八年级数学四边形之动点问题(建等式一)(北师版)(含答案)
初中数学动点问题(北师大版)
初中数学动点问题(北师大版)1. 引言初中数学动点问题是数学中经常出现的一个考点，它涉及到点在平面内移动的问题。
通过解决这类问题，可以帮助学生理解和掌握坐标系、图形变换等数学概念。
本文将重点介绍北师大版初中数学教材中关于动点问题的内容。
2. 动点问题的基本概念动点问题是指一个点在平面内以一定的规律进行移动的情况。
这个点可以在平面内的不同位置上，可以沿直线、曲线等路径运动。
学生需要根据提供的条件，确定点的运动轨迹、速度、方向等。
解决动点问题需要运用坐标系、直线方程、参数方程等知识。
3. 动点问题的解决方法解决动点问题的方法有多种，下面介绍几种常见的方法：- 使用坐标系：通过建立合适的坐标系，将点的位置用坐标表示，便于进行计算和分析。
- 利用直线方程：当点在直线上运动时，可以通过直线方程来确定点的位置，进而求解相关问题。
- 应用参数方程：对于复杂的轨迹，可以使用参数方程来描述点的位置，通过确定参数值来求解问题。
- 运用速度概念：当点的位置随时间变化时，可以利用速度概念来描述点的运动，并解决相关问题。
4. 例题分析下面通过例题来具体说明解决动点问题的步骤和方法。
例题：一条船以每小时12公里的速度顺水航行，沿江下游行驶，下游距离为96公里。
一条狗站在江边，见船过去需0.5小时，它就跳入江中追船，每小时游5公里。
试问，狗游完全程需要多少时间？一条船以每小时12公里的速度顺水航行，沿江下游行驶，下游距离为96公里。
一条狗站在江边，见船过去需0.5小时，它就跳入江中追船，每小时游5公里。
试问，狗游完全程需要多少时间？解答：首先，设狗追船的时间为$t$小时，则船运动的时间为$t+0.5$小时。
根据题意可得：船的位移 = 船的速度 ×船的时间狗的位移 = 狗的速度 ×狗的时间根据题目中给出的数据，可列出方程组：$$12 \times (t+0.5) = 96$$$$5 \times t = 96$$解方程可得：$t=\frac{192}{17}$因此，狗游完全程需要$\frac{192}{17}$小时。
(完整版)初二动点问题(含答案)
动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想类型：1。
利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。
分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为 ；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图， 射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。
部编数学八年级下册专题19四边形中的动图问题(解析版)含答案
专题19 四边形中的动图问题（解析版）类型一平行四边形及特殊平行四边形的存在性问题1．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC ＝4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；（3）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE＝BF＝证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标；（2）根据平行四边形的性质可知CP＝OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10﹣3x＝x，解方程即可；（3）如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形．解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵∠COA＝60°，∴∠1＝30°，∴OE=12CO＝2cm，在Rt△COE中，CE==∴C点坐标是（2，，∵四边形OABC是平行四边形，∴CO＝AB，CO∥AB，∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，∴CE＝BF＝，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝EO＝2，∴OF＝OA+AF＝12（cm），∴B点坐标是（12，；（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，10﹣3x＝x，解得：x＝2.5，故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；（3）不能成为菱形，如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，∵OA＝10cm，∴AQ＝10﹣4＝6（cm），则Q的运动时间是：6÷3＝2（秒），这时CP＝2×1＝2（cm）∵CP≠4cm，∴四边形OCPQ不能成为菱形．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．2．（2022春•广信区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．思路引领：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．总结提升：本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．3．（2021春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？思路引领：（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠FCD∠AED=∠CFDAD=CD，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：①当点F在C的左侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，即t＝2t﹣6，解得t＝6，综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．总结提升：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．类型二动点最值问题4．（2021春•灌云县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB =13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）A．B．C．D．思路引领：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB＝A'B即为所求，由面积关系可得AM=23AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，∵S△PAB =13S矩形ABCD，∴12×AB×AM=13×BA×AD，∴AM=23 AD，∵AD＝6，∴AM＝4，∴AA'＝8，∵AB＝10，在Rt△ABA'中，A'B＝故选：B．总结提升：本题考查轴对称求最短距离，通过面积关系，能确定P点所在直线是解题的关键．5．（自贡中考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．思路引领：根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC ＝BC ，∴AH =12，由勾股定理可得，CH ∵12×AB ×CH =12×BC ×AN ，可得，AN =∴ME ＝AN =4，∴PE +PF总结提升：此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．6．（2020•锦州模拟）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，两顶点B 、D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是 ．思路引领：利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A 点位置，进而求出AO 的长．解：如图所示：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，当点A ，O ，E 在一条直线上，此时AO 最短，∵平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝10，∠BAD ＝∠BCD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AE 过点O ，E 为BD 中点，∵∠BOD ＝90°，BD ＝10，∴EO ＝5，故AO 的最小值为：AO ＝AE ﹣EO ＝AB sin60°―12×BD ＝―5．故答案为：―5．总结提升：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．7．（2022•利州区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）A．0.5B．2.5C D．1思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC=32，∴CM＝MP+CP＝1+32=52，即CG的最小值为5 2．方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+32=52．故选：B．总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．8．（2022秋•射阳县月考）如图，△APB中，AB＝4，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是 ．思路引领：先延长EP 交BC 于点F ，得出PF ⊥BC ，再判定四边形PCDE 平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b =12ab ，最后根据a 2+b 2＝8，判断12ab 的最大值即可．解：如图，延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°﹣150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF =12CP =12b ，a 2+b 2＝42＝16，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，在△EAD 和△PAB 中，AE =AP ∠EAD =∠PAB AD =AB，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP＝AP＝CD，∴四边形PCDE是平行四边形，∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝a×12b=12ab，又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝16，∴12ab≤4，即四边形PCDE面积的最大值为4．故答案为：4．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．9．（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．思路引领：（1）连接CF，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到CF＝EF，CF＝AF，从而求证结论．（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，即可得到MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，结合已知推断△ABC为等边三角形，即可求解．解：（1）证明：连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；总结提升：本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．类型三 求运动路径的长10．（2022•虞城县二模）如图，矩形ABCD 中．AB =AD ＝1，点E 为CD 中点，点P 从点D 出发匀速沿D ﹣A ﹣B 运动，连接PE ，点D 关于PE 的对称点为Q ，连接PQ ，EQ ，当点Q 恰好落在矩形ABCD的对角线上时（不包括对角线端点），点P 走过的路径长为 12或1 ．思路引领：当点Q 恰好落在矩形ABCD 的对角线上时存在两种情况：①如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，证明AP ＝PD 可得结论；②如图2，点P 在AB 上，连接PD ，根据30°角的三角函数列式可得AP 的长，从而计算结论．解：如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，∵E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，∵点D 关于PE 的对称点为Q ，∴PE ⊥DQ ，DE ＝EQ ＝EC ，∴∠DQC ＝90°，∴DQ ⊥AC ，∴PE ∥AC ，∴PD ＝AP =12AD =12，即点P 走过的路径长为12；如图2，点P 在AB 上，连接PD ，∵E 为CD 的中点，且CD =∴DE ＝CE ∵∠DFE ＝90°，∴cos ∠EDF ＝cos30°=DF DE，∴DF =34，∵BD 2，∴BF ＝2―34=54，cos ∠ABD ＝cos30°=BF PB ，∴BP 5=∴AP ==∴此时点P 走过的路径长为1综上，点P 走过的路径长为12或1+故答案为：12或1+总结提升：本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．11．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．（1）当点B '恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 cm ；（2）点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB ′与边CD 交于点E ，求点E 相应运动的路径长度．（3）当点A 与点B '距离最短时，求AM 的长．思路引领：（1）运用矩形性质和翻折性质得出：MB′＝NB′，再利用勾股定理即可求得答案；（2）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．（3）如图5中，连接AN，当点B′落在AN上时，AB′的值最小，此时MN平分∠ANB．利用面积法求出AM：BM＝2，可得结论．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′cm），∴BM＝NB′=cm）．（2）如图1中，点B'恰好落在边CD上时，BM＝NB′=cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt △ADE 中，则有x 2＝22+（4﹣x ）2，解得x =52，∴DE ＝4―52=32（cm ），如图3中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝5﹣1﹣2＝2（cm ），如图4中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，DB ′（即DE ″）＝5﹣1―（4―（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝2―32+2﹣（432）（cm ）．（3）如图5中，连接AN ，当点B ′落在AN 上时，AB ′的值最小，此时MN 平分∠ANB ．过点M 作MP ⊥AN 于点P ，MQ ⊥BN 于点Q ．在Rt △ADN 中，AN ===∵S △AMN S △MNB =AM BM =12⋅AN⋅MP 12⋅BN⋅MQ =2，∴AM =23AB =103．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．类型四 平移、翻折及旋转问题12．（2019春•江北区期中）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝8，F 是AB 的中点．过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ．将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A ′E ′F ′．设P 、P ′分别是EF 、E ′F ′的中点，当点A ′与点B 重合时，四边形PP ′F ′F 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．―8思路引领：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．首先证明四边形PP ′CD 是平行四边形，再证明DF ⊥PP ′，求出FH 即可解决问题．解：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．由题意PP ′＝AA ′＝AB ＝CD ，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，∴AE ＝2，EF ＝∴PE ＝PF =在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF∴HF =12PF∴平行四边形PP ′FF ′的面积8＝故选：B ．总结提升：本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．（2021•海南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为1；将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 的位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是（ ）A ．14B ．2―C 1D ．12思路引领：依据△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．解：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，∴EF ＝CE ＝1，∴CF =∴BF =―1，∵∠BFE ＝45°，∴BH ＝BF ―1，∴阴影部分的面积=12×1×1―12×―1）2―1，故选：C ．总结提升：本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形求解线段的长．14．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为 ．思路引领：由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝解：∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，；∴矩形CODE的面积为2＝∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为如图，设ME′＝x，则FE′，依题意有x×÷2＝解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．总结提升：考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键（2022•大连模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．思路引领：过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．解：过点E作EH⊥AD于H，∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE=∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．总结提升：本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．。
初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)
四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。
数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。
这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。
解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。
八年级数学四边形之动点问题(隐含点建等式)(北师版)(含答案)
四边形之动点问题（隐含点建等式）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，．动点P从点A出发以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（），解答下列问题：（1）当t=( )时，PQ∥AC.A. B.2C. D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当t=( )时，PQ=PC．A.1B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D在BC边上，且CD=4．动点P从点A 出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点B出发沿BC 方向以每秒1.5个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设点P，Q运动的时间为t秒，（1）△EDQ的面积S与t的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当△EDQ为直角三角形时，t的值为( )A. B.3 C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=15，∠ABC=60°．点P从点B出发沿B→A→D以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动；同时点Q从点C出发沿C→B以每秒3个单位长度的速度向点B匀速运动，当点Q到达点B时，P，Q同时停止运动．设P，Q的运动时间为t秒．（1）点P在AD上运动过程中，当t=( )秒时，PQ∥AB．A.3B.4C.2D.2.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第5题）（2）如图，过点Q作QE⊥BC交线段DA或AB于点E，设△BQE的面积为S，则S与t的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
四边形之动点问题(习题及答案)
四边形之动点问题（习题）➢例题示范例1：如图，直线y = 3x +6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与直线y =- 3x 交于点C．动点E 从点B 出发，以每秒1 个单位长3度的速度沿BO 方向向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线OC-CB 向终点B 运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止．设点F 运动的时间为t（秒）．（1）求点C 的坐标；（2）当3 ≤t ≤6 时，若△BEF 是等腰三角形，求t 的值．13 3 3 【思路分析】 1. 研究背景图形如图 1 所示．2. 分析运动过程，分段，定范围如下图，图 1① 0 ≤ t < 3 ② 3 ≤ t ≤ 63.分析几何特征、表达、设计方案求解分段之后可知，当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上；分析△BEF ， B 是定点，E ，F 是动点．若使△BEF 是等腰三角形，需要分三种情况考虑：BE =BF ，BE =EF ，BF =EF ．①当 BE =BF 时，画出符合题意的图形，如图 2；从动点的运 动开始表达，可得 BE =t ，BF = 3 + 3 得到 t 值．此时， t = 3 + 3 32- t ，根据 BE =BF 即可 ②当 BE =EF 时，画出符合题意的图形，如图 3；从动点的运 动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ，根据 BE =EF ，且 ∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ，在 Rt △BEN 中建立等式即可得到 t 值． 此时，t =3③当 BF =EF 时，画出符合题意的图形，如图 4；从动点的运 动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ，根据 BF =EF ，且 ∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 F 作 FM ⊥BO 于点 M ，在 Rt △BFM 中建立等式即可得到 t 值． 此时， t = 33 图 2图 3解得， t = 3 3 ，符合题意综上，若△BEF 是等腰三角形，则 t 的值为3 + 3 3 ，3 或3 322 =3 + 3 3 - t∴ 2 3 解得，t =3，符合题意③当 BF =EF 时，如图，过点 F 作 FM ⊥BE 于点 M ∴BM =ME ∵BE =t ∴ BM = t2 ∵ BF =3 + 3 3 - t t2 3 ∴ 2 = t23 - t∴ BN = 3 + 3 ∵ BE = t 3 + 3 3 - t②当 BE =EF 时，如图， 过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ∴BN =NF ∵ BF = 3 + 3 3 - t 3 ，符合题意 2 ∴ t =3 + 3 （2）当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上，若使△BEF 是等腰三角 形，分三种情况考虑： ①当 BE =BF 时，如图， 由题意得，BE =t ， BF = 3 + 3 3 - t ∴ t = 3 + 3 3 - t2 2 ⎭ ⎝3 ⎫ 3 3 ⎛ ∴ C - ， ⎪ 3（1）∵直线 y = 3x + 6 与直线 y = -3x 交于点 C 【过程书写】➢巩固练习1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，DC=6，BC=7，梯形的高为3 3 ．动点M 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 从点C 出发，沿C—D—A 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 运动．M，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t >0）．（1）用t 表示△CMN 的面积S；（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？（3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，AD=4 cm，BC=9 cm，CD=10 cm．动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿射线AD 运动；同时动点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向点B 运动．当点Q 到达点B 时，动点P 随之停止，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，以P，Q，C，D 为顶点的四边形是平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ⊥DC？3. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm．点P 从点A 出发，沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动．设运动的时间为t 秒（0 <t < 6 ）．（1）直接写出线段AP，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP= ，AQ= ；（2）如图2，连接PC，把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C，则四边形PQP'C 能否成为菱形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．图1图24. 如图1，直线y =- 3x + 2 与直线y =33x 交于点A，与x 轴交于点B，∠AOB 的平分线OC 交AB 于点C．动点P 从点B 出发沿折线BC-CO 以每秒1 个单位长度的速度向终点O 运动；同时动点Q 从点C 出发沿折线CO-y 轴正半轴以相同的速度运动．当点P 到达点O 时，P，Q 同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）AC= ，BC= ；（2）当t 为何值时，PQ∥OB？（3）当P 在OC 上，Q 在y 轴上运动时，如图2，设PQ 与OA 交于点M，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．图1图2➢思考小结1.什么是动点问题？由速度已知的点的运动产生的几何问题称为动点问题．2.我们一般怎样处理动点问题？首先，研究背景图形．研究背景图形需要研究边、角、特殊图形．其次，分析运动过程，分段、定范围．分析运动过程常借助运动状态分析图：①起点、终点、速度——确定时间范围②状态转折点——确定分段，拐点为常见的状态转折点③所求目标——明确方向最后，分析几何特征、表达、设计方案求解．分段画图、表达相关线段长，根据几何特征列方程求解，回归范围进行验证．3.线段长的表达，需要注意的两点是什么？①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【参考答案】⎧- 3t 2 + 7 3 t （0 < t ≤ 3） 1⎪ 2 2 ．（1） S = ⎨⎪- 3 3 t + 21 3（3 < t ≤ 5） ⎪⎩ 2 2 （2） t = 103 （3） t = 133 2．（1） t = 4或 43（2） t = 8 3．（1）2t ，6-t（2）能，相应的 t 值为 4 4．（1）AC =1，BC =2（2） t = 1或83（3） t = 8 或 6+2 33 3。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理--动点问题 练习(含答案)
《勾股定理--动点问题》一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°，若P 是AC 上的一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）A ．14.8B ．15C ．15.2D ．162．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或243．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，连接AC ，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝30°，CD ＝2，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，若点P 到AC 的距离为3，则点P 的位置有（ ）A ．4处B ．3处C ．2处D ．1处4．如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF ＝（ ）A ．5B ．8C ．13D ．4.85．已知Rt △BCE 和Rt △ADE 按如图方式摆放，∠A ＝∠B ＝90°，A 、E 、B 在一条直线上，AD ＝3，AE ＝4，EB ＝5，BC ＝12，M 是线段AD 上的动点，N 是线段BC 上的动点，MN 的长度不可能是（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16二、填空题6．如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB的长为 ．8．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．9．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是 ．三、解答题10．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C 点相遇，求BC的长度？11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s 的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）运动几秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）运动过程中，直线PQ能否平分△ABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？15．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是 ；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB上的高；（2）①当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）②若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为 ；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长．（2）求斜边AB上的高．（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．答案一、单选题1．【思路点拨】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．【解题过程】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP=AB⋅BCAC =245= 4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，故选：A．2．【思路点拨】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解题过程】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t=252．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=62596．综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，3．【思路点拨】根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC 的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．【解题过程】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2−C D2=42−22=23，∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅CDAC =23×24=3，∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅ABAC =22×224=2，∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3，∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处，故选：B．4．【思路点拨】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值．【解题过程】解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，∵AC＝BC＝5，AB＝8，∴BG＝4，CG=BC2−B G2=52−42=3，∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，∴8×3＝5×（DE+DF）∴DE+DF＝4.8．故选：D．5．【思路点拨】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．【解题过程】解：∵AE＝4，EB＝5，∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，∵∠DAE＝∠B＝90°，∴∠DAE+∠B＝180°，∴AD∥BC，当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，∵∠B＝90°，BC＝12，∴MN=AB2+BC2=92+122=15；当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，MN＝AB＝9，∴9≤MN≤15，∴MN的长度不可能是16，故选：D．二、填空题6．【思路点拨】分三种情况，当OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解题过程】解：当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OB＝AB，∴∠O＝∠OAB，∵∠AOM＝45°，∴∠ABO＝90°，∴OB＝1；②如图，OA＝OB=2；③如图，OA＝AB，∴∠O＝∠ABO＝45°，∴∠A＝90°，∴OB=OA2+AB2=2+2=2．综上所述，OB的长为1或2或2．故答案为：1或2或2．7．【思路点拨】需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．【解题过程】解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝6，故PB＝2．②当AD＝PD时，∴∠PAD＝∠APD，∵∠B＝∠APD＝∠C，∴∠PAD＝∠C，∴PA＝PC，过A作AG⊥BC于G，∴CG＝4，∴AG=AC2−C G2=62−42=25，过P作PH⊥AC于H，∴CH＝3，设PC＝x，∴S△APC=12AG•PC=12AC•PH，∴5x＝3×PH，x，∴PH=53∵PC2＝PH2+CH2，∴x2＝（5x）2+9，3（负值舍去），解得：x=92∴PC=9，2∴PB=7；2③当AD＝AP时，点P与点B重合，不合题意．．综上所述，PB的长为2或72故答案为：2或7．28．【思路点拨】分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．【解题过程】解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，{∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝4﹣x，在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP=7．8．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或78故答案为：1或7．89．【思路点拨】如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2 PA，求出PA的取值范围即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2=2AP2=2PA．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝62＞AB，∵AB＝8，∴BD＝2，BC=BD2+CD2=4+36=210，∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，∴AH=8×6210=12510，∵12105≤PA≤62，∴2455≤P1P2≤12．故答案为2455≤P1P2≤12．三、解答题10．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．11．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC=AC2−A B2=24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+BQ2=13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，．解得 t=247秒，AP＝CQ．答：P、Q两点运动24712．解：（1）由勾股定理得，BC=AC2−A B2=252−72=24（cm）；（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，∴BP＝BQ，则7﹣1×t＝6t，解得t＝1，∴运动1秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，则BP+BQ=12(AB+BC+AC)=12(7+24+25)=28（cm），则7﹣1×t+6t＝28，解得t=215，当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，∴直线PQ不能平分△ABC的周长．13．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−A C2=102−62=8（cm）；（2）存在，理由如下：如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，在△AEP与△ACP中，{∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°AP=AP，∴△AEP≌△ACP（AAS），∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，解得：t=52，即当t的值为52时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．14．解：（1）∵运动时间为4秒，∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；（2）设运动时间为t秒，则BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t=163，即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ=AB⋅BCAC =12×1620=485（cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=BC2−B Q2=122−(485)2=365（cm），（12+365）÷2＝9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，△CQB能形成直角三角形．15．解：（1）△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AB＝5，BC＝3，∵52＝AC2+32，∴AC＝4，∴点C到AB边的距离=AC⋅BCAB =3×45= 2.4；故答案为：2.4；（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，当P在AB上时，①BC＝BP，如图1，∵BP＝t﹣0.5﹣3，∴t﹣0.5﹣3＝3，解得：t＝6.5；②CB＝CP，如图2，过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，由（1）知：CD＝2.4，∵BC＝3，∴BD=32−2．42=1.8，∴BP＝3.6，∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；③PB＝CP，如图3，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACP＝∠A，∴AP＝CP＝BP＝2.5，∴t＝2.5+0.5+3＝6；当P在AC上，如图4，CB＝CP＝3，∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．16．解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则12•AB•CH=12•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH=AC2−C H2=9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝210cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，{PD=PCBP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．18．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=AC2+PC2=164=241．答：AP的长为241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB=64+256=320=85若BA＝BP，则 2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．19．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．设斜边AB上的高为h，∵12AB•h=12AC•BC，∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．②若点P在∠ABC的角平分线上，则：设PM＝PC＝y，则AP＝4﹣y，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+y2＝（4﹣y）2，解得y=32，(4−32)÷2=54，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为54．故答案为：54．（3）当AB作为底边时，如图所示：∵APAM =AP2.5=54，∴AP＝3.125，此时t＝3.125÷2＝1.5625；当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝5，此时t＝5÷2＝2.5；AP2＝2AC＝8，此时t＝4，综上，t的值为1.5625或2.5或4．20．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=AB2−B C2=102−62=8；（2）设边AB上的高为h则S△ABC =12AC⋅BC=12AB⋅h，∴12×6×8=12×10⋅h，∴h=245，答：斜边AB上的高为245；（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，{AP=APPD=PC，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t=20．3．故答案为：①16﹣2t；②203（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=245，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=BC2−C H2=62−(245)2=185= 3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ=12×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=12×AC=12×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=BQ2+PQ2=32+42=5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5．。
八年级数学四边形之动点问题(框架)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（框架）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC 方向向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B 运动.点P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.4B.6C.8D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9．动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．解答下列问题：（1）运动状态分析图如下空缺处依次所填正确的是( )A.①1/s；②B.①3/s；②C.①3/s；②D.①3/s；②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当点P沿AB-BC-CA方向运动时，需要分_____种情况来考虑，时间段的划分为( )A.1；B.2；；C.3；；；D.3；；；答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）（3）当P在BC上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.3tB.18-3tC.3t-9D.3t-18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第3，4，5题）（4）当点P在CA上运动时，线段PC的长可用含t的式子表示为( )A.18-3tB.3t-18C.27-3tD.3t-9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当运动终止时，线段BQ的长为( )A.105B.45C.35D.30答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）当点P运动到AD上时，若PQ∥DC，则t的值为( )A. B.25C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
北师八年级上册数学习题课件 微专题6 特殊四边形中的动点问题
1．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝8 cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动 到点 A 时停止，同时点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 时停止，点 P，Q 的速度都是 1 cm/s，连接 PQ，AQ，CP．设点 P，Q 运动的时间为 t s， 当 t 的值是 4 时，四边形 ABQP 是矩形．
解：（2）由题意，得AP＝2t cm，CQ＝3t cm， ∴BQ＝BC－CQ＝（30－3t）cm．
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴要使四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ， 即2t＝30－3t，解得t＝6． （3）由（2）知当t＝6时，四边形ABQP是矩形，此时AP＝2×6＝ （cm）， ∴要使矩形ABQP是正方形，则AB＝AP＝12 cm．
3．如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm， 点 E 从点 B 出发，以 1 cm/s 的速度向点 O 运动，点 F 从点 O 出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动． （1）若点 E，F 同时出发，设运动时间为 t s，则当 t 为何值时，四边形 AECF 是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当 AB 的长为何值时，▱ AECF 是菱形？ （3）求（2）中菱形 AECF 的面积．
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解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
由题意，得BE＝t cm，OF＝2t cm， ∴OE＝OB－BE＝（6－t）cm． 要使四边形AECF是平行四边形，则OE＝OF，即6－t＝2t，解得t＝ ∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形．
（2）若平行四边形AECF是菱形，则AC⊥EF， ∴∠AOB＝90°，
2．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝25 cm，BC＝30 cm，点 P 从点 A 出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动，同时点 Q 从点 C 出 发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停 止运动，设运动时间为 t s． （1）当 t＝ 5 时，四边形 PQCD 是平行四边形； （2）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形？ （3）当 AB 的长为多少时，四边形 ABQP 是 正方形？
北师大版数学八年级下册_易错15_平行四边形中的动点问题(解析版)-八下期末突破易错挑战满分
2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错15 平行四边形中的动点问题【典型例题】1．（2020·浙江八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，//,90,16cm,12cm,21cm AD BC B AD AB BC ∠====．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动到C 点返回，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动，点P ，Q 分别从点B ，A 同时出发，当点Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动时间为t （秒）．（1）当010.5t <<时，若四边形PQDC 是平行四边形，求出满足要求的t 的值；（2）当010.5t <<时，若以C ，D ，Q ，P 为顶点的四边形面积为260cm ，求相应的t 的值； （3）当10.516t ≤<时，若以C ，D ，Q ，P 为顶点的四边形面积为260cm ，求相应的t 的值．【答案】（1）t =5；（2）t =9；（3）t =15【分析】（1）由平行四边形的性质得出DQ =CP ，当0＜t ＜10.5时，P 、Q 分别沿AD 、BC 运动，由题意得出方程，解方程即可；（2）当0＜t ＜10.5时，P 、Q 分别沿AD 、BC 运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可； （3）当10.5≤t ＜16时，点P 到达C 点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵四边形PQDC 是平行四边形，∵DQ =CP ，当0＜t ＜10.5时，P 、Q 分别沿AD 、BC 运动，如图1所示：∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t∵16-t=21-2t解得：t=5；即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：CP=21-2t，DQ=16-t，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，则12（DQ+CP）×AB=60，即12（16-t+21-2t）×12=60，解得：t=9；即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；（3）当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，则同（2）得：12（DQ+CP）×AB=60，即12（16-t+2t-21）×12=60，解得：t=15．即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．（2021·全国九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，且AD BC ，6cm BC ．动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动．Q 以2cm /s 的速度由C 向B 运动，______s 时四边形ABQP 为平行四边形．A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C【分析】 由运动时间为x 秒，则AP =x ，QC =2x ，而四边形ABQP 是平行四边形，所以AP =BQ ，则得方程x =6-2x 求解．【详解】解：∵运动时间为x 秒，∵AP =x ，QC =2x ，∵四边形ABQP 是平行四边形，∵AP=BQ，∵x=6-2x，∵x=2．答：2秒后四边形ABQP是平行四边形．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．此题根据路程=速度×时间，得出AP、QC的长，然后根据已知条件列方程求解．2．（2021·新乡市·河南师大附中九年级其他模拟）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，P A，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（）A．ABC与PCA全等B．ABC与PCA的周长相等C．ABC与PCA的面积相等D．四边形ACBP是平行四边形【答案】C【分析】由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．【详解】解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以ABC与PCA不一定全等，故A错误；选项B，ABC的周长是定值，而PCA的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；选项C，由于ABC与PCA都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道ABC与PCA属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．故选：C．【点睛】本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．3．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）已知∵ABCD ，点E 是边BC 上的动点，以AE 为边构造∵AEFG ，使点D 在边FG 上，当点E 由B 往C 运动的过程中，∵AEFG 面积变化情况是（ ）A ．一直增大B ．保持不变C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】B【分析】 延长BE ，与GF 的延长线交于点P ，先证明四边形ADPE 是平行四边形，再证明∵AGD ∵∵EFP ，得出平行四边形AGFE 的面积等于平行四边形ADPE 的面积，又AD ∵BP ，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD 的面积等于平行四边形ADPE 的面积，进而得出平行四边形ABCD 的面积等于平行四边形AEFG 面积．所以根据图示进行判断即可．【详解】解：设∵ABE ，∵ECH ，∵HFD ，∵DGA 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，延长BE ，与GF 的延长线交于点P ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ∵BP ，∵ADG ＝∵P ．∵四边形AEFG 是平行四边形，∵AG ∵EF ，AE ∵DP ，AG ＝EF ，∵∵G ＝∵EFP ．∵AD ∵BP ，AE ∵DP ，∵四边形ADPE 是平行四边形．在∵AGD 与∵EFP 中，，AG EF ⎧⎪⎨⎪=⎩∠G=∠EFG ∠ADG=∠P∵∵AGD ∵∵EFP （AAS ），∵S 4＝S ∵EFP ，∵S4+S四边形AEFD＝S∵EFP+S四边形AEFD，即S∵AEFG＝S∵ADPE，又∵∵ADPE与∵ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，∵S∵ABCD＝S∵ADPE，∵平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．故∵AEFG面积不变，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．4．（2019·山东济宁市·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∵FBM＝∵CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD∵BC，AD=BC，由平行线的性质可得BF=DF=12cm，可得AD=AF+DF=18cm=BC，由平行四边形的性质可得PF=EQ，列出方程可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∵AD∵BC，AD＝BC∵∵ADB＝∵MBC，且∵FBM＝∵MBC ∵ADB＝∵FBM∵BF＝DF＝12cm∵AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∵EC＝12BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∵PF＝EQ∵6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∵t＝3或5故选C．【点睛】本题考查平行四边形的判定，利用方程思想解决问题是解本题的关键．5．（2019·四川绵阳市·中考模拟）如图，∵ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC∵AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝12BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5B．有最大值13C D【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出AC 4，OB BE ＝OE 时，AE +CF 的值最小，E 为OB 的中点，由直角三角形的性质得出AE ＝12OB ，同理：CF ＝12OD ，即可得出结果 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵EF ＝12BD ， ∵OB ＝EF ＝OD ，∵BE ＝OF ，OE ＝DF ，∵AB ＝3，AD ＝5，AC ∵AB ，∵AC 4，∵OA ＝2，∵OB当BE ＝OE 时，AE +CF 的值最小，E 为OB 的中点，∵AE ＝12OB ， 同理：CF ＝12OD ，∵AE +CF ＝OB即AE +CF故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6．（2020·河北沧州市·九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，6AD =，16BC =，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以点,,,P Q E D为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为（）A．1B．72C．2或72D．1或72【答案】D【分析】要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知//AD BC，即要使PD=EQ即可，设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，分别表示出PD，EQ的长度，根据PD=EQ列方程求解即可．【详解】设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，则AP=t，CQ=3t，由E是BC的中点可得：BE=EC=8，要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知//AD BC，即要使PD=EQ即可．（1）如图：点Q位于点E右侧时，PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t，6－t =8－3t，t=1（秒）；（2）如图：点Q位于点E左侧时，PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8，6－t =3t－8，t=72（秒）．综上所述：P的运动时间为1或72秒．故选：D．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法以及一元一次方程的应用，熟记平行四边形的判定方法，根据对应边相等列方程是解题关键．7．（2017·江苏苏州市·）如图①，在∵ABCD中，∵B=120°，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止．设点P运动的路程为xcm，∵P AB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H 点的横坐标为（）A．11B．14C．8D．8+【答案】B【解析】试题分析：作CM∵AB于M，如图所示：当点P 在CD 上运动时，∵P AB 的面积不变，由图②得：BC ＝4cm ，∵∵ABC ＝120°，∵∵CBM ＝60°，∵CM ＝4∵∵ABC 的面积＝12AB •CM ＝12AB × ∵AB ＝6cm ， ∵OH ＝4＋6＋4＝14，∵点H 的横坐标为14．故选B ．点睛：本题考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象．解决本题的关键是利用函数图象和三角形面积确定AB 的长．8．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到平行四边形AB ′C ′D ′（点B ′与点B 是对应点，点C ′与点C 是对应点，点D ′与点D 是对应点），点B ′恰好落在BC 边上，则∵C 的度数等于（ ）A ．100°B ．105°C ．115°D ．120°【答案】B【解析】 分析：根据旋转的性质得出AB =AB ′，∵BAB ′=30°，进而得出∵B 的度数，再利用平行四边形的性质得出∵C 的详解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∵AB=AB′，∵BAB′=30°，∵∵B=∵AB′B=（180°﹣30°）÷2=75°，∵∵C=180°﹣75°=105°．故选B．点睛：本题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∵B=∵AB′B=75°是解题的关键．二、填空题9．（2019·山西运城市·八年级期末）如图,在四边形ABCD中,AD∵BC,且AD>BC,BC=6cm,动点P,Q分别从A,C 同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动),则________后四边形ABQP为平行四边形.【答案】2s【解析】【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，根据四边形ABQP是平行四边形，得AP=BQ，则得方程t=6-2t即可求解．【详解】如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，∵AD∵BC，∵AP∵BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∵t=6-2t，∵t=2，当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为2s．此题主要考查的是平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．10．（2019·武汉二中广雅中学八年级月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ∵BC ，∵A ＝90°，AD ＝18cm ，BC ＝30cm ．点E 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动：点F 从点C 同时出发，以2cm /s 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，M 为BC 上一点且CM ＝13cm ，t ＝_____s 秒时，以D 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】133或13 【分析】由题意得出DE ＝t ，CF ＝2t ，当点F 在点M 的右边；当点F 在点M 的左边；以D 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，DE ＝MF ，分别得出方程，解方程即可．【详解】解：由题意得：DE ＝t ，CF ＝2t ，∵AD ∵BC ，当点F 在点M 的右边MF ＝13﹣2t ，以D 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，DE ＝MF ， 即t ＝13﹣2t ，解得：t ＝133； 当点F 在点M 的左边MF ＝2t ﹣13，以D 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，DE ＝MF ， 即t ＝2t ﹣13，解得：t ＝13；综上所述，t ＝133s 或13s 时，以D 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：133或13 【点睛】本题考查的是四边形的动点问题，主要涉及的知识是平行四边形的判定，运用了方程思想来求解． 11．（2020·广东九年级专题练习）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，8AD cm =，12BC cm =，M 是BC上一点，且9BM cm =，点E 从点A 出发以1/cm s 的速度向点D 运动，点F 从点C 出发，以3/cm s 的速度向点B 运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t ，则当以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，t =__________．【答案】34或32. 【分析】 分两种情形列出方程即可解决问题【详解】①当点F 在线段BM 上，AE FM =时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形， 则有9312t t =+-，解得32t =， ②当F 在线段CM 上，AE FM =时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，则有1293t t =--，解得3t 4=， 综上所述，3t 4=或32s 时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：34或32【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．12．（2020·辽宁营口市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止），在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有______次．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∵BC=AD=12,AD∵BC，∵四边形PDQB是平行四边形，∵PD=BQ，∵P的速度是1cm/秒，∵两点运动的时间为12÷1=12s，∵Q运动的路程为12×4=48cm，∵在BC上运动的次数为48÷12=4次．第一次PD=QB时，12−t=12−4t，解得t=0，不合题意，舍去；第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12−t=4t−12，解得t=4.8；第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12−t=36−4t，解得t=8；第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12−t=4t−36，解得t=9.6.∵在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，故答案为3.点睛：本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．13．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∵BC，AD=4，BC=12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为_____秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．【答案】2或14 3.【分析】分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析, 根据平行四边形的性质, 可得方程, 继而【详解】 解：E 是BC 的中点,∴BE =CE =12BC =12⨯12=6, ①当Q 运动到E 和C 之间, 设运动时间为t , 则AP =t , DP =AD -AP =4-t , CQ =2t ,EQ =CE -CQ =6-2t∴t =6-2t ,解得: t =2;②当Q 运动到E 和B 之间,设运动时间为t ,则AP =t , DP =AD -AP =4-t , CQ =2t ,EQ =CQ -CE =2t -6,∴t =2t -6,解得: t =6（舍），③P 点当D 后再返回点A 时候，Q 运动到E 和B 之间,设运动时间为t ，则AP =4-（t -4）=8-t , EQ =2t -6，∴8-t =2t -6，14t=3, ∴当运动时间t 为2、143秒时,以点P ,Q ,E ，A 为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为: 2或143. 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质及解一元一次方程.14．（2021·全国八年级课时练习）如图，在Rt ABC 中，90B =∠，5AB =，12BC =，点D 是BC 边上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，对角线DE 最小的值是_____．【答案】5【分析】由平行四边形的对角线互相平分可知，OD OE =，OA OC =，根据垂线段最短可知，当OD 取最小值时，DE 最短，此时OD BC ，由三角形中位线定理即可求出答案．【详解】在Rt ABC 中，90B =∠，∴BC AB ⊥，四边形ADCE 是平行四边形，∴OD OE =，OA OC =，∴当OD 取最小值时，DE 最短，此时OD BC ，∴OD 是ABC 的中位线， ∴1522OD AB ==，∴25DE OD ==．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（2020·成都市·四川电子科大实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，4AB =，12BC =，60ABC ∠=︒，点E 、F 是AD 边上的动点，且2EF =，则四边形BEFC 周长的最小值为______．【答案】14+【分析】根据题意，将点B 沿BC 向右平移2个单位长度得到点B '，作点B '关于AD 的对称点B ''，连接CB ''，交AD 于点F ，在AD 上截取2EF =，连接BE ，B F '，此时四边形BEFC 的周长为B C EF BC ''++，则当点C 、F 、B ''三点共线时，四边形BEFC 的周长最小，进而计算即可得解．【详解】如下图，将点B 沿BC 向右平移2个单位长度得到点B '，作点B '关于AD 的对称点B ''，连接CB ''，交AD于点F ，在AD 上截取2EF =，连接BE ，B F '，∵BE B F '=，B F B F '''=，此时四边形BEFC 的周长为BE EF FC BC B F EF FC BC B C EF BC ''''+++=+++=++， 当点C 、F 、B ''三点共线时，四边形BEFC 的周长最小，4AB =，2BB '=，60ABC ∠=︒，B B '''∴经过点A ，AB '∴=B B '''∴=12BC =，10B C '∴=，B C ''∴=，14B C EF BC ''∴++=+，四边形BEFC 周长的最小值为14+故答案为：14+【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含30的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．16．（2019·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，8AB AC ==，P 为AB 边上一动点，以A P 、PC 为边作平行四边形PAQC ，则对角线PQ 的最小值为__________．【答案】【分析】以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作A B的垂线PO，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．【详解】解：∵四边形APCQ是平行四边形，∵AO=CO，OP=OQ，∵PQ最短也就是PO最短，∵过点O作OP´∵AB于P´，∵∵BAC=45°∵∵AP´O是等腰直角三角形，∵AO=12AC=4，∵OP AO ∵PQ的最小值=2OP´=故答案为：【点睛】本题考查平行四边形的性质和垂线段最短．找到最短线段是解决本题的关键．17．（2020·河南南阳市·八年级期中）如图，在∵ABCD中，AB＝，BC＝10，∵A＝45°，点E是边AD上一动点，将∵AEB沿直线BE折叠，得到∵FEB，设BF与AD交于点M，当BF与∵ABCD的一边垂直时，DM 的长为_____．【答案】4或7【分析】如图1，当BF∵AD时，如图2，当BF∵AB时，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：如图1，当BF∵AD时，∵∵AMB＝90°，∵将∵AEB沿BE翻折，得到∵FEB，∵∵A＝∵F＝45°，∵∵ABM＝45°，∵AB＝，∵AM＝BM＝＝3，2∵平行四边形ABCD，BC＝AD＝10，∵DM＝AD﹣AM＝10﹣3＝7；如图2，当BF∵AB时，∵将∵AEB沿BE翻折，得到∵FEB，∵∵A＝∵EFB＝45°，∵∵ABF＝90°，此时F与点M重合，∵AB＝BF＝，∵AF＝6，∵DM＝10﹣6＝4．综合以上可得DM的长为4或7．故答案为：4或7．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及折叠的特点．三、解答题18．（2020·淮阳第一高级中学初中部八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为6cm，点E在AB边上，且2AE cm=，动点M从点C开始，以2/cm s的速度沿折线C－B－E移动，动点N同时由点D开始，以1/cm s 的速度沿边DC移动，几秒钟时四边形EMND是平行四边形？【答案】103秒【分析】根据平行四边形的性质可知当EM平行且等于DN时，四边形EMDN为平行四边形，所以可设经过t（t≥3）秒后，EM等于DN，据此列出方程求解即可．【详解】解：设t（t≥3）秒时四边形EMND为平行四边形．由题意知，此时点M 运动到BE 上，则26BM t =-，DN t =，()426ME t =--，由ME DN =可得，()426t t --=， 解得，103t =． 所以103秒时四边形EMND 为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等列出方程是解决此题的关键．19．（2020·内蒙古通辽市·九年级月考）在四边形ABCD 中，//,90,8,2426AD BC B AB cm AD cm BC cm ∠=︒===,；点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3/cm s 的速度向点B 运动． 规定其中一个动点到达端点时另一个动点也停止运动．从运动开始． 何时图中会出现平行四边形？点P Q 、最近距离为多少cm ？【答案】6s 或6.5s ；8PQ =．【分析】设经过t s 时，AP =BQ ，结合题意此时四边形ABQP 为平行四边形．根据平行四边形的性质列方程即可得到结论，当PD =CQ 时，四边形PQCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解，P ，Q 两点之间最短时，,PQ BC ⊥从而可得答案．【详解】解：当四边形ABQP 为平行四边形时，,AP BQ ∴=,263,AP t BQ t ==-263,t t ∴=-6.5,t =当四边形PQCD 为平行四边形时，,PD CQ ∴=24,3,PD t CQ t =-=243,t t ∴-=6,t ∴=综上：当 6.5t s =或6t s =的时候出现平行四边形．,P Q 两点最短时，,PQ BC ⊥此时四边形ABQP 为矩形，所以,P Q 之间的最短距离为8．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．20．（2016·江苏扬州市·八年级月考）如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∵A ＝90°，AB ＝12，BC ＝21，AD =16．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设∵DPQ 的面积为S ，用含有t 的代数式表示S ．（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？【答案】S=96－6t；t=5.【解析】试题分析：（1）首先将QD的长度用含t的代数式来表示，然后得出三角形的面积与t之间的关系；（2）根据平行四边形的判定定理得出OD=PC，列出关于t的一元一次方程，求出t的值．试题解析：（1）根据题意得：AQ=t，则QD="16-t"∵S=12（16－t）×12=96－6t（2）∵AD∵BC∵当QD=PC时，四边形PCDQ是平行四边形∵BP=2t∵PC=21-2t∵16-t=21-2t∵t="5"答：当t为5秒时，四边形PCDQ是平行四边形考点：（1）平行四边形的性质；（2）一次函数；（3）动点问题．21．（2019·广东实验中学附属天河学校八年级月考）如图，等边∵ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及∵ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【答案】（1）165秒；（2）运动了85秒或245秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=245或325．【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；（2）首先根据题意画出图形：如图②，当0≤t≤83时，DM+DN=AN+CN=8；当83＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；4＜t≤163时，MB+NC=AN+CN=8；当163＜t≤8时，∵BNM为等边三角形，由BN=BM可求得t的值．【详解】解：（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得：3t+2t=16，解得：t=165，所以，经过165秒钟两点第一次相遇；（2）①当0≤t≤83时，点M、N、D的位置如图2所示：∵四边形ANDM为平行四边形，∵DM=AN，DM//AN．DN//AB ∵∵MDB=∵C=60°，∵NDC=∵B=60°∵∵NDC=∵C．∵ND=NC∵DM+DN=AN+NC=AC+BN=8，即：3t+2t=8，t=85，此时点D在BC上，且BD=245（或CD=165），②当83＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③4＜t≤163时，点M、N、D的位置如图所1示：∵四边形ANDM为平行四边形，∵DN=AM，AM∵DN．∵∵NDB=∵ACB=60°∵∵ABC为等腰三角形，∵∵B=60°．∵∵MDB=∵B．∵MD=MB．∵MB+NC=AN+CN=8，3t-8+2t-8=8，解得：t=245，此时点D在BC上，且BD=325（或CD=85），④当165＜t≤8时，点M、N、D的位置如图3所示：则BN=16-2t，BM=24-3t，由题意可知：∵BNM为等边三角形，∵BN=BM，即：2t-8=3t-16，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．答：运动了85秒或245秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=245或325．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．22．（2021·安徽九年级一模）如图，在□ ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．（1）求证：∵ADP∵∵BCM；（2）若P A=12PC，设∵ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求ST的值．【答案】（1）证明见解析；（2）13【分析】 （1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AD =BC ，∵ADC +∵BCD =180︒，由PM //DC ，且PM =DC ，证得四边形PMCD 是平行四边形，得到PD =CM ，∵PDC +∵DCM =180︒，推出∵ADP =∵BCM ，即可证得结论； （2）作BH ∵AC 于H ，DG ∵AC 于G ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到∵ABC ∵∵CDA ，BH =DG ，求得2BCP ABP S S =，ADP ABP S S =，利用∵ADP ∵∵BCM ，得到ADP BCM S =S ，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD =BC ，∵ADC +∵BCD =180︒，∵PM //DC ，且PM =DC ，∵四边形PMCD 是平行四边形，∵PD =CM ，∵PDC +∵DCM =180︒，∵∵ADP =∵BCM ，∵∵ADP ∵∵BCM ；（2）解：作BH ∵AC 于H ，DG ∵AC 于G ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵∵ABC ∵∵CDA ，∵BH =DG ， ∵12ABP BCP SAP S CP ==，即2BCP ABP S S =，12112ABP ADP AP BH SS AP DG ⋅⋅==⋅⋅，即ADP ABP S S =，∵∵ADP ∵∵BCM ，∵ADP BCM S =S ， ∵S T =13ABP BCP ADP S S S =+．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，同底等高或同高的三角形的面积关系，证明∵ADP ∵∵BCM 并利用其全等的性质解决问题是解题的关键．23．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图①，在ABCD □中，AB =3，AD =6．动点P 沿AD 边以每秒12个单位长度的速度从点A 向终点D 运动．设点P 运动的时间为()0t t >秒．（1）线段PD 的长为_________（用含t 的代数式表示）．（2）当CP 平分∵BCD 时，求t 的值．（3）如图②，另一动点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，在CB 上往返运动．P 、Q 两点同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动。
动点问题(建等式)(北师版)(含答案)
动点问题（建等式）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，等边△ABC的边长为10，点D是BC上一点，且DC=2．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC方向向点C运动，连接AD，AP．设点P运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.tB.2tC.10-tD.10-2t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当t为何值时，△ABP≌△ACD．根据题意可建等式为( )A.2t=2B.10-2t=2C.2t=10D.2t=2或10-2t=2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边△ABC的边长为8，点D是BC上一点，且BD=6．动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CA方向向点A运动，连接AD，BP．设点P运动的时间为x秒．解答下列问题：（1）线段AP的长可用含x的式子表示为( )A.2xB.2+2xC.6-2xD.8-2x答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）若某一时刻△ABP≌△BAD，则x的值为( )A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，线段AB的长为18厘米，动点P从点A出发，沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，解答下列问题：（1）线段PQ的长可用含t的式子表示为( )A.PQ=18-3tB.PQ=3t-18C.当0≦t≦6时，PQ=18-3t；当6<t≦9时，PQ=3t-18D.当0≦t≦6时，PQ=18-3t；当6<t≦18时，PQ=3t-18答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第5题）（2）当P，Q两点相距6厘米时，点P运动的时间t的值为( )A.4B.4或8C.8D.8或9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P 的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.2t；6-2tB.6-2t；2tC.2t；4-2tD.6-t；t答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值和点Q的运动速度，下列解题思路和计算结果正确的是( )A.若△BPE与△CQP全等，则需，即，解得，所以t=2，B.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CPQ，则需，即，解得，所以C.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以D.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CPQ，则需，即，解得，所以答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
八年级下册四边形动点问题和答案
八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG等于 。
2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。
5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为6、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．CA BP FE EDCBAPADEPB C7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。
9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。
八年级数学平行四边形的存在性(三定一动)(北师版)(专题)(含答案)
平行四边形的存在性（三定一动）（北师版）（专题）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，点A是直线上一点，横坐标为6，点B是直线上一点，纵坐标为，点C是坐标平面内一点，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C 的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：1．解题要点①理解题意、整合信息．根据直线解析式及横，纵坐标信息，求出A，B两点坐标．②分析特征，有序思考，设计方案．分析定点、动点：以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，其中O，A，B为定点，点C为动点；确定分类标准：以三条定线段为对角线进行分类．③根据方案作出图形，有序操作．当AB为对角线时，过点B作BC1∥OA，过点A作AC1∥OB交直线于，当OA，OB为对角线时，同样找到符合题意的坐标，如图所示，因为平行四边形对边平行且相等，利用平移进行解题；如：平行四边形求得④结果检验、总结．作图验证；分析数据，估算验证．2．解题过程∵点A在上，且横坐标为6，∴．∵点B在上，且纵坐标为，∴．如图，在△OAB中，分别过点O，A，B作对边的平行线，三条直线的交点分别为．此时四边形，四边形，四边形均为平行四边形．在平行四边形中，∴．同理可求．综上，符合题意的点C的坐标为．故选A．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知长方形OABC的两个顶点A，B的坐标分别为．将长方形OABC沿直线AC折叠，点O落在坐标平面内的D处，若在坐标平面内存在点P，使得四边形ADOP是平行四边形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：如图，连接OD，过点D作DE⊥x轴于点E，过点O作OP∥AD，过点A作AP∥DO交直线OP于点P，∵，四边形OABC是长方形，∴．∴∠CAO=30°．由折叠AD=AO，∠DAE=2∠CAO=60°，在Rt△DAE中，，∠DAE=60°，∴，∴，∴．∵四边形ADOP是平行四边形，∵，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且，直线CD⊥AB于点P，交x轴于点D．若坐标平面内存在点M，使得以B，P，C，M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略4.如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D．若在平面内存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①分析定点、动点：A，C，D为定点，E为动点；②三定一动且连接顺序不确定，那么连接三条定线段，分别以三条定线段为对角线进行分类，利用平移求点的坐标；③结合图形进行验证．2．解题过程∵直线分别交x轴、y轴于点A，B两点，∴B(0，8)，A(6，0)∵CD垂直平分AB，∴D(3，4)，且可设直线CD：将D(3，4)代入，得直线CD：∴如图，以DA为对角线作平行四边形，以DC为一组邻边作平行四边形，以AC为一组邻边作平行四边形，试题难度：三颗星知识点：略5.如图，直线交直线y=x+1于点B，交x轴于点C，过点C作x轴的垂线，交直线y=x+1于点A，若坐标系内存在点P，满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略第 11 页共 11 页。
北师大版八年级数学上册动点专练
北师大版八年级数学上册动点（九题）专练（一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？（二）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。
（1）求证：OE=OF（2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？（3）请在三角形ABC中添加条件，使四边形AECF变为正方形，并说明你的理由。
（四）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=20cm、BD=12cm，两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．（1）求证：当E、F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF一定为平行四边形；（2）当E、F运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？（五）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=12cm ，AC=6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动．（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形．（2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？（六）、如图，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，同时动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以１cm/s 的速度运动，相遇时停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）t 为何值时，两点相遇？（2）若点E 在线段BC 上，BE=1cm ，当点M 在BC 边上时，①t 为何值时，以A 、E 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？②t 为何值时，以A 、E 、M 、N 为顶点的四边形是等腰梯形？（七）如图，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 为矩形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（3）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？A（八）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，BC=8cm，CD=24cm，AB=26Cm，点P从C出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从A出发，以3cm/s的速度向B 运动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动．从运动开始．（1）经过多少时间，四边形AQPD是平行四边形？（2）经过多少时间，四边形AQPD成为等腰梯形？（3）在运动过程中，P、Q、B、C四点有可能构成正方形吗？为什么？（九）P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨练，如图，AD∥BC，∠B=90°，AD=240m，BC=270m，P从点A开始沿AD边向点D以1m/s的速度行走，Q从点C开始沿CB 边向点B以3m/s的速度跑步．（1）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD（P、Q二人所在的位置为P、Q点）是平行四边形？（2）添加一个什么条件时，P、Q二人分别从A、C两点同时出发，在某时刻四边形PQCD是菱形？说明理由．（3）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD是等腰梯形？北师大版八年级数学上册动点（九题）专练答案解析（一）证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形，所以BD=CE且BD∥CE，又因为D是△ABC的边AB的中点，所以AD=BD，即DA=CE，又因为CE∥BD，所以四边形ADCE是平行四边形．（2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，CD是等腰三角形底边AB上的中线，则CD⊥AD，平行四边形ADCE的角∠ADC=90°，因此四边形ADCE是矩形．（二）（三）1、证明：在BC的延长线上取点D∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠BCE∵CF平分∠ACD∴∠ACF＝∠DCF∵MN∥BC∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC∴OE＝OC，OF＝OC∴OE＝OF2、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形证明：∵O是AC的中点∴AO＝CO∵OE＝OF∴平行四边形AECF∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF＝∠ACD/2∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝90 ∴矩形AECF3、△ABC为直角三角形，∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形证明：∵∠ACB＝90∴∠ACD＝90∵CE平分∠ACB∴∠BCE＝∠ACB/2＝45∵CF平分∠ACD∴∠DCF＝∠ACD/2＝45∵MN∥BC∴∠OEC＝∠BCE＝45，∠OFC＝∠DCF＝45∴∠OEC＝∠OFC∴CE＝CF∵矩形AECF∴正方形AECF（四）（1）解：连接DE，EB，BF，FD∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．∴AE=CF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形BEDF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（4分）（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形BEDF为矩形．（五）解答：（1）解：连接DE，EB，BF，FD∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．∴AE=CF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形AECF为矩形．（六）解：（1）∵矩形ABCD的周长为24cm∴t+2t=24，t=8∴t=8时两点相遇．（2）①∵点M在线段BC上∴如图，当时∵AN与EM平行∴只需AN=EM即可．∵ND=t，DC+CM=2t∴AN=8-t，CM=2t-4∵BE=1∴EC=7，EM=EC-MC=11-2t∴8-t=11-2t∴t=3当时，∵AN与EM平行∴只需AN=EM即可∵ND=t，DC+CM=2t∴AN=8-t，CM=2t-4∵BE=1∴EC=7，EM=MC-EC=2t-11，∴8-t=2t-11∴t=（舍去）∴当t=3时，点A、E、M、N组成平行四边形．②∵点M在边BC上∴当时，AN与EM平行，只需AE=NM即可．过点N作NF⊥BC于点F，则BE=MF，∵ND=t，CM=2t-4，CF=ND=t∴MF=t-4∵BE=1∴1=t-4∴t=5当时，AN与EM平行，只需AM=EN即可．过点N作NF⊥BC于点F，则BM=EF，∵ND=t，CM=2t-4，CF=ND=t∵BE=1∴EC=7，EF=7-t，BM=BC-CM=12-2t，∴7-t=12-2t∴t=5（舍去）综上所述，当t=5时，点A、E、M、N组成等腰梯形．（七）(1)设经过xs的时间，四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得：DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答：经过6s的时间，四边形PQCD是平行四边形（2）设经过xs的时间，四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得：AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答：经过13/2s的时间，四边形PQBA是矩形(3)设经过xs的时间，四边形PQCD是等腰梯形所以PD=AD-AP=24-x=3x-2*(26-24)x=7答：经过7s的时间，四边形PQCD是等腰梯形（八）解：设P、Q运动了t秒，则PC=tcm，AQ=3tcm（1）当DP=AQ时，四边形AQPD是平行四边形即：24-t=3t，解得：t=6，答：经过6秒四边形AQPD是平行四边形．（2）解：当PC-BQ=2cm时，四边形AQPD成为等腰梯形即t-（26-3t）=2，解得：t=7，答：经过7秒四边形AQPD是等腰梯形．（3）答：不可能构成正方形，理由是：若能构成正方形则PC=BC=8cm，此时t=8，而QB=26-3t=2即QB≠PC，，所以不可能构成正方形．（九）。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：动点问题的处理框架是什么？
问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？
四边形之动点问题（建等式一）（北师版）
一、单选题(共5道，每道20分)
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AC向点C运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线CB-BA向点A运动（不与点C，A重合）．设点P的运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：动点问题
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为( )秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
A. B.
C.或
D.或
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：动点问题
3.如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm．动点P 从点O出发，以1cm/s的速度沿折线OA-AB运动；动点Q同时从点O出发，以相同的速度沿折线OC-CB运动．当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）设△OPQ的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，根据表达的不同，t的分段应为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：动点问题
4.（上接第3题）（2）S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：动点问题
5.（上接第4题）（3）当点P在OA上运动，且△OPQ的面积为平行四边形OABC的面积的一半时，t的值为( )
A.，8
B.4
C. D.8
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：动点问题
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：动点问题的处理框架中的第三步：分析几何特征、表达、设计方案求解，具体的操作动作有哪些？
问题2：表达线段长时有哪些手段？。