二次函数应用最值问题
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x12 x22的最小值。
解x:由12 韦 达x22定=(理x1＋得x：2)x21－＋2x2x＝1•x22k＝，4kx21－•x22＝(22kk－－11) ＝4k2－4k＋2
＝4(k－ 1 )2＋1
∴ 当k＝ 1
2
时，
x12
x
2 2
有最小值，最小值为１
2
next
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
（A）0 （B）1 （C）2
（D）4
2、如图,直线y=x+2与x轴相交于点A,与y轴相交
于点B,AB⊥BC,且点C在x轴上,若抛物线y=a2 x +bx+c 以C 为顶点，且经过点B，则抛物线的解析式为 y= 12（x-2）2
y
B
AO C x
二次函数y=ax 2+bx+c的图象的一部分如图所示， 已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和 点B（0，1）。（04杭州）
(2)当x＝
b 2a
3 时，S最大值＝
4ac b2 4a
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出 一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入 资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的 成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为 100元时,一年的销售量为20万件;销售单价每增加 10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x （元），年销售量为y（万件），年获利（年获利 =处销售额－生产成本－投资）为z（万元）。
当P在线段AB上时
S△PCQ＝
1
CQ•PB =
1
AP•PB
=
2
2
1 x(2 x) 2
即S＝ 1 x2 x 2
(0<x<2）
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
1 2
CQ • PB
1 x(x 2) 2
即S＝ 1 x2 x 2
(x>2）
A
Q
D C
P B
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
-1＜a＜0
（2）设此二次函数的图象 与x轴的另一个交点为C， 当△AMC的面积为△ABC 的 5 倍时，求a的值。
4
y
1B
A
O1
x
某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在 对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种 蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方 面的信息。如图甲、图乙（注：两图中的每个实心黑点所对应 的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低， 图甲的图象是线段，图乙的图象是抛物线）。请你根据图象提 供的信息说明：
中考复习专题
二次函数的应用
已知二次函数y= ax2＋bx+c的图象如图所示， 且OA=OC，由抛物线的特征请尽量多地写出一些 含有a、b、c三个字母的等式或不等式：
y
o
-1 A
1B x
C
-1
1、 在平面直角坐标系中，有一个二次函数 的图象交 x 轴于（-4，0），（2，0）两点， 现将此二次函数图象向右移动 h 个单位，再 向上移动 k 个单位，发现新的二次函数图象与 x轴相交于（-1，0），（3，0）两点，则h的 值为（ C ）
有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天， 如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数 量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。 现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养 在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，此后每 千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各 种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定 死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
y 240
(10 t 20)
7t 380
(20 t 40)
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何 时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能 持续多少分钟？
（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好， 要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师 能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
例 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教
师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初
步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状
态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学
生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）
t 2 24t 100(0 t 10)
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系 式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销 售总额为Q元，写出Q与x的函数关系式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润 ＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多少？
例2:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两
点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运
动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
动画
演示
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
∴AP=CQ=x
（ 定 不 像（ 并 为 件的说4低说 多？3））销明于明 少公计售，1同元1司算3单第样？0计销万价二的相划售元，年年应：单，进的获 的在价请行销利 年第为你销售， 销一1借售单销 售6年0助；价售 量元按函第x单 分时年（数二价 别的获元的年还为年利）大年可多获最，致获以少利大应图利定万，确确 定在什么范围。
① 1 x 2 x＝２ 2
此方程无解
② 1 x2 x ＝２ 2
x2 2x 4 0
∴ x1=1+ 5 , x2=1－ 5 (舍去)
∴当AP长为1+ 5 时，S△PCQ＝S△ABC
A
Q
D C
P B
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
B
C
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益= 售价—成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？请说明理由。
甲 每
千5
●
克
售
价3
●
（
元
）
O 1 2 3 4 5 67 月
每6
乙
千5
克 成
4
●
本3
（2
wenku.baidu.com元 ）
1
●
O 1 2 34 5 6 7 月
练习2、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面 积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm
∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm
答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
练习3、已知x1、x2是一元二次方程x2－2kx＋2k－1＝0的两根，求
解x:由12 韦 达x22定=(理x1＋得x：2)x21－＋2x2x＝1•x22k＝，4kx21－•x22＝(22kk－－11) ＝4k2－4k＋2
＝4(k－ 1 )2＋1
∴ 当k＝ 1
2
时，
x12
x
2 2
有最小值，最小值为１
2
next
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
（A）0 （B）1 （C）2
（D）4
2、如图,直线y=x+2与x轴相交于点A,与y轴相交
于点B,AB⊥BC,且点C在x轴上,若抛物线y=a2 x +bx+c 以C 为顶点，且经过点B，则抛物线的解析式为 y= 12（x-2）2
y
B
AO C x
二次函数y=ax 2+bx+c的图象的一部分如图所示， 已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和 点B（0，1）。（04杭州）
(2)当x＝
b 2a
3 时，S最大值＝
4ac b2 4a
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出 一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入 资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的 成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为 100元时,一年的销售量为20万件;销售单价每增加 10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x （元），年销售量为y（万件），年获利（年获利 =处销售额－生产成本－投资）为z（万元）。
当P在线段AB上时
S△PCQ＝
1
CQ•PB =
1
AP•PB
=
2
2
1 x(2 x) 2
即S＝ 1 x2 x 2
(0<x<2）
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
1 2
CQ • PB
1 x(x 2) 2
即S＝ 1 x2 x 2
(x>2）
A
Q
D C
P B
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
-1＜a＜0
（2）设此二次函数的图象 与x轴的另一个交点为C， 当△AMC的面积为△ABC 的 5 倍时，求a的值。
4
y
1B
A
O1
x
某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在 对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种 蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方 面的信息。如图甲、图乙（注：两图中的每个实心黑点所对应 的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低， 图甲的图象是线段，图乙的图象是抛物线）。请你根据图象提 供的信息说明：
中考复习专题
二次函数的应用
已知二次函数y= ax2＋bx+c的图象如图所示， 且OA=OC，由抛物线的特征请尽量多地写出一些 含有a、b、c三个字母的等式或不等式：
y
o
-1 A
1B x
C
-1
1、 在平面直角坐标系中，有一个二次函数 的图象交 x 轴于（-4，0），（2，0）两点， 现将此二次函数图象向右移动 h 个单位，再 向上移动 k 个单位，发现新的二次函数图象与 x轴相交于（-1，0），（3，0）两点，则h的 值为（ C ）
有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天， 如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数 量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。 现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养 在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，此后每 千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各 种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定 死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
y 240
(10 t 20)
7t 380
(20 t 40)
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何 时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能 持续多少分钟？
（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好， 要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师 能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
例 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教
师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初
步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状
态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学
生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）
t 2 24t 100(0 t 10)
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系 式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销 售总额为Q元，写出Q与x的函数关系式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润 ＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多少？
例2:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两
点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运
动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
动画
演示
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
∴AP=CQ=x
（ 定 不 像（ 并 为 件的说4低说 多？3））销明于明 少公计售，1同元1司算3单第样？0计销万价二的相划售元，年年应：单，进的获 的在价请行销利 年第为你销售， 销一1借售单销 售6年0助；价售 量元按函第x单 分时年（数二价 别的获元的年还为年利）大年可多获最，致获以少利大应图利定万，确确 定在什么范围。
① 1 x 2 x＝２ 2
此方程无解
② 1 x2 x ＝２ 2
x2 2x 4 0
∴ x1=1+ 5 , x2=1－ 5 (舍去)
∴当AP长为1+ 5 时，S△PCQ＝S△ABC
A
Q
D C
P B
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
B
C
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益= 售价—成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？请说明理由。
甲 每
千5
●
克
售
价3
●
（
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）
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乙
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4
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（2
wenku.baidu.com元 ）
1
●
O 1 2 34 5 6 7 月
练习2、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面 积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm
∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm
答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
练习3、已知x1、x2是一元二次方程x2－2kx＋2k－1＝0的两根，求