初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题及答案 (12)

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题

1．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…P m中，若1≤i＜j≤m时，P i＞P j（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n﹣1）…321的逆序数为a n，如排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6．

（1）求a4、a5，并写出a n的表达式（用n表示，不要求证明）；

（2）令b n＝+﹣2，求b1+b2+…b n并证明b1+b2+…b n＜3，n＝1，2，…．

【分析】（1）由排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6得，a4＝4+3+2+1＝10，a5＝5+4+3+2+1＝15，找出规律得到a n即可；

（2）要证明b1+b2+…b n＜3，关键要根据（1）的结论及﹣2，将b n表达出来，并利用数列求和的方法解决问题．

【解答】解：（1）由排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6，得a4＝4+3+2+1＝10，a5＝5+4+3+2+1＝15，

∴a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝；

（2）∵a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝，b n＝+﹣2，

∴b n＝+﹣2＝+﹣2＝﹣，

∴b1+b2+…+b n＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝3﹣﹣；

又∵n＝1，2，…，

∴b1+b2+…b n＝3﹣﹣＜3．

【点评】本题考查了排列与组合的问题，需要我们归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），难度较大．