等边三角形培优练习题精编版
八年级数学全等三角形(培优、数学竞赛)
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1B 图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4B图5AB图6CB5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（ ）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ）A. AB －AD ＞CB －CDB. AB －AD ＝CB －CDC. AB －AD ＜CB －CDD. AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图8CB8．In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )A. AD>CEB. AD<CEC. AD=CED. indefinite（英汉小词典：equilateral 等边的；intersection 交点；indefinite 不确定的；magnitude 大小，量） 9．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
北师大版七年级 数学下 全等三角形的判定小题精炼培优版(包含答案)
北师大七下全等三角形的判定小题精炼培优版一、单选题1．如图，AD =BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是（ ）A ．AB //CD B ．△ABC =△CDA C ．△A =△CD ．AD //BC2．如图，PD △AB ，PE △AC ，垂足分别为D 、E ，且P A 平分△BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA3．如图1，D ､E ､F 分别为△ABC 边AC ､AB ､BC 上的点，△A=△1=△C ，DE=DF ，下面的结论一定成立的是（ ）A ．AE=FCB ．AE=DEC ．AE+FC=ACD ．AD+FC=AB 4．如图，AB CD ，//AB CD ，判定ABC △CDA 的依据是( )A．SSS B．SAS C．ASA D．HL5．如图，AD△CD，AE△BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE,则下列结论△△ABE△△ACD△AM=AN：△△ABN△△ACM；△BO=EO;其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．AB=DE B．AC=DF C．△A=△D D．BF=EC7．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则△BFD的度数为（）A．45°B．90°C．60°D．30°8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△1＝25°，△2＝30°，则△3＝()A．60°B．55°C．50°D．无法计算9．如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC△△DEF的是A．AB＝DE B．△B＝△E C．EF＝BC D．EF//BC10．如图所示，Rt△ABE△Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：△AE=ED；△AE△DE；△BC=AB+CD；△AB△DC中成立的是（）A．仅△B．仅△△C．仅△△△D．仅△△△△11．如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB12．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE△△BCD B．△BGC△△AFC C．△DCG△△ECF D．△ADB△△CEA13．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙14．正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，△APE的度数为（）.A．45B．55C．60D．7515．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则△1+△2的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°16．如图，在下列条件中，不能证明△ABD△△ACD的是（）.A ．BD =DC ，AB =ACB ．△ADB =△ADC ，BD =DC C ．△B =△C ，△BAD =△CAD D ．△B =△C ，BD =DC17．如图，已知12AC AD ∠=∠=，，从下列条件：△AB AE =；△BC ED =；△C D ∠=∠；△B E ∠=∠中添加一个条件，能使ABC △△AED 的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．如图，在Rt△AEB 和Rt△AFC 中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于N ，△E ＝△F ＝90°，△EAC ＝△FAB ，AE ＝AF,给出下列结论：△△B ＝△C ；△CD ＝DN ；△BE ＝CF ；△△ACN△△ABM;其中正确的结论是( )A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中△1+△2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°20．如图，已知△DCE=90°，△DAC=90°，BE△AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD的长为（）A．3B．5C．4D．不确定21．如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：△△APE△△CPF；△AE=CF；△△EAF是等腰直角三角形；△S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．如图，△ABC中，AB△BC，BE△AC，△1=△2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．△1=△EFD C．BF>EF D．FD△BC23．如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，△EAF ＝△BAC ，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）△△AFB△△AEC ；△BF ＝CE ；△△BFC ＝△EAF ；△AB ＝BC ．A ．△△△B ．△△△C ．△△D ．△△△△二、填空题 24．如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带________片去，应用的原理是________（用字母表示）．25．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．26．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF△a 于点F ，DE△a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为____．27．如图，△ACB=90°，AC=BC，AD△CE于D，BE△CD于E，AD=2.5cm，DE=1.6cm，则BE的长度为________．28．如图,已知△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,△B=△C,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由A点向C点运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为______.29．如图所示，AB=AC，AD=AE，△BAC=△DAE，△1=25°，△2=30°，则△3=__________．30．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=2cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．31．如图，CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=40°，AD、BE交于点H，连接CH，则△CHE=__________．32．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，BE△CE，AD△CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝______．33．如图，在△ABC中，AD△BC于D，BE△AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则△ABC ＝_____度．34．如图，AC△BC，AD△DB，要使△ABC△△BAD，还需添加条件_____．（只需写出符合条件一种情况）35．如图AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△BAD＝25°，△ACE＝30°，则△ADE＝_____．36．如图，等边△ABC 边长为10，P 在AB 上，Q 在BC 延长线，CQ ＝P A ，过点P 作PE △AC 点E ，过点P 作PF △BQ ，交AC 边于点F ，连接PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为_____．37．如图，△ABC 是等边三角形，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ△DA 于Q ，PQ ＝3，EP ＝1，则DA 的长是________.38．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．39．如图，AB ＝BC 且AB △BC ，点P 为线段BC 上一点，P A △PD 且P A ＝PD ，若△A ＝22°，则△D 的度数为_________．40．如图，在△ABC中，△A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则△EDF=____________度。
初二数学等腰等边三角形培优题1(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑等腰等边三角形培优题11．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△DEC ，连接AD ，若∠BBB =25∘，则∠BBB =______．2．如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC ＝_____.3．如图，在△BBBBBB 中，BB BB =BBBB ，CD 是∠BBBBBB 的平分线，BB BB //BBBB ，交AC 于点E ．若∠BBBB =35∘，则∠BBB=.4．如图，等边△BBBBBB 中，AD 是中线，BBBB ⊥BBBB 于点E ，BBBB =3，则点D 到AB 的距离为：______．5．已知：在△ABC 中，AH ⊥BC ，垂足为点H ，若AB +BH =CH ，∠ABH =70∘，则∠BAC =______ ∘.6．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是（第1题） （第2题） （第3题）（第4题） （第6题） （第7题）等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )A ． ①②③B ． ②③④C ． ①③④D ． ①②④7．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，….若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为( )A ． 702n ⎛⎫︒ ⎪⎝⎭B ． 1702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭C ． 1702n -⎛⎫︒ ⎪⎝⎭D ． 2702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭8．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°， 在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的有 （填序号） 9．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 ．10．如图，已知△BBBBBB 是等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE 平分∠BBBBBB ，BBBB =BBBB ，BBBB =7， 则 AE 的长度是 ． 11．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD于点F ，连接CF .若∠A =60°，∠ABD =24°，则∠ACF 的度数为 ．12．如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 上的定点(不同于端点B 、C )，过点D 作直线l 垂直线段AB ，若点P 是直线l 上的任意一点，连接PA 、PB ，则能使△PAB 成为等腰三角形的点P 一共有_______ 个．（填写确切的数字）（第11题） （第9题） （第10题）（第8题）（第12题） （第13题）13．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，l⊥BC于点C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q，当BP= 时，PA=PQ. 14．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE,EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为___________________．（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明。
全等三角形经典培优题型(含答案)
全等三角形的提高拓展训练全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． "全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．全等三角形证明经典题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD ?2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2BADBC3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF︒=∠90ACB BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E 1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.《&C#BABCDPDA CA PEDCBADCBAMF ECB AA CB $D E F ￥A CD F21 E15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
八年级全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵32ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．6．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．7．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】2． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=，∴3x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=2x ，∴222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．9．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1 如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
13.2.2等边三角形的判定和性质的培优训练(答案)
等边三角形的判定和性质的培优训练（答案）一填空1、如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 _________．第一题第二题2、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_____________．3、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_______________.第三题第四题4.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是5.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有________个。
第六题第五题6.如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图（②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，…，则得到的第七个图中，共有___________个正三角形．二证明题1、在等边△ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：（1）△CNM为等边三角形；（2）若让△CDE绕C旋转，下列结论会发生变化吗？①AD=BE；②AD与BE交角的度数；③三角形CNM为等边三角形。
【解析】（2）让三角形CDE绕C旋转，①三角形ACD和三角形BCE仍然全等，AD=BE, 不变。
②角ADC＝角BEC，角BEC+角BED＝60度，所以，角ADC+角BED＝60度角ADC+角BED+角CDE＝120度，AD与BE交角的度数为60度③三角形CNM变为等腰三角形，向左转|向右转。
等边三角形(专项练习)(培优练)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破
专题13.9等边三角形（精选精练）（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，ABC 是等边三角形，AD 为中线，E 为AB 上一点，且AD AE =，则EDB ∠等于（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，P 是等边三角形ABC 的边AC 的中点，E 是BC 边延长线上一点，PE PB =，则CPE ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．35︒D ．45︒3．（22-23八年级上·江西上饶·阶段练习）下列对ABC 的判断，错误的是（）A ．若AB AC =，=60B ∠︒，则ABC 是等边三角形B ．若::347A BC ∠∠∠=：：，则ABC 是直角三角形C ．若20A ∠=︒，80B ∠=︒，则ABC 是等腰三角形D ．若AB BC =，40C ∠=︒，则40B ∠=︒4．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，90MON ∠=︒，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM ，ON 于点A ，D ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，与弧AD 交于点B ，连接OB 、AB ，AB 的延长线交ON 于点C ，若4OD =，则CB 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2024·山东·模拟预测）如图，两块三角板ABC 、BDE 按如图所示方式摆放，且45EBC ∠=︒，连接CE ，若3AB =，2BD =，则四边形ABEC 的面积为（）A ．9B ．11C ．D ．2126．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知30MON ∠=︒，点123,,A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，若12OA =，则202320232024A B A 的边长是（）A ．4046B ．4048C ．20232D ．202427．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:38．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在等腰ABC 中，顶角20A ∠=︒，点D 为AC 边上的一点，30ABD ∠=︒，点E 为AB 上一点，20ECB ∠=︒，则BDE ∠的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，4AB =，点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE V ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为（）A ．3B ．1C ．2D 310．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，ABC 与ADE V 均为等边三角形，EB EP =，点B ，C ，D ，P 在一条直线上，2AB =，则PD 的长为（）．A ．4B ．23C ．25D ．1252-二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024·吉林松原·三模）如图，已知线段AB ，分别以点A B 、为圆心，AB 长为半径作圆弧，两弧相交于点C 、D ，连接CD ，交线段AB 于点E ，以点E 为圆心，AE 长为半径作圆弧，交线段CE 于点F ，连接BC 、BF ，则FBC ∠=度．12．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在等边ABC 中，BD 平分ABC ∠，点E 是BC 延长线上一点，且CE CD =，连接DE ，则BDE ∠=．13．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）已知：如图，在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，BE AC ⊥于点D ，且DE DB =，则CEB 是三角形．14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）将含30︒角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知60α∠=︒，点B ，点C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，则ABC 的周长为cm ．15．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB BC 、边上的两动点，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，若AD BE =，则FG AF =．16．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为G ，H ，展平纸片，连结BG ，BH ，则ABH ∠与GAM ∠的关系是．17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）一副三角板如图叠放，90C DFE ∠=∠=︒，30,45,A D AC DE ∠=︒∠=︒=，,AC DE 互相平分于点O ，点F 在边AB 上，边,AC EF 交于点H ，边,AB DE 交于点G ．（1）AFE ∠=；（2）若GF a =，则AH =（用含a 的代数式表示）．18．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）如图1，ABD △，AEC △都是等边三角形，线段BE 和CD 之间的数量关系为．（2）如图2，AO MN ⊥，垂足为O ，6AO =，B 为直线MN 上一动点，以AB 为边向右作等边ABC ，则线段OC 的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）已知ABC ，ADE V 均为等边三角形，点E 是ABC 内的任意一点，(1)如图，试说明BD CE=(2)当DBE 为等腰直角三角形时，ABD ∠=________（直接写答案）20．（8分）（22-23八年级上·重庆丰都·期末）如图，点E 在ABC 的外部，点D 在BC 上，DE 交AC 于点F ，23∠∠=，AE AC =，DE BC =．(1)求证：ABC ADE △△≌．(2)若260∠=︒，猜想ABD △的形状并证明．21．（10分）（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，点D 从点A 以1cm /s 的速度向点C 运动，同时点E 从点C 以2cm /s 的速度向点B 运动，运动时间为()s t ．(1)当t =时，DEC 为等边三角形；（直接写结果）(2)当t 为何值时，DEC 为直角三角形？22．（10分）（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）ABC 是等边三角形，点D 是AC 边上动点，()030CBD αα∠=<< ，把ABD △沿BD 对折，得到A BD ' ．(1)如图1，若15α=o ，则CBA ∠'=____︒．(2)如图2，点P 在BD 延长线上，且DAP DBC α∠=∠=，连接CA '，若A '，C ，P 三点共线．①求证：BP 平分APC ∠；②若5cm BP =，1cm CP =，求CA '的长．23．（10分）（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，ABD ADB ∠=∠．(1)求证：AC 垂直平分BD ；(2)如图2，过点B 作BF CD ∥交CA 的延长线于点F ，若AB AF =；①求证：BCD △是等边三角形；②如果G 、H 分别是线段AC 、线段CD 上的动点，当GH AH +的值最小时，写出此时GH 与CH 的数量关系，并说明理由．24．（12分）（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB AE =，AF 平分CAE ∠交DE 于点F ，连接FC ．(1)如图1，求证：ABE ACF ∠=∠；(2)如图2，当60ABC ∠=︒时，在BE 上取点M ，使BM EF =，连接AM ．求证：AFM △是等边三角形；(3)如图3，当45ABC ∠=︒，且AE BC ∥时，求证：2BD EF =．参考答案：1．A【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解30BAD ∠=︒，AD BC ⊥，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得ADE ∠的度数，进而可求解．【详解】解：ABC 为等边三角形，60BAC C ∴∠=∠=︒，AD 是等边三角形ABC 的中线，1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，AD AE = ，ADE AED ∴∠=∠，180AED ADE BAD ∠+∠+∠=︒ ，75ADE ∴∠=︒，15EDB ∴∠=︒，故选：A ．2．B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键．根据“三线合一”可得BP 平分ABC ∠，可得30PBC ∠=︒，根据CPE ACB E ∠=∠-∠即可作答．【详解】∵P 是等边三角形ABC 的边AC 的中点，∴BP 平分ABC ∠，60ABC ACB ∠=︒=∠，∴30PBC ∠=︒，∵PE PB =，∴30PBC E ∠=∠=︒，∴30CPE ACB E ∠=∠-∠=︒，故选：B ．3．D【详解】解：A.AB AC = ，=60B ∠︒，ABC ∴△是等边三角形，故该选项正确；B.::347A B C ∠∠∠=：： ，∴最大角为：718090347C ∠=︒⨯=︒++，ABC ∴△是直角三角形，故该选项正确；C.20A ∠=︒ ，80B ∠=︒，180180208080C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，B C∴∠=∠ABC ∴△是等腰三角形，故该选项正确；D.AB BC = ，40C ∠=︒，40A C ∴∠=∠=︒，故该选项错误；故选：D【点拨】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的判定及性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键4．B【分析】由题意得4AO AB OB OD ====，则可得AOB 是等边三角形，则60AOB BAO ∠=∠=︒，进而可得COB BCO ∠=∠，则可得4CB OB ==．本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：由题意得4AO AB OB OD ====，AOB ∴ 是等边三角形，60AOB BAO ∴∠=∠=︒，90AOC ∠=︒ ，90AOB COB BAO BCO ∴∠+∠=∠+∠=︒，COB BCO ∴∠=∠，4CB OB ∴==．故选：B5．D【分析】本题考查直角三角形性质，等腰直角三角形性质，平行线的判定，以及梯形面积公式，利用直角三角形性质得到24BE BD ==，利用等腰三角形性质得到3AC AB ==，证明AC BE ∥，进而得到四边形ABEC 是直角梯形，再利用梯形的面积公式求解，即可解题．【详解】解：由题知，30BED ∠=︒，2BD =，24BE BD ∴==，由题知，45ABC ACB ∠=∠=︒，90A ∠=︒，3AB =，∴3AC AB ==，45EBC ACB ∠=︒=∠，∴∥AC BE ，∴四边形ABEC 是直角梯形，则四边形ABEC 的面积为()12134322⨯+⨯=．故选：D ．6．C【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到11260∠=︒B A A ，根据三角形的外角性质求出1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，得到11∠=∠OB A MON ，根据等腰三角形的判定定理得到1112A B OA ==，然后找到规律即可得解．【详解】∵112A B A △为等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，∴1112A B OA ==，同理可得222242A B OA ===，333382A B OA ===，……，∴202320232024A B A 的边长为20232．故选：C ．7．D【分析】先根据30︒角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，在ABE 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S = ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点拨】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30︒角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．A【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识，先根据等腰三角形的性质求出80ACB ABC ∠=∠=︒，再由三角形内角和定理得50BDC ∠=︒，可得BC DC =，再由三角形内角和定理求出80CEB ∠=︒，60ACE ∠=︒，得EC BC CD ==，即可得DCE △是等边三角形，可求出60CDE ∠=︒，从而可得结论．【详解】解：∵在等腰ABC 中，顶角20A ∠=︒，∴AB AC =，∴()118020802ACB ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∵30ABD ∠=︒，∴50CBD ABC ABD =-=︒∠∠∠，∵180BDC ACB DBC ∠+∠+∠=︒，∴180180508050BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴50DBC BDC ∠=∠=︒，∴BC DC =，∵80ACB ABC ∠=∠=︒，20BCE ∠=︒，∴18080CEB EBC BCE ∠=︒-∠-∠=︒，60ACE ACB BCE ∠=∠-∠=︒，∴CEB EBC ∠=∠，∴EC BC =，∴EC DC =，∵60ACE ∠=︒，∴DCE △是等边三角形，∴60EDC ∠=︒，∴605010BDE EDC BDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A9．A【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键．在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，再证明,ADF AEC ≌可得,CE DF =再利用DF BC ⊥时，DF 最短，从而可得答案．【详解】解：在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，90,60,ACB B ∠=︒∠=︒ 则30,BAC ∠=︒∴603030FAB FAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴点C 、F 关于AB 对称，∴60ABF ABC ∠=∠=︒，114222BF BC AB ====，,AFC ADE 均为等边三角形，60FAD DAC ∴∠+∠=︒，60DAC EAC ∠+∠=︒，,,AF AC AD AE ==FAD EAC ∴∠=∠，()SAS ADF AEC ∴ ≌，DF EC ∴=，∴当DF BC ⊥时，DF 最小，即此时CE 最小，∵60,2,ABC ABF BC BF ∠=∠=︒==60,30,FBD DFB ∴∠=︒∠=︒∴112122BD BF ===，∴CD 的长度为123BD CB +=+=，故选：A ．10．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理成为解题的关键．连接CE ，过E 作EF BP ⊥与F ，根据等腰三角形的性质可得12BF PF BP ==，再根据等边三角形的性质可得2,60AB BC AC ABC ACB BAC ===∠=∠=∠=︒、2,60AD AE DE ADE AED DAE ===∠=∠=∠=︒，进而得到BAD CAE ∠=∠，再证()SAS ABD ACE ≌可得,60BD CE ABD ACE =∠=∠=︒；然后说明30CEF ∠=︒可得12CF EC =；设CF x =，则2CE x =，然后用x 表示出2BD CE x ==、242BP BF x ==+，然后根据线段的和差即可解答．【详解】解：如图：连接CE ，过E 作EF BP ⊥与F ，∵EB EP =，∴12BF PF BP ==，∵ABC 为等边三角形，∴2,60AB BC AC ABC ACB BAC ===∠=∠=∠=︒，∵ADE V 为等边三角形，∴,60AD AE DE ADE AED DAE ==∠=∠=∠=︒，∴60BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，,,AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，∴()SAS ABD ACE ≌，∴,60BD CE ABD ACE =∠=∠=︒，∵60ACB ∠=︒，∴60ECF ∠=︒，∵EF BP ⊥，∴30CEF ∠=︒，∴12CF EC =设CF x =，则2CE x=∴2BD CE x ==，∵2BC =，∴2BF BC CF x =+=+，即2BF PF x ==+，∴242BP BF x ==+，∴4224DP BP BD x x =-=+-=．故选A ．11．15【分析】本题考查了作图—基本作图、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，由题意得出ABC 是等边三角形，BEF △为等腰直角三角形，从而得出60ABC ∠=︒，45EBF ∠=︒，最后再由FBC ABC EBF ∠=∠-∠计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接AC ．由作图可知AC BC AB ==，EC 垂直平分线段AB ，BE EF =，∴ABC 是等边三角形，BEF △为等腰直角三角形，∴60ABC ∠=︒，45EBF ∠=︒，∴604515FBC ABC EBF ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15．12．120︒/120度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得60ABC ACB ∠=∠=︒，=90BDC ∠︒，再由CE CD =，可得E CDE ∠=∠，然后根据三角形外角的性质可得1302CDE ACB ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴BD AC ⊥，即=90BDC ∠︒，∵CE CD =，∴E CDE ∠=∠，∵ACB E CDE ∠=∠+∠，∴1302CDE ACB ∠=∠=︒，∴120BDE BDC CDE ∠=∠+∠=︒．故答案为：120︒．13．等边【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到CD AD =，再证明CDE ADB △≌△可得到CE AB BC ==，进而证明CEB 为等边三角形．【详解】解：∵ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，BE AC ⊥于点D ，∴CD AD =，1602CBE ABC ∠=∠=︒，∵DE DB =，CDE ABD ∠=∠，∴CDE ADB≌∴CE AB =，∵AB BC=∴CE BC=∵60CBE ∠=︒，∴CEB 为等边三角形．故答案为：等边14．6【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出60ACB ∠=︒是解题的关键．根据平行线的性质得出60ACB ∠=︒，进而可得ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行，∴60ACB α∠=∠=︒，又60A ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∵点B ，C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，∴2cm BC =，∴2cm AB BC AC ===，∴ABC 的周长为6cm ，故答案为：6．15．12/0.5【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，证得60AFG =︒∠是解答的关键．先根据题意推出CAE BCD ≌△△，可知DCB CAE ∠=∠，因此60AFG =︒∠，所以30FAG ∠=︒，即可推出结论．【详解】解：∵等边三角形ABC ，∴AB BC AC ==，60ACB B ∠=∠=︒，∵AD BE =，∴AB AD BC BE -=-，∴CE BD =，∴()SAS CAE BCD ≌，∴DCB CAE ∠=∠，∴60AFG CAF ACF ACF DCB ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵AG CD ⊥，∴30FAG ∠=︒，∴12FG AF =．故答案为：12．16．相等【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知，EF 垂直平分AB ，则AG BG =；又由翻折知，AB AG =，GAM BAM ∠=∠；从而得ABG 是等边三角形，则得30GAM ∠=︒；再证明AEG AHB △≌△得30ABH AGE ∠=∠=︒，即可得两角的关系．【详解】解：由第一次翻折知，EF 垂直平分AB ，12AG BG AGE AGB ∴=∠=∠，；又由第二次翻折知，AB AG =，GAM BAM ∠=∠；AG BG AB ∴==，ABG ∴ 是等边三角形，60BAG AGB ∴∠=∠=︒，30GAM ∴∠=︒，1302AGE AGB ∠=∠=︒；E 点的对应点为点H ，AE AH ∴=；GAM BAM AB AG ∠=∠= ，，AEG AHB ∴△≌△，30ABH AGE ∴∠=∠=︒，30ABH GAM ∴∠=∠=︒．故答案为：相等．17．75︒32a【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键．（1）连接FO ，推出FO DE ⊥，OF OA =，进而得到30AFO A ∠=∠=︒，得到15AFD ∠=︒，利用互余关系，求出AFE ∠即可；（2）利用含30度的直角三角形的性质得到12OG FG =，证明AOG 为等腰三角形，进而得到AG OG =，求出AF 的长，证明AFH 为等腰三角形，得到AH AF =即可．【详解】解：（1）连接FO ，∵45D ∠=︒，∴45E ∠=︒，∴DF EF =，∵,AC DE 互相平分于点O ，DF FE =，∴OF DE ⊥，∴45OFD ∠=︒，∴OF OD =，∵AC DE =，∴OA OD OF ==，∴30AFO A ∠=∠=︒，∴15AFD OFD OFA ∠=∠-∠=︒，∴75AFE DFE AFD ∠=∠-∠=︒，故答案为：75︒；（2）∵75AFE ∠=︒，30A ∠=︒，∴180307575AHF ∠=︒-︒-︒=︒，∴AHF AFE ∠=∠，∴AH AF =，∵OF DE ⊥，30AFO ∠=︒，∴1122OG GF a ==，60OGF ∠=︒，∵OGF A AOG ∠=∠+∠，∴30AOG A ∠=︒=∠，∴12AG OG a ==，∴32AH AF AG GF a ==+=；故答案为：32a ．18．BE CD =3【分析】（1）根据SAS 证明DAC BAE ≌△△即可得出线段BE 和CD 之间的数量关系；（2）以AO 为一边在AO 的左边作等边AOE △，作ED MN ⊥于点D ，连接BE ，根据SAS 证明EAB OAC ≌即可得出，求出OE 的最小值即可．【详解】解：（1）∵ABD △，AEC △都是等边三角形，∴,,60AD AB AE AC BAD CAE ==∠=∠=︒，∴DAC BAE ∠=∠，∴()SAS DAC BAE ≌，∴BE CD =．故答案为：BE CD =；（2）以AO 为一边在AO 的左边作等边AOE △，作ED MN ⊥于点D ，连接BE ，∵ABC ，AEO △都是等边三角形，∴6,,60AO EO AB AC BAC OAE ===∠=∠=︒，∴EAB OAC ∠=∠，∴()SAS EAB OAC ≌，∴BE OC =，∴点B 与点D 重合时，线段OC 取得最小值．∵90,60AOB AOE ∠=︒∠=︒，∴30EOD ∠=︒，∴132DE EO ==，∴线段OC 的最小值为3．故答案为：3．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．19．(1)见解析(2)15︒或30︒或45︒【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．（1）先根据等边三角形的性质得出AC AB BC ==，AE AD ED ==，CAB EAD ∠=∠，从而得到CAE BAD ∠=∠，证得()ACE ABD SAS ≌，即可得出结论；（2）当DBE 为等腰直角三角形时，有三种情况，90BDE ∠=︒，90BED ∠=︒，90DBE ∠=︒，分别讨论三种情况下ABD ∠的度数即可．【详解】（1）证明：ABC ，ADE V 均为等边三角形，AC AB BC ∴==，AE AD ED ==，CAB EAD ∠=∠，又CAB CAE EAB EAB BAD EAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ，CAE BAD ∴∠=∠，()ACE ABD SAS ∴ ≌，BD CE ∴=；（2）解：当DBE 为等腰直角三角形时，若90BDE ∠=︒，则BD DE AD ==，150ADB ADE BDE ∠=∠+∠=︒，()1180152ABD BAD ADB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒；若90BED ∠=︒，则BE DE AE ==，150AEB AED BED ∠=∠+∠=︒，45BDE DEB ∴∠=∠=︒，180152AEB ABE BAE ︒-∠∠=∠==︒，30ABD DBE ABE ∴∠=∠-∠=︒；若90DBE ∠=︒，则BD BE =，∴点B 在线段DE 的垂直平分线上，AD AE = ，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，AB ∴垂直平分线段DE ，190452ABD ABE ∴∠=∠=⨯︒=︒，即15ABD ∠=︒或30︒或45︒，故答案为：15︒或30︒或45︒．20．(1)见解析(2)等边三角形，见解析【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．（1）根据SAS 证明三角形全等即可；（2）根据ABC ADE △△≌，得出AB AD =，B ADE ∠=∠，求出1602ADB BDE ∠=∠=︒，即可证明结论．【详解】（1）证明：∵2180AFE E ∠+∠+∠=︒，∴1802E AFE ∠=︒-∠-∠，∵3180CFD C ∠+∠+∠=︒，∴1803C CFD ∠=︒-∠-∠，∵23∠∠=，AFE CFD ∠=∠，∴E C ∠=∠，在ABC 和ADE V 中，AC AE C E BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC ADE ≌；（2）解：ABD △是等边三角形，理由如下：∵3260∠=∠=︒，∴1803120BDE ∠=︒-∠=︒，∵ABC ADE △△≌，∴AB AD =，B ADE ∠=∠，∴B ADB ∠=∠，∴ADB ADE ∠=∠，∴1602ADB BDE ∠=∠=︒，∴ABD △是等边三角形．21．(1)1(2)35t =或32【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键.（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t 的值；（2）分两种情况讨论:①当DEC ∠为直角时,②当EDC ∠为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t 的值.【详解】（1）解：根据题意可得AD t =,3,2CD t CE t =-=，∵30,3cm B AC ∠=︒=，∴26cm BC AC ==,∵903060C B ∠=︒-∠=︒=︒,DEC 为等边三角形,∴CD CE =,即32t t -=,解得：1t =,∴当t 为1时,DEC 为等边三角形；（2）①当DEC ∠为直角时,30EDC ∠=︒,12CE DC ∴=，即()123,2t t =-解得35t =；②当EDC ∠为直角时,30DEC ∠=︒,∴1,2CD CE =即132,2t t -=⋅解得32t =.∴当t 为35或32时,DEC 为直角三角形.22．(1)30(2)①见解析；②3CA '=【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．（1）由ABC 是等边三角形知，60ABC ∠=︒，由15CBD α︒∠==，知A BD ABD ABC α'∠=∠=∠-，2602CBA A BD αABC αα''∠=∠-=∠-=︒-，代入α值即可；（2）①通过折叠性质证明APD A PD ' ≌即可得到结论；②在BP 上取一点P '，使BP AP '=，连接CP '，根据SAS 证BP C APC '≌△△，得CP CP '=，再证CPP ' 是等边三角形，即可得出BP AP CP =+，由ADP A DP '≌△△，得出A P AP '=，即可求出CA '的值．【详解】（1）解：ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，CBD α∠= ，A BD ABD ABC α'∴∠=∠=∠-，2602CBA A BD ABC ααα''∴∠=∠-=∠-=︒-，15α=︒ ，6021530CBA '∴∠=︒-⨯︒=︒，故答案为：30；（2）①证明： 把ABD △沿BD 对折，得到A BD ' ，ABD A BD '∴△≌△，AD A D ADB A DB ''∴=∠=∠，，ADP A DP '∴∠=∠，又PD PD = ，()SAS APD A PD '∴ ≌，APD A PD '∴∠=∠，点P 在BD 延长线上，BP ∴平分APC ∠；②如图，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，连接CP '，A P ''，ABC 是等边三角形，60ACB BC AC ∴∠=︒=，，DAP DBC α∠=∠= ，()SAS BP C APC ∴' ≌，CP CP BCP ACP ''∴=∠=∠，，60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ''''∴∠=∠+=∠+∠=∠=︒，CP CP '= ，CPP '∴△是等边三角形，60CPB PP CP '∴∠=︒=，，BP BP PP AP CP ''∴=+=+，即BP AP CP =+，点A C P '、、在同一直线上，即PA PC CA ''=+，由①知，APD A PD ' ≌，PA PA '∴=5cm BP = ，1cm CP =，514AP BP CP ∴=-=-=，4A P AP '∴==，413CA A P CP ''∴=-=-=．23．(1)见解析(2)①见解析；②2CH GH =，见解析【分析】（1）根据ABD ADB ∠=∠，可得AB AD =，再由90ABC ADC ∠=∠=︒证明CBD CDB ∠=∠，则CB CD =，利用中垂线的判定定理即可证明；（2）①设F α∠=，根据AB AF =可得ABF F α∠=∠=，由于BF CD ，可得F DCE ∠=∠，根据BAC ∠是ABF △的外角，则2BAC F AFB α∠=∠+∠=，由于90ABC ∠=︒，所以90BCE BAC ∠+∠=︒，从而30α=︒，进而60ACB ∠=︒，结论得证；②延长AD 至A '，使DA DA '=，可得A 与A '关于CD 成轴对称，过A '作A G AC '⊥于G 交CD 于H ，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系．【详解】（1）证明：ABD ADB ∠=∠ ，90ABC ADC ∠=∠=︒，AB AD ∴=，ABC ABD ADC ADB ∠-∠=∠-∠，A ∴在BD 的垂直平分上，CBD CDB ∠=∠，CB CD ∴=，C ∴在BD 的垂直平分上，AC ∴垂直平分BD ；（2）①证明：设F α∠=，AB AF = ，ABF F α∴∠=∠=，BAC ∠ 是ABF △的外角，2BAC F AFB α∴∠=∠+∠=，由（1）AC BD ⊥，CB CD =，BCE DCE ∴∠=∠，BF CD ∥，F DCE ∴∠=∠，F BCE α∴∠=∠=，90ABC ∠=︒ ，90BCE BAC ︒∴∠+∠=，即290αα+=︒，则30α=︒，260DCB BCE ∴︒∠=∠=，BC CD = ，BCD ∴△是等边三角形；②GH AH +为最小值时，GH 与CH 的数量关系是2CH GH =，理由：延长AD 至A '，使DA DA '=，CD AD ⊥ ，A ∴与A '关于CD 成轴对称，过A '作A G AC '⊥于G 交CD 于H ，连接AH ，AH A H '∴=，AH GH A H GH A G ''∴+=+=，此时GH AH +为最小，由①知：30DCE ∠=︒，即30GCH ∠=︒，A G AC '⊥ 即GH CG ⊥，∴在GCH Rt 中，30GCH ∠=︒，2CH GH ∴=，GH AH ∴+为最小值时，GH 与CH 的数量关系是2CH GH =．【点拨】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含30︒角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键．24．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用SAS 定理证明ACF AEF △△≌，根据全等三角形的性质得到E ACF ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到E ∠=∠ABE ，等量代换证明结论；（2）在FB 上截取BM CF =，连接AM ，证明ABM ACF △≌△，根据全等三角形的性质得到,AM AF BAM CAF =∠=∠，进而证明AMF 为等边三角形；（3）延长,BA CF 交于N ，证明BFN BFC ≌，得到22CN CF EF ==，再证明BAD CAN △≌△，得到BD CN =，等量代换得到答案．【详解】（1）证明：∵AF 平分CAE ∠，EAF CAF ∴∠=∠，,AB AC AB AE == ，AE AC ∴=，在ACF △和AEF △中，AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AEF SAS ∴ ≌，E ACF ∴∠=∠，AB AE = ，E ABE ∴∠=∠，ABE ACF ∴∠=∠；（2）证明：如图，在FB 上截取BM EF =，连接AM，∵ACF AEF △△≌，∴,EF CF BM E ACF ABM ==∠=∠=∠，在ABM 和ACF △中，AB AC ABM ACF BM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABM ACF SAS ≌，∴,AM AF BAM CAF =∠=∠，∵,60AB AC ABC =∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，∴60MAF MAC CAF MAC BAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵AM AF =，∴AMF 为等边三角形；（3）证明：如图3，延长BA 、CF 交于N，AE BC ∥，E EBC ∴∠=∠，AB AE = ，ABE E ∴∠=∠，ABF CBF ∴∠=∠，45ABC ∠=︒ ，22.5,45,180454590ABF CBF ACB BAC ∴∠=∠=︒∠=︒∠=︒-︒-︒=︒，22.5ACF ABF ∴∠=∠=︒，18022.54522.590BFC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，90BFN BFC ∴∠=∠=︒，在BFN 和BFC △中，NBF CBF BF BF BFN BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BFN BFC ASA ∴ ≌，CF FN ∴=，即22CN CF EF ==，90BAC ∠=︒ ，90NAC BAD ∴∠=∠=︒，在BAD 和CAN △中，ABD ACN AB AC BAD CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAD CAN ASA ∴ ≌，BD CN ∴=，2BD EF ∴=．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．。
三角形培优训练100题集锦(一)2024
三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。
本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。
以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。
【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。
这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。
第2讲 等边三角形的性质与判定(培优)
1.如图1，在等边ABC ∆中，5AB =，点D 在AB 上，且1BD =，点E 、F 分别是BC 、AC 上的点，连接DE ，EF ，如果60DEF ∠=︒，DE EF =，那么BE 的长是()A ．3B ．3.5C ．4D ．4.52..有一角为30︒的等腰三角形ABC ，以ABC ∆的底BC 为边在同侧作一个等边三角形DBC ，则DBA ∠的度数为()A ．30︒B ．15︒C ．45︒或60︒D ．15︒或30︒3.如图2，在ABC ∆中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把BDC ∆沿BD 翻折，得到BDC ∆'，DC '与AB 交于点E ，连接AC '，若2AD AC ='=，3BD =，则BC 的长为()A ．5B ．6C ．7D ．34.已知点P 是等边ABC ∆的边BC 上的一点，若104APC ∠=︒，则在以线段AP ，BP ，CP 为边的三角形中，最小内角的大小为()A ．14︒B ．16︒C ．24︒D ．26︒5.如图3，等边ABC ∆中，点E 在BA 的延长线上，//EF AC ，交BC 的延长线于点F ，点D 在BC 边上，且DE CE =．如果4AB =，2AE =，那么BD 等于()A ．2B ．3C ．2D ．36.如图4，已知120ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，60DAC ∠=︒，若2AB =，3BC =，则BD 的长是()A ．5B ．7C ．8D ．97.已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边的长，且满足22222()0a b c b a c ++-+=，则此三角形的形状为．8.如图5，ABC ∆与BDE ∆均为等边三角形，点D 在AC 边上，若32CDE ∠=︒，则CBD ∠的度数为．9.已知等边ABC ∆的边长为5，点D 为直线BC 上一点，1BD =，//DE AB 交直线AC 于点E ，则DE 的长为．10.在ABC ∆中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，一个等边三角形ECG 如图6摆放，EG 交AD 于点F ．若7BC =，2EF =，则等边三角形ECG 的边长为．11.如图7所示，过等边ABC ∆的顶点A ，B ，C 依次作AB ，BC ，CA 的垂线MG ，MN ，NG ，三条垂线围成MNG ∆，已知4CG cm =，则MNG ∆的周长是cm ．12.如图8，过边长为4的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为．13.在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，垂足为G ，且AD ＝AB ．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：△ABD 是等边三角形；（2）求证：BE ＝AF ．14.图，点D 、E 、F 分别是等边ABC △各边上的点，且2BD CE ==，DEB EFC ∠=∠．（1）求证：DEF △是等边三角形．（2）若150DEC ∠=︒，求等边ABC △的周长．15.在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．16.如图①，△ABC和△DCE都是等边三角形．(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，(2)若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．(3)若B，C，E在一条直线上(如图②)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．17.如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD＝n，（1）当n＝1时，则AF＝；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH＝AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．18.如图，等边△ABC的边长为4，BD为AC边上的中线，E为BC边上一点（不与B、C重合）．（1）如图1，若DE⊥BC，连接AE，求AE的长；（2）如图2，若DE平分∠BDC，求BE的长；（3）如图3，连接AE，交BD于点M．以AM为边作等边△AMN，连接BN．请猜想∠CAE、∠CBD、∠BMN之间的数量关系，并证明你的结论．。
等边三角形的性质(限时满分培优训练)-八年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.5等边三角形的性质（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•砀山县校级期中）如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝α，则∠1＝（）A．60°+αB．60°﹣αC．30°+2αD．120°﹣2α2．（2021秋•南岗区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB 的度数为（）A．25°B．60°C．90°D．100°3．（2021秋•涿州市校级期末）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小红设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆OA＝OB＝30cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是（）A．15cm B．30cm C．60cm D．都不对4．（2022秋•济宁期末）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．（2023春•竞秀区期末）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：“如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，甲说：CE＝12；乙说：CB＝20；丙说：△AOB为等边三角形；丁说：过点O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的．则“卧底”是（）A．甲B．乙C．丙D．四个人都不是卧底6．（2023春•兴宁市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．（易错题）（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°8．（易错题）（2023春•环江县期末）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，PD+PE+PF＝6，则△ABC的周长是（）A．12B．18C．24D．309．（培优题）（2019秋•镇赉县期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（）A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m10．（2020春•淄川区期末）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（）A．不变B．变小C．变大D．先变大后变小二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•龙川县校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，BC＝4，则△ABC的周长是．12．（2023春•零陵区期中）如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A，B分别在l1，l2上，∠2＝40°，则∠1的度数为．13．（易错题）（2023春•唐河县期末）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长为．14．（易错题）（2023春•安源区期末）如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB₁，EB1分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝84°，则∠CEG的度数为．15．（培优题）（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为．16．（压轴题）（2020春•成都期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C 重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC度；（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC ＝．（用含α的式子表示）三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．18．（2023春•铁西区期末）如图，已知AB∥CD，△ACE是等边三角形，∠DCE＝40°，求∠EAB的度数．19．（2023•荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．20．（培优题）（2023春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足，△DEF是等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求证：EF∥BC．21．（培优题）（2022春•兰州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．22．（压轴题）（2021秋•龙马潭区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE＝CD，（1）求证：DB＝DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．23．（压轴题）（2021•罗湖区校级模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．。
等边三角形培优练习题集
等边三角形专项练习题双基训练1、如图1445,在等边ΔABC中,O就是三个内角平分线得交点,OD∥AB,OE∥AC,则图中等腰三角形得个数就是。
2、如图1446,ΔABC就是等边三角形,D为BA得中点,DE⊥AC,垂足为点E,EFAB,AE=1,则AD= ,ΔEFC得周长= 。
3、如图1447,在等边ΔABC中,AE=CD,BG⊥AD,求证:BP=2PG。
纵向应用1.如图1448,已知等边ΔABC得ABC、ACB得平分线交于O点,若BC上得点E、F分别在OB、OC垂直平分线上,试说明EF与AB得关系,并加以证明。
2、如图1449,C就是线段AB上得一点,ΔACD与ΔBCE就是两个等边三角形,点D、E在AB同旁,AE 交CD于点G,BD交CE于点H,求证:GH∥AB。
3.如图1450,已知ABC就是等边三角形,E就是AC延长线上一点,选择一点D使得ΔCDE就是等边三角形,如果M就是线段AD得中点,N就是线段BE得中点,求证:ΔCMN就是等边三角形。
4.如图1451,C就是线段AB上一点,分别以BC、AC为边作等边ΔACD与ΔCBE,M为AE得中点,N为DB得中点,求证:ΔCMN为等边三角形。
5、如图1452,在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,以CD为边向形外作等边ΔCDE,连结AE,求证:ΔABE为等边三角形。
6、如图1453,已知ΔABC就是等边三角形,D为AC上一点,∠1=∠2,BD=CE,求证:ΔADE就是等边三角形。
7、如图1454,设在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,M、N、P分别就是AC、BD、CD得中点。
求证:ΔMNP就是等边三角形。
8、如图1455,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,∠AOB=600,且E、F分别就是OD、OA得中点,M就是BC得中点,求证:ΔEFM就是等边三角形。
9、如图1456,在ABCD中,ΔABE与ΔBCF都就是等边三角形,求证:ΔDEF就是等边三角形。
专题13.10等边三角形大题专练(重难点培优)(原卷版)
专题13.10等边三角形大题专练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分试题共24题．解答24道..答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题（本大题共24题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．（2020秋•包河区期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．2．（2020秋•湖里区校级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．3．（2020秋•和平区期中）已知△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．（1）如图①，若∠ABC＝70°，则∠CAB的大小＝70（度），∠EAB的大小＝10（度）；（2）如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证FA＝FB．4．（2020春•广丰区期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．5．（2020春•松江区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．6．（2019秋•永安市期末）已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF ＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．7．（2019秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG 交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm．（1）求∠DFG的度数．（2）求BC的长度．8．（2019秋•中原区校级期末）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．（1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；（2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．9．（2019秋•临渭区期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF ＝60°．（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．10．（2020春•赫章县期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求证：AD＝BE；（2）求AD的长．11．（2020秋•越秀区校级期中）等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．12．（2020秋•长汀县期中）如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．13．（2018秋•巴南区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC的延长线上，且DB⊥AB，DE⊥BE，点F是AB的中点．（1）求证：BC＝2CE；（2）若AE＝5，求EF的长．14．（2019秋•延平区期中）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD＝AE，∠DAE＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数．15．（2021春•锦江区校级期中）如图，已知等边三角形ABD中，点C在BD的延长线上，DE与AC交于点F，且满足AD＝DE，连接AE．（1）若∠ADF＝70°，∠EAF＝35°，判断△ADF的形状，并说明理由；（2）若∠BDE＝2∠EAF．①求∠AFD的大小；②连接FB，则FA，FB，FD满足怎样的数量关系？并说明理由．16．（2021春•历下区期中）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是2＜AD＜8；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．17．（2021春•崇州市期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF∥AC交AB于点F；（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？（3）求证：DC＝EF．18．（2017秋•垦利区期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE 交AC于F，AD交CE于H．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD．19．（2020秋•肥西县期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．（1）求∠BPD的度数．（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．20．（2020秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．21．（2017秋•靖江市校级期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A＝60°，∠ADC＝150°，∠DCB＝120°，点E在AB上，点F在BC上，DC⊥DE，∠CDF＝15°．求证：EF＝AE+CF．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC≠90°，DA＝DC，∠A+∠C＝180°，点E在AB上，点F在BC上，∠ADC＝2∠EDF，试问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．22．（2020秋•盐都区期末）在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝8，∠A＝60°，BC＝10，CD＝6．（1）连接BD，试判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求∠ADC的度数．23．（2020秋•渑池县期末）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：PA＝PM．24（2020秋•洮北区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．。
八年级数学下----等腰三角形和等边三角形培优练习题
八年级数学下----等腰三角形和等边三角形培优练习题一、填空选择题:1．如下图1，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ） A ．32 B ．23C ．12D ．342．如上图2，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC ＝6， 则DF 的长是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）25（D ）4 3．如上图3，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标 不可能．．．是（ ）A ．(4，0) B ．（1．0） C ．（-22，0） D ．（2，0）4．如上图1，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．405．如上图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分么BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是( ) A ．7+5 B ．10 C ．4+25 D ．126．如上图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线， 则图中的等腰三角形有 （ ） (A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个7.在等腰ABC △中，AB AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ． 9．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 10.在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°， 则∠B 等于_ 度．AD CP60°ED CBA(第6题) BA D C11.如下图1，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定12．如下图2，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。
2020北师大版八年级数学下册1.1.4等边三角形的判定培优同步训练(含答案)
2020北师大版八年级数学下册1.1.4 等边三角形的判定培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列三角形，不一定是等边三角形的是( )A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形2．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形() A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为( ) A．2 B．6C．9 D．154. 如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是() A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直5．在△ABC中，∠A＝60°，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件，下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB，BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．正确的说法有( )A．3个B．2个C．1个D．0个6. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )A．6 B．6 2C．6 3 D．127．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．78．如图，在△ABC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点O，且CD＝BE，则下列结论：①△ABC是等边三角形；②△BOC是等腰三角形；③∠BOC ＝120°；④BD＝CE.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为( )A．4 B．6C．4 3 D．810．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN ＝2，则OM等于( )A．3 B．4C．5 D．6二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是____________．12．如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为__________.13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是__________.14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝______.15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则BD与CD的数量关系是__________.16．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____秒．17．如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为_______.18. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，求点B的对应点B′的坐标.20．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC的中点．求∠CAE的度数；21．(6分) 如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，试判断以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形的形状.22．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AC的中点，DE⊥AC交BC于点E.求证：BE＝2CE.23．(6分) 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．24．(8分) 已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.(1)求证：AD＝AE；(2)若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．25．(8分) 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图①，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF. 求证：①△ABE≌ACF；②△AEF是等边三角形；(2)如图②，若点E 在BC 的延长线上，在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三角形？证明你的结论．参考答案1-5DDBAA 6-10 ADDBC11. 等边三角形12．30 cm13．BD ＝14BC14. 215．BD ＝2CD16. 2617．5 cm18．619. 解：如图，作B′H ⊥y 轴于点H.由题意得OA′＝OA ＝AB ＝A′B′＝2，∠B′A′H ＝60°，∴∠A′B′H ＝30°.∴A′H ＝12A′B′＝1.∴B′H ＝ 3. ∴OH ＝3.∴B′(－3，3)．20. 解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝12×(180°－120°)＝30°. ∵AE ＝BE ，∴∠BAE ＝∠B ＝30°.∴∠CAE ＝120°－30°＝90°.21. 解：如图，连接PP 1，PP 2，PO.∵点P 1与P 关于OB 对称，∴OP 1＝OP ，∠P 1OB ＝∠POB.同理，OP 2＝OP ，∠P 2OA ＝∠POA.∴OP 1＝OP 2，∠P 1OP 2＝2∠POA ＋2∠POB ＝2(∠POA ＋∠POB)＝60°.∴△OP 1P 2为等边三角形．22. 解：连接AE ，∵D 为AC 的中点∴AE ＝CE ，∠DAE ＝∠C ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，则∠DAE ＝∠C ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC －∠DAE ＝120°－30°＝90°，∴AE ＝12BE ，即CE ＝12BE ， ∴BE ＝2CE23. 解：根据SAS 可证△ABE ≌△CAD ，∴BE ＝AD ，∠ABE ＝∠CAD. ∵∠BPQ ＝∠ABE ＋∠BAD ，∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAD ，∴∠BPQ ＝∠BAC ＝60°，又∵BQ ⊥AD ，∴∠BQP ＝90°，∴∠PBQ ＝90°－∠BPQ ＝30°，∴PQ ＝12BP ， ∴BP ＝2PQ ＝2×3＝6，∴BE ＝BP ＋PE ＝7，∴AD ＝BE ＝724. (1)证明：∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°， ∵AE ⊥AB ，∴∠E ＝90°＝∠ADB ，∵AB 平分∠DAE ，∴∠1＝∠2，在△ADB 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠E ，∠1＝∠2，AB ＝AB ，∴△ADB ≌△AEB(AAS)，∴AD ＝AE(2)△ABC 是等边三角形．理由：∵BE ∥AC ，∴∠EAC ＝90°，∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠BAC ＝∠1＋∠3＝60°，∴△ABC 是等边三角形25. 解：(1)①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．同理可得△ACD 是等边三角形． ∵AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)②由△ABE ≌△ACF 得AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ， ∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°， 即∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形(2)存在．证明：当BE ＝CF 时，与(1)同理证△ABE ≌△ACF ， ∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∴∠CAF －∠CAE ＝∠BAE －∠CAE ，∴∠EAF＝∠BAC＝60°，∴△AEF是等边三角形。
13.3.2等边三角形培优练习人教版2024—2025学年八年级上册
13.3.2等边三角形培优练习人教版2024—2025学年八年级上册一、典型例题例1.如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE．（1）求∠EDC的度数；（2）若AD＝2，求△AED的面积．例2．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD 的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）BF与AE有怎样的数量关系？请说明理由．例3.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．例4.如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．例5.如图，E为等边△ABC的边AC上一点，且∠1＝∠2，CD＝BE，试判定△ADE的形状，并说明理由．例6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由．（2）若AD＝10，CE＝8，求CF的长．例7.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且AD＝BE ＝CF，求证：△DEF是等边三角形．例8.如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．说明：△ADE是等边三角形．例9.如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．例10.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求证：BE＝EF．二、巩固练习（一）选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12cm，则AB等于（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第1题图第1题图第1题图2．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的值为（）A．3B．4C．5D．63．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（）A．3B．4C．5D．64．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，那么AE的为（）A．6B．4C．3D．2第4题图第5题图5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10第6题图第7题图7．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD=12AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④第8题图第9题图（二）填空题9．如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝度．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．若点P是AD上一动点，连接PE，PB，则PE+PB的最小值是．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF+EF的最小值为．12．如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于．第10题图 第11题图 第12题图13．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝130°，∠B ＝∠D ＝90°，点E ，F 分别是线段BC ，DC 上的动点．当△AEF 的周长最小时，则∠EAF 的度数为 ．第13题图 第14题图 第15题图14．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，∠CPE 的度数是 ．15．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC ∆和等边CDE ∆，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q . 则下列结论：①BE AD =，②PQ //AE ；③BQ AP =；④DP DE =. 其中正确的是 ．（三）解答题16．如图，等边△ABC 的边长为12，D 为AB 边上一动点，过点D 作DE ⊥BC 于点E ．过点E 作EF ⊥AC 于点F ．（1）若AD ＝2，求AF 的长；（2）当AD 取何值时，DE ＝EF ？17．如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，点D 是AB 上一点，过点D 作DE ⊥BC 交BC 于点E ，交CA 延长线于点F ．（1）证明：AF ＝AD ；（2）若∠B ＝60°，BD ＝4，AD ＝2，求EC 的长．18. 如图a ，ABC ∆和CEF ∆是两个大小不等的等边三角形，且 有一个公共顶点C ，点F 、B 、C 在同一条直线上，连接AF 和BE .（1）线段AF 和BE 有怎样的大小关系（写出结论，不需要说明理由）；（2）将图a 中的CEF ∆绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，（1）中结论还成立吗？作出判断并说明理由；（3）若将图a 中的ABC ∆绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c （草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由.19．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE 和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．（2）如图1，求证：EF＝2AD．（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．。
八年级数学上等边三角形优选题集锦培优辅导周末练习
八年级数学上等边三角形优选题集锦培优辅导周末练习一、选择题1．如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定2．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．123．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°5．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60二、填空题．6．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为______．7．如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE 折叠，使得点A 与点B 重合，则折痕DE 的长为______．8．如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=______度．9．.如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠ABC 的大小等于___ ___度．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD=___ ___．11．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=12cm ，∠ABC=30°，那么底边上的高AD=______cm ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠1=120°，如果BC=1，则AB=______．13． 如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ．若∠AOB=60°，OC=4，则OD 等于______．三、解答题14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°．（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线L （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若直线L 分别交AB 、AC 及BC 的延长线于点D 、E 、F ，连接BE ． 求证：EF=2DE ．15．△ABC 是等边三角形，∠ADB=120°，∠AEC=120°，求证：CE=BD+ED ．CB。
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双基训练
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等边三角形专项练习题
1.如图14-45 ，在等边ΔABC中，O 是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三
角形的个数是。
2.如图14-46 ，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，
ΔEFC的周长= 。
3.如图14-47 ，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。
纵向应用
1. 如图14-48 ，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F 分别在OB、OC
垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。
2. 如图14-49 ，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E 在AB同旁，AE 交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。
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3. 如图14-50 ，已知ABC是等边三角形，E 是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔC M N是等边三角形。
4. 如图14-51 ，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，
N为DB的中点，求证：ΔC M N为等边三角形。
5. 如图14-52 ，在四边形ABCD中，∠ A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。
求证：ΔADE是等边三6. 如图14-53 ，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠ 1=∠2，BD=C，E
角形。
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7. 如图14-54 ，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P 分别是AC、BD、CD的中点。
求证：ΔM N P是等边三角形。
8. 如图14-55 ，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC对, 角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F 分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。
9. 如图14-56 ，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。
P点在ΔABC外，且CP=C，A CD平分∠ PCB，10. 如图14-57 ，已知D为等边ΔABC内一点，DA=D，C
求∠ P。
横向拓展
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1. 如图 14-58 ，已知 P 是等边三角形 ABC 内一点， APB:CPA=5:6:7, 求以 P A 、P B 、PC 为边长的三角形
的三内角之比。
2.
如图 14-59 ，点 O 为等边 ΔABC 内一点，∠ AOB=110
0，∠ BOC=130
5，试问：
（1）
）以 O A 、O B 、OC 为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说
明理由；
（2）
）如果∠ AOB 大小保持不变，那么当∠
BOC 等于多少度时，以 O A 、O B 、OC
为边的三角形是一个直 角三角形？
3. 如图 14-60 ，已知ΔABC 是边长为 1 的等边三角形， ΔBDC 是顶角∠ BDC 为 1200
的等腰三角形，以
点 D 为顶点作一个 60 角的两边分别交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，连结 MN ，形成一个三角形。
求证： AMN 的周长等于 2。
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4. 如图 14-61 ，在ΔABC 中，∠ A=600
，BE ⊥ AC ，垂足为 E ，CF ⊥AB ，垂足为 F ，点 D 是 BC 的中点， BE 、 CF 交于点 M 。
（1）如果 AB=AC ，求证： Δ DEF 是等边三角形；
（ 2）如果 AB ≠AC ，试猜想 ΔDEF 是不是等边三角形？如果 ΔDEF 是等边三角形，请加以证明；如果 Δ DEF 不是等边三角形，请说明理由； （3）如果 CM=4cm ，FM=5cm ，求 BE 的长度。
5. 如图 14-62 ，已知 AO=10， P 是射线 ON 上一动点（即 P 点可在射线 ON 上运动），∠ AON=60。
（ 1） OP 为多少时， ΔAOP 为等边三角形？（ 2）OP 为多少时， ΔAOP 为直角三角形？ （3） ） OP 为多少时， ΔAOP 为锐角三角形？ （4） ） OP 满足什么条件时， ΔAOP 为钝角三角形？
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6.（1）如图14-63 ，下列每个图形都是由若干个边长为 1 的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3, ，设边长为n 的等边三角形由s 个小等边三角形组成，按此规律推断s 与n 有怎样的关系；
（2）现有一个等角六边形ABCDE（F 六个内角都相等的六边形，如图14-64 ），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；
（3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这
种小等边三角形的个数。
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参考答案；等边三角形；双基训练 1.7 个 2.2 9 3.
提示：证 ΔABD ≌ ΔBCE ，证∠ BPG=60
纵向应用； 1.EF= 1
3
2. 提示：证 ΔGCH 为等边三角形
3. 提示： ΔECB ≌ΔDCA ，Δ ECN ≌ΔDCM
4. 略
5. 提示：证ΔADE ≌Δ BCE
6. 提示：证ΔABD ≌ ΔACE
7. 略
8. 略
9. 提示：证ΔADE ≌Δ
EBF 10.30 横向拓展。
提示：连结 BD ，易证 ΔABD ≌Δ CBD ，再证Δ CDP ≌ΔADB
1.2:3:4.
提示：将ΔAPC 绕顶点 C 逆时针方向转 600
，点 P 转到点 P ′的位置， 连结 PP ′ 2.(1)
能， 50 ，55 ，75
（2）150 或 100 3. 提示：延长 AC 至点 E ，使 CE=BM ，连结 DE 。
证ΔMDB ≌
Δ EDC ， Δ MDN ≌ ΔEDN 4.(1) 略 (2) 提示：证∠ EDF=60 （ 3）12cm 5.(1)10 (2)5 或 20
(3)5<OP<20 (4)0<OP<5 或 OP>20 6.(1)s=n
2
(2)19. 提示：延长 FA 、CB 交于点 P ，延长 AF 、
DE 交于点 Q ，延长 ED 、BC 交于点 R ，可证 ΔPAB 、ΔQEF 、ΔRCD 、ΔPQR 为等边三角形 (3) 能， s=102
-2 2
-3 2
-6 2
=51( 个)。