2013年江苏高考数学试卷解析版
2013年江苏省高考数学试卷加详细解析
2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为_________．2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为_________．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为_________．4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有_________个子集．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_________．，结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_________．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_________．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F ﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=_________．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是_________．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为_________．11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为_________．12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为_________．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_________．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 和BC 分别与圆O相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC=2OC 。
2013江苏省高考数学真题(含答案)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1.函数y 3sin （2x）的最小正周期为 ______________ 42•设z （2 i ）2 （i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________________2 23 .双曲线-— 1的两条渐近线的方程为169（第5题）6 •抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5此训练成绩（单位：环），结果如运动员 第一次 第二次 第三次 第四次第五次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892方差为：S2 2 2 2 2(89 90) (90 90)(91 90)(88 90) (92 90)25.7•现在某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m , n （ m 7 , n 9）可以任意选取，则m , n都取到奇数的概率为 ______________ .8 .如图，在三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，D , E , F 分别是AB , AC , AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V ，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积为 V 2，则 V , :V 2 __________9 •抛物线y x 2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D （包含三角形内部和边界）•若4 .集合｛ 1,0,1｝共有 ____________ 个子集.5•右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 _____________点P（x, y）是区域D内的任意一点，贝U x 2y的取值范围是________10•设D , E 分别是 ABC 的边AB , BC 上的点,集用区间表示为16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面SBC ，AB BC ，AS AB ，过A 作AF SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点•求证：(1) 平面EFG//平面ABC ； (2)BC SA .若 DE 1AB 2AC (2为实数)，则12的值为11.已知f (x)是定义在R 上的奇函数。
2013年江苏省高考数学试卷及解析
2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为、2、（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为、3、（5分）双曲线的两条渐近线方程为、4、（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集、5、（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为、6、（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为、7、（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为、8、（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=、9、（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）、若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是、10、（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为、11、（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数、当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为、13、（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为、14、（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为、二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π、（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值、16、（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点、求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA、17、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上、（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围、18、（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min、在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和、记b n=，n∈N*，其中c为实数、（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0、20、（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数、（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答、若多做，则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21、（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC、求证：AC=2AD、B、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22、（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B、C、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C 的参数方程为（t为参数）、试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标、D、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24、已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、第25题、第26题，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点、（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、26、（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，、记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）、对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数、2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、（5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π、分析：将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期、解答：解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题、2、（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5、分析：把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算、解答：解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i、所以，|z|==5、故答案为5、点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题、3、（5分）双曲线的两条渐近线方程为、分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程、解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想4、（5分）集合{﹣1，0，1}共有8个子集、分析：集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集、解答：解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个、故答案为：8、点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M 中有n个元素，则集合M的子集共有2n个、5、（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5、分析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案、解答：解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5、点评：本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行、6、（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2、分析：直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求、解答：解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，、方差=4、=2、所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2、故答案为2、点评：本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题、7、（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为、分析：求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解、解答：解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法、m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种、所以m，n都取到奇数的概率为、故答案为、点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题、8、（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= 1：24、分析：由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值、解答：解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍、即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍、所以V1：V2==1：24、故答案为1：24、点评：本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题、9、（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）、若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，] 、分析：利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求、解答：解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1、令z=x+2y，则、画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2、过点（）时，、故答案为、点评：本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题、10、（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为、分析：由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可、解答：解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题、11、（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数、当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）、分析：作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集、解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）、故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为、分析：根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率、解答：解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得、∴e==、故答案为：、点评：本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法、13、（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或、分析：设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值、解答：解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=、综上可知：a=﹣1或、故答案为﹣1或、点评：本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力、14、（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为12、分析：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案、解答：解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6、记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=、由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12、故答案为：12点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题、二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π、（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值、分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值、解答：解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0、所以、即；（2）由得，①2+②2得：、因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π、所以，，代入②得：、因为、所以、所以，、点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题、16、（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点、求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA、分析：（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点、从而得到△SAB 和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC 且EG∥平面ABC、因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC、结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA、解答：解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点、∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC、∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB、∴AF⊥平面SBC、又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC、∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB、又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA、点评：本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题、17、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上、（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围、分析：（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论、解答：解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）、∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤、点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题、18、（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min、在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分析：（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围、解答：解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m、所以索道AB的长为1040m、（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短、（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C、设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内、点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型、19、（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和、记b n=，n∈N*，其中c为实数、（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0、分析：（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0、解答：证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，、当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a、因此：，，、故：（k，n∈N*）、（2）==、①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型、观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0、经检验，当c=0时{b n}是等差数列、点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题、20、（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数、（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论、分析：（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数、解答：解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）、∴a≥1、令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna、当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0、又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e、故a的取值范围为：a＞e、（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜、结合上述两种情况，有、①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点、另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点、③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=、当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1、（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点、另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点、下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0、为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2、设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2、当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点、又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点、综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2、点评：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答、若多做，则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21、（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC、求证：AC=2AD、分析：证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论、解答：证明：连接OD、因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD、所以AC=2AD、点评：本题考查圆的切线，考查三角形相似的判定与性质，比较基础、B、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22、（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B、分析：设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论、解答：解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==、点评：本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题、C、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）、试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标、分析：运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标、解答：解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0、曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），、点评：本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查了转化能力，属于基础题、D、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24、已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、分析：直接利用作差法，然后分析证明即可、解答：证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、点评：本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查逻辑推理能力、第25题、第26题，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点、（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值、（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为、（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==、∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为、点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用、26、（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，、记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）、对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数、分析：（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；=﹣i（2i+1）（i∈N*）、再结合定义，运用等差（2）运用数学归纳法证明S i（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求、解答：解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）、事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）、综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）、于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）、由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数、又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008点评：本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力，以及运用数学归纳法的推理论证能力，有一定的难度。
2013年江苏高考数学试题及答案解析版1_(word版)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
．6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．63208．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．1：249．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．[—2，12 ]10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．1211．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．3313．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所值为 ．1或1014．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ．12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 解：（1）a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0，所以，b a ⊥． （2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．所以，α－β＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin(π32＋β)＋sin β＝23cosβ＋12 sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π． 所以，α＝65π，β＝6π．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ；（2）SA BC ⊥． 证：（1）因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ， 所以F 为SB 的中点． 又E ，G 分别为SA ，SC 的中点， 所以，EF ∥AB ，EG ∥AC ．又AB ∩AC ＝A ，AB ⊂面SBC ，AC ⊂面ABC ， 所以，平面//EFG 平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ．所以，AF ⊥平面SBC ．又BC ⊂平面SBC ， 所以，AF ⊥BC ．又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB ．又SA ⊂平面SAB ， 所以，SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；A BSG F E（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围．解：（1）联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C (3，2)．设切线为：3+=kx y ，d ＝11|233|2==+-+r k k ，得：430-==k or k ．故所求切线为：343+-==x y or y ．（2）设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(22=++y x ，即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ．解之得：0≤a ≤125 ．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word版)
2013 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学 Ⅰ 注意事项绝密 ★启用前考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4 页，均为非选择题 （第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为160 分.考试时间为 120分钟 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 .2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点 .3．请仔细查对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4．作答试题一定用 5．如需作图，须用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.在其余地点作答一律无效.一、填空题：本大题共 14 小题，每题5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．.1.函数 y3sin(2x) 的最小正周期为 ▲.4分析： T=2=22.设 z (2 i)2 (i 为虚数单位 )，则复数 z 的模为▲.分析： Z 3 4i , Z 3224 =53.双曲线x 2y 2 的两条渐近线的方程为▲.1619 分析： y=3 x44.会合1,0,1 共有▲个子集 .开始分析： 238 （个）n1， a2n n 15.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲a 20Ya 3a 2分析：经过了两次循环， n 值变成 3N输出 n结束（第 5题）6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的 5 次训练成绩 (单位：环 )，结果以下：运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳固(方差较小 )的那位运动员成绩的方差为▲.解析：易知均值都是90，乙方差较小，s2 1nn21 2 2 2 2 2x x 92 9089 90 90 90 91 90 88 90 2i5i 17.现有某类病毒记作X m Y n，此中正整数m,n(m 7, n 9) 能够随意选用，则m, n 都取到奇数的概率为▲.分析：m 能够取的值有：1,2,3,4,5,6,7 共7 个n 能够取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9 共 9 个因此总合有 7 9 63 种可能切合题意的 m 能够取1,3,5,7 共 4 个切合题意的 n 能够取1,3,5,7,9共 5 个因此总合有 4 5 20 种可能切合题意因此切合题意的概率为20638.如图，在三棱柱A1 B1C1 ABC 中，D , E, F分别是 AB, AC, AA1的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1 B1C1 ABC 的体积为 V2，则 V1 :V2 ▲.分析：V1 1S ADE h1 11S ABC1h21V2 C13 34 2 24B1因此 V1 :V2 124 A1F CE BA D。
2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版,推荐文档
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 （江苏卷）数学I 试题、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.n1 • （2013江苏，1）函数y 3sin 2x —的最小正周期为 _______________ •42. （2013江苏，2）设z = （2 — i ） 2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________ •2 23. （2013江苏，3）双曲线 — 乞=1的两条渐近线的方程为16 94. _________________________________________ （2013江苏，4）集合｛ — 1,0,1｝共有 ___________________________________________ 个子集.5.（2013江苏，5）下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ___________ .6. （2013江苏，6）抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩（单位：环）, 结果如下：7. （2013江苏，7）现有某类病毒记作 ，其中正整数 m , n （mc 乙n w 9）可以任意选取，则 m , n 都 取到奇数的概率为 ____________ .8. __________________________________________________________ （2013江苏，8）如图，在三棱柱 ABC — ABC 中, D, E, F 分别是AB, AQ AA 的中点，设三棱锥F —ADE 的体积为 V ,三棱柱 ABC — ABC 勺体积为 V 2,贝U V : \2= __________________ .9. （2013江苏，9）抛物线y = x 2在x = 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点P （x , y ）是区域D 内的任意一点，贝U x + 2y 的取值范围是 __________ .运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲87 91 90 8993 乙8990918892工N-1a-2则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ____________x 的解集用区间表示为 _____________ . ■^2 =1 （a > 0, b > 0），右 b焦点为F,右准线为I ，短轴的一个端点为 B 设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到I 的距离为d 2.若d 2 . 6d 1 ,则椭圆C 的离心率为 ____________ .一 113. （2013江苏，13）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点A （a , a ）, P 是函数y （x >0）图象上一动x10. （2013江苏，10）设D, E 分别是△ ABC 的边 AB BC 上的点,ujur uuu DE 1AB 11. （2013 江苏，11）已知 f （x ）UULT 2AC （入1,入2为实数），则 是定义在AD 」AB , BE=-BC .若2 3入 1 +入2的值为 __________ .R 上的奇函数，当x >0时，f （x ） = x 2 — 4x ，则不等式f （x ） > 2x xOy 中，椭圆C 的标准方程为 —a12. （2013江苏，12）在平面直角坐标系点•若点P, A之间的最短距离为2罷，则满足条件的实数a的所有值为 __________ .114. （2013江苏，14）在正项等比数列｛a n｝中，a5, a6 + a?= 3.则满足a i + a? +•••+a n>a©…a n的2最大正整数n的值为____________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （2013 江苏，15）（本小题满分14 分）已知a= （cos a, sin a ）, b= （cos 卩，sin 卩）,0 v 卩V a Vn.（1）若| a-b| =72，求证：a±b;（2）设c= （0,1），若a-b= c,求 a ,卩的值.16. （2013江苏，16）（本小题满分14分）如图，在三棱锥S- ABC中，平面SABL平面SBC AB± BC AS= AB过A作AF丄SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA SC的中点. 求证：（1）平面EFG/平面ABC （2）BCL SAC17. (2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)设圆C的半径为1，圆心在I上.(1) 若圆心C也在直线y= x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M使MA F 2MO求圆心C的横坐标a的取值范围.18. (2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径•一种是从A沿直线步行到C另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC12 3长为 1 260 m，经测量，cos A= , cos C=-.13 5(1) 求索道AB的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过19. (2013江苏，19)(本小题满分16分)设｛刘是首项为a,公差为d的等差数列(d^0) ,S是其前n项和.记b n,n€ N*，其中c为实数.n c(1)若c= 0,且b1, b, b4成等比数列，证明：$k= n2$(k, n€N*)；⑵若｛b n｝是等差数列，证明：c= 0.20. (2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x) = ln x—ax, g(x) = e x-ax，其中a为实数.(1)若f (x)在(1 ,+s)上是单调减函数，且g(x)在(1 ,+^)上有最小值，求a的取值范围；⑵若g(x)在(—1 ,+8)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的结论.数学n （附加题）【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则 按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. （2013江苏，21）A .［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分） 如图，AB 和 BC 分别与圆O 相切于点D, C, AC 经过圆心 Q 且BC= 2OC3 3 2 2B.［选修4— 2 :矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵A =1 0,B =0 2，求矩阵 A —1B .C . ［ 选修 4— 4:坐标系与参数方程 ］（ 本小题满分x t 1, x'（t 为参数），曲线C 的参数方程为y 2ty10分）在平面直角坐标系 xQy 中，直线I 的参数方程为2tan 22tan（e 为参数）.试求直线I 和曲线C 的普通方程,D.［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）已知a>b>0，求证：2a—b >2ab —a b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区 说明、证明过程或演算步骤.22. （2013江苏，22）（本小题满分10分）如图，在直三棱柱 点D 是BC 的中点.（1） 求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值；（2） 求平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值.23. (2013 江苏，23)(本小题满分 10 分)设数列{a n } : 1,— 2, — 2,3,3,3 , — 4,— 4, — 4, — 4，…，6 4 4 4 7个 4 4 48 k k (1)k 1k,L ,( 1)k 1k ，…，即当 ------------ n -------------- (k € N *)时，a n = ( — 1)k — 1k .记 S= a 1+ a 2+-+ a n ( n2 2 € N).对于I € N ,定义集合 R = {n |S 是a n 的整数倍，n €N *,且1< n w l }.(1) 求集合P 11中元素的个数； (2) 求集合P 2 000中元素的个数.域内作答，解答时应写出文字ABC — ABC 中,2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷）数学I试题、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.解析：|z| =1(2 —i) 2| = |4 —4i + i2| = |3 —4i| = , 32 4 2 5 = 5.33.答案：y —x4解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为4.答案：8解析：由于集合｛—1,0,1｝有3个兀素，故其子集个数为23= 8.5.答案：3解析：第一次循环后：a—8, n^2；第二次循环后：a—26, n—3;由于26> 20,跳出循环, 输出n= 3.6.答案：2解析：由题中数据可得x甲=90 , x乙=90 .2 1 2 2 2 2 2 2 1 2于是S甲= — [(87 —90) + (91 —90) + (90 —90) + (89 —90) + (93 —90) ] = 4, s乙=—[(89 —90) + (90 552 2 2 2—90) + (91 —90) + (88 —90) + (92 —90) ] = 2,2 2由S甲>S z，可知乙运动员成绩稳定.故应填 2.解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m n：若m= 1时，n可取1,2,3，…，9,共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m n的取值情况共有7X 9= 63种.若m, n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7 , n的取值为1,3,5,7,9&答案：1 : 24解由题意可知点F到面ABC勺距离与点A到面ABC勺距离之比为1 : 2 , S MDE：S MBC= 1 : 4.2AF SABC1 9.答案：2,丄2解析：由题意可知抛物线y= x2在x= 1处的切线方程为y= 2x— 1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴解析：函数y 3sin 2x 2.答案：5n的最小正周期T42 n—— n.7.答案: 2063,因此满足条件的情形有4X 5= 20种.故所求概率为20 63因此V : V2= £A F S AED3=1 : 24.影部分所示:1 1当直线x + 2y = 0平移到过点 A —,o 时，x + 2y 取得最大值—.2 2当直线x + 2y = 0平移到过点B (0，- 1)时，x + 2y 取得最小值—2.1因此所求的x + 2y 的取值范围为2寸1 uuu2 uuur uuu ABAC 1 AB 6 31 故入1 +入2=.2uuur122AC— e ，入2=11.答案：(—5,0) U (5 ,+^)2x 4x,x 0,解析：•函数f (x )为奇函数，且 x > 0时，f (x ) = x — 4x ，贝U f (x )=0,x 0, •••原不等式等价于2x4x, x 0,110.答案：一 2 解析：由题意作图如图. uuur uuur •••在△ ABC 中, DE DB uuu 1 uuu 2 uuuBE - AB BC 2 31 uuu2 UULT 2AB严uuuAB)x 0, 或 x 0,2或 2x 4x x, x 4x x, 由此可解得x > 5或一5v x v 0. 故应填(—5,0) U (5 ,+s ).12.答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为 c ,由题意可设直线 BF 的方程为- 结合题意可知 (1)当 a w 2, t = 2 时，I PA 2取得最小值.此时(2 — a )2 + a 2— 2 = 8,解得a =— 1, a = 3(舍去).⑵ 当a > 2, t = a 时，|PA 2取得最小值.此时 a 2— 2= 8,解得a =、、10 , a = .10(舍去).故满足条件 的实数a 的所有值为,10 , — 1. 14. 答案：12解析：设正项等比数列｛a n ｝的公比为q ,则由 ，a 6 + a= a 5(q + q 2) = 3可得q = 2,于是a n = 2n —6,—(1 2n ) 1则 a ’+ a 2+・・・+ a n = 322n 5 —.1 2321门'a5— , q = 2 , 2.A2--a 6= 1, a 1a 11 =a 6 = 1.11.7I611.•- aa 2…an = 1.当 n 取 12 时，a 1 + a 2+ …+ a 12= 2 —> aa 2…a 11a 12= a 12= 2 成立；当 n 取 13 时，a 1+ a 232A8I6713+ …+ a 13= 2 —v a 1a 2…a 11a 12a 13= a 12a 13= 2 ・2 = 2 .当 n > 13 时，随着 n 增大 a 1+ a 2+・・・+ &将恒小于32…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.、. 2 2 2 215. (1)证明：由题意得 |a — b | = 2，即(a — b ) = a — 2a ・b + b = 2.y=1，即bx + cy — bc = 0.于是可知 bd ibc一 b2c 2竺，d 2a2 2 2 ,2a a cb ccc cd 2一 6d i ，-业，即ab 飞c 2. c a3•- e3 .13. 答案：—1, 0解析1 :设P 点的坐标为 x,-，贝UxI PA22 21 2 1 =(x a)a = x2xx1 2a x -x1=2a 2.令 t x 2，则 |PA 2= t 2— 2at + 2a 2— 2 x22 2 4 4 2 21••• a (a — c ) = 6c . /• 6e + e — 1= 0. /• e =.2 2=(t — a ) + a — 2 (t >2).又因为a2= b2= |a| 2= |b| 2= 1, 所以 2 —2a -b = 2,即a -b = 0.故a丄b.⑵解: 因为3) = (0,1),所以cos cos 0, a + b = (cosa + cos (3 , sina + sinsinsin1,由此得 cos a = cos( n — 卩).由0<3Vn :，得 0V n — 3Vn,又 0 V a Vn , 故a=n — 3 .代入 sina + sin=1,得 sina = sin 3 =1 而a >3 ,所以5 n,n26616•证明：⑴因为AS= AB AF 丄SB 垂足为F ,所以F 是SB 的中点•又因为 E 是SA 的中点，所以EF//AB因为EF]平面ABC AB 平面ABC 所以EF /平面ABC同理EG/平面ABC 又EF A EG= E , 所以平面EF(/平面ABC⑵因为平面 SABL 平面SBC 且交线为 SB 又AF 平面SAB AF 丄SB 所以AF 丄平面SBC 因为BC 平面SBC 所以AF 丄BC又因为 ABL BC , AF n AB= A, AF, AB 平面 SAB 所以 BCL 平面 SAB 因为SA 平面SAB 所以BC L SA17.解：(1)由题设，圆心C 是直线y = 2x — 4和y = x — 1的交点，解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y = kx + 3 , 由题意，1 3^11= 1,解得k = 0或3, 賦14故所求切线方程为 y = 3或3x + 4y — 12= 0.⑵ 因为圆心在直线 y = 2x — 4上，所以圆C 的方程为(x —a )2+ [y — 2(a — 2)] 2= 1. 设点Mx , y ),因为MA= 2MO 所以x 2 y 3 2 =2 x 2 y 2 ,化简得x 2+ y 2+ 2y — 3= 0,即 x 2+ (y + 1)2= 4,所以点 M 在以 Q0 , — 1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点 Mx , y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点，贝U |2 —1| w CDc 2+ 1, 即 1, a 2 2a 3 2 3.由 5a — 12a + 8>0,得 a € R ； , 2 / 冃 12 由 5a — 12a w 0,得 0w a w .5所以点C 的横坐标a 的取值范围为 18 .解：⑴在厶ABC 中 ,因为cosc 120,. 5 12A =二,13cos从而 sin B= sin[ n — (A + C )] = sin( A + C = sin35C =-,所以 sin A = 一 , 5 13 5 A DOS C + cos A sin C =—13sinC =仝512 4 13 563 65AR 由正弦定理倍- sin C匹，得ABsin BAC. c 1260 4 sinC= 1 040(m).sin B 6- 565所以索道AB 的长为 ⑵假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为 d ,此时，甲行走了 (100 + 50t ) m ,乙距离12所以由余弦定理得 d 2= (100 + 50t )2+ (130t )2-2X 130t X (100 + 50t ) X = 200(37 t 2- 70t + 50),131 040 m.A 处 130t m ,104035 因0W t w,即0W t w 8,故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.13037⑶由正弦定理-BC 竺，得BC=竺 sin A 譬 -=500(m).si nA sin B sinB 631365乙从B 出发时，甲已走了 50X (2 + 8 + 1) = 550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.1 20 .解：⑴令 f '(x )=-x—1,即f (x )在(a —1, +8)上是单调减函数.上是单调减函数， 故(1 , +8) x v ln a 时，g '(x ) v 0；当 x > In a 时，g '(x ) >0.又 g (x )在(1 , +m )上有最小值，所以 In a > 1，即 a > e.综上，有 a € (e , +8).⑵ 当a <0时，g (x )必为单调增函数；当 a >0时，令g '(x ) = e x — a >0，解得a v e x ，即卩x >In a . 因为g (x )在(—1, +8)上是单调增函数，类似 ⑴有In a w — 1，即0v a <e — 1. 结合上述两种情况，有 a we 1.1① 当a = 0时，由f ⑴=0以及f '(x ) =>0，得f (x )存在唯一的零点；x② 当a v 0时，由于f (e a ) = a — a e a = a (1 — e a ) v 0, f (1) =— a > 0，且函数f (x )在［e a,1］上的图象不间断, 所以f19. 证明：由题设，S nn(n na - 21)d . (1) 由c = 0,得b nS nn J a d .又因为b, b 2, b 4成等比数列，所以2n 2即d a - =a a 3d ，化简得d 2 __—2ad = 0.因为0,所以 d = 2a .22C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在 因此，对于所有的 肚N ,有S m = ma ._ * 2 2 2 2 从而对于所有的 k , n € N ,有 &= (n k ) a = nka = n S.,2b = bb .设乙步行的速度为 v m/min ，由题意得3 500710 503，解得125043625，所以为使两位游客在14竺，625(单位: 43 14 m/min)范围内.(2)设数列｛b n ｝的公差是d 1，则b n = b 1+ ( n — 1)d 1,即即2 n nS n理得，对于所有的 * 1 n € N ,有 d 1 -d 2 1 B = b 1 — d 1 — a + d ,2 t h d 1 a —=b + (n — 1)d 1, n € N ，代入S n 的表达式，整c1 2d n cd 1n = c (d 1 — b ).2D = c (d 1— b"，则对于所有的 n € N ,有 An 3 + Bn 2+ cdn = D.(*)n = 1,2,3,4，得 A + B + cd 1 = 8A + 4B + 2cd 1 = 27A + 9B + 3cd 1 = 64A + 16B + 4cd 1,7A 3B cd 1 0,①从而有19A 5B cd 1 0,②21A 5B cd 1 0,③由②，③得A =0, cd 1 = —5B,代入方程①, 得 即d 11d = 0, b 1 —d 1 — 1 -a + d = 0, cd ==0 22d = 0,与题设矛盾，所以d& 0.1 ax v 0,考虑到f (x )的定义域为(0,+s )，故a > 0,进而解得 x 同理，f (x )在(0 , a —1)上是单调增函数.由于f (x )在(1 , (a — 1, +m ),从而 a —1w 1,即 a > 1.令 g '( x ) = e x — a = 0, 得 x = In + ^) a .当 得 B = 0，从而 cd 1 = 0. 令 A = d 1〔d ,2 在(*)式中分别取 1 若 d 1= 0，则由 d 1 d = 0, 2又因为cd 1 = 0，所以c = 0.1(x)在(e a,1)上存在零点.另外，当x> 0时，f'(x) = - —a> 0，故f(x)在(0,+^)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.x③当0v a we —1时，令f'( x) = ——a= 0,解得x= a—-当0< x v a—1时，f '(x) > 0,当x>a—1时，f'(x)x—1 ——1< 0,所以，x = a是f (x)的最大值点，且最大值为f (a ) = —In a— 1. 当一In a— 1 = 0，即a= e—1时，f (x)有一个零点x = e.一1当一In a— 1 > 0，即0< a< e时，f (x)有两个零点.实际上，对于0 < a< e—1,由于f(e —1) =—1 —a e—1< 0, f (a—1) > 0，且函数f(x)在［e 一1, a—1］上的图象不—1 — 1 间断，所以f(x)在(e , a )上存在零点.另外，当x€ (0 , a—1)时，f ' (x) = 一—a> 0,故f(x)在(0 , a一1)上是单调增函数，所以 f (x)在(0 , a—1)x上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a一1,+^)上的情况.先证f(e a—1) = a(a—2—e a—1) < 0.为此，我们要证明：当x>e 时，e x>x2.设h(x) = e x—x2,则h' (x) = e x—2x，再设I (x) = h ' (x) = e x—2x, 则I ' (x) = e— 2.当x> 1 时，1' (x) = e x—2>e—2>0,所以I (x) = h' ( x)在(1 , +^)上是单调增函数.故当x>2 时，h ' ( x) x . , 2=e —2x > h (2) = e —4> 0,从而h(x)在(2 ,+s)上是单调增函数，进而当x>e时，h( x) = e x—x2> h(e) = e e—e2> 0.即当x > e 时，e x> x2.当0< a< e—1,即卩a—1> e 时，f (e a—1) = a—1—a e a—1= a(a—2—e a—1) < 0,又f ( a—1) > 0，且函数f( x)在［a一1,一一一一1e a一1］上的图象不间断，所以f (x)在(a一1, e a—1)上存在零点.又当x > a—1时，f' (x)= —a< 0,故f (x)x在(a—1,+g)上是单调减函数，所以f (x)在(a—1,+g)上只有一个零点. 综合①，②，③，当a<0或a=訂时，f (x)的零点个数为1, 当0 <a<e—1时，f(x)的零点个数为2.数学n (附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.证明：连结OD因为AB和BC分别与圆O相切于点D, C,所以/ AD(=Z ACB= 90°.又因为/ A=Z A,所以Rt △ AD® Rt△ ACB 所以BC JAC1 OD AD又BC= 2OC= 2OD 故AC= 2ADB.［选修4— 2:矩阵与变换］解：设矩阵A 的逆矩阵为 a bc d所以A —1B=线I 的普通方程为 同理得到曲线 C 的普通方程为y 2 = 2x .y 2x11联立方程组 %解得公共点的坐标为(2,2),丄，1 .y 2x,23322222222D.证明：2a — b — (2 ab — a b ) = 2a (a — b ) + b ( a — b ) = (a — b )(2 a + b ) = (a — b )( a + b )(2 a + b ). 因为a >b > 0,所以 a — b >0, a + b > 0,2 a + b >0,从而(a — b )( a + b )(2 a + b )》0，即卩 2a — b 》2ab — a b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区 域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ,则 A (0,0,0) , 02,0,0) , C (0,2,0), D (1,1,0) , A(0,0,4) , C (0,2,4),unr uuuu所以 A ] B = (2,0 , — 4) , G D = (1 , — 1 , — 4).uuir uuuuuur uuuD A I B C I D因为 cos 〈 AB , C 1D 〉= uuur||uuuu 「A B ||GD=18 3怖1 0 ab 1°,即 a b 0 1 2c 2d故 a =— 1, b = 0, c = 0,1，从而A 的逆矩阵为A 1 =2C.解：因为直线l 的参数方程为x = t +1, y = 2t（t 为参数），由 x =t + 1得t = x — 1,代入y = 2t ，得到直2x — y — 2 = 0.20 18 10 '所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为璧0.10uuir umu uuir uuun⑵设平面ADC的法向量为n i= (x,y,z)，因为AD = (1,1,0) , AC1= (0,2,4)，所以n i • AD = 0,n i • AC1=0，即卩x+ y= 0 且y+ 2z = 0,取z= 1，得x= 2, y=- 2,所以，m = (2 , - 2,1)是平面ADC的一个法向量.取平面AAB的一个法向量为n2= (0,1,0)，设平面ADC与平面ABA所成二面角的大小为0 .由|cos 0 | = 门1门 2 2—，得sin 0 = 2^.|门1 ||门2 | s/9 V1 3 3因此，平面ADC与平面ABA所成二面角的正弦值为.323.解：(1)由数列｛a n｝的定义得a1 = 1, a2=- 2, a3=- 2, a4= 3, a s = 3, a6 = 3, a?=—4, a8=- 4, a o =—4, a10=- 4 , an = 5,所以S= 1 , S2 =- 1, S3=-3 , S= 0 , S5= 3 , S6 = 6 , S= 2 , S3=- 2 , S o=- 6 , S o = - 10 , S11 = - 5 ,从而S= a1 , S= 0x a4 , S s= a s , S e= 2a6 , S1 = - an ,所以集合P1 中元素的个数为5.*(2)先证：S(2i+1)= - i (2i + 1)( i € N).事实上，①当i = 1时，S(2i +1) = S B=- 3, —i (2 i + 1) = - 3,故原等式成立；②假设i = m时成立,即Si(2m+1)= —m(2 m+ 1),贝V i = m+ 1 时，S(m+1)(2 m+3)= Sn<2m+1)+ (2 m+ 1) —(2 m+ 2)=—2n(2 1) -4m- 3=- (2 m+ 5m+ 3) =- (m+ 1)(2 m+ 3).综合①②可得S(2i +1) = —i (2 i + 1).于是S i +1)(2 i +1) = S(2i +1) + (2 i + 1) = —i (2 i + 1) + (2 i + 1) = (2 i + 1)( i + 1).由上可知S(2i +1)是2i + 1 的倍数,而a (2i +1)+j = 2i + 1( j = 1,2 ,…,2i + 1),所以S ⑵ +1)+j = S ⑵ +1)+ j (2 i + 1)是a i(2i+1)+j (j = 1,2 ,…,2i + 1)的倍数.又S(i+1)(2i+1) = (i + 1)(2 i + 1)不是2i + 2 的倍数,而a(i+1)(2i +1) + j = - (2i + 2)( j = 1,2 ,…,2i + 2),所以S(i+1)(2i +1) +j = S i+1)(2 i +1) - j (2 i + 2) = (2 i + 1)( i + 1) - j (2 i + 2)不是a(i +1)(2 i+1)+j(j = 1,2 ,…,2i + 2)的倍数,故当l = i (2i + 1)时,集合P中元素的个数为1+ 3 +… + (2i - 1) = i2,于是，当I = i(2i + 1) + j (1 < j W2i + 1)时，集合P 中元素的个数为i2+ j.又 2 000 = 31 X (2 X 31 + 1) + 47 ,故集合F2 000 中元素的个数为31 + 47= 1 008.。
2013年江苏数学高考试卷含答案和解析
2013年江苏数学高考试卷参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。
棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。
1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。
2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。
3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V = ▲ 。
9、抛物线2y x =在1x =处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892形内部与边界)。
若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ 。
10、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且12,23AD AB BE BC ==。
若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值为 ▲ 。
2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ．【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1ADE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
2013年江苏省高考数学试卷及解析
(1)求索道 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
1.函数 的最小正周期为▲.
解析：
2.设 (i为虚数单位)，则复数 的模为▲.
解析：
3.双曲线 的两条渐近线的方程为▲.
解析：
4. 集合 共有▲个子集.
解析： （个）
5.右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是▲
解析：经过了两次循环，n值变为3
6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
解不等式得到 的解集用区间表示为
12.在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为 ,右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 .若 ，则椭圆的离心率为▲.
解析：
由题意知
所以有 两边平方得到 ，即
两边同除以 得到 ，解得 ，即
13.平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 图像上一动点，若点 之间最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为▲.
时， 有2个零点
时， 有1个零点
综上所述： 或 时， 有1个零点
时， 有2个零点
平面
为 中点
在平面 中， 在平面外
平面
与 相交于
在平面 中
平面 平面
(2) 平面 平面
为交线
在 中，
平面
与 相交于
在平面 中
平面
17.（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 .设圆的半径为1，圆心在 上.
2013年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)-推荐下载
3．(2013 江苏，3)双曲线 x2 y2 =1 的两条渐近线的方程为__________． 16 9
4．(2013 江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．
5．(2013 江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是__________．
6．(2013 江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，
9．(2013 江苏，9)抛物线 y＝x2 在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部和 边界)．若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x＋2y 的取值范围是__________．
1
2
10．(2013 江苏，10)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点， AD= AB ， BE= BC .若
12．(2013
江苏，12)在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的标准方程为
x2 a2
y2 b2
=1 (a＞0，b＞0)，右
焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2.若
d2 6d1 ，则椭圆 C 的离心率为__________．
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年江苏高考数学试题及答案解析
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2013年江苏高考数学试题及答案解析
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2013年高考理科数学江苏卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11ni i x x n ==∑棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高棱柱的体积公式V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 为高一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卡相应．．．．．位置上．．．. 1.函数π3sin(2)4y x =+的最小正周期为 .2.设2(2i)z =-（i 为虚数单位）,则复数z 的模为 .3.双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 .4.集合{1,0,1}-共有 个子集.5.如图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .6.则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 . 7.现有某类病毒记作m n X Y ,其中正整数m ,n (m 7,n 9)≤≤可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 .8.如图,在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,1AA 的中点.设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V = .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点,则2x y +的取值范围是 .10.设D ,E 分别是ABC △的边AB ,BC 上的点,12AD AB =,23BE BC =,若DE =12AB AC λλ+（1λ,2λ为实数）,则12λλ+的值为 .11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .若21d =,则椭圆C 的离心率为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,)A a a ,P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为.14.在正项等比数列{}n a 中,512a =,673a a +=,则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为 .二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知向量a (cos ,sin )αα=,b (cos ,sin )ββ=,0πβα<<<. （Ⅰ）若|a -b |=求证：a ⊥b ；（Ⅱ）设c (0,1)=,若a +b =c ,求α,β的值.16.（本小题满分14分）如图,在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =.过A 作AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证：（Ⅰ）平面EFG 平面ABC ；（Ⅱ）BC SA ⊥.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页） 17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(0,3)A ,直线l ：24y x =-.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.（Ⅰ）若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切 线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.（本小题满分16分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min .在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,12cos 13A =,3cos 5C =.（Ⅰ）求索道AB 的长；（Ⅱ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？ （Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？19.（本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列(0)d ≠,n S 是其前n 项的和.记2nn nS b n c=+,*n ∈N ,其中c 为实数.（Ⅰ）若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明：2*(,)nk k S n S k n =∈N ；（Ⅱ）若{}n b 是等差数列,证明：0c =.20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-,()e xg x ax =-,其中a 为实数.（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数,且()g x 在(1,)+∞上有最小值,求a 的取值范围； （Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数,试求()f x 的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A .（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且2BC OC =. 求证：2AC AD =.B .（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 1002-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,B 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵A -1B .C .（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,2,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）,曲线C 的参数方程为22tan ,2tan ,x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）.试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D .（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0a b ≥＞,求证：332222a b ab a b --≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AB AC ⊥,2AB AC ==,14A A =,点D 是BC 的中点.（Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.23.（本小题满分10分）设数列{}n a ：1,2-,2-,3,3,3,4-,4-,4-,4-,⋅⋅⋅,11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个,⋅⋅⋅,即当*(1)(1)()22k k k k n k -+∈N ＜≤时,1(1)k n a k -=-.记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+*()n ∈N .对于*l ∈N ,定义集合{|l n P n S =是n a 的整数倍,*n ∈N ,且1}n l ≤≤. （Ⅰ）求集合11P 中元素的个数； （Ⅱ）求集合2000P 中元素的个数.数学试卷 第7页（共21页） 数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理科数学答案解析数学Ⅰ一、填空题 1.【答案】π【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==． 【提示】将题中的函数表达式与函数sin(+)y A x ωϕ=进行对照，可得2ω=，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期． 【考点】三角函数的周期性． 2.【答案】5【解析】2(2i)34i z =-=-，所以|||34i |5z =-=．【提示】把给出的复数展开化为+i()a b a b ∈R ，的形式，然后直接利用莫得公式计算． 【考点】复数的概念和代数形式的四则运算．3,【答案】34y x =±【解析】由双曲线方程可知4a =，3b =所以两条渐近线方程为34y x =±．【提示】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【考点】双曲线的简单几何性质． 4.【答案】8【解析】由于集合中有3个元素，故该集合有328=（个）子集．【提示】集合1,{}2,3P =的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【考点】集合的含义 5.【答案】3【解析】算法流程图执行过程如下：1220n a a ==<，，；8220a n a ==<，，；26320a n a ==>，，，输出3n =．【提示】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足20a ≥的最小n 值，模拟程序的运行过程可得答案． 【考点】选择结构和循环结构的程序框图． 6.【答案】2【解析】由表中数据计算得90x =甲，90x =乙，且2222221[(8790)+(9190)+(9090)+(8990)+(9390)]45s =-----=甲，2222221[(8990)+(9090)+(9190)+(8890)+(9290)]25s =-----=乙．（步骤1）由于22ss≥乙甲，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.（步骤2）【提示】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求． 【考点】数据平均数和方差的计算． 7.【答案】2063【解析】因为正整数m ，n 满足7m ≤，9n ≤，所以(,)m n 所有可能的取值一共有7963⨯=（种），（步骤1）其中m ，n 都取到奇数的情况有4520⨯=（种），因此所求概率为2063p =．（步骤2）【提示】求出m 取小于等于7的正整数，n 取小于等于9的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解． 【考点】古典概型． 8.【答案】1:24【解析】设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为2V Sh =．（步骤1） 又因为F 为1AA 的中点，所以三棱锥F ADE -的体积为12111113422424V Sh Sh V =⨯==，故12:1:24V V =．（步骤2）【提示】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值． 【考点】三棱柱、三棱锥体积的计算．9.【答案】12,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-．画出可行域（如图）．（步骤1） 设2x y z +=，则1122y x z =-+经过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max12z =，最小值min 2z =-，故取值范围是12,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦．（步骤2）第9题图【提示】利用导数求出抛物线在1x =处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则2x y+的取值范围可求．【考点】导数的几何意义，直线方程，线性规划问题． 10.【答案】12【解析】由题意212112()++323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-=-，（步骤1）于是116λ=-，223λ=，故121+2λλ=．（步骤2）【提示】由题意和向量的运算可得12+63DE AB AC =-，结合12+DE AB AC λλ=，可得1λ，2λ的值，求和即可．【考点】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算． 11.【答案】(5,0)(5,+)-∞【解析】先求出函数()f x 在R 上的解析式，然后分段求解不等式()f x x >，即得不等式的解集．设0,x <则0,x ->于是22()()4()4f x x x x x -=---=+，（步骤1） 由于()f x 是R 上的奇函数，则2()+4f x x x -=，即2()4f x x x =--，（步骤2）数学试卷 第10页（共21页） 数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）且(0)0,f =于是224,0()0,04,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩（步骤3） 当0x >时，由24x x x ->得5x >；当0x <时，由24x x x -->得50x -<<， 故不等式的解集为(5,0)(5,+)-∞（步骤4）【提示】作出x 大于0时，()f x 的图象，根据()f x 为定义在R 上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x 小于0的图象，所求不等式即为函数()f x 图象在y x =上方，利用图形即可求出解集．【考点】函数奇偶型的应用，一元二次不等式的求解． 12.【解析】依题意，222a b d c c c=-=．又BF a =，所以1bc d a =．（步骤1） 由已知可得26b bc c a．所以2ab =，即42226()c a a c =-，整理得223a c =，所以离心率c e a ==．（步骤2）【提示】根据“21d =”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得1bc d a =，从而得到a 与b 的关系，可求得ba，从而求出离心率．【考点】椭圆的定义． 13.【答案】1-【解析】依题意可设1,(0)P x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则222222111||()++2++2P A x a a x a x a x xx ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（步骤1）令1+x t x=，则2t ≥且22222||22+2()+2PA t at a t a a =--=--．（步骤2）若2a ≥，则当t a =时，2||PA 取最小值22a -，令222a-=，解得a =a =舍去）；若2a <，则当2t =时，2||PA 取最小值2242a a-+，令22242a a -+=，解得1a =-（3a =舍去）（步骤4）综上，满足条件的所有a的值为1-（步骤5） 【提示】设点1,(0)P x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，利用两点间的距离公式可得||PA ，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a 的值．【考点】两点间距离公式，均值不等式，二次函数的最值，换元法． 14.【答案】12【解析】设{}n a 的公比，则由已知可得4121,21(+)3,2a q q q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11,322.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩（步骤1） 于是13212(12)1+++(21)1232n n n a a a -==--，(1)(1)221211232n n n n n n n a a a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（步骤2） 由1212+++n n a a a a a a >可得(1)211(21)23232nn n n -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得2111+522212n n n -->． （步骤3）由2111+52222n n n ->，可得2111+522n n >-，即213+100n n -<，n <（步骤4）取12n =，可以验证当12n =时满足1212+++n n a a a a a a >，故n 的最大值为12.（步骤5）【提示】设正项等比数列{}n a 首项为a 1，公比为q ，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和12+++n a a a 及12n a a a 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得答案．【考点】等比数列的通项公式，求和公式以及不等式的性质． 二、解答题15.【答案】（1）见解析 （2）5π6α=π6β=【解析】（1）证明：由题意的2||2a b -=，即222()2+2a b a a b b -=-=．（步骤1）又因为2222||||1a b a b ====，所以222a b -=，即0a b =，故a b ⊥．（步骤2）（2）因为+(cos +cos ,sin +sin )(0,1)a b αβαβ==，所以cos +cos 0,sin +sin 1,αβαβ=⎧⎨=⎩（步骤3） 由此得，cos cos(π)αβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-（步骤4）代入sin +sin 1αβ=，得1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5π6α=，π6β=．（步骤5） 【提示】（1）由给出的向量a ，b 的坐标，求出a b -的坐标，由模等于列式得到cos cos +sin sin 0αβαβ=，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+a b ，由+(0,1)a b =列式整理得到2π3αβ-=，结合给出的角的范围即可求得α，β的值． 【考点】平面向量的坐标运算，诱导公式． 16.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】（1）因为AS AB =，AF SB ⊥，AF SB ⊥，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．（步骤1）又因为E 是SA 的中点，所以EF AB ∥．（步骤2）因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ABC ∥平面（步骤3） 同理EG ABC ∥平面．又EFEG E =，所以A C EFG B ∥平面平面．（步骤4）（2）因为1ADC SBC ⊥平面平面，且交线为SB ，又AF SAB ⊂平面，AF SB ⊥， 所以AF SBC ⊥平面．（步骤5）因为BC SBC ⊂平面，所以AF BC ⊥．（步骤6） 又因为AB BC ⊥，AFAB A =，AF SAB ⊂平面，BC SAB ⊥平面（步骤7）因为SA SAB ⊂平面，所以BC SA ⊥．（步骤8）第16题图【提示】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F 为SB 的中点．从而得到SAB △和SAC△中，EF AB ∥且EG AC ∥，利用线面平行的判定定理，证出EFABC ∥平面且EG ABC ∥平面．因为EF 、EG 是平面EFG 内的相交直线，所以平面数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）A C EFGB ∥平面平面；（2）由面面垂直的性质定理证出AF SBC ⊥平面，从而得到AF BC ⊥．结合AF 、AB 是平面SAB 内的相交直线且AB BC ⊥，可得BC SAB ⊥平面，从而证出BC SA ⊥． 【考点】面面平行的判定定理和线面垂直的证明． 17.【答案】（1）3y =或3+4120x y -=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点(3,2)C ，于是切线的斜率必存在．（步骤1）设过11P 的圆C 的切线方程为+3y kx =由题意得，1=，解得0k =或34k =-，（步骤2）故所求切线方程为3y =或3+4120x y -=．（步骤3）（2）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为22()+[2(2)]1x a y a ---=．（步骤4）设点(,)M x y ，因为2MA MO =，=化简得22+230x y y +-=，即22+(+1)4x y =，所以点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上．（步骤5） 由题意，点(,)M x y 在圆C 上，所以圆C 和圆D 有公共点，则|21|2+1CD -≤≤，即13．整理，得285120a a -≤-≤．（步骤6） 由251280a a -+≥，得a ∈R ；由25120a a -≤，得1205a ≤≤．所以a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（步骤7）【提示】（1）联立直线l 与直线1y x =-解析式，求出方程组的解得到圆心C 坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可；（2）设(,)M x y ，由2MA MO =，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0,1)-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，由M 在圆C 上，得到圆C 与圆D 相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【考点】圆的方程、圆的切线方程以及两圆间的位置关系． 18.【答案】（1）1040m（2）35(min)37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m/min ） 【解析】（1）在△ABC 中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =．（步骤1）从而5312463sin sin[π(+)]=sin(+)sin cos +cos sin +13513565B AC A C A C A C =-==⨯⨯=．（步骤2）由正弦定理sin sin AB AC C B =，得636512604sin 1040(m)sin 5AC AB C B ==⨯= 所以索道AB 的长为1040m ．（步骤3）（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50)m t ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得222212(100+50)+(130)2130(100+50)200(3770+50)13d t t t t t t =-⨯⨯⨯=-．（步骤4）由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37t =时，甲、乙两游客距离最短．（步骤5）（3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得636512605sin 500(m)sin 13AC BC A B ==⨯=（步骤6） 乙从B 出发时，甲已走了50(2+8+1)550(m)⨯=，还需走710m 才能到达C ．（步骤7） 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，（步骤8） 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m/min ）范围内．（步骤9） 【提示】（1）作出相应的图形，根据cos C 的值，求出tan C 的值，设出BD 表示出DC ，由cos A 的值，求出tan A 的值，由BD 表示出AD ，进而表示出AB ，由+CD AD AC =，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，即可确定出AB 的长；（2）设乙出发x min 后到达点M ，此时甲到达N 点，如图所示，表示出AM 与AN ，在三角形AMN 中，由余弦定理列出关系式，将表示出的AM ，AN 及cos A 的值代入表示出2MN ，利用二次函数的性质即可求出MN 取最小值时x 的值；（3）由（1）得到BC 的长，由AC 的长及甲的速度求出甲到达C 的时间，分两种情况考虑：若甲等乙3分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲3分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确定出乙步行速度的范围． 【考点】正弦定理的实际应用和函数的最值问题． 19.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】（1）由0c =，得1+2N n S n b a d n -==又因为124b b b ，，成等比数列，所以2214b b b =， 即23++22d a a a d ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220d ad -=．（步骤1）因为0d ≠，所以2d a =．因此，对于所有的*m ∈N ，有2m S m a =． 从而对于所有的k ，*n ∈N ，有2222()nk k S nk a n k a n S ===．（步骤2）（2）(1)+2(1)2(1)2(1)2(1)222222222222(1)+2+++2+n d a n d a n d a n d a n d a nn n n c c c nS n d a b n c n c n c n c--+-+-+-++--====-(*)（步骤3）若{}n b 是等差数列，则+n n n b A B =型．观察(*)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：(1)2220+n d ac n c -+=，（步骤4） 即(1)+202nd a c-=，而(1)+22n d a-≠0，故0c =． 经检验，当0c =时，{}n b 是等差数列．（步骤5）【提示】（1）写出等差数列的通项公式，前n 项和公式，由124b b b ，，成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n 项和公式得到n S ，在前n 项和公式中取n nk =可证结论；（2）把n S 代入2+n n nS b n c =中整理得到(1)222(1)+22+n d a n c n d ab n c-+-=-，由等差数列的通项公式是+n a An B =的形式，说明(1)2220+n d ac n c-+=，由此可得到0c =. 【考点】等差数列的通项公式与前n 项和，等比数列的定义及性质． 20.【答案】（1）(e,+)a ∈∞（2）当0a ≤或1e a -=时，()f x 的零点个数为1；数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）当10e a -<<时，()f x 的零点个数为2 【解析】（1）令11()0ax f x a x x-'=-=<，（步骤1） 考虑到()f x 的定义域为(0,)+∞，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数．同理，()f x 在1(0,)a -上是单调增函数．（步骤2）由于()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，故(1,)+∞1(,)a -⊆+∞，从而11a -≤，即1a ≥．（步骤3）令()e 0xg x a '=-=，得ln x a =．当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>．又()g x 在(1,)+∞上有最小值，所以ln 1a >，即e a >． 综上所述两种情况，得(e,+)a ∈∞．（步骤4） （2）当0a ≤时，()g x 必为单调增函数；当0a >时，令()e 0xg x a '=->，解得e x a <，即ln x a >．（步骤5）因为()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即0e x a <≤． 结合上述两种情况，得1e a -≤．（步骤6） 当0a =时，由(1)0f =以及1()0f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点；（步骤7） 当0a <时，由于(e )e (1e )0aaaf a a a =-=-<，(1)0f a =->，且函数()f x 在[e ,1]a上的图象连续，所以()f x 在(e ,1)a上存在零点．（步骤8） 另外，当0x >时，1()0f x a x'=->，故()f x 在(0,)+∞上是单调增函数，所以()f x 只有一个零点．（步骤9） ①当10e a -<≤时，令1()0f x a x'=-=，解得1x a -=；当10x a -<<时，()0f x '>；当1x a ->时，()0f x '<，所以1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为1()ln 1f a a -=--．（步骤10）②当ln 10a --=，即1e a -=时，()f x 有一个零点e x =．（步骤11）③当ln 10a -->，即10e a -<<时，()f x 有两个零点．实际上，对于10e a -<<，由于11(e )1e 0f a --=--<，1()0f a ->，且函数()f x 在11[e ,]a --上的图象连续，所以()f x 在11(e ,)a --上存在零点另外，当1(0,)x a -∈时，1()0f x a x'=->，故()f x 在1(0,)a -上只有一个零点．（步骤12）下面考虑()f x 在1(,)a -+∞上的情况．先证112(e )(e )0a a f a a ---=-<．为此，我们要证明：当e x >时，2e x x >．设2()e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，再设()()e 2x l x h x x '==-，则()e 2xl x '=-．（步骤13）当1x >时，()e 2e 20x l x '=->->，所以()()l x h x '=在(1,)+∞上是单调增函数．（步骤14）故当2x >时，2()e 2(2)e 40x h x x h ''=->=->，从而()h x 在(2,)+∞上是单调增函数，（步骤15）进而当e x >时，2e 2()e (e)=e e 0x h x x h =->->，即当e x >时，2e x x >．（步骤16） 当10e a -<<，即1e a ->时，11112(e )e (e )0a a a f a a a a -----=-=-<．又1()0f a ->，且函数()f x 在11[,e ]a a --上的图象连续，所以()f x 在11(,e )a a --上存在零点．（步骤17）又当1x a ->时，1()0f x a x'=-<，故()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数，所以()f x 在1(,)a -+∞上只有一个零点．（步骤18）综合上述可知，当0a ≤或1e a -=时，()f x 的零点个数为1； 当10e a -<<时，()f x 的零点个数为2.（步骤19）【提示】（1）求导数，利用()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，转化为10a x-≤在(1,)+∞上恒成立，利用()g x 在(1,)+∞上有最小值，结合导数知识，即可求得结论； （2）先确定a 的范围，再分类讨论，确定()f x 的单调性，从而可得()f x 的零点个数． 【考点】函数的单调性、极值、最值、零点等性质以及函数与导数的联系．数学Ⅱ21A.【答案】证明：连结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以90ADO ACB ∠=∠=︒．（步骤1）又因为A A ∠=∠，所以Rt ADO △∽Rt ACB △所以BC ACOD AD=． 又22BC OC OD ==，故2AC AD =．（步骤2）第21题图【提示】结合三角形和圆相交的一些条件，运用三角形相似的性质从而得出线段间的比例关系．【考点】几何证明．21B.【答案】101212=1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（步骤1）即 102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1a =-，0b =，0c =，12d =，（步骤2） 从而A 的逆矩阵为10A =102--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以101212=1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（步骤3） 【提示】给出两矩阵，利用矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵的性质求出对应参数． 【考点】矩阵与行列式初步． 21C.【答案】220x y --=22y x =(2,2) 1,12⎛-⎫⎪⎝⎭【解析】因为直线l 的参数方程为+12x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），由+1x t =得1t x =-，代入2y t =，得到直线l 的方程为220x y --=．（步骤1）同理得到曲线C 的普通方程为22y x =．数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）联立方程组22(1)2y x y x=-⎧⎨=⎩，解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛-⎫⎪⎝⎭．（步骤2）【提示】给定直线和曲线的参数方程，用代入法消去参数t 化为普通方程，联立方程求出公共点的坐标． 【考点】坐标系与参数方程．21D.【答案】证明：∵3322322322+(22)+()a b ab a b a ab a b b --=--=2222222()()()(2+)(+)()(2+)a a b b a b a b a b a b a b a b -+-=-=-，（步骤1）又∵0a b ≥>，∴0a b +>，0a b -≥，2+0a b >，∴()()(2+)0a b a b a b +-≥（步骤2） ∴3322220a b ab a b --+≥∴332222a b ab a b -≥-．（步骤3） 【提示】用作差比较法证明不等式． 【考点】不等式选讲． 22.【答案】（1（2【解析】（1）以{}1,,AB AC AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,4)A ，(1,1,0)D ，1(0,2,4)C ．∴1(2,0,4)A B =-，1(1,1,4)C D =--（步骤1）∴111111cos ,20A B C DA B C D A B C D<>==，∴异面直线1A B 与1C D ．（步骤2） （2）(0,2,0)AC =是平面1ABA 的的一个法向量，设平面1ADC 的法向量为(,,)m x y z =， ∵(1,1,0)AD =，1(0,2,4)AC =，（步骤3）由m AD ⊥，1m AC ⊥，∴0240x y y z +=⎧⎨+=⎩取1z =，得2y =-2x =，∴平面1ADC 的法向量为(2,2,1)m =-（步骤4） 设平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角为θ，∴42|cos |cos ,233||||AC m AC m AC m θ-=<>===⨯，得sin 3θ=． ∴平面1ADC 与平面1ABA ．（步骤5）第22题图【提示】建立空间直角坐标系求异面直线的余弦值和两平面间二面角的正弦值． 【考点】异面直线，二面角，空间向量及其运算，空间直角坐标系，空间向量的应用． 23.【答案】（1）由数列{}n a 的定义得：11a =，22a =-，32a =-，43a =，53a =，63a =，74a =-，84a =-，94a =-，104a =-，115a =，∴11S =，21S =-，33S =-，40S =，53S =，66S =，72S =，82S =-，96S =-，1010S =-，115S =-（步骤1）∴111S a =，440S a =，551S a =，662S a =，11111S a =-，（步骤2） ∴集合11P 中元素的个数为5.（步骤3）（2）证明：用数学归纳法先证(21)(21)i i S i i +=-+，事实上，①当1i =时，(21)31(2+1)3i i S S +==-⨯=-故原式成立；②假设当i m =时，等式成立，即(2+1)(2+1)m m S m m =-故原式成立．（步骤4）则：+1i m =，时，22(+1)[2(+1)+1](+1)(2+3(2+1)(2+1)(2+2)m m m m m m S S S m m ==+-）222(2+1)(2+1)(2+2)(2+5+3)(+1)(2+3)m m m m m m m m =-+-=-=-，（步骤5）综合①②得：(2+1)(2+1)i i S i i =-于是22(+1)[2+1](2+1+(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)(+1)i i i i S S i i i i i i ==-=），（步骤6）由上可知：(2+1i i S 是(2+1)i 的倍数，而(+1)(2+1)2+1(122+1)ii j a i j i +==，，，，所以(2+1)+(2+1)(2+1)i i j i i S S j i =+，（步骤7）是(+1)(2+1)+i i j a (122+1)j i =，，，的倍数，又(+1)(2+1)(+1)(2+1)i i S i i =不是2+2i 的倍数，而(+1)(2+1)+(2+2)i i j a i =-(122+2)j i =，，，，所以(+1)(2+1)+(2+1)(+1)(2+2)i i j S i i j i =-，(+1)(2+1)+(+1)(2+1)(2+2)i i j i i S S j i =-不是(+1)(2+1)(122+2)i i j a j i +=，，，的倍数，（步骤8）故当(2+1)l i i =时，集合l P 中元素的个数为21+3++21i i -=（），（步骤9） 于是当(2+1)+12+1l i i j j i =≤≤（）时，集合l P 中元素的个数为2+i j ，又200031231=⨯⨯（），故集合2000P 中元素的个数为231+471008=．（步骤10） 【提示】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之． 【考点】集合，数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法．。
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（第5题）2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：．本试卷共 页，均为非选择题（第 题～第 题，共 题） 本卷满分为 分 考试时间为 分钟 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．作答试题必须用 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效 ．如需作图，须用 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．． 函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为✧解析：2==2T ππ 设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为▲. 解析：34,Z i Z =-=双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为▲ . 解析：3y=4x ±集合{}1,0,1-共有▲个子集. 解析：328=（个）右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为3抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲. 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025ni i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为2063如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是▲ . 解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.5 设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为▲. 解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为▲ . 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-=所以有2b c = 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即3e = 平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为▲ . 解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去）2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=a = ，a =（舍去）综上1a =-或a =在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为▲ . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011521313236002222n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->∴<<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<. (1) 若2a b -=，求证：a b ⊥；(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.解：(1)()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<<2a b -=22a b ∴-=2222a b ab ∴+-= 1122a b +-⋅=,0a b ⋅=,a b ∴⊥(2)()()()0,1,cos cos ,sin sin 0,1cos cos 0sin sin 1c a b cαβαβαβαβ=+=∴++=∴+=∴+=①②22+①②得：()2+2cos 1αβ-=，得()1cos 2αβ-=-0023βαπαβππαβ<<<∴<-<∴-=又cos cos 05,66αβαβπππαβ+=∴+=∴==16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证：(1) 平面EFG //平面ABC ;(2) BC SA ⊥. 解：(1),E G 分别是侧棱,SA SC 的中点EG AC ∴∥AC 在平面ABC 中，EG 在平面外EG ∴∥平面ABC,AS AB AF SB =⊥F ∴为SB 中点EF AB ∴∥AB 在平面ABC 中，EF 在平面外EF ∴∥平面ABC EF 与EG 相交于E,EF EG 在平面EFG 中 ∴平面EFG //平面ABC(2)平面SAB ⊥平面SBCSB 为交线AF 在SAB 中，AF SB ⊥AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥ BC AB ⊥AF 与AB 相交于A,AF AB 在平面SAB 中BC ∴⊥平面SABBC SA ∴⊥17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1，圆心在l 上. (1) 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：（1）241y x y x =-=-①②①与②联立得到圆心坐标()3,2C∴圆方程为()()22321x y -+-=切线斜率不存在时，不合题意∴设切线方程为3y kx =+1=解得0k =或34k =-∴切线方程为3y =或334y x =-+（2）设(),24C a a -则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 设00(,)M x y由题意()()2200241x a y a -+-+=2MA MO =()22220000344x y x y ∴+-=+即()220014x y ++=M 存在∴圆()()22241x a y a -+-+=与圆()2214x y ++=有交点即两圆相交或相切()()2222121d ∴-≤≤+即()()221024(1)9a a ≤-+---≤1205a ∴≤≤18. （本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径. 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =. (1) 求索道AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：(1)123cos ,cos 1350,0,054sin ,sin 135A C A B C A C πππ==<<<<<<∴==+=A B C π+()5312463sin =sin +=sin cos +cos sin =+=13513565B AC A C A C ∴⋅⋅ ==sin sin sin AC AB BCB C A∴sin 465==1260=1040m sin 563C AB AC B ∴⋅⋅⋅(2)sin ==500sin ABC AC B⋅ 设乙出发()t 8t ≤分钟后，甲到了D 处，乙到了E 处 则有=50t+100AD 130AE t =根据余弦定理2222cos DE AE AD AE AD A =+-⋅⋅ 即2274001400010000DE t t =-+∴当14000352740037t ==⋅时，2DE 有最小值25074DE =(3)设甲所用时间为t 甲，乙所用时间为t 乙，乙步行速度为V 乙 由题意1260126==min 505t 甲1040500500t =2++1+=11+min 130V V 乙乙乙12650031135V ⎛⎫∴-≤-+≤ ⎪⎝⎭乙 解不等式得12506254314V ≤≤乙19. （本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =. 解：（1）()()10n a a n d d =+-≠22n n nS na d -=+0c =时，nn S b n=112244122342S b a S d b a S d b a ====+==+124,,b b b 成等比 2142b b b ∴=222222222322202n nk k nk kd d a a a d add d aS n aS n k an S n k aS n S ⎛⎫⎛⎫∴⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=≠∴=∴===∴=（2） 由已知23222222n n nS n a n d n d b n c n c+-==++ n b 是等差数列∴设n b kn b =+（k,b 为常数）∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +∈恒成立202202020k d b d a ck bc -=⎧⎪+-=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 0d ≠0k c ∴≠∴=此时 222dk a d b =-= 命题得证20. （本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数.(1) 若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围；(2) 若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.解：（1）'1()f x x a -=-'()x g x e a =-由题意：'()0f x ≤对()1,x ∈+∞恒成立 即1a x -≥对()1,x ∈+∞恒成立 1a ∴≥()g x 在()1,+∞上有最小值0a ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在()1,+∞无最值0a >时，由题意ln 1a >a e >综上：a 的范围是：a e >（2）()g x 在()1,-+∞上是单调增函数∴'()0g x ≥对()1,x ∈-+∞恒成立即xa e ≤对()1,x ∈-+∞恒成立 1a e -∴≤令()0f x =，则ln x a x= 则有()f x 的零点个数即为y a =与ln x y x =图像交点的个数 令()ln ()0x h x x x=> 则'21ln ()x h x x -= 易知()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减在x e =时取到最大值1()0h e e=> 当0x →时，ln ()x h x x=→-∞ 当x →+∞时，ln ()0x h x x =→ ∴()h x 图像如下所以由图可知：0a ≤时，()f x 有1个零点10a e<<时，()f x 有2个零点 1a e=时，()f x 有1个零点 综上所述：0a ≤或1a e=时，()f x 有1个零点 10a e<<时，()f x 有2个零点保洁员协议书甲方： 村村民委员会乙方： ，身份证号：为了确保本村的清洁卫生得到正常有序地运行，使全村的环境卫生保持清洁.干净。