(3)520 6.(1)s=n

2

(2)19. 提示：延长 FA 、CB 交于点 P ，延长 AF 、

DE 交于点 Q ，延长 ED 、BC 交于点 R ，可证 ΔPAB 、ΔQEF 、ΔRCD 、ΔPQR 为等边三角形 (3) 能， s=102

-2 2

-3 2

-6 2

=51( 个)