微积分 数列的极限

定义
如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),
总存 在正数 N, 使得 对于 n>N 时的一 切 xn , 不 |xn−a|<ε等式都成立,那末就称常数 a 是数列 xn 的 极限,或者称数列 xn 收敛于 a,记为
lim x n = a , 或 x n → a ( n → ∞ ).
n→ ∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注 1.用ε 和 xn − a < ε 刻划xn与a任意接近; 意： 2. 用N和n>N 描述n→∞ 3. N和小正数ε 有关系
∃N ∈ N , ∀n > N , ∋| xn − a |< a / 2
从而 xn > a − a / 2 = a / 2 > 0 .
推论
如果数列{xn}从某项开始有 xn≥0(≤0)， lim xn = a 那么 a ≥ 0(≤ 0).
n →∞
注 意 ： 推 论 中 ≥(≤) 不 能 改 为 ”=”, 如 对 任 意 n∈N, 1/ n > 0 , 而
第一章 数列极限与数项级数
第一节 数列的极限
• • • • • •
数列的定义 数列的极限 数列极限的性质 收敛数列的四则运算 收敛数列的判别法 子数列的收敛性
一、数列的定义
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
LL
LL
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
则当n > N时有 a − b = ( x n − b ) − ( x n − a )
≤ x n − b + x n − a < ε + ε = 2ε .
上式仅当 a = b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一.
例
证明数列 x n = ( −1) n + 1 是发散的.
1 x n = a , 由定义, 对于ε = , 证 设 lim n→ ∞ 2 1 则∃N , 使得当n > N时, 有 x n − a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a − , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, − 1两个数 ,
问题: 当n无限增大时, xn是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: ( −1)n−1 当 n 无限增大时 , xn = 1 + 无限接近于 1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. Q xn − 1 = ( −1)
n −1
1 1 = n n
n
n = [1 + ( n n − 1)]n
∴ 0 < n −1<
n
2 n
∴ lim n n = 1
n→ ∞
三、数列极限的性质
1、唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限. 由定义,
x n = a , 又 lim x n = b, 证 设 lim n→ ∞ n→ ∞
∀ε > 0, ∃N 1 , N 2 .使得 当n > N 1时恒有 x n − a < ε ; 当n > N 2时恒有 x n − b < ε; 取N = max{N 1 , N 2 },
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
lim(1/ n) 2 = 0
n →∞
四、收敛数列的四则运算
定理4
设 lim xn = a , lim yn = b ,则
n →∞ n →∞
(1) lim( xn ± yn ) = a ± b
n →∞
(2) lim xn g yn = ab
n →∞
证明略
概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
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二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
n + ( −1) 例1 证明 lim = 1. n→ ∞ n 1 n + ( −1) n −1 −1 = 证 xn − 1 = n n
1 1 任给 ε > 0, 要 x n − 1 < ε , 只要 < ε, 或n > , n ε 1 所以, 取N = [ ], 则当 n > N时, ε
S
1,−1,1,L , ( −1) n + 1 ,L;
{( −1) n −1 }
1 4 n + ( −1) 2, , , L , 2 3 n
n −1
,L;
n + ( −1) { n
n −1
}
3 , 3 + 3 ,L , 3 + 3 + L + 3 , L
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注 意： 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,L , x n ,L .
当n<N,都有 | n a − 1 |= n a − 1 < ε
n lim a = 1(0 < a < 1) 即 n →∞
综上讨论，有
lim n a = 1(a > 0)
n →∞
思考题
证明
证明 lim n n = 1．
n→ ∞
∀n > 1, n n − 1 > 0, 有不等式 n( n − 1) n = 1 + n( n − 1) + ( n − 1)2 + ... + ( n n − 1)n 2 n( n − 1) n > 1+ ( n − 1)2 2
n −1
n + ( −1) n−1 就有 −1 < ε n
n + ( −1) n −1 即 lim = 1. n→ ∞ n
例2 设x n ≡ C (C为常数 ), 证明 lim x n = C .
n→ ∞
证 任给 ε > 0 , 对于一切自然数 n , xn − C = C − C = 0 < ε成立 ,
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
二、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
一、概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
则对一切自然数 n,皆有 x n ≤ M , 故{x n }有界 .
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
定理3(保号性)
如果 lim xn = a > 0(< 0) ，那么 ∃N ∈ N , ∀n > N , ∋ xn > 0(< 0)
n →∞
证明：根据数列极限的定义，对ε=a/2>0，
ε − N定义 :
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n > N , s.t. xn − a < ε .
n →∞
几何解释:
a−ε
2ε
a
a+ε
x 2 x1 x N + 1
x N + 2 x3
x
当n > N时, 所有的点 x n 都落在 (a − ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上 , { x n }是有界的, 但却发散 .