排列组合归纳总结

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(完整版)基础排列组合部分知识总结

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计数原理1.摆列组合知识导学 :1. 分类计数原理:达成一件事,有n类方法,在第1 类方法中,有 m 1 种不一样的方法,在第 2类方法中,有 m 2 种不一样的方法, 在第n类方法中,有 m n 种不一样的方法,那么达成这件事共有 =m 1 + m 2 + + m n 种不一样的方法 .N2. 分步计数原理:达成一件事,需要分红n个步骤,做第 1 步,有 m 1 种不一样的方法,做第2 步,有m 2 种不一样的方法, 做第n步,有 m n 种不一样的方法,那么达成这件事共有 =m 1 ×Nm 2 × × m n 种不一样的方法 .摆列数公式 :A n mn ( n 1)( n 2)( n 3)( n m 1)A n mn! (这里m、n∈ N * ,且m≤n)(n m)!组合数公式:mA n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( nm 1)C nA m mnC n mn! (这里m、n∈ N *,且m≤n)m! (n m)!组合数的两个性质C n m C n n m 规定: C n 0 1C n m 1 C n mC n m 1例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?剖析:该问题与计数相关,可考虑采纳两个基来源理来计算,达成这件事,只需两位数的个位、十位确立了,这件事就算达成了,所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类.解法一:按十位数上的数字分别是1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8 的状况分红8 类,在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个, 7 个, 6 个, 5 个, 4 个, 3 个, 2 个, l 个.由分类加法计数原理知,切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l=36 个.解法二:按个位数字是2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 分红 8 类,在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个,所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个.评论:分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法,每一类的各样方法都是互相独立的,每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。

排列组合公式总结大全(3篇)

排列组合公式总结大全(3篇)

第1篇在数学中,排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。

它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。

以下是对排列组合中常用公式的总结,以供参考。

一、排列1. 排列的定义:从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2. 排列数公式:A(n, m) = n! / (n-m)!其中,n!表示n的阶乘,即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

3. 排列的运算性质:(1)交换律:A(n, m) = A(n-m, n-m)(2)结合律:A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)(3)逆运算:A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义:从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同的元素,不考虑它们的顺序,这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2. 组合数公式:C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质:(1)交换律:C(n, m) = C(n-m, n-m)(2)结合律:C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)(3)逆运算:C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系:A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别:(1)排列考虑元素的顺序,组合不考虑元素的顺序。

(2)排列的运算性质与组合的运算性质不同。

四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用:计算随机事件发生的概率。

2. 排列组合在计算机科学中的应用:设计算法、密码学、数据结构等。

3. 排列组合在统计学中的应用:抽样调查、数据分析等。

排列组合方法总结

排列组合方法总结

(2)组合: 无次序组成一组;组合数公式 Cnm = Pnm / Pmm ,其中 m£n;
组合数性质 1: Cnm = Cnn-m; 特殊地,Cn 0 = Cnn=1;
组合数性质 2:
Cnm
+
C m-1 n
=Cn+1m
;
3. 排列组合问题的常用方法
1 对称法:对称思想; e.g.五人站一排,甲在乙 A 右边;P55/2 2 特殊优先法:特殊位置/元素优先考虑; 先特殊-后普通;e.g.五人站排,甲在首;1·P44
7 逆向法:至多至少问题,正难则反,等价转化,又称间接法; 8 枚举法:数量不大时可以逐一枚举各种情况;
排列组合
1. 计数原理 乘法原理 :分步;共有:N = m1 × m2 × .共有: N = m1 + m2 + ... +mn 种不同的方法;
2. 排列组合
(1)排列: 有次序排成一列;排列数公式 Pnm = n(n-1)(n-2)...(n-m+1),其中 m£n;
3 先选后排法:先进行组合,再进行排列; 先分组-后排序
4 捆绑法:相邻问题捆绑法; 捆绑为一个元素;e.g.五人站一排,甲乙相邻;P44 ·P22 5 插空法:不相邻问题插空法; e.g.五人站一排,甲乙不相邻;P33 ·P42 6 隔板法:相同元素分组问题; e.g.7 个球放进 4 个盒子(不空);C63

(完整版)排列组合知识点总结

(完整版)排列组合知识点总结

排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情) 分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同3,组合组合定义 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素的所有组合个数 mn Cmn C =!!()!n m n m -性质 mn C =n m n C - 11m m m n n n C C C -+=+排列组合题型总结 一. 直接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位。

分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择25A ,其余2位有四个可供选择24A ,由乘法原理:25A 24A =2402.特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A ,共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。

如上例中(2)可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个,其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个,这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排(1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) (2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) (3) 两端不能排女生 (4) 两端不能全排女生(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

排列组合知识点总结

排列组合知识点总结

排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情) 分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列3,组合组合定义 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素的所有组合个数 m n Cmn C =!!()!n m n m -性质 mn C =n mn C - 11mmm n n n C C C -+=+排列组合题型总结 一. 直接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位。

分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择25A ,其余2位有四个可供选择24A ,由乘法原理:25A 24A =240 2.特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A ,共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。

如上例中(2)可用间接法2435462A A A +-=252 Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个,其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个,这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排(1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) (2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) (3) 两端不能排女生 (4) 两端不能全排女生(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

排列组合知识点归纳总结

排列组合知识点归纳总结

排列组合知识点归纳总结
排列组合
1. 定义:排列是指将n个不同元素的一组按某种规律排成一列的过程;组合是指从n个不同元素中取任意多个元素一组组合,不考虑顺序称
作组合。

2. 公式:排列公式A(n,m):n(n-1)...(n-m+1);组合公式C(n,m):
n!/(m!(n-m)!)
3. 例题:
(1)从学校里的20个男生和10个女生中任取5人参加一次活动,这
次活动一共有多少种选择?
用排列的方法来求的话,总的选择数为
A(30,5)=30*29*28*27*26=653,800;用组合方法来求的话,总的选择数
为C(30,5)=30!/(5!*25!)=653,800。

(2)如何从10名男生中组成一个不相同的三人小组?
用排列的方法来求的话,总的选择数为A(10,3)=10*9*8=720;用组合
方法来求的话,总的选择数为C(10,3)=10!/(3!*7!)=120。

4. 实际应用:排列组合在数学中极为重要,其应用贯穿于数学当中的
很多领域,如余弦定理、泰勒公式、抛物线等。

诸如加密或者信息安全,以及网络安全等,其中也应用了排列组合的原理,以增强安全性。

同时,它还广泛会被用在生产调度、选号、玩游戏、医学等各种领域下。

(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结(可编辑修改word版)

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344 4 3 4A C 5 2 2 5 排列组合解题技巧归纳总结教学内容1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法,在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法,…,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.2. 分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m 1 种不同的方法,做第 2 步有 m 2 种不同的方法,…,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C 1 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A 3 = 288443练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里, 问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

排列组合考纲要求1.了解排列的意义,理解排列数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义,理解组合数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一:排列1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ,这样的排列叫选排列;若m =n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有排列的个数,从n 个不同元素中取出m 元素的排列数,记作mn P .(1) P m n =n (n -1)(n -2) … (n -m +1); (2) ==!P n n n n (n -1)(n -2) … 3×2×1; (3) P m n =()!!n n m -; 规定:0!=1.知识点二:解决排列问题的基本方法.1. 优限法:即先排特殊的元素,或者特殊的位置.2.捆绑法:相邻问题,把相邻的元素看成一个整体,然后再参与其他元素的排列. 3.插空法:对元素互不相邻的排列问题,常常采用插空法,首先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法:即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面,用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法:即将所有排列按照一定的规律,一一列举出来的方法. 知识点三:组合1.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有组合的个数,从n个不同元素中取出m 元素的组合数,记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ,*N ∈m ,且m ≤n ).3. 组合数性质:(1) C =C m n mn n-; (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四:解组合问题的方法1.分类讨论:即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类,并侧重其中一类,相应各类分类讨论,分类时要做到不重不漏.2.等价转化:即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五:计数需注意问题1.排列为有序问题,组合为无序问题,两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素,一个是不同的元素,另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步,第一步取出元素,第二步排列顺序.3.组合只有一个要素,就是取出元素即可,与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理,排列和组合,元素允许重复是直接用计数原理,而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相,共多少种排法?分析:把5个元素放在5个位置上,相当于5的全排列,也共有120P 55=种排法. 解答:N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈,10x <,(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析:排列数公式 P m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)的特点: (1)等号右边最大的数是n ; (2)等号右边最小的数是n -m +1; (3)共有m 个连续自然数相乘. 解答:30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. (1)可以组成多少个五位数?(2)可以组成多少个没有重复数字的五位数? (3)可以组成多少个1和2相邻的六位数? (4)可以组成多少个1和2不相邻的六位数?分析:先考虑是用分类分步还是用排列组合,就是要观察一下数字是否允许重复,数字允许重复用分类分步计数原理,数字不允许重复用排列组合,数字相邻用捆绑法,数字不相邻用插空法.解答:(1)数字可以重复,所以用分步计数原理,每个数位上都有6个数字可选,因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.(2)数字不可以重复,还有顺序,所以用排列,共720P 56==N 个.(3)1和2相邻,用捆绑法,先排1和2共22P 种,与余下的4个元素共有55P 种,则共有240P P 5522=个.(4)1和2不相邻,插空法,先排余下的4个元素44P 种,,再从5个空中挑选2个即25P 种,则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人, (1)共有多少种不同的选法? (2)恰好有一名女生的不同选法? 分析:选取元素干同一件事就组合问题.解答:(1)所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.(2)从2名女生中任选1人的选法有12C 种,从8名男生中选出4人的选法有48C 种,由分步计数原理,恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 (1)已知321818C C -=x x 则x =____. (2)=+97999899C C _____.分析:灵活运用组合数性质.解答:(1)根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.(2)4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递,2件不同的食品快递中任选5件. (1)至少有一件食品快递的不同选法总数? (2)最多有一件食品快递的不同选法总数?分析:解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答:(1)法一(直接法)分两类情况求解,第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种,第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种,由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二(排除法)从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.(2) 最多有一件食品快递可分为以下两类,第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法,第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递,有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈,10x <,则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为( ).A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长,结果共有( )种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生(每个学生只能拥有一本笔记本),则所有的分法种数为( ).A. 5!B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校(每名学生只能报考一所学校),则所有的报考方法有( )种.A. 5!B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级,要求每个班有1名教师,则不同的分法种数有( )种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患,某医院派3名医生和6名护士支援郑州,他们被分配到郑州的三所医院,每个医院分配1名医生和2名护士,共有( )种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人,其中男生至多有一人,则不同的取法共有( )种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人,女生3人,选出3人中有1名男生,2名女生的不同选法有( )种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品,任取3件至少有1件次品的不同抽法为( )种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学,归纳感悟 二、判断题:1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .( )2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长,共有12种.( )3. 6个座位,3个人去坐,每人坐一个座位,则共36C 种.( ) 4. 6个点最多可确定26C 条直线.( ) 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.( ) 6. 某铁路有十个站点,共需准备210P 种车票.( )7. 某铁路有十个站点,有210P 种不同票价(同样的两个站点的票价相同).( ) 8. 某组学生约定,假期每两人互通一封信,共计12封,这个小组学生有5人.( ) 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中,数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.( )10.从3、5、7、9中任选两个,可以组成12个不同的分数值.( ) 妙记巧学,归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =,则n =_______..2.若56P 2=n ,则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数,可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学,每名同学至多分一本,而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游,教师不能不去,也不能全去,则共有______种选法. 妙记巧学,归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相,其中3名男生,2名女生,则以下情况各有多少种不同的排法?(1)甲乙必须相邻; (2)甲乙互不相邻; (3)甲乙必须站两端; (4)甲乙不在两端; (5)男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法? (1)分成相等的三份; (2)平均分给甲乙丙三位同学;(3)分成三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)甲分一本,乙分两本,丙分三本;(5)如果一人分一本,一人分两本,一人分三本,分给甲乙丙. 高考链接1.(2018)某年级有四个班,每班组成一个篮球队,每队分别同其他三个队比赛一场,共需要比赛( )场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站,共需准备( )种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球,乙袋中装有4个小球,所有小球颜色各不相同,现从甲袋中取两个小球,乙袋中取一个小球,则取出三个小球的不同取法共有( )种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会,有5个小品节目,3个相声节目,要求相声节目不能相邻,则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件,至多有一件次品的不同取法总数为( )种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人,其中至少有男生,女生各一名,则不同的取法有( )种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人,医生3人,任选3人的不同选法有( ).A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级,每个班至少分到一名教师,则不同的分配方案有( )种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相,甲不站排头,乙不站排尾的排法总数有( )种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相,甲站中间的排法总数有( )种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相,第一排2人,第二排3人则不同的排法总数有( )种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个,再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是( )个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人,3名优秀工人,各抽5人参加比赛,要求优秀工人都参加不同的选法共有( )种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-()(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1.12 解析:根据组合数性质1得5712n =+=2.8 解析:2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类,第一类个位是零则有2520P =个;第二类,个位不是零,则有11124432P P P =个,所以共有20+32=52个.4.5 解析:只需在五人中选四人得到书即可,书相同无需排序,则有455C =种. 5.20 解析:老师不能不去,也不能全去,则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学,归纳感悟:答案全,结果简. 四、解答题1.解:(1)把甲乙捆绑在一起有22P 种,与余下的3名学生共有44P 种,则甲乙必须相邻,有242448P P =种排法.(2)先把余下的3名学生排好有33P 种,再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种,则甲乙不相邻有323472P P =种排法.(3)甲乙必须站两端,先排甲乙有22P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.(4)先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙不在两端有233336P P =种. (5)男女相间则有323212P P =种排法.2. 解:(1)平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. (2)平均分配问题,每人均分得2本.甲先取两本26C 种,乙再取两本24C 种,丙最后取两本22C 种,由分步计数原理得222642C C C =90种方法.(3)不平均分堆问题,第一份16C 种,第二份25C 种,第三份33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(4)不平均分配问题,甲先选一本16C 种,乙再选两本25C 种,丙最后选三本33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(5)不平均分配问题,且没有指定对象,先分三份123653C C C 种,再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种,则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学,归纳感悟: 排列组合来相遇,先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻,则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

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排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。

1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。

(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结

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排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?443解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有47A 种方法。

完整版)高考排列组合知识点归纳

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完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲:排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理:对于一件事情,有两种不同的方案,第一类方案有m种不同的方法,第二类方案有n种不同的方法,那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要两个步骤,第一步有m种不同的方法,第二步有n种不同的方法,那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。

二、排列数1.组合:从n个元素中取出m个元素,记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列:1)全排列:将n个元素全排列,记作Ann!2)从n个元素中取出m个元素,并将这m个元素全排列,记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和:Cnr2.展开式的第r项:Tr+1Cnr例题1:(x-1)4的展开式中的常数项是()A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2:在二项式(x-2y) 5的展开式中,含x2y3的项的系数是()A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练:1、在二项式(x21)5的展开式中,含x4的项的系数是()A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是()A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中,含x2y4的项的系数是()A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为()A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中,x2的系数等于?6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为?7、(x22)2x的展开式中常数项是70,则n=?若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40,则a=?四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题,弄清要做什么事;2.确定采取分步还是分类,或分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类;3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合问题(无序),元素总数是多少及取出多少个元素;4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略。

关于排列组合的归纳总结

关于排列组合的归纳总结

关于排列组合的归纳总结排列组合是数学中重要的概念,广泛应用于各个领域。

通过对排列组合的归纳总结,我们可以更深入地了解其基本原理和应用方法。

本文将对排列组合进行详细的讨论和总结,帮助读者更好地理解和应用排列组合的知识。

一、排列的概念及应用排列是指从给定的元素中选取若干个元素,按照一定的顺序进行排列的方式。

在排列中,元素的顺序是重要的,不同的排列顺序将得到不同的结果。

在实际生活中,排列有着广泛的应用,如排列座位、排列队伍、排列机器等等。

排列的基本原理是乘法原理,即将每个位置的选择数相乘得到总的排列数。

在排列中,常见的概念有全排列、循环排列和有限排列。

全排列是指将给定的元素进行全面的排列,没有任何限制条件;循环排列是指考虑了一定的循环性质,某些元素的前后顺序可以互换;有限排列是指在给定的元素中,只选取其中一部分进行排列。

二、组合的概念及应用组合是指从给定的元素中选取若干个元素,不考虑顺序的方式。

在组合中,元素的顺序是不重要的,相同的元素组合方式将得到相同的结果。

组合在实际生活中也有着广泛的应用,如取球问题、分组问题、挑选商品等等。

组合的基本原理是除法原理,即将总的选择数除以每个结果的重复数。

在组合中,常见的概念有完全组合和不完全组合。

完全组合是指从给定元素中选取全部元素进行组合,没有任何限制条件;不完全组合是指从给定元素中只选取其中一部分进行组合。

三、排列组合的计算公式排列和组合的计算公式是我们必须掌握的基本技巧。

根据排列和组合的不同情况,我们可以利用不同的公式进行计算。

1. 排列的计算公式(1)全排列的计算公式:对于n个元素的全排列,排列数为n!,即n的阶乘。

(2)循环排列的计算公式:对于n个元素的循环排列,排列数为(n-1)!(3)有限排列的计算公式:对于n个元素中选取r个元素进行排列,排列数为A(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合的计算公式(1)完全组合的计算公式:对于n个元素的完全组合,组合数为2^n。

高考排列组合知识点总结及典型例题

高考排列组合知识点总结及典型例题

高考排列组合知识点总结及典型例题知识点总结:一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式: 1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2)![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。

1. 公式:()()()C A A n n n m m n m n m n mn m mm==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注: 若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或四、二项式定理.1. ⑴二项式定理:nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点:① 项数:共有1+n 项;② 系数:依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的,即为n 次,展开式依a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+(展开式中的第1+r 项为:),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数.....最大. I. 当n是偶数时,中间项是第12+n项,它的二项式系数2nn C 最大; II. 当n 是奇数时,中间项为两项,即第21+n 项和第121++n 项,它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和:1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C典例分类讲解:一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

组合数学知识点归纳总结

组合数学知识点归纳总结

组合数学知识点归纳总结组合数学是数学中的一个分支学科,它涉及离散数学的一部分内容。

组合数学与集合论、图论和逻辑学等相关,它主要研究的是有限集合的组合和排列问题。

在实际应用中,组合数学在密码学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用。

本文将对组合数学中一些重要的知识点进行归纳总结。

一、排列组合排列是指将若干个不同元素按照一定的顺序进行排列,组合是指从若干个元素中取出一部分元素进行组合。

组合数学的基础知识就是排列组合。

其中,排列的计算公式为:$P(n,m) = n!/(n-m)!$组合的计算公式为:$C(n,m) = n!/((n-m)! * m!)$二、二项式系数二项式系数是组合数学中一个重要的概念。

在代数表达式$(a +b)^n$中,展开后的每一项的系数称为二项式系数。

根据二项式定理,二项式系数可以通过组合数的形式进行计算。

具体来说,二项式系数可以表示为:$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$三、抽屉原理抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。

简单来说,抽屉原理指的是当将若干个物体放入较少的抽屉中时,至少存在一个抽屉中放置了多个物体。

抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用,它可以帮助我们解决一些排列组合问题。

四、容斥原理容斥原理是组合数学中的另一个重要原理。

容斥原理用于计算两个集合的交集、并集和补集之间的关系。

具体来说,对于两个集合A和B,容斥原理可以表示为:$|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|$五、生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具。

生成函数用于将一个数列转化为一个多项式函数,从而方便求解数列的性质。

通过生成函数,我们可以迅速得到数列的递推关系式和通项公式。

在组合数学中,生成函数的应用非常广泛,它可以帮助我们解决各种组合问题。

六、图论中的组合数学组合数学在图论中也有着广泛的应用。

例如,图的着色问题、图的哈密顿回路问题、图的连通性等都可以通过组合数学的方法得到解决。

排列组合知识点总结

排列组合知识点总结

排列组合知识点总结一、排列组合的基本概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干元素的方式。

例如,从元素集合{a, b, c}中选择2个元素,按照顺序选择的话可能得到的排列有ab, ac, ba, bc, ca, cb。

可以看出,排列与元素的顺序有关。

通常情况下,从n个元素中取出m个元素,按照顺序排列的方式有n*(n-1)*(n-2)* ... *(n-m+1)种。

1.2 组合的概念组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干元素的方式,但是不考虑元素的顺序。

例如,从元素集合{a, b, c}中选择2个元素,组合的情况有ab, ac, bc,并且ba, ca, cb这三种情况都属于ab, ac, bc中的一种。

通常情况下,从n个元素中取出m个元素,不考虑顺序的组合方式有C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)种。

1.3 排列组合的关系排列和组合是紧密相关的,它们之间的关系可以通过以下公式表示:A(n,m) = n! / (n-m)!C(n,m) = A(n,m) / m!也就是说,排列是组合乘以选取的元素顺序的情况。

二、排列组合的性质2.1 基本性质(1)排列和组合的个数都是离散的,不能是负数,也不能是小数。

(2)从n个元素中取出m个元素的排列个数一定是比组合个数多的,即A(n,m) > C(n,m)。

2.2 乘法原理乘法原理是排列组合问题中的重要原理,它指出,如果一个问题可以分解为多个步骤,每个步骤有若干种选择,那么整个问题的解法个数就等于各个步骤选择方式的乘积。

例如,如果有4个选择项,分别为A、B、C、D,每个选择项都有3种情况,那么根据乘法原理,一共有3*3*3*3=81种选择方式。

2.3 加法原理加法原理是排列组合问题中的另一个重要原理,它指出,如果一个问题可以分解为多个独立的子问题,那么整个问题的解法个数就等于各个子问题解法个数之和。

例如,从n个元素中取出m个元素的排列个数等于从n个元素中取出m个元素放在前面或者放在后面的情况之和。

排列组合知识点总结及题型归纳

排列组合知识点总结及题型归纳

排列组合知识点总结及题型归纳嘿!今天咱们来好好聊聊排列组合这个让人又爱又恨的知识点呀!首先呢,咱们得搞清楚啥是排列,啥是组合。

哎呀呀,简单来说,排列就是从一堆东西里选出来,然后再排个顺序;组合呢,只要选出来就行,不管顺序啦!一、排列的知识点1. 排列的定义:从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数,记为A(n,m) 。

哇,这个公式可重要啦,A(n,m) = n! / (n - m)! ,记住没?2. 排列数的计算:咱们来算个例子,比如说从5 个不同的元素里选3 个进行排列,那就是A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 呀!二、组合的知识点1. 组合的定义:从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数,记为C(n,m) 。

公式是C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。

2. 组合数的计算:就像从6 个不同元素里选4 个的组合数,C(6,4) = 6! / [4!(6 - 4)!] = 15 呢!三、常见的排列组合题型1. 排队问题:比如说,几个人排队,有多少种排法?这就得考虑有没有特殊位置或者特殊的人啦!2. 分组问题:把一些东西分成不同的组,要注意平均分和不平均分的情况哟!3. 分配问题:把人或者物品分配到不同的地方,这里面可藏着不少小陷阱呢!四、解题技巧1. 优先考虑特殊元素或特殊位置:哎呀呀,这可是解题的关键呀!2. 捆绑法:有些元素必须在一起,那就把它们捆起来当成一个整体来处理。

3. 插空法:有些元素不能相邻,那就先排好其他的,再把不能相邻的插进去。

总之呢,排列组合虽然有点复杂,但是只要咱们掌握了这些知识点和题型,多做几道题练习练习,就一定能搞定它!哇,加油呀!。

高中数学知识点总结排列与组合

高中数学知识点总结排列与组合

高中数学知识点总结排列与组合高中数学知识点总结——排列与组合排列与组合是高中数学中的重要知识点,涉及到集合内元素的选择、排列和组合方式。

在解决实际问题的过程中,排列与组合可以帮助我们计算可能的情况数,进而推断问题的解决方法。

本文将对排列与组合的基本概念、公式及应用进行总结。

一、排列与组合的基本概念1. 排列排列是指从给定的元素中按照一定顺序选取若干元素的方式。

排列问题中,每个元素只能使用一次。

n个不同元素的全排列数可以表示为 n!(n的阶乘)。

n个元素中取出m个元素的排列数可以表示为A(n, m)=n!/(n-m)!2. 组合组合是指从给定的元素中无序地选取若干元素的方式。

组合问题中,每个元素只能使用一次。

n个不同元素的取m个元素的组合数可以表示为C(n, m)=n!/[(n-m)! * m!]二、常用排列与组合公式1. 全排列公式全排列是指将n个不同元素排成一排的所有可能情况的总数。

例如,由字母A、B、C组成的全排列数为3! = 3 × 2 × 1 = 6。

2. 有重复元素的排列公式当给定的元素中存在重复元素时,全排列的计算需要考虑到重复元素的情况。

例如,在由字母A、A、B组成的全排列中,根据重复性质,总排列数为3!/(2! * 1!) = 3。

3. 无重复元素的组合公式组合是指从给定的元素中取出若干元素,不考虑顺序的情况下的可能数。

例如,由字母A、B、C中取出2个元素的组合数为C(3, 2) = 3!/[(3-2)! * 2!] = 3。

4. 有重复元素的组合公式当给定的元素中存在重复元素时,组合的计算需要考虑到重复元素的情况。

例如,在由字母A、A、B中取出2个元素的组合中,总组合数为C(3, 2) = 3!/[(3-2)! * 2!] = 3。

三、排列与组合的应用排列与组合在实际问题中具有广泛的应用,主要包括以下几个方面:1. 抽奖问题排列与组合可以用于计算抽奖问题中中奖号码的可能性。

排列组合知识点总结

排列组合知识点总结

排列组合知识点总结排列组合是数学中一个重要的分支,它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用,比如抽奖、选座位、安排比赛等等。

下面让我们一起来详细了解一下排列组合的相关知识点。

一、基本概念1、排列从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同。

排列数用 A(n, m) 表示。

2、组合从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。

组合数用 C(n, m) 表示。

二、排列数与组合数的计算公式1、排列数公式A(n, m) = n(n 1)(n 2)…(n m + 1) = n! /(n m)!2、组合数公式C(n, m) = n! / m!(n m)!三、排列组合的基本性质1、排列的性质(1)A(n, n) = n!(2)A(n, m) = nA(n 1, m 1)2、组合的性质(1)C(n, 0) = C(n, n) = 1(2)C(n, m) = C(n, n m)四、解决排列组合问题的常用方法1、特殊元素优先法对于存在特殊元素的问题,优先考虑特殊元素的排列或组合。

2、捆绑法当要求某些元素必须相邻时,可以将这些元素看作一个整体,与其他元素一起进行排列,然后再考虑这些相邻元素的内部排列。

3、插空法当要求某些元素不能相邻时,先将其他元素排列好,然后在这些元素之间及两端的空位中插入不能相邻的元素。

4、间接法有些问题直接求解较为复杂,可以先求出总的排列或组合数,然后减去不符合要求的排列或组合数。

5、分类讨论法当问题包含多种情况时,需要对不同情况进行分类讨论,然后将各种情况的结果相加。

五、常见的排列组合问题类型1、排队问题例如,n 个人排成一排,共有多少种不同的排法;某些人必须相邻或不能相邻的排法等。

排列组合总结(含答案)

排列组合总结(含答案)

1.(站队模型)4男3女站成一排:①女生相邻;5353A A ⋅②女生不相邻;4345A A ⋅③女生从高到低排;47A④甲不在排头,乙不在排尾;解析:当甲在排尾时有66A ;当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2.(组数模型)由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数: ①奇数;末位有112588A A A②偶数;解析:末位为0,有39A ;末位不为0,有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数;解析:末位为0,有49A ;末位为5,有1288A A ⋅④比3257大的数; 解析:首位为4到9时有396A ;首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数.12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3.(分组分配问题)6个不同的小球:①放入三个不同的盒子;解析:63②放入三个不同的盒子,每盒不空;解析:4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6=4+1+1:有C 6=3+2+1:有有③分三组(堆),每组至少一个;解析:41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6=4+1+1:有6=3+2+1:有有4.6个相同的小球:①放入三个不同的盒子;解析:相当于分名额,盒子可空:插板法:28C ②放入三个不同的盒子,每盒不空;25C ③恰有一个空盒.解析:相当于两个盒子不空:1253C C ⋅5.6名同学报名三科竞赛:①每人限报一科;63②每科限报一人;366.(选派问题)5男3女:①选2人开会;28C②选正副班长,至少1女;2285A A - ③选4人开会,至多2男;解析:即至少2女,22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力,至少2女.解析:()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。

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排列、组合及二项式定理
一、计数
yi 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 f 1. 分类加法计数原理定义
完成一件事,可以有n 类办法,在第一类办法中有 ml 种方 法,在第二类办法中有 m2种方法,……,在第n 类办法中 有mn 种不同的方法,那么,完成这件事情共有 N = m1 + m2+…+mn 种不同的方法. 2 .分步乘法计数原理定义
完成一件事情需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 ml 种方法,做第二步有m2种方法, ,做第n 步有mn 种 方法,那么完成这件事共有 N= ml m2…mn 种不同的方法.
3 .分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系
联系;都涉及完成一件事情的不同方法的种数.
区别:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立, 用其中的任一种方法都可以完成这件事; 分步乘法计数原理与 分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件 事才算完成. 4.分类分步标准
分类就是一步到位,(1)类与类之间要互斥;(2)总数完整。

分步是局部到位,(1)按事件发生的连贯过程进行分步;(2) 步与步之间相互独立,互不干扰; (3)保证连续性。

f 排列与组合
1. 排列
(1)排列定义:从n 个不同元素中,任取 m (mc n )个元素, 按
照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列.
(2)排列数公
式:
Am= c m A m = n(n — 1)(n — 2)…(n — m+ 1)
或写成Am=
(3)特征:有序且不重复
2. 组合
1)组合定义:从n 个不同元素中,任取 m (m< n )个元素组 成一组,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
n !
(n —
m)!
特殊:An n=n 匸 n(n-1)!
!
写成Omr — .
m! (n — m)!
(3)组合数的性质
① Om= C n — m ; ② Orm-1 = Omb Cn — 1. (4)特征:有序且不重复
3. 排列与组合的区别与联系: 区别:排列有序,组合无序
联系:排列可视为先组合后全排
4. 基本原则:(1)先特殊后一般;(2)先选后排;(3)先分类后 分步。

f 排列组合的应用(常用方法:直接法,间接法) 1. 抽取问题:
(1) 关键:特殊优先;
(2) 题型:① 把n 个相同的小球,一次性的放入到 m 个不同的 盒子中(n W m ),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法? Cmn ② 把n 个相同的小球,依次性的放入到 m 个不同的
盒子中(n W m ),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法? Amn ③ 把n 个相同的小球,放入到 m 个不同的盒子中
(n W n ),每个盒子放球数目不限,有多少种不同的方法? mn ④ 把n 个不同的小球,放入到 m 个不同的盒子中
(n W m ),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法? Amn ⑤ 把n 个相同的小球,依次性的放入到 m 个不同的
盒子中(n 》m ),每个盒子至多 1个,有多少种不同的方法? Cn-1m-1隔板法 2. 排序问题:特殊优先 (1)排队问题:
⑵组合数公式:叶计
—或
m !
①对n个元素做不重复排序Ann;
八n
②对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定)排列負;
A
如果对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定,k个元素的
八n
位置固定)排列二^;
A A K
③相邻问题一捆绑法(注意松绑);
④不相邻问题:(a)一方不相邻一先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位;(b)互不相邻先排少的在插入多的;
⑵数字问题;
①各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数;
②各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数;
③组成n为偶数(奇数)的数----特殊优先法;
④能被n整除的数-----特殊优先法;
⑤比某数大的数,比某数小的数或某数的位置----从大于(小于)开始排,再排等于;
⑶着色问题:
①区域优先-----颜色就是分类点;
②颜色优先-----区域就是分类点.
⑷几何问题:①点、线、面的关系一般均为组合问题;
②图中有多少个矩形
到B
的最短距离C83
⑸分组、分配问题:
①非均分不编号;n个不同元素分成m组,每组元素数目均不
② 非均分编号;n 个不同元素分成 m 组,每组组元素数目均不 相等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽
③ 均分不编号;n 个不同元素分成 m 组,其中有k 组元素数目均 相等,且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽
④ 均分编号;n 个不同元素分成 m 组,其中有k 组元素数目均 相等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽
m
1
m
2
m
3
(C n C n
C
n _m i 皿
二、二项式定理
1. 定理:(a + b )n = QOanbO + Qian — 1b + Q2an — 2b2+…+ Cn an — rbr +…+ CBObn (r = 0,1,2,…,n ).
2. 二项展开式的通项
Tr + 1 = Cnan — rbr , r = 0,1,2,…,n ,其中 Cn 叫做二项式 系数.
3. 二项式系数的性质
① 对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等, 即 00= On, 6= Cn — 1,…,Ok = On — k ,…
② 最大值:当n 为偶数时,中间的一项的二项式系数 取得最大值;当n 为奇数时,中间的两项C 勺二项式系数 C
「C ;2
相等,且同时取得最大值. ③ 各二项式系数的和
C0+ C1 + C2+…+ Ck +…+ 5= 2n ;
2n — 1.
f 二项式定理的应用:
相等,且不考虑各组间的顺序 不考虑是否分尽
m i C n
C
m 2 n _mi
m 3 n _m i 皿
m m 2 C n
C
m 3 n _m i 皿
C n
C
m 2 n _m i

n _m ?
1. 求通项;T r i =C;a n」b r
2. 含xr的项:①项的系数;②二项式系数。

3. 常数项(含xr的项中r=0)整数项(含xr的项中r € N)有理项(含xr的项中r € Z)无理项(含xr的项中r - Z)
4. 项的系数和:
(1 ) 已知多项式f(x)=(a+bx) n(a,b>O)=aO +a1x+a2x2+…+anxn:
① a0 =f (0)
② a0 +a1+a2+ …+an = f(1)= (a+b )n;
③ |a0 |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |= f(1)= (a+b) n;
④a0 +a2+a4+ •••=2;
⑤ al +a3+a5+ …二^ IO;
2
⑥ (a0 +a2+a4+ …)2-( al +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。

(2 ) 已知多项式f(x)=(a-bx) n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
① aO =f (0)
② a0 +a1+a2+ …+an = f(1)= (a-b) n;
③ |a0 |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |= f(-1)= (a+b) n;
f(1) + f(-1);
④ a0 +a2+a4+ •••=2;
2
⑤ a1 +a3+a5+…=f(1^f^1);
2
⑥(aO +a2+a4+ …)2-( al +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。

(3) 已知多项式f(x)=(ax-b) n( a,b>O)=aO +a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)= (-1 ) n (b-ax)n
① aO =f (0)
② aO +a1+a2+ …+an = f(1)= (a-b) n;
③ |aO |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |=|(-1) n|g(-1)
④ aO +a2+a4+ •••=2;
⑤ al +a3+a5+ …二也3;
2
⑥ (aO +a2+a4+ …)2-( al +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。

(4) 已知多项式f(x)=(-ax-b) n(a,b>O)=aO
+a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)= (-1 ) n(ax+b)n
① aO =f (O)
② aO +a1+a2+ …+an = f(1)= (a-b) n;
③ |aO |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |=|(-1)n|g(1)
f(1) + f(-1);
④ aO +a2+a4+ •••= 2 ;
⑤ a1 +a3+a5+ …二血4;
2
⑥ (aO +a2+a4+ …)2-( a1 +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。

5. 最值问题:
n
① 二项式系数最大:(a)当n为偶数时,二项式系数中,
n/ n 二
最大;(b)当n为奇数时,二项式系数中,c了和CF最大
②项的是系数最大:c T r丄表示第叶1项的系数
(a) 个项都为正数时|CT r^-C Tr^ C T+最大;
[CT r 异r +
(b) 一项为正一项为负时尺异CTr J Cj最大
g异5丄。

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