高斯求积公式

常用的高斯求积公式
1.Gauss - Legendre 求积公式
1
∫
−1
f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
k =1
n
(1)
其中高斯点为Legendre多项式的零点
1 d n ( x2 −1)n • n 2 n! dxn
Ln(x)=
对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成 ，用线性变换 对于一般有限区间 使它变成 为[-1,1]。 。
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
∫
令I=
1
0
sin x dx x
∫
1
0
sin x dx x
各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831
事实上,取 2n次多项式 次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有 次多项式 左=
∫
b
a
ρ( x)g( x)dx > o
右=
∑ A g( x )=0
k =1 k k n
n
左≠右,故不成立等式,定理得证. 定义: 定义 使求积公式
∫
b
a
ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
定理: 定理 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
f (2n) (η) b 2 Rn = ∫a ρ(x)wn (x)dx (2n)!
其中η∈(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数A 恒为正,故高斯求积公式是稳定的 故高斯求积公式是稳定的. 高斯求积公式的系数 k恒为正 故高斯求积公式是稳定的 Guass求积公式有多种 他们的 求积公式有多种,他们的 系数A 求积公式有多种 他们的Guass点xk, Guass系数 k 点 系数 都有表可以查询. 都有表可以查询
∫
1
f ( x) 1− x
2
−1
dx ≈ ∑ A f ( xk ) k
k =1
n
(2)
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
Tn(x)=cos(narccos(x))
( 2 k − 1)π x k = cos 2n , Ak =
π
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
∫
∞
二:用复化梯形公式 用复化梯形公式
令h=1/8=0.125
sin x h ∫0 x dx ≈ 2 { f (0) + 2[ f (h) + L + f (7h)] + f (1)} = 0.94569086
1
三：用复化抛物线
令h=1/8=0.125
sin x h dx ≈ { f (0) + 4[ f (h) +L+ f (7h)] + 2[ f (2h) +L+ f (6h)] + f (1)} = 0.946083305 ∫0 x 3
高斯求积公式
引言 求积公式 高斯求积公式的系数和余项 举例
引言
n+1个节点的插值求积公式 个节点的插值求积公式
∫
b
a
f ( x)dx = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
的代数精确度不低于n求积公式 能不能在区间 的代数精确度不低于 求积公式,能不能在区间 求积公式 能不能在区间[a,b]上适当选 上适当选 个节点x 使插值求积公式的代数精度高于 择n个节点 1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于 ？ 个节点 使插值求积公式的代数精度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点， 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到 2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。 ，这就是所要介绍的高斯求积公式。 为考虑一般性,设求积公式为 为考虑一般性 设求积公式为
I =
∫
1 −1
sin( t + 1 ) / 2 dt t + 1
1 1 sin ( − 0 .5773503 + 1) sin ( 0 .5773503 + 1) 2 2 I ≈ + = 0 .9460411 − 0 . 5773503 + 1 0 .5773503 + 1
个节点的Gauss公式 用3个节点的 个节点的 公式
∫
b
a
ρ( x) f ( x)dx = ∑ Ak f ( xk )
k =1
n
ρ( x) ≥ 0 是权函数
注意此时的代数精度最高为2n-1 注意此时的代数精度最高为
（一）定理： 定理：
求积公式 超2n-1次。 次
∫
b
a
ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 的代数精度最高不
k =1
1 f (6) (η) 15750
f (8) (η) 3472875
f (η) 1237732650
(10)
例题利用高斯求积公式计算
［解］令x=1/2 (1+t), 则 1 dx 1 dt I =∫ =∫ −1 3 + t 0 1+ x 用高斯-Legendre求积公式计算 求积公式计算.取n=5 求积公式计算
1
四、 Romberg公式 公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
五、Gauss公式 公式 令x=(t+1)/2, 个节点的Gauss公式 用2个节点的 个节点的 公式
k =1
达到最高代数精度2n-1的求积公式称为 的求积公式称为Guass求积公式 达到最高代数精度 的求积公式称为 求积公式 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数 系数. 点 系数 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论:插值型求积公式的代数精度d满足 结论 插值型求积公式的代数精度 满足：n-1≤ d≤2n-1 插值型求积公式的代数精度 满足： ≤ ≤
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
1 sin (0.7745907 + 1) 2 I ≈ 0.5555556 × 0.7745907 + 1
sin
1 2 + 0.8888889 × 0 +1 sin
+ 0 . 5555556
×
1 ( 0 . 7745907 + 1) 2 0 . 7745907 +1
=0.9460831
比较
此例题的精确值为0.9460831... 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当 n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有 2 6位有效数字。 用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049 个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到 同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。
n
1 2
xk(n)
0 -0.5773503 +0.5773503
Ak(n)
2 1 1
Rn
1 f "( ) η 3 1 f ( 4) ( ) η 135
Gauss- Legendre 点 及 系 数 表
3
-0.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693源自文库0.4786287 +0.9061799 0.2369269
dx ∫ 1+ x 0
1
1 1 1 (5) (5) I ≈A + A2 +L+ A5 (5) (5) (5) 3 + t1 3 + t2 3 + t5
(5) 1
≈ 0.69314719L
积分精确值为 I=ln2=0.69314718… 由此可见，高斯公式精确度是很高的
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
0
e f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
−x k =1
n
(3)
4 .Gauss - Hermite 求积公式
∫
+∞ −
−∞
e x f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
k =1
2
n
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分 并做比较 例题 分别用不同方法计算如下积分,并做比较 分别用不同方法计算如下积分