概率论与数理统计 (54学时) - 南京大学计算机科学与技 …

P AB P B A P A
P AB P B P A B
这就是两事件A, B的乘法公式．
P AB P A P B A ,
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
2）多个事件的乘法公式
设A1, A2, A3为三个随机事件, 且P(A1A2)>0, 则
解II. 由抽签原理. 第k次抽到正确钥匙的概率1/n.
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例. 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止．求取了n 次都未 取出黑球的概率． 解：
设 B 取了n 次都未取出黑球
B A1 A2 An
P AB PB A P A
1 7 而 P A 1 P A 1 8 8 6 6 8 所以 P B A 7 7 8
6 P AB 8
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
二、乘法公式
1）两个事件的乘法公式：
由条件概率的定义
我们得
2维或3维区域)，向Ω内任意投点M， M落于Ω内任一点等可能，且落在Ω内 任何子区域A上的可能性与A的度量成 正比，而与A的位置和形状无关
则这个试验称为几何概型试验 定义M落在A中的概率P(A)为：
A 的几何度量 （A ） P( A) 的几何度量 （）
2
第一章 概率论的基本概念
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
(1) 非负性：对任意事件 A，有 PA B 0
3.条件概率的性质：
(2) 规范性： P B 1；
(3 ) 可列可加性：如果随机事件A1 ，A 2 ， ， A n， 两两互不相容， 则
P A n B P A B n n 1 n 1
A1
A2
An
第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
1）全 概 率 公 式： 设随机事件 A1 , A2 , An 为样本空间
Ω 的一个划分，P (Ak )>0, ( k = 1, 2, ... ,n)
则有 P B P Ak P B Ak .
k 1 n
31
B = BA1 BA2 BAn
第一章 概率论的基本概念
§5.
几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
1
第一章 ห้องสมุดไป่ตู้率论的基本概念
§5 几何概率
一.定义: 设有一个可度量区域Ω (Ω可以是1维、
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
三、全概率公式和贝叶斯公式
定义 设 Ω为试验 E 的样本空间，A1 , A2 , An 为 E 的一组事件。若满足
1
A1 , A2 , , An 两两互不相容；
(2) A1
A2
An .
…...
Ω
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则称 A1 , A2 , An 为样 本空间 Ω 的一个划分
试验者
针长l 投掷次数N
2lN an
相交次数n
π近似值
Wolf 1850年
Smith 1855年 De Morgan 1860年
0.8
0.6 1.0
5000
3204 600
2532
1219 383
3.1596
3.1554 3.137
Lazzerini 1901年
0.83
3408
1808
3.141592
在平面上有等距离的平行线,平行线间的 距离为2a (a>0),该平面任意投掷一枚长为2l (l<a) 的针,求针与任一平行线相交的概率p。
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
解：M表示针的中点，针投在平面上， x 表示M点到最近平行线的距离，
表示针与此直线的夹角, 则有 {0 x a , 0 }
P A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
推导：
P A1 A2 A3 P A1 A2 P A3 A1 A2
P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
A i 第 i 次取出白球
则
i 1， 2， ， n
由乘法公式，我们有
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
P B P A1 A2
An
An 1 ,
P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2
全概率公式的证明：
由条件得：
BA1 BA2
…... …...
Ω
BAn
A1 B , A2 B , , An B 两两互不相容；
P ( B) P ( B) P{B ( A1 P ( BA1
n
A1
A2
An
A2 BAn )
An )}
P ( BAn )
BA2
n
= P ( BA1 ) P ( BA2 )
§5 几何概率
特点：
1．样本空间无限——无限性；
2．每个样本点发生的可能性相同 ——等可能性。
3
例1．（约会问题）甲乙约定在6到7点间随机到达某地 会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时离去，求两人能会面的概率。
解：
y 60
以x, y分别表示甲乙两人的到达时间， 设A=两人能会面，则 两人能会面的充要条件是：|x－y|≤15. 则（x, y）的所有可能结果是边 长为60的正方形，图中阴影表示 可会面的时间。
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B) 为事件B发生条件下,事件A的条件概率.
设B已发生, 若A也发生 , 则试 验结果必属于AB. 由于B发生条 件下考虑A发生, 可把B看成新的 样本空间, 称缩减的样本空间.
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P ( AB) 3 36 1 P ( A | B) P ( B) 6 36 2 3 1 解法2: P ( A | B) 6 2
缩减样本空间 中计算
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例 3 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率． 解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } 所求概率为
蒙特卡罗方法
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
§6
一 二 三
条 件 概 率
条 件 概 率 乘 法 定 理 全概率公式和贝叶斯公式
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
一、条件概率 1. 条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在某 些附加条件下考虑.
如在事件B发生的条件下求A发生的概率， 将此概率记作P(A|B). 称条件概率.
故 P（A）=4/16=1/4。
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
例3.在区间[ 0，1]内任取两个数，求事件A：两 数乘积小于1/4的概率。 解：设 x, y 表示从区间 [ 0, 1 ]中任取的两数，则 1 {( x, y) | 0 x 1, 0 y 1}, A {( x, y ) | xy } 4
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
如果 l 和 a 已知, 则以π值代入上式就可 以求出 p 。
反之，也可用上式去求π的近似值，若投 针N次，其中针与平行线相交n次，以频率 值n/N 作为概率p的近似值, 代入上式有:
2lN an
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
历史上有一些学者曾做过 这个实验, 得到π的近似值:
一般 P(A|B) ≠ P(A)
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出6点}， B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B， B中有3个元素，它们是等可能的， 只有1个在A中， 于是P(A|B)= 1/3.
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
一般情况：
AB (k)
Ω (n)
……………………….….
A (i) B (m)
P (A)
i m k , P (B) , P (AB) n n n
k P(A | B) m
P(AB) n m P(B) n
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k
第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
1 2 3 n 1 2 3 4 n1 n1
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例 . 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打 破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落 下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三 次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未 打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打 破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 有：
2l
2a
针与最近的一条平行线 相交的充要条件是
M

x

x l sin
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
{0 x a , 0 }
A { x l sin }
所求概率为

x a
x l sin
x l sin


( A) 0 l sin d 2l p= P( A) () a a
推广：设 A1， A2， ， An 为n个随机事件，且
P A1 A2 An1 0, 则有
PAn A1 A2 An1
P A1 A2 An P A1 PA A P A A A 2 1 3 1 2
为n个事件的乘法公式．
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例. 一串钥匙 n把，只有一把能开门，任取一把开门， 用后分开，求第k次才打开门的概率。 解. 由乘法公式.
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B
AB A

例：盒中10个元件(4次品6正品)，从中任取2只，
已知第一只是正品，求第二只是正品的概率。
解：记A:第一只是正品，B:第二只是正品
2 6 1 C6 P(A) , P(AB) 2 C 10 3 10
P(AB) 5 P(B | A) P(A) 9
另解：缩减样本空间法 已取出1只正品，盒中剩余9只，其中5只正品， 再取出正品概率为5/9.
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4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P ( AB) P ( A | B) , P ( B)
P(B)>0
2)直接法：缩减的样本空间法
缩减的样本空间中
k P(A|B) = m
A所含样本点数
缩减的样本空间 所含样本点总数
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例2 两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
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( A) 60 45 7 P( A) 2 () 60 16
2 2
0 15
60
x
4
例2．甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公 共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别 为1：15，1：30，1：45，2：00。如果规定见车就 上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。 解： 设甲,乙到达车站时刻为x, y, 则Ω ={1≤x, y ≤2, } y 2 设A=两人乘同一辆车，则 A发生的充要条件是： 1.5 1 0 1 1.5 2 x 两人到达时间x, y在同一 发车区间，即阴影部分。
k 1 k 1
P BAk P Ak P B Ak .
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
全概率公式的使用：
我们把事件B 看作某一过程的结果，
把A1 , A2 ,
, An 看作该过程的若干个原因，
xy=1/4
1
() 11 1
1 1 1 1 1 ( A) 1 dx ln 2 1/ 4 4 x 4 4 2
A
1/4 1
( A) 1 1 P( A) ln 2 ( ) 4 2
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
例4.(Buffon投针问题)