年金终值和现值的计算

0
P=？
1
1000
2
1000
3
1000
i=10%
根据题意，已知 A=1000，n =3，i=10%，求 P。
P=A·(P/A,i,n)
=1000×(P/A,10%,3) =1000×2.4869 =2486.9 (元) 因此，他应现在给你在银行存入 2486.9 元，以用于此后 3 年，每年未支付 1000 元房租之需。 ⑵
0
1
2
3
S1 =100×(1+10%)0 =100×1 S2 =100×(1+10%)1 =100×1.1 S3 =100×(1+10%)2 =100×1.21
100×3.310
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同学们已经观察到，普通年金终值实际上为每期的复利终值之和，如果年金的期数很多，用这种方 法显然相当烦琐，那么，折算终值的各期复利终值系数是否有规律可循？ 学生回答： (1+10%) ，(1+10%) ，(1+10%) 是一个以年金为首项，(1+10%)为公比的等比数列。 启问： 若将每年支付的金额设为 A，利率 i，期数 n，同学们是否可以运用等比数列和公式得出普通年金终 值计算的简便方法呢？ 板书演示： 数列：A(1+i) ，A(1+i) ，A(1+i) ，„A(1+i) 该数列 an =A，q=(1+i)，则
n
B.
(1 � i) n－1 i
C.
1 - (1 � i) n i
D.(S/A,i,n)
⑶某公司有一投资项目，分 5 年投资，每年末投入 300000 元，试计算该利率为 10%，投资项目 5 年后的投资总额。 答案： ⑴①(S/A,10%,5)=6.1051 规律： (S/A,10%,7)=9.4872 (S/A,10%,9)=13.579
2
⑴普通年金 (后付年金) ⑵即付年金 (先付年金) ⑶递延年金
P=？
0
1
A
2
A
3
A
S =？
n
A
（各期期末的年金）
0
A
1
A
2
A
3
A
n
（各期期初的年金）
6 7 8 n
0
1
2
3
4
5
⑷永续年金：无限期定额收付的普通年金。 （二）普通年金终值与现值 1.普通年金终值
（若干期后发生的普通年金）
若企业每年存入 100 元，连续 3 年，利率为 10%，则 3 年后的本利和？
S= A·(S/A,i,n)
= 300000×(S/A,10%,5) = 300000×6.1051 =1831530 (元) 答：5 年后总投额为 1831530 元。
4
提示： （板书） 对于年金的计算实际上十分简单，其关键在于选定时间轴，通常做法是： ①以第一笔现金流出(入)的时间为“现在”时间即“0”时点，不管它是几月几日，在此基础上， 一年以一个计息期。 ②对于原始投资，如果没有特殊指明，均假设是在每个“计息期初”支付。 ③对于未说明的货币收付，尽管是陆续发生的，若无特殊说明均假设在“计息期末”发生。 分析： 对于 S=A·(S/A,i,n)中有四个量，S，A，i，n，只有已知其中三个，就可以通过年金终值系数表求得 另一个，其中已知 S，i，n，求 A，可以称 A 为偿债基金。而(A/S,i,n)可称为偿债基金系数，可通过 查阅“年金终值系数表”求倒数确定。 ⑴拟在 5 年后还清 10000 元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项，假设年利率为 10%，每年 需要存入多少元？ ⑵企业计划 8 年后还清 615000 元债务，从现在起每年等额存入银行 50000 元，试问银行存款利率 为多少时，企业能完成偿债目标？ 板书演示： ⑴
20, 000=P
0
A？
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
9
A
10 i=10% A
根据题意，已知 A=20000，i=10%，n=8，求 A。
A=P/(P/A,i,n)
=20000×
1 (P/A, 10%, n)
=20000×0.1627 =3254(元) 因此，每年至少要收回现金 3254 元，才能还清贷款本利。 讲评： 我们由此可以看到，货币时间价值这一概念，在实务中的实用性很强，它能帮助我们解决许多生 活中常遇到的问题，但如果遇到“计算期初”发生的系列收付款项，我们又应如何处理呢？我们回头 来看看前述年金概念中，发生在各期期初的是什么年金？——即付年金。 （三）即付年金终值与现值 启问： 请同学们仔细观察下图，能否找到普通年金与即付年金终值与现值之间的关系？ P=？ ⑴ S=？
0
.
A？
1
A？
2
A？
3
A？
4
A？
5
i=10%
S=10, 000
根据题意，已知 S=10000，i=10%，n=5，求 A。
A=S·
i 1 =S·(A/S,i,n)=S× n (1 � i) －1 (S/A, i, n) 1 1 = 10000× (S/A, 10%, 6) 6.105
= 10000×
S=P1 (1+i)1 +P2 (1+i)2 + P3 (1+i)3
=10000 +10000×(1+8%) +10000×(1+8%) =10000+10000×1.08+10000×1.1664 =32464 (元) 答：企业每年末存入 10000 元，3 年后的本利和为 32464 元。 3.异同点：两小题均是运用复利终值公式进行运算，不同的是第一小题为一次性收付的款项，第 二小题同样是 30000 元，但它是分三年每年年末存入等额的款项。
=100×(1+10%)
－1
+100×(1+10%) +100×(1+10%)
－2
－3
=100×0.9091+100×0.8264+100×0.7513 =100×2.4868 =248.68 (元) 因此，每年末存入 100 元，在利率为 10%的前提下，3 年年终付款的现在等效值为 248.68 元。 通过年金终值的公式推导，我们可以用相同的方法推导“年金现值公式” 。 已知：a1=A(1+i) q=(1+i)
均大于 1，当利率不变时，系数值随期数的增加而增加。 (S/A,12%,5)=6.3528 (S/A,14%,9)=6.5101
②(S/A,10%,5)=6.1051 规律： ⑵ B,D ⑶
均大于 1，当期数不变时，系数值随利率的增加而增加。
0
30
1
30
2
30
3
30
4
30
5
i=10% n=5
S=?
根据题意，已知 A=300000，i=10%，n=5，求 S=?。
0 1 2 0 1 2
n－1
S=A·
讲解：
1 - (1 � i) n 1 - (1 � i) n (1 � i) n－1 =A· =A· 1 - (1 � i) i －i
普通年金终值计算公式：S=A·
(1 � i) n－1 =A·(S/A,i,n) i
3
其中
其中 3.31 如上例中企业每年年末存入 100 元， 3 年后的本利和=100×(S/A,10%,3)=100×3.31=331(元)， 如前述图示就是利率为 10%，期数为 3 时的年金终值系数。 【 】
(1 � i) n－1 或(S/A,i,n)称为年金终值系数， 它与复利终值系数一样， 可通过查阅系数表得到。 i
⑴查表题，请查阅“年金终值系数表” ，填写下列空格。 ①(S/A,10%,5)=______(S/A,10%,7)=______(S/A,10%,9)=_____ 规律：____________________________________________________ ②(S/A,10%,5)=______(S/A,12%,5)=______(S/A,14%,9)=_____ 规律：____________________________________________________ ⑵下列各项中，属于年金终值系数的是_____________ A.(1+i)
S=P×(1+i)3 =30000×(1+8%)3 =30000×1.2597=37791(元)
答：企业 3 年后的本利和为 37791 元。
1
2.
0
P3=10000
1
P2=10000
2
P1=10000 S1 S2 S3
3
i=8%
已知 P1 =P2 =P3=10000，n1 =0，n2 =1，n3 =2，i=8%，求 S=S1 +S2 +S3。
【
】 通过本节的学习，要求学生理解年金的概念，准确区分年金终值、现值与复利终值、现值，认真
领会二者之间数量关系；通过时间轴的计算示意图，能理解并掌握普通年金，即付年金的计算，并能 运用货币时间价值的相关知识解决一些实际问题。 【 】 教学重点：掌握年金的计算方法。 教学难点：区分普通年金，即付年金，复利终值与现值的相同点与不同点，熟练掌握运用货币时 间价值解决实际问题的技巧。 【 】
请同学画出时间轴分析以下两个问题，说出异同点： 1.企业现在存入银行 30000 元，在年利率为 8%的情况下，3 年后的本利和？ 2.企业于每年年末存入银行 10000 元，连续 3 年，在年利率为 8%的情况下，3 年后的本利和？ 板书： 1.
0 P=30000
1
2
3 S
i=8%
已知 P=30000，i=8%，n=3，求 S。
定。 【 】 请同学们运用所学知识，解决以下几个小问题： ⑴某人出国 3 年，请你代付房租，每年租金 1000 元，银行存款利率为 10%，他应当现在给你在银
6
行存入多少钱？ ⑵假设以 10%的利率借款 20000 元，投资于某个寿命为 10 年的项目，每年至少要收回多少现金才 是有利的？ 学生解答： （ ⑴
－1
100×0.7513=100×(1+10%)－3 100×2.4868
100×0.8264=100×(1+10%)－2
0 P1
1
2
3
P3
P2
根据题意，已知 S1 =100，n1 =1；S2 =100，n2 =2；S3=100，n3=3，i=10%，求 P。
P=P1 +P2 +P3 =S1 (1+i)－n1+S2(1+i)－n2+S3 (1+i)－n3
=10000×0.1638 =1638(元) 答：每年应存入 1638 元，5 年后可得 10000 元，用来还清债务。 ⑵
0
.
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
6 5
7 5
8 5
i=？
S=10000
根据题意，已知 A=50000，S=615000，n=8，求 i。
S=A·(S/A,i,n)
615000= 50000×(S/A,i,8)
1 2
分析： 对于“定期、连续、等额”收付的款项，就是我们今天要学习的年金，同学们已经观察到，运用 的仍然是我们上节课所学的知识，所以今天我们主要的任务就是巩固、熟练货币时间价值的计算，运 用这一观念更快、更多地解决实际问题，现在先一起熟悉一下年金这一概念。 （一）年金的概念与分类 1.概念：年金是指在一定期间内间隔相等的时间连续、等额收到或支付的款项 ( 列收支)。 根据年金的特征“定期、等额” ，同学们是否可以从所接触过的现象中，例举一些可归属于年金的 形式呢？ 学生回答： 分期付款赊销、赊购；每期相等的利息；学生保险金；直线法下的折旧；每期相同的销售成本、 销售收入、养老金、分期还贷、分期支付工程款、优先股股利等等。 2.分类 那么，在种种年金的表现形式中，有些货币收支发生在期初，如预付工程款；有些发生在期末， 如折旧；有些第一次货币收支发生在第二期或第三期以后，如某些投资回报；有些无限期发生，如优 先股股利。虽说这些均属于年金，但由于它们发生的收付方式有所不同，所以它们都有自己特有的名 称，在计算时通常用“A”表示年金。 板书： 、 的系
5
(S/A,i,8)=12.3 查“年金终值系数表”可知：i=12%。因此，在利率 12%的情况下，企业每年存入 50000 元，5 年 后可偿还债务 615000 元。 2.普通年金现值 分析： 在运用货币时间价值解决实务问题时，除了使用终值概念，更多的是使用现值概念。 由于不同时间的货币时间价值不能直接加减计算，需要进行折算。通常情况下，要把不同时间的 货币价值折算到“现在”时间，然后进行运算或比较。 若每年存入 100 元，在利率 10%的情况下，3 年的付款现在等效值是多少？ （板书） 100×0.90%=100×(1+10%)
-1 -1 -1
则该数列各项之和
1 - (1 � i) －n P=A(1+i) · 1 - (1 � i) －1
公式中
1- (1 � i) � n 化简后可得：P=A· =A·(P/A,i,n) i
1 - (1 � i) －n 也可表示为(P/A,i,n)称为“年金现值系数” ，亦可通过“年金现值系数表”确 i
【 新授 【 2 课时 【
】
】
】 年金概念之前，学生从未接触过，对此应引导学生充分理解，在学生熟练掌握复利终值与现值的
基础上，讲授本节课时只要运用学生已学过的等比数列求和公式，对复利终值与现值求和，即可得到 年金的终值与现值的计算公式，这样做不仅可以简化本节课的重难点部分，而且可以促进学生的思维 开发。 【 】